等腰三角形與直角三角形（含勾股定理）（24題）

一、單選題

1.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，在中，。是NC的中點(diǎn)，CE工AB,BD與CE交于點(diǎn)、O,且

BE=CD.下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.2。的垂直平分線一定與42相交于點(diǎn)E

B.NBDC=3NABD

C.當(dāng)￡為中點(diǎn)時(shí)，“8C是等邊三角形

ca

D.當(dāng)E為48中點(diǎn)時(shí)，產(chǎn)二=1

^^AEC4

2.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，圖1是北京國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，它取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽

的“弦圖”，是由四個(gè)全等的直角三角形拼成.若圖1中大正方形的面積為24,小正方形的面積為4,現(xiàn)將

這四個(gè)直角三角形拼成圖2,則圖2中大正方形的面積為（）

1

3.（2024?四川巴中?中考真題）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問：水深

幾何？”這是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的“葭生池中”問題.即/C=5,DC=\,BD=BA,則8C=（）

4.（2024?四川廣元?中考真題）如圖①，在中，//C8=90。，點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)沿以lcm/s

的速度勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)8,圖②是點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，尸的面積y（cn?）隨時(shí)間x（s）變化的函數(shù)圖象，則該

三角形的斜邊的長(zhǎng)為（）

A.5B.7C.3亞D.2月

5.（2024?四川南充?中考真題）如圖，已知線段48,按以下步驟作圖：①過點(diǎn)3作3cl43,使

BC=；AB,連接NC；②以點(diǎn)C為圓心，以5c長(zhǎng)為半徑畫弧，交/C于點(diǎn)。；③以點(diǎn)/為圓心，以NO

長(zhǎng)為半徑畫弧，交48于點(diǎn)￡.若AE=mAB,則加的值為（）

A.B.JlzlC.V5-1D.V5-2

22

6.（2024?山東泰安?中考真題）如圖，RtZX/BC中，ZABC=90°,分別以頂點(diǎn)4,C為圓心，大于1/C

的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)/和點(diǎn)N,作直線分別與8C,4C交于點(diǎn)E和點(diǎn)尸；以點(diǎn)/為

圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交48,/C于點(diǎn)a和點(diǎn)G,再分別以點(diǎn)〃，點(diǎn)G為圓心，大于;HG的長(zhǎng)

為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線北，若射線蟲恰好經(jīng)過點(diǎn)E,則下列四個(gè)結(jié)論:

2

?ZC=30°；②個(gè)垂直平分線段防；③CE=2BE；④工的=4取48c?

O

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）

2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

7.（2024?山東煙臺(tái)?中考真題）某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動(dòng)，各組展示作圖痕跡如下,

二、填空題

8.（2024?遼寧?中考真題）如圖，四邊形/BCD中，AD//BC,AD>AB,AD=a,48=10.以點(diǎn)A為

圓心，以48長(zhǎng)為半徑作圖，與8c相交于點(diǎn)E,連接以點(diǎn)E為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別與

EA,EC相交于點(diǎn)N,再分別以點(diǎn)N為圓心，大于;"N的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在/ZEC的內(nèi)

部相交于點(diǎn)P,作射線耳，與工。相交于點(diǎn)尸，則尸。的長(zhǎng)為（用含”的代數(shù)式表示）.

9.（2024?吉林?中考真題）圖①中有一首古算詩，根據(jù)詩中的描述可以計(jì)算出紅蓮所在位置的湖水深度，

其示意圖如圖②，其中48=48、于點(diǎn)C,3C=0.5尺，B'C=2尺.設(shè)/C的長(zhǎng)度為x尺，可

列方程為.

3

,______________________Q

T詩文：波平如鏡一湖面，半尺高

處生紅蓮，亭亭多姿湖中立，突

遭狂風(fēng)吹一邊。離開原處二尺

遠(yuǎn)，花貼湖面象睡蓮。.

圖①圖②

10.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖①，直角三角形的兩個(gè)銳角分別是40。和50。，其三邊上分別有一

個(gè)正方形.執(zhí)行下面的操作：由兩個(gè)小正方形向外分別作銳角為40。和50。的直角三角形，再分別以所得到

的直角三角形的直角邊為邊長(zhǎng)作正方形.圖②是1次操作后的圖形.圖③是重復(fù)上述步驟若干次后得到

的圖形，人們把它稱為“畢達(dá)哥拉斯樹”.若圖①中的直角三角形斜邊長(zhǎng)為2,則10次操作后圖形中所有正

方形的面積和為.

圖①圖②圖③

11.（2024?甘肅蘭州?中考真題）如圖，四邊形/5CD為正方形，△4DE為等邊三角形，EFLAB于點(diǎn)F,

若/。=4,貝1」石尸=

12.（2024?四川資陽?中考真題）如圖，在矩形/BCD中，AB=4,AD=2.以點(diǎn)A為圓心，ND長(zhǎng)為半

徑作弧交于點(diǎn)E,再以N8為直徑作半圓，與應(yīng)交于點(diǎn)尸，則圖中陰影部分的面積為.

4

13.（2024?四川雅安?中考真題）如圖，在“3C和△4DE中，AB=AC,ZBAC-ZDAE=40°,將△4DE

繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)4。18c時(shí)，/R4E的度數(shù)是.

14.（2024?江蘇常州?中考真題）如圖，在中，/4CB=90。,AC=6,2c=4,。是邊/C的中

點(diǎn)，E是邊BC上一點(diǎn),連接AD、DE.將ACDE沿OE翻折，點(diǎn)C落在AD上的點(diǎn)尸處，則CE=.

15.（2024?山東濰坊?中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等邊三角形N3C的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,點(diǎn)反C

均在x軸上.將&4BC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△/3'C',則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

16.（2024?四川遂寧?中考真題）如圖，在正方形紙片/BCD中，E是42邊的中點(diǎn)，將正方形紙片沿EC

折疊，點(diǎn)5落在點(diǎn)尸處，延長(zhǎng)。尸交4D于點(diǎn)。，連結(jié)"并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)尸.給出以下結(jié)論：①AAEP

為等腰三角形；②尸為8的中點(diǎn)；③“尸:尸尸=2:3；@cosZDCQ=~.其中正確結(jié)論是.（填序

號(hào)）

5

三、解答題

17.(2024?江蘇常州?中考真題)如圖，B、E、C、尸是直線/上的四點(diǎn)，AC、DE相交于點(diǎn)G,AB=DF,

AC=DE,BC=EF.

(2)連接AD,則40與/的位置關(guān)系是

18.(2024?湖南長(zhǎng)沙?中考真題)如圖，在RQ48C中，ZACB=9Q0,48=2石，AC=2,分別以點(diǎn)力,

2為圓心，大于:的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)M和N,作直線分別交/A8c于點(diǎn)。，E,

連接CDAE.

(1)求CO的長(zhǎng)；

⑵求A/C￡的周長(zhǎng).

6

19.（2024?湖南長(zhǎng)沙?中考真題）如圖，點(diǎn)C在線段AD上，AB=AD,NB=ND,BC=DE.

D

（1）求證：△/BC0△/￡>￡；

⑵若4/C=60。，求//CE的度數(shù).

2

20.（2024?青海?中考真題）（1）解一元二次方程：x-4x+3=0；

（2）若直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是（1）中方程的根，求第三邊的長(zhǎng).

7

21.（2024?甘肅蘭州?中考真題）觀察發(fā)現(xiàn)：勞動(dòng)人民在生產(chǎn)生活中創(chuàng)造了很多取材簡(jiǎn)單又便于操作的方法,

正如木匠劉師傅的“木條畫直角法”，如圖1,他用木條能快速畫出一個(gè)以點(diǎn)/為頂點(diǎn)的直角，具體作法如

下：

①本條的兩端分別記為點(diǎn)N,先將木條的端點(diǎn)M與點(diǎn)/重合，任意擺放木條后，另一個(gè)端點(diǎn)N的位

置記為點(diǎn)8,連接42；

②木條的端點(diǎn)N固定在點(diǎn)2處，將木條繞點(diǎn)5順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，端點(diǎn)M的落點(diǎn)記為點(diǎn)C（點(diǎn)

B,C不在同一條直線上）；

③連接C3并延長(zhǎng)，將木條沿點(diǎn)C到點(diǎn)3的方向平移，使得端點(diǎn)〃與點(diǎn)5重合，端點(diǎn)N在C5延長(zhǎng)線上的

落點(diǎn)記為點(diǎn)D；

④用另一根足夠長(zhǎng)的木條畫線，連接AC,則畫出的/DNC是直角.

操作體驗(yàn)：（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”中的信息重現(xiàn)劉師傅的畫法，如圖2,BA=BC,請(qǐng)畫出以點(diǎn)N為頂點(diǎn)的

直角，記作/D/C；

推理論證：（2）如圖1,小亮嘗試揭示此操作的數(shù)學(xué)原理，請(qǐng)你補(bǔ)全括號(hào)里的證明依據(jù)：

證明：;AB=BC=BD,

:.AABC與AABD是等腰三角形.

ZBCA=ZBAC,ZBDA=ZBAD.（依據(jù)1）

NBCA+ABDA=ABAC+ABAD=ADAC.

ADAC+NBCA+ABDA=180°,（依據(jù)2）

:.2ZDAC=180°,

ADAC=90°.

依據(jù)1：;依據(jù)2：；

拓展探究：（3）小亮進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時(shí)學(xué)習(xí)的尺規(guī)作圖的方法

可以減少誤差.如圖3,點(diǎn)O在直線/上，請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖3中作出一個(gè)以。為頂點(diǎn)的直角，

記作NPO。，使得直角邊。尸（或在直線/上.（保留作圖痕跡，不寫作法）

8

A

圖2

22.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，點(diǎn)。、￡分別是等邊三角形力3C邊3C、/C上的點(diǎn)，且BD=CE,

BE與AD交于點(diǎn)F.求證：AD=BE.

23.（2024?山東泰安?中考真題）如圖1,在等腰Rt4/BC中，ZABC=90°,AB=CB,點(diǎn)。，￡分別在

AB,C8上，DB=EB,連接NE,CD,取4E1中點(diǎn)尸，連接叱.

D