專題03二次根式

選擇題

1.（2022?湖北武漢）下列各式計算正確的是（）

A.應+百=百B.473-3A/3=1C.6，義6=瓜D.配+2=指

【答案】C

【分析】由合并同類二次根式判斷A,B,由二次根式的乘除法判斷C,D.

【詳解】解：A、&+百力百原計算錯誤，該選項不符合題意；

B、4#-3—=班原計算錯誤，該選項不符合題意；

C、0義道=卡正確，該選項符合題意；

D、原計算錯誤，該選項不符合題意；故選：c.

【點睛】本題考查合并同類二次根式，二次根式的乘法，二次根式的乘方運算，掌握以上知識是解題關鍵.

2.（2022?山東聊城）射擊時，子彈射出槍口時的速度可用公式V=W進行計算，其中。為子彈的加速度,

s為槍筒的長.如果”=5xl（）5m/s2,s=0.64m,那么子彈射出槍口時的速度（用科學記數法表示）為（）

A.0.4xl02m/sB.0.8xl02m/sC.4xl02m/sD.8xl02m/s

【答案】D

【分析】把。=5xl05m/s2,s=o.64m代入公式丫=缶7,再根據二次根式的性質化簡即可.

【詳解】解：v=A/2^7=A/2X5X105X0.64=8xl02（m/s）,故選：D.

【點睛】此題主要考查了二次根式的性質與化簡以及科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為

4X10〃的形式，其中公|“<10,〃為整數，表示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

3.（2022■貴州畢節）計算A/§+|-2|XCOS45。的結果，正確的是（）

A.5/2B.3^2C.2A/2+D.25/2+2

【答案】B

【分析】化簡二次根式并代入特殊角的銳角三角比，再按照正確的運算順序進行計算即可.

【詳解】解：場+|-2|xcos45。

=2A/2+2x—

2

=+V2

=3亞.故選：B

【點睛】此題考查了二次根式的運算、特殊角的銳角三角比等知識，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

4.（2022?山東青島）計算（、國-JTI）x的結果是（)

A.—B.1C.J5D.3

3

【答案】B

【分析】把括號內的每一項分別乘以A，再合并即可.

【詳解】解：訴'-眄xE

=79-^4=3-2=1

故選：B.

【點睛】本題考查的是二次根式的乘法運算，掌握"二次根式的乘法運算法則”是解本題的關鍵.

5.（2022?黑龍江綏化）若式子向1+二2在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（）

A.x>-lB.x.-lC.且無工0D.x,,-1且xwO

【答案】C

【分析】根據二次根式被開方數不能為負數，負整數指數幕的底數不等于0,計算求值即可；

【詳解】解：由題意得：x+120且*0,

0x2-1且XHO,故選：C.

【點睛】本題考查了二次根式的定義，負整數指數幕的定義，掌握其定義是解題關鍵.

6.（2022?山東濰坊）秦兵馬俑的發現被譽為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與頭頂到下巴

的距離之比約為止二1,下列估算正確的是（）

2

A.0<?2B,2金/C.L?<1D

25522221

【答案】C

【分析】用夾逼法估算無理數即可得出答案.

【詳解】解：4<5<9,

02<75<3,

01<V5-1<2,

回;〈正二<1,故選：C.

22

【點睛】本題考查了無理數的估算，無理數的估算常用夾逼法，用有理數夾逼無理數是解題的關鍵.

7.（2022?湖北恩施）函數y=近包的自變量尤的取值范圍是（）

x-3

A.xw3B.x>3C.xN—1且冗。3D.%>-l

【答案】C

【分析】根據分式有意義的條件與二次根式有意義的條件得出不等式組，解不等式組即可求解.

【詳解】解：回正正有意義，

x-3

團X+120,%—3w0,

解得了N—1且工。3,故選C.

【點睛】本題考查了求函數自變量的取值范圍，掌握分式有意義的條件與二次根式有意義的條件是解題的

關鍵.

8.（2022?廣西桂林）化簡屈的結果是（）

A.26B.3C.272D.2

【答案】A

【分析】將被開方數12寫成平方數4與3的乘積，再將4開出來為2,易知化簡結果為26.

【詳解】解：712=A/4X3=A/22X3=2^,

故選：A.

【點睛】本題考查了二次根式的化簡，關鍵在于被開方數要寫成平方數乘積的形式再進行化簡.

9.（2022?江蘇常州）若二次根式^/^斤有意義，則實數x的取值范圍是（）

A.x>lB.x>lC.x>0D.x>0

【答案】A

【分析】根據二次根式指（a..0）進行計算即可.

【詳解】解：由題意得：

x—1..0f

x.A,

故選：A.

【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式百（a..0）是解題的關鍵.

10.（2022?山東臨沂）滿足機>|前-1|的整數機的值可能是（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【分析】先化簡|質-1|并估算質-1的范圍，再確定小的范圍即可確定答案.

【詳解】"〈癡北，

.-.2<>/10-1<3，

?.?|V10-l|=V10-l,m>|^-l|,

：.m>3,故選：A.

【點睛】本題考查了絕對值的化簡，無理數的估算和不等式的求解，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

11.（2021?四川涼山）而的平方根是（）

A.+3B.3C.±9D.9

【答案】A

【分析】先求出聞的值，再求平方根即可.

【詳解】解：回商=9,

9的平方根是±3,

團耳的平方根是±3,故選：A.

【點睛】本題考查了算術平方根，平方根，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.

12.（2022?四川廣安）下列運算中，正確的是（）

A.3a2+2序=5°4B.a9^a3^a3C.72+73=75D.（-3x2）3=-Tlx6

【答案】D

【分析】根據合并同類項，同底數暴的除法，二次根式的加法，積的乘方運算，逐項分析判斷即可求解.

【詳解】解：A.3a2+2a2=5a2,故該選項不正確，不符合題意；

B.故該選項不正確，不符合題意；

C.夜+百力占，故該選項不正確，不符合題意；

D.（-3x2）3=-27/,故該選項正確，符合題意；故選D

【點睛】本題考查了合并同類項，同底數幕的除法，二次根式的加法，積的乘方運算，正確的計算是解題

的關鍵.

13.（2022?貴州貴陽）若式子7^與在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是

A.x>3B.x<3C.x>3D.x<3

【答案】A

【詳解】解：由題意得x-320.解得X23,故選：A.

14.（2022?內蒙古呼和浩特）下列運算正確的是（）

1__2__j_

B.(m+n)2=m2+n2

x-1XX

【答案】D

【分析】分別根據二次根式乘法法則，完全平方公式，異分母分式加減法法則以及分式除法法則計算出各

項結果后，再進行判斷即可.

【詳解】解：A.鳳"=2,故此計算錯誤，不符合題意；

B.（m+n）2=m2+2mn+n2,故此計算錯誤，不符合題意；

c.-2=-十=；,故此計算錯誤，不符合題意；

x-1xx{x-1）

一2V23無Qr2

D.3沖+?=3孫氏==-黑，計算正確，符合題意，故選：D.

3x-2y~2y

【點睛】本題主要考查了二次根式乘法，完全平方公式，異分母分式加減法以及分式除法，熟練掌握相關

運算法則是解答本題的關鍵.

15.（2022?湖南郴州）下列運算正確的是（）

A.a3+a2=a5B.a6^a3=a2C.（a+b）2=a2+b2D.小（-5丫=5

【答案】D

【分析】根據合并同類項、同底數幕的除法法則，完全平方公式以及二次根式的計算法則進行計算即可.

【詳解】A./+/不能合并，故A錯誤;

B./+q3=q3,故B錯誤；

C.(a+/?)2=a2+2ab+b2,故C錯誤;

D.J(一5)2=5,故D正確;

故答案為：D.

【點睛】本題考查合并同類項、同底數累的除法法則、完全平方公式以及二次根式的計算法則等知識.掌

握合并同類項、同底數幕的除法法則、完全平方公式以及二次根式的計算法則是解答本題的關鍵.

16.（2022?四川雅安）下列計算正確的是（

/2、a8

A.32=6B.(--)3=--

55

C.(-2a2)2=2(/D.G+26=3百

【答案】D

【分析】由有理數的乘方運算可判斷A,B,由積的乘方運算與幕的乘方運算可判斷C,由二次根式的加法

運算可判斷D,從而可得答案.

【詳解】解：3?=9,故A不符合題意;

1-,故B不符合題意;

粉5125

7

-2a2）=4a\故C不符合題意;

6+2月=3用，故D符合題意；故選D

【點睛】本題考查的是有理數的乘方運算，積的乘方與幕的乘方運算，二次根式的加法運算，掌握以上基

礎運算是解本題的關鍵.

17.（2022?湖南永州）下列各式正確的是（）

A."=2&B.2。=0C.3a-2a=lD.2-（-2）=4

【答案】D

【分析】利用二次根式性質化簡、零指數塞、合并同類項、有理數減法運算即可判斷。

【詳解】解：A.4=2,選項錯誤，不符合題意；

B.2°=b選項錯誤，不符合題意;

C.3a-2a=a,選項錯誤，不符合題意;

D.2-(-2)=4,選項正確，符合題意.故選：D.

【點睛】本題主要考查二次根式的化簡、零指數幕、合并同類項，有理數的減法，掌握運算性質是解

題的關鍵.

18.(2022?黑龍江綏化)下列計算中，結果正確的是()

A.2%2+X2=3X4B.(X2)3=X5C.機聲=-2D.翡=±2

【答案】C

【分析】根據合并同類項法則、塞的乘方運算法則、開立方運算、求一個數的算術平方根，即可一一判定.

【詳解】解：A.2X2+X2=3X2,故該選項不正確，不符合題意；

B.(X2)3=X6,故該選項不正確，不符合題意；

C.J豆=_2，故該選項正確，符合題意；

D.A/4=2，故該選項不正確，不符合題意；故選：C.

【點睛】本題考查了合并同類項法則、幕的乘方運算法則、開立方運算、求一個數的算術平方根，熟練掌

握和運用各運算法則是解決本題的關鍵.

19.(2022?廣西梧州)下列計算鎮試的是()

A.a3-a5=asB.(a2b)3=a6b3C.3百+2石=5君D.(a+b)2=a~+b2

【答案】D

【分析】根據同底數哥相乘法則，積的乘方法則，合并同類二次根式法則，完全平方公式逐一判斷即可.

【詳解】解：A.a3-a5=as,計算正確，但不符合題意；

B.(a2b)3=(a2)3b3=a6b3,計算正確，但不符合題意；

C.3君+2石=5括，計算正確，但不符合題意；

D.(a+b)2=a2+2.ab+b2a2+b2,計算錯誤，符合題意；故選：D.

【點睛】本題考查了同底數幕相乘法則，積的乘方法則，合并同類二次根式法則，完全平方公式等知識，

掌握相關運算法則是解題的關鍵.

20.(2022?江蘇無錫)函數中自變量x的取值范圍是()

A.x>4B.x<4C.x>4D.x<4

【答案】D

【分析】因為當函數表達式是二次根式時，被開方數為非負數，所以4-XW0,可求x的范圍.

【詳解】解：4-x>0,

解得x<4,

故選：D.

【點睛】此題考查函數自變量的取值，解題關鍵在于掌握當函數表達式是二次根式時，被開方數為非負數.

二.填空題

21.（2022?黑龍江牡丹江）若兩個連續的整數。、b滿足"<舊<5,則1的值為__________.

ab

【答案吒

1

【分析】求出年在哪兩個連續整數之間即可求得兩個連續整數“，b,進而求得-r的值.

ab

【詳解】09<13<16,

0V9<V13<A/i6,

即3VAM<4,

Ela<^/13<b,

團a=3,b=4,

回—1—___1__—1

ab3x412,

故答案為：—

【點睛】本題考查了估算無理數的大小，屬于基礎題，熟練掌握"夾逼法"的應用是解答本題的關鍵.

22.（2022?北京）若而i在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是.

【答案】應8

【分析】根據二次根式有意義的條件，可得x-820,然后進行計算即可解答.

【詳解】解：由題意得：

x-8>0,

解得：x>8.

故答案為：隹8.

【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式Gm20）是解題的關鍵.

23.（2022?黑龍江哈爾濱）計算6+的結果是.

【答案】273

【分析】先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可.

【詳解】解：6+3^

=73+73

=2幣,

故答案為：2百.

【點睛】本題考查了二次根式的加減，把二次根式化為最簡二次根式是解題的關鍵.

24.（2022?湖南郴州）二次根式&三中字母尤的取值范圍是.

【答案】尤

【分析】根據二次根式成立的條件可直接進行求解.

【詳解】解：由題意得：

x-5>0,解得：x、5；

故答案為x25.

【點睛】本題主要考查二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵.

25.（2022?廣西）化簡：78=.

【答案】272

【分析】根據而==應，計算出結果即可.

【詳解】解：瓜=J4x2=Wxy/2=2^2.

故答案為：20.

【點睛】此題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確化簡二次根式是解題關鍵.

26.（2022?內蒙古包頭）若代數式而T+，在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是

X

【答案】且尤片0

【分析】根據二次根式與分式有意義的條件求解即可.

【詳解】解：由題意得：x+l>0,且*0,

解得：了2-1且工片0,

故答案為：且尤W0.

【點睛】本題考查二次根式與分式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件：被開方數為非負數；

分式有意義的條件：分母不等于零是解題的關鍵.

27.（2022?湖南長沙）若式子G3在實數范圍內有意義，則實數的取值范圍是.

【答案】x>19

【分析】根據二次根式有意義的條件可得x-1920,求解即可.

【詳解】???式子在實數范圍內有意義，

尤一1920,解得尤219,故答案為：尤219.

【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，即被開方數大于等于0,熟練掌握知識點是解題的關鍵.

三.解答題

28.（2022?黑龍江大慶）計算：+

【答案】

【分析】原式分別根據絕對值的代數意義，零指數幕的運算法則以及立方根的意義化簡各項后，再計算乘

法，最后計算加法即可.

【詳解】解：|6―2|x（3—萬）°+

=-（V3-2）xl-2

=-A/3+2-2

=-6

【點睛】本題主要考查了實數的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵.

29.（2022?湖南郴州）計算：（-1戶22-2cos30°+|l-6|+（g）.

【答案】3

【分析】根據特殊角的三角函數值、絕對值的意義和負整數指數幕的計算方法計算即可.

【詳解】解：原式=l_2x?+（有-1）+3

=1-肉豆-1+3

=3.

【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值、絕對值的意義和負整數指數幕的運算法則等知識，熟記特殊角

的三角函數值是解答本題的關鍵.

30.(2022?江蘇泰州)計算：

⑴計算：^/1-8—A/3;

⑵按要求填空：

2x1

小王計算37一一1的過程如下:

x-4X+2

2x1

解:

%?—4x+2

(x+2)(x-2)x+2

2xx-2，勺-.,二

(x+2)(x-2)(x+2)(x-2)

2%—x—2

第三步

(%+2)(工-2)

x—2

第四步

(%+2)(x-2)

x—2

第五步

x+2

小王計算的第一步是(填"整式乘法"或"因式分解)計算過程的第步出現錯誤.直接寫出正

確的計算結果是.

【答案】(1)2五

(2)因式分解；三和五；一二

x-2

【分析】⑴先化成最簡二次根式，然后根據二次根式的四則運算法則求解即可；

⑵按照分式的加減運算法則逐步驗算即可.

⑴

解：原式=3四-6?"3四-迷=2夜；

33

⑵

解：由題意可知:

2x12x1

------------------------------------第一步

x2-4x+2(x+2)(x-2)x+2

lxx-2

---------------------------------------第二步

(x+2)(x-2)(x+2)(x-2)

_2x-x+2

第三步

(x+2)(x-2)

x+2

?第四步

(x+2)(x-2)

1

第五步

x-2

故小王的計算過程中第三步和第五步出現了錯誤；最終正確的計算結果為口

故答案為：因式分解，第三步和第五步，一-

x-2

【點睛】本題考查二次根式的四則運算法則及分式的加減運算法則，屬于基礎題，熟練掌握運算法則是解

題的關鍵.

31.（2022?黑龍江齊齊哈爾）（1）計算：（6-1）。+[]+|V3-2|+tan600

（2）因式分解：x3y-6x2y+9xy

【答案】（1）12（2）xy（x-3）2

【分析】（1）根據零指數幕、負整數指數塞、絕對值和特殊角的三角函數值計算即可；

（2）先提公因式，再根據完全平方公式因式分解即可.

【詳解】（1）原式=1+9+2-指+右=12；

（2）原式=胡（*2-6x+9）=孫（x-3）~.

【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值、零指數累、負整數指數累、絕對值以及因式分解，熟知各運算

法則是解題的關鍵.

32.（2022?福建）計算：A/4+|A/3-1|-2022°.

【答案】6

【分析】分別化簡〃、|百-1|、2022°,再進行加減運算即可.

【詳解】解：原式=2+百-1-1=百.

【點睛】本題考查了二次根式的化簡，絕對值的化簡，零指數次事以及二次根式的加減運算，正確進行化

簡運算是解題的關鍵.

33.（2022?湖南長沙）計算：|一4|+，］-（0）2+2035°.

【答案】6

【分析】原式分別根據絕對值的代數意義、負整數指數嘉、二次根式的乘方以及零指數嘉運算法則化簡各

項后，再算加減即可.

【詳解】解：后y+20350

=4+3-2+1

=6

【點睛】本題考查了實數的運算，掌握各部分的運算法則是解答本題的關鍵.

34.（2022?內蒙古通遼）計算：VL遙+41-石卜in60。

【答案】4

【分析】根據二次根式的乘法，化簡絕對值，特殊角的三角函數值，負整數指數幕進行計算即可求解.

【詳解】解：原式=26+4（右-1卜#一2

=273+6-273-2

=4

【點睛】本題考查了實數的混合運算，掌握二次根式的乘法，化簡絕對值，特殊角的三角函數值，負整數

指數幕是解題的關鍵.

35.（2022?廣西貴港）（1）計算：|l-V3|+（2022-7r）°+^-1j-tan60°；

‘2尤-5<0①

（2）解不等式組：<2x—45-xe

132

【答案】（1）4；（2）-l<x<（

2

【分析】（1）根據絕對值的意義、零指數塞、負整數指數幕的運算法則以及特殊角的三角函數值進行計算

即可；

（2）先分別求解出不等式①和不等式②的解集，再找這個兩個解集的公共部分即可.

【詳解】（1）解：原式=6-1+1+4-△=4；

（2）解不等式①，得：x<1,

解不等式②，得：x>-l,

回不等式組的解集為

【點睛】本題考查了絕對值的意義、零指數累、負整數指數幕的運算法則、特殊角的三角函數值以求解不

等式組的解集的知識，熟記特殊角的三角函數值是解答本題的關鍵.

36.（2022?四川廣安）計算：（屈一1）°+2—2|+2COS30。—（；）

【答案】0

【分析】根據零指數累、絕對值的意義、特殊角的三角函數值、負整數指數幕，二次根式的加減運算進行

計算，即可得到答案.

【詳解】解：（而卜2cos30。-'）

=l+2-V3+2x--3

2

=0;

【點睛】本題考查了零指數塞、絕對值的意義、特殊角的三角函數值、負整數指數塞，二次根式的加減運

算，解題的關鍵是掌握運算法則，正確的進行計算.

37.（2022,四川內江）（1）計算：—A/8+|（——））|—2cos45；

（2）先化簡，再求值：（7TJ+）+1也，其中a=-#,,6=6+4.

b-ab+ab-a

11

【答案】（1）2；（2）--，-

b+a4

【分析】（1）首先代入特殊角的三角函數值，進行乘方、絕對值運算，再進行乘法和加法運算;

（2）首先把分式化簡，再代入。和6的值計算.

【詳解】解：（1）原式=1x20+2—2x變

22

=72+2-72

b-ab-a

(2)原式=[。+〃）僅一〃）伍+〃)(/?-〃)]?7b