模型07動態平衡及極值問題

模型概述

1.動態平衡問題

動態平衡是指研究對象的某些參量在變化，如速度、受力狀態等，但是非常緩慢，可以看成平衡狀態,

因此題目中有關鍵詞「緩慢」、「輕輕地」等

(1)解析法,

①解題步驟:

a、對研究對象進行受力分析，畫出受力示意圖，根據物體的平衡條件，列平衡方程求出未知

量與已知量的關系表達式，得到因變量與自變量的函數表達式(通常為三角函數關系)。

b、根據已知量的變化情況確定未知量的變化情況.

(2)圖解法

①適用情況：物體只受三個力作用，且其中一個力的大小、方向均不變，另一個

力的方向不變，第三個力大小、方向均變化.

②解題步驟:

a、對研究的對象進行受力分析

b、畫出受力分析的平行四邊形或者頭尾相連的三角形

c、找出一個大小方向都不變的力，找出一個方向不變的力，結合平

行四邊形各邊或者角度的變化確定力的大小及方向的變化情況

(3)相似三角形法

①適用情況：在物體所受的三個力中，一個力是恒力，大小、方向均不變,另外兩個力是變力，大

小、方向均改變，且方向不總是相互垂直，通過相似，轉移力三角形到結構三角形中求解.

②解題步驟:

a、對物體受力分析

b、若處于平衡狀態且受三個力，構成首尾相接的力學三角形

c、尋找與力學三角形相似的幾何三角形

d、根據幾何三角形長度及夾角的變化判斷力的大小和方向的變

化

2.臨界及極值問題

（1）臨界問題:當某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化,從而使物體所處的平衡狀態“恰好出現”

或“恰好不出現”，在問題的描述中常用“剛好”“剛能”“恰好”等語言敘述.

臨界問題常見的種類：

①由靜止到運動，摩擦力達到最大靜摩擦力.

②繩子恰好繃緊，拉力F=0.

③剛好離開接觸面，支持力FN=O.

（2）極值問題:平衡物體的極值，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題.

（3）解決極值問題和臨界問題的方法

①極限法:首先要正確地進行受力分析和變化過程分析，找出平衡的臨界點和極值點;臨界條件必須

在變化中去尋找，不能停留在一個狀態來研究臨界問題,而要把某個物理量推向極端，即極大和極小.

②數學分析法:通過對問題的分析，依據物體的平衡條件寫出物理量之間的函數關系（畫出函數圖像）,

用數學方法求極值（如求二次函數極值、三角函數極值）.

③物理分析方法:根據物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定

則進行動態分析，確定最大值與最小值.

a、若已知尸備的方向、大小及一個分力E的方向，則另一個分力仍取最小值的條件為尸2,尸1；

b、若已知產合的方向及一個分力尸1的大小、方向，則另一個分力尸2取最小值的條件為尸2人廠3

典題攻破

1.動態平衡問題

【典型題1】（2024?廣西貴港?模擬預測）有一上表面光滑、下表面粗糙的半圓柱體放在粗糙的水平地面上，

其橫截面如圖所示，質量為m的光滑小球（可視為質點）在F的作用下靜止在半圓柱體表面上A點，A

點與截面圓心O連線與水平面成30。角，現將F由水平方向逆時針緩慢旋轉至豎直向上，半圓柱體和小

球始終保持靜止狀態，重力加速度為g,在此過程中，下列說法錯誤的是（）

A.尸先變小后變大

B.半圓柱體對小球的支持力保持不變

C.地面對半圓柱體的摩擦力一直變小

D.尸的最大值為百加g

【答案】B

【詳解】A.小球受力分析，作出其受力的矢量動態三角形，如圖所示

N

可知，當F逆時針緩慢旋轉至豎直向上口寸，F先變小后變大，故A正確，不符合題意；

D.結合上述可知，開始時水平方向的F最大，最大值為=故D為正確，不符合題意；

tan30

B.結合上述，根據矢量動態三角形可知，當F逆時針緩慢旋轉至豎直向上時，半圓柱體對小球的支持

力練逐漸減小，故B錯誤，符合題意；

C.把小球和半圓柱體看作一個整體，則在水平方向地面對半圓柱體的靜摩擦力等于F的水平方向的分

力，令F與水平方向的夾角為。，根據上述矢量三角形可知，F水平方向的分力尸cos。，即F在水平方

向上的投影長度一直變小，則地面對半圓柱體的靜摩擦力f=尸cos。一直變小，故C正確，不符合題意。

故選B。

【典型題2】（22-23高三下?江蘇?階段練習）如圖所示，一輕繩通過無摩擦的小定滑輪O與拖車相連，另一

端與河中的小船連接，定滑輪與拖車之間的連繩保持水平，小船與拖車的運動在同一豎直平面內，拖車

沿平直路面水平向右運動帶動小船，使小船以速度v沿水面向右勻速運動，若船在水面上運動受到的阻

力保持不變.則在上述運動過程中（）

A.當拉船的輕繩與水平面的夾角為。時，拖車運動的速度為vsin。

B.小船受到繩的拉力不斷減小

C.小船受到繩的拉力的功率不斷增大

D.拖車的動能不斷減小

【答案】D

【詳解】AD.船的速度沿繩方向的分數與拖車速度相等，拖車運動的速度為v'=vcos。

。增大時，拖車速度減小，拖車動能減小，A錯誤，D正確；

B.由平衡條件/=Fcos6

可知，。增大時，繩拉力增大，B錯誤；

C.小船做勻速運動，受到繩的拉力的功率等于克服阻力做功的功率，保持不變，C錯誤。

故選D。

2.臨界及極值問題

【典型題3】（23-24高三上?山東青島?階段練習）（多選）質量為M的木楔傾角。為37。，在水平面上保持靜

止。當將一質量為m的木塊放在木楔斜面上時，它正好勻速下滑。如圖所示，當用與木楔斜面成a角的

力F拉木塊，木塊勻速上升（已知木楔在整個過程中始終靜止）。可取sin37o=0.6。下列說法正確的有（）

A.物塊與斜面間的動摩擦因數為0.75

B.當a=37。時尸有最小值

C.當a=30。時/有最小值

D.F的最小值為0.96mg

【答案】ABD

【詳解】A.物塊勻速下滑時，有加gsin37。=〃加geos37。

解得〃=0.75

A正確；

BCD.物塊勻速上升時，Fcosa=mgsin9+//(mgcos0-Fsina)

mgsin20

整理得尸=

cos(0-a)

可知，當a=。=37。時F有最小值，最小值為尸=0.96根g

BD正確，C錯誤。

故選ABD-

1.（2024?湖北黃岡?模擬預測）如圖所示，用一根輕質細繩將一重力大小為10N的相框對稱地懸掛在墻壁

上，畫框上兩個掛釘間的距離為0.5m。已知繩能承受的最大張力為10N,為使繩不斷裂，繩子的最短

長度為（）

A.0.5mB.1.0m

【詳解】畫框受力分析如圖

受到重力mg和兩個大小相等的細繩拉力F的作用而處于靜止狀態，當尸=4mx=10N

對應于細繩不被拉斷的最小長度乙作細繩拉力的合力尸G，如上圖，由平衡條件得”=10N

r_Lo_0.5_V3

所以兩繩拉力的夾角是120。，繩子的最小長度”"而而"耳二？111

故選C。

2.（23-24高一上?云南曲靖?階段練習）如圖所示，能承受最大拉力為10N的細線OA與豎直方向成45。角,

能承受最大拉力為5N的細線OB水平，細線OC能承受足夠大的拉力，為使OA,OB均不被拉斷，OC

下端所懸掛物體的最大重力是（）

A

A.15N

B.ION

C.5N

D.5V2N

【答案】C

【詳解】以。點為對象，根據受力平衡可得

%cos45。后T0c=mg

TOAsm45°=TOB

可得&=亞mg,TOB=mg

可知當所懸掛物體的重力達到5N時，此時@=5N,&=5瓜＜10N

為使OA,OB均不被拉斷，OC下端所懸掛物體的最大重力是5N。

故選C。

3.（23-24高三上?新疆烏魯木齊?階段練習）如圖是15kg的正棱臺形金磚，a、b側面與底面的夾角為78.5。。

某大力士可用單手的食指和拇指按住金磚的a、b面，保持c面水平將其提起。已知手指與金磚之間的動

摩擦因數為0.5,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，sin78.5W0.98,cos78.5o=0.2,g取lOm/s?。提起金磚,

手指施加給金磚單側的壓力至少為（)

A.150NB.259NC.300ND.518N

【答案】B

【詳解】對金塊受力分析如圖所示

由平衡條件可得2/sin78.5°=mg+2Fcos78.5°

又/=〃尸

聯立解得手指施加給金礦單側的壓力至少為尸2259N

故選B。

4.（23-24高一上?遼寧?階段練習）筷子是中華飲食文化的標志之一，我國著名物理學家李政道曾夸贊說：“筷

子如此簡單的兩根木頭，卻精妙絕倫地應用了物理學杠桿原理。”如圖所示，用筷子夾住質量為m的小

球，兩根筷子均在豎直平面內，且小球靜止，筷子和豎直方向的夾角均為9。已知小球與筷子之間的動

摩擦因數為設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g。下列說法正確的是（）

A.小球受到3個力作用

B.當。增大時，筷子對小球的作用力增大

C.當。減小時，筷子對小球的作用力減小

一mg

D.使小球不掉落，筷子對小球的最小壓力是2（〃cos；-sin。）

【答案】D

【詳解】A.小球受到重力，兩根筷子的壓力，兩根筷子的摩擦力，共5個力作用，故A錯誤；

BC.無論。增大還是減小，只要小球不掉下來，筷子對小球的作用力，一定與重力等大反向，故BC錯

誤；

D.小球的受力如圖所示

mg

筷子對小球的壓力最小時，小球受到的摩擦力等于最大靜摩擦力，由平衡條件，得

mg+22^insin0=2fcosO

/=〃心

lmg

由兩式解得/n=2(〃C0S”siM

故D正確。

故選D。

5.(23-24高一上?重慶渝中?期中)如圖所示，物體所受重力為40N,用細繩0C懸于0點，繩0C所能承

受的取大拉力為50N。現用細繩AB綁住繩0C的A點，再用緩慢增大的水平力牽引A點，當0A段剛

好被拉斷時，以下說法正確的是()

〃//〃///

A.細繩上的拉力為50N

B.細繩48上的拉力為30N

C.此時OA繩與初始位置的夾角為45°

D.此時。/繩與初始位置的夾角為53。

【答案】B

【詳解】設。4段繩與豎直方向夾角為則根據結點A處于動態平衡狀態對結點A受力分析得三段繩

CC=G=40N，

上的力%、FAB、心分別為工%=餐，FAB=FACtan0

cost/

4

段剛被拉斷時%=50N,貝ljcos0=m，即6=37°。此時工呂=工＜?tand=30N

故選Bo

6.（22-23高一上?江蘇無錫?期中）汽車45。極限爬坡時的照片如圖所示，汽車緩慢逐步沿斜坡攀爬，坡的

傾角逐漸增大至45。。下列關于汽車在這一爬坡過程的說法正確的是（）

A.汽車受到沿坡面向上、大小不斷增大的靜摩擦力作用

B.汽車受到沿坡面向下、大小不斷減小的滑動摩擦力作用

C.坡的傾角越大，汽車對坡面的壓力也越大

D.汽車上坡時，汽車對坡面的壓力大于坡面對汽車的支持力

【答案】A

【詳解】AB.對汽車進行受力分析，汽車受到重力mg、坡面的支持FN力以及沿坡面向上的摩擦力f,

因為汽車輪胎在滾動，滾動的過程中汽車輪胎上各點相對坡面具有相對運動的趨勢，所以汽車受到的摩

擦力為靜摩擦力。由于汽車緩慢攀爬，所以汽車處于平衡狀態。設坡面的傾角為則有然=7〃gCOS。，

f=mgsin3

坡的傾角逐漸增大，汽車受到的沿坡面向上的靜摩擦力大小不斷增大。故A正確；B錯誤；

C.同理，坡的傾角越大，坡面對汽車的支持力越小，根據牛頓第三定律，汽車對坡面的壓力也越小。

故C錯誤；

D.根據牛頓第三定律，汽車對坡面的壓力等于坡面對汽車的支持力。故D錯誤。

故選Ao

7.（23-24高一上?江蘇無錫?期中）如圖所示，固定有光滑豎直桿的三角形斜劈放置在水平地面上，放置于

斜劈上的光滑小球與套在豎直桿上的小滑塊用輕繩連接，開始時輕繩與斜劈平行。現給小滑塊施加一個

豎直向上的拉力F,使小滑塊沿桿緩慢上升，整個過程中小球始終未脫離斜劈，則（）

A.小球對斜劈的壓力先減小后增大

B.豎直向上的拉力尸先增大后減小

C.斜劈對地面的壓力逐漸減小

D.斜劈對地面的摩擦力逐漸減小

【答案】C

【詳解】A.對小球受力分析，受重力、支持力和輕繩的拉力，如圖所示

為使小滑塊沿桿緩慢上升，根據平衡條件可知，輕繩的拉力T增加，支持力N減小，根據牛頓第三定律,

球對斜劈的壓力也減小，故A錯誤；

BCD.以球和滑塊為整體，進行受力分析可知，受重力、斜劈的支持力N,豎直桿的彈力N，，拉力F,

如圖所示

在豎直方向，根據平衡條件可得尸+Ncos8=

由于N減小，故F增大；

再以小球、滑塊和斜劈為整體，進行受力分析，在豎直方向，根據平衡條件有心=G總-尸

由于F增大，則FN減小，根據牛頓第三定律可知斜劈的對地面壓力減小；整體在水平方向不受力，故

地面對斜劈的摩擦力始終為零，保持不變，故BD錯誤，C正確。

故選C。

8.（20-21高二下?上海?期末）（多選）如圖所示，斜面上固定有一與斜面垂直的擋板，另有一截面為;圓的

光滑柱狀物體甲放置于斜面上，半徑與甲相同的光滑球乙被夾在甲與擋板之間，沒有與斜面接觸而處于

靜止狀態。現在從球心O處對甲施加一平行于斜面向下的力F,使甲沿斜面方向緩慢向下移動。設乙對

擋板的壓力大小為F1,甲對斜面的壓力大小為F2,在此過程中下列說法錯誤的是（）

A.B緩慢增大，入緩慢增大B.E緩慢增大，B緩慢減小

C.B緩慢減小，B緩慢增大D.b/緩慢減小，仍保持不變

【答案】ABC

【詳解】對乙球受力分析，受重力機g、甲對乙的支持力V和擋板的支持力抽，如圖所示

乙球的重力不變，擋板的支持力生方向不變，根據平行四邊形定則可知甲對乙的支持力乂先減小后增

大，擋板的支持力孤逐漸減小，即F1緩慢減小，再對甲與乙整體受力分析，受到推力、重力、斜面的

設斜面的傾角為。，根據共點力平衡有M=（M+m）gcos。

故斜面對甲的支持力不變，根據牛頓第三定律，可知F2保持不變。

本題選錯誤的，故選ABC。

9.（2024?河北邯鄲?三模）（多選）放風箏是春天時大人、小孩都愛玩的一項活動。有一個小朋友將一只風

箏放飛到空中后，當他緩慢的釋放拉線，風箏越飛越高，先后經過同一豎直面的a、b兩點，如圖所示。

風箏所受風力方向不變，拉線的質量不計，風箏受到的重力不可忽略但浮力不計，小孩受到的風力不計,

拉線始終處于繃緊狀態，則前后兩個位置相比（）

A.拉線的張力減小B.風對風箏的作用力增加

C.小孩對地面的壓力變大D.小孩對地面的摩擦力變大

【答案】AC

【詳解】AB.風箏受力情況如圖所示

則風箏從a點到b點時，拉線的張力減小，風對風箏的作用力減小，故A正確，B錯誤；

C.根據牛頓第三定律可得小孩對地面的壓力為N=A^-Tsind

其中0是拉線與水平方向的夾角，因為T和9均減小，可知N變大，小孩對地面的壓力變大，故C正確;

D.對小孩和風箏的整體分析，水平方向/=尸（：05。

其中a是風力與水平方向的夾角，則因為a不變，F減小，則f減小，故D錯誤。

故選AC。

10.（23-24高三下?云南昆明?階段練習）如圖所示，學校門口水平地面上有一質量為m的石墩，石墩與水

平地面間的動摩擦因數為"，工作人員用輕繩按圖示方式在水平地面上勻速移動石墩時，兩平行輕繩

3

與水平面間的夾角均為8,不計繩與石墩之間的摩擦。則下列說法正確的是（）

A.輕繩的合拉力大小為Ki邈

3cos。

B.輕繩的合拉力最小值為0.5冽g

C.輕繩的合拉力最小時，6=60。

D.輕繩的合拉力最小時，地面對石墩的摩擦力最小

【答案】B

【詳解】A.令輕繩的合拉力大小為T,地面對石墩支持力大小為N,對石墩進行分析，根據平衡條件有

Tcos0=/nN,Tsin3+N=mg

解得——四竿—

3cos。+sin0

故A錯誤；

BC.結合上述，令y=3cos6+6sin。=2>/5（sin60cos0+cos60sin@=?3si《60+'

可知，當6=30°時，解得電=0.5mg

故B正確，C錯誤；

D.結合上述可知，地面對石墩的摩擦力/=〃N=〃陪

V3cos^+sm0j3+tan。

可知，摩擦力隨。的增大而減小，結合上述，輕繩的合拉力最小時，6=30°，此時地面對石墩的摩擦力

并不是最小，故D錯誤。

故選Bo

11.（23-24高二下?浙江寧波?期末）如圖，傾角為30。的斜面靜置于粗糙水平面。物塊A由一輕繩與小球B

相連，輕繩跨過光滑定滑輪，。點為輕繩與定滑輪的接觸點。初始時小球B受到水平向右的拉力F,輕

繩0B段與F的夾角0=120。，整個系統處于靜止狀態。現改變拉力F,將小球向右上方緩慢拉起，并保

持夾角。不變。從初始狀態到輕繩OB段水平的過程中，斜面與物塊A均保持靜止，則在此過程中（）

A.拉力廠先增大后減小

B.輕繩03段的張力先增大后減小

C.地面對斜面的支持力逐漸增大

D.地面對斜面的摩擦力先增大后減小

【答案】D

【詳解】AB.小球B受重力mg、輕繩0B的拉力耳和拉力F,由題意可知，三個力的合力始終為零,

矢量三角形如圖所示

在用轉至水平的過程中，輕繩0B的拉力工逐漸減小，拉力F逐漸增大，故AB錯誤；

CD.整體（含斜面體，物塊A和小球B）受向下的重力、向上的支持力、向左的摩擦力以及拉力四個力

的作用，根據對小球的受力分析可知，拉力F的豎直方向分力逐漸增大，水平方向分力先增大后減小（矢

量三角形中力F邊在水平方向的分量在力F邊逆時針轉動過程中，先增大后減小），所以地面對斜面體

的支持力逐漸減小，地面對斜面體的摩擦力先增大后減小，故C錯誤，D正確。

故選D。

12.（23-24高二下?重慶渝中?期末）（多選）如圖所示，傾角為30。、質量"=4kg的斜面體C置于粗糙水

平地面上，小物塊B放在粗糙斜面上，質量機=3kg,連接B的輕繩與斜面平行，輕繩跨過光滑輕質小

滑輪。與質量為根A=1kg的物塊A相連。開始時A靜止在滑輪正下方，現對A施加一個拉力F使A緩

慢移動，F與連接A的輕繩OA的夾角始終保持120。，直至輕繩OA水平。此過程中B、C始終保持靜

止狀態。g取lOm/s?,貝U（）

A.開始時，B所受摩擦力大小為5N

B.0/水平時，輕繩拉力為

C.0/水平時，地面對C的支持力為70-N

D.A緩慢移動過程中，輕繩拉力的最大值為1106N

【答案】AC

【詳解】A.開始時，對B受力分析知，受重力、拉力、支持力、摩擦力合力為零，拉力為7=也^

B所受摩擦力大小為A=mgsin30°-T

聯立解得7B=5N

故A正確；

B.OA水平時，物塊A的受力示意圖如圖

有片2=冽Agtan30°

解得耳”N

故B錯誤;

C.OA水平時，以BC作為整體，其受力示意圖如圖

''（〃加+A，/）

有然=（%+〃）g-42sin30°

解得穌=70-%8N

N3

故c正確；

D.物塊A在重力、拉力F和細繩張力FT作用下始終處于平衡狀態，所以三個力的合力等于零，根據

三角形法則，這三個力通過平行移動可以構成一個閉合的矢量三角形，如圖所示

在\PMN,其中MN對應重力，NP對應拉力F,PM對應細繩張力FT,拉力F與細繩張力FT之間的夾

角保持120。不變，即保持60。不變，滿足此關系的幾何圖形是的外接圓，P為動點，當P移動到

P1點時經過圓直徑，這時PM對應細繩張力FT最大，有工皿=/&=也8"

Tmaxsin60°3

故D錯誤。

故選AC。

13.(24-25高一?全國?課堂例題)生活中常用一根水平繩拉著懸吊重物的繩索來改變或固定懸吊物的位置。

如圖所示，懸吊重物的細繩，其O點被一水平繩BO牽引，使懸繩AO段和豎直方向成9角。若懸吊物所

受的重力為G,貝1J：

(1)懸繩AO和水平繩BO上的拉力各等于多少？

(2)若保持。點不動，緩慢向上轉動2。繩，直到豎直方向，兩條繩中的拉力大小如何變化？

(3)若保持NNO3不變，逆時針緩慢轉動兩繩，直到BO繩豎直的過程中，兩條繩中的拉力大小如何變化?

【答案】⑴&=二，"Gtan。

COS”

(2)A0拉力一直減小，B0拉力先減小后增大

（3）A0拉力一直減小，BO拉力先增大后減小

【詳解】（1）以。點為對象，根據受力平衡可得A°cos6=G,TAOsin0=T3O

解得乙。=一二，7；o=Gtane

COS”

（2）根據題意，對結點。受力分析，保持0點不動，緩慢向上轉動B0繩，直到豎直方向，如圖所示