第第頁2025屆蘇州市高三期初統考2025.02一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據指數函數、對數函數單調性解不等式可得集合，再由并集運算可得結果.【詳解】易知，所以.故選：C2.若，則（）A.－ B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先觀察兩個角之間的關系：，因此兩邊同時取余弦值即可．【詳解】因為所以所以，選B.【點睛】本題主要考查了三角函的誘導公式．解決此題的關鍵在于拼湊出，再利用誘導公式（奇變偶不變、符號看象限）即可．3.直線和直線互相平行，則的值為（）A.-1 B.3 C.3或-1 D.-3【答案】A【解析】【分析】由已知中易求出他們的斜率，再根據兩直線平行的充要條件，即斜率相等，截距不相等，即可得到答案.【詳解】∵直線和，由于的斜率存在，故的斜率也一定存在，∴，，由于兩條直線互相平行，故，即，解得：或，又∵時，兩條直線重合，∴故選：A.【點睛】本題考查的知識點是直線的一般式方程與直線的平行關系，其中兩個直線平行的充要條件，易忽略截距不相等的限制，屬于中檔題.4.已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的側面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由圓錐的側面展開圖扇形基本量與圓錐基本量間的關系可得.【詳解】已知圓錐的底面半徑，高，則母線長，圓錐的側面展開圖為扇形，且扇形的弧長為圓錐底面圓周長，扇形的半徑為圓錐的母線長，則圓錐側面積.故選：B.5.若正項等差數列的前項和為，則的最大值為（）A.9 B.16 C.25 D.50【答案】C【解析】【分析】根據等差數列的求和公式可得，利用基本不等式可求最值.【詳解】因為，所以，則又因為，所以，當且僅當時，等號成立；所以的最大值為25.故選：C6.在5張彩票中有2張有獎，甲、乙兩人先后從中各任取一張，則乙中獎的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據給定條件，利用全概率公式列式計算即得.【詳解】記甲中獎的事件為，乙中獎的事件為，則，，，所以.故選：B7.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導數可求得，；分別代入和，整理可得的大小關系.【詳解】令，則，在上單調遞增，，即，，，即；令，則，當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，，（當且僅當時取等號），，即（當且僅當時取等號），，即；綜上所述：.故選：D【點睛】思路點睛：本題考查與指數、對數有關的大小關系的比較，解題基本思路是能夠將問題轉化為兩個函數的函數值大小關系的比較，進而通過構造函數的方式，利用導數求得函數單調性，從而得到兩函數的大小關系.8.設函數，若在區間內恰有4個零點，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意對分段函數的兩部分解析式分別分類討論，得出各部分對應的零點表達式，再根據在區間內恰有4個零點對參數進行分類討論，得出各部分的有效零點個數即可求得實數的取值范圍.【詳解】易知當時，令，可得，即可得，又因為，所以;因此時的有效零點為，為負整數；當時，令，可得;若為有效零點可得，解得；當時，令，可得;若為有效零點可得，解得；因為在區間內恰有4個零點，所以至少表示兩個有效零點，所以需滿足，可得；此時和也為有效零點，此時實數的取值范圍是；當時，顯然不是有效零點，所以能表示三個有效零點，因此，解得，此時實數的取值范圍是.綜上可知，實數的取值范圍是.故選：A【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于求出分段函數各部分零點的表達式，再結合零點所在區間及其個數限定出對應不等式，即可求出實數的取值范圍.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在復數范圍內關于的實系數一元二次方程的兩根為，其中，則（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據實系數一元二次方程中韋達定理可求出判斷B，再由韋達定理判斷A，根據復數的乘法及共軛復數判斷C，再由復數除法判斷D.【詳解】因為且實系數一元二次方程的兩根為，所以，可得，故B正確；又，所以，故A錯誤；由，所以，故C錯誤；，故D正確.故選：BD10.已知數列是等比數列，則（）A.數列是等比數列 B.數列是等比數列C.數列是等比數列 D.數列是等比數列【答案】AB【解析】【分析】根據題意，設的公比為q，則

，由等比數列的定義依次判斷AB；舉反例判斷CD.【詳解】根據題意，數列是等比數列，設其公比為q，則

對于選項A：因為，所以數列是等比數列，故A正確；對于選項B：因為

，所以數列為等比數列，故B正確；對于選項CD：例如，則，所以數列不是等比數列，故C錯誤；則，所以數列不是等比數列，故D錯誤.故選：AB.11.在正方體中，點E，F滿足，，且x，y，．記EF與所成角，與平面ABCD所成角為，則（）A.若，三棱錐E-BCF的體積為定值B.若，則C.，D.，總存在，使得平面【答案】ACD【解析】【分析】對于A：確定以及點到面的距離的取值情況即可判斷；對于B：假設，找出矛盾即可判斷；對于C：過作交于，連接，找到和即可判斷；對于D：作圖，然后證明平面即可.【詳解】對于A：若，點在過線段的三等分點（靠近點）并且與平行的線上，因為點在線段上，且，所以點到線段的距離為定值，則為定值，又點到面，即面的距離不變，所以為定值，A正確；對于B：若，則點為線段的中點，點為線段的交點，若，又，且面，，所以面，又面，所以，設正方體的棱長為，則，此時，即，與矛盾，故不正確，B錯誤；對于C：，則點在線段上（不含端點），點在正方形內（不含邊界），過作交于，連接，則為EF與所成角，即，因為面，，所以面，則為與平面ABCD所成角，即，因為為直角三角形，所以，C正確；對于D：過作交于，過作交于，連接，此時滿足，，，，接下來只需要證明平面即可，因為，面，面，所以面，又，面，面，所以面，又，且面，所以面面，又面，所以平面，所以，總存在，使得平面，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，若，則___________．【答案】0【解析】【分析】先根據條件求出，然后由賦值法即可求解.【詳解】由題意，所以，即，令，則，令，則，所以.故答案為：0.13.已知為雙曲線的左、右焦點，圓與相交于點（點位于第一象限），若，則的離心率為___________．【答案】【解析】【分析】根據雙曲線定義并結合圓的直徑所對圓周角為直角，且由，得到，進而可以得到離心率.【詳解】由圓，則圓以為直徑的圓，又由是雙曲線與圓的交點，則,,由,則，，所以,在直角中，則,故.故答案為：.14.已知非零向量滿足：，設，若存在，使得，則的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】根據和，求出，由得到，聯立得到，故，換元得到，得到答案.【詳解】由題意得，即，又，故，所以，故①，因為，所以②，聯立①②得，解得，則，令，則，則，故.故答案為：【點睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據平面圖形的特征直接進行求解；②數化，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數中的函數最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數，不等式，方程的有關知識進行求解.四、解答題：本題共5小題，共77分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.求下列函數的導數.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）根據兩個函數乘積的導數運算法則可得結果.（2）根據兩個函數和的導數運算法則可得結果.（3）根據兩個函數商的導數運算法則可得結果.（4）通過誘導公式和倍角公式化簡函數解析式，利用兩個函數乘積的導數運算法則可得結果.【小問1詳解】.【小問2詳解】.【小問3詳解】.【小問4詳解】∵，∴.16.隨著冬天的臨近，哈爾濱這座冰雪之城，將再次成為旅游的熱門目的地.為更好地提升旅游品質，我市文旅局隨機選擇名青年游客對哈爾濱出行體驗進行滿意度評分（滿分分），分及以上為良好等級，根據評分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據頻率分布直方圖，求x的值并估計該評分的上四分位數；（2）若采用按比例分層抽樣的方法從評分在，的兩組中共抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人進行單獨交流，求選取的3人中評分等級為良好的人數X的分布列和數學期望；（3）為進一步了解不同年齡段游客對哈爾濱出行體驗的反饋，我市文旅局再次隨機選擇100名中老年游客進行滿意度評分，發現兩次調查中評分為良好等級的人數為120名.請根據小概率值的獨立性檢驗，分析游客的評分等級是否良好與年齡段（青年或中老年）是否有關.附：，0.050010.00138416.63510.828【答案】（1），（2）分布列見解析，（3）無法認為游客的評分等級是否良好與年齡段有關.【解析】【分析】（1）根據頻率和為計算出的值；先判斷出上四分位數所在區間，然后結合區間端點值以及該組的頻率完成計算；（2）先根據分層抽樣計算出每組抽取的人數，然后確定出的可取值并計算對應概率，由此可求分布列和數學期望；（3）根據已知條件得到對應列聯表，然后計算出的值并與對應比較大小，由此得到結論.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知，，解得；因為的頻率為，且為最后一組，所以評分的上四分位數位于區間中，所以上四分位數為：；【小問2詳解】評分在與兩組的頻率分別為，所以內抽取人數為，內抽取人數為，故人中評分等級為良好的有人，由題意可知，的可取值為，，，，所以的分布列為：數學期望；【小問3詳解】青年游客評分等級良好的有人，所以老年游客評分等級良好的有人，由上可得如下列聯表，

青年游客老年游客總計評分等級良好評分等級非良好總計零假設：游客的評分等級是否良好與年齡段無關，由表中數據可得，根據小概率值的獨立性檢驗，可知零假設成立，即無法認為游客的評分等級是否良好與年齡段有關.17.在中，角所對的邊分別為，已知．（1）求角的大?。唬?）若，，求的面積；（3）若，且為銳角三角形，求的周長的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導公式得到，即可得解；（2）利用余弦定理求出，再由面積公式計算可得；（3）利用正弦定理將轉化為關于的三角函數，結合三角形為銳角三角形求出的范圍，即可求出的取值范圍.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得，∴，∵，則，∴，又，∴；【小問2詳解】因為，，由余弦定理，即，∴，解得，∴；【小問3詳解】在中，由正弦定理，∴，∴，又為銳角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故周長的取值范圍為18.如圖，四面體中，，為的中點．（1）證明：平面平面；（2）設，點在上且，記與平面所成角為，求的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由≌得到，得到，即可求證；（2）過作面于，連．由線面角定義得到，再由等體積法求得，進而可求解；法二：建系求得平面法向量，代入夾角公式即可求解；【小問1詳解】證明：在和中，，∴≌（SAS），∴，∵為中點，∴且，，都在平面內，∴平面，∵平面，∴平面平面．【小問2詳解】方法一：過作面于，連．由線面角的定義可知．由于點是定點，平面面也是固定的，所以是個定值，因此最大，也即最小，易知此時時取到．因為，，所以，又，所以，所以，所以，以及，，所以，由，得到：，所以當時，，故此．法二：∵，∴為等邊三角形且邊長為2，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，都在平面內，∴平面，如圖建系，∴，，∴，設平面的一個法向量，∴，設，得到，所以，∴．當且僅當時取“”．所以的最大值.19.已知橢圓的右頂點為，焦距為．（1）求的標準方程；（2）設的左焦點為，過點作斜率不為零的直線交于兩點，連接分別交直線于點，過點且垂直于的直線交直線于點，則①求證：為線段中點；②記的面積分別為，試探究：是否存在實數，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）①證明見解析；②存在；【解析】【分析】（1）根據焦距、頂點坐標和橢圓關系可直接求得標準方程；（2）①將直