北師大版初中數學全部公式整理

專題01有理數

1、有理數的基本概念

(1)正數和負數

定義：大于0的數叫做正數。在正數前加上符號(負)的數.叫做負數。

0既不是正數，也不是負數。

⑵有理數

正整數、0、負整數統稱整數。正分數、負分數統稱分數。整數和分數統稱為有理數。

2、數軸

規定了息息、正方向定單位長度的直線叫做數軸。

3、相反數

代數定義：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。

幾何定義：在數軸上原點的兩旁，離開原點距離相等的兩個點所表示的數，叫做互為相.反

數。

一般地，。和卬互為相反數。0的相反數是0。

〃二所表示的意義是：一個數和它的相反數相等。很顯然，。二0。

4、絕對值

定義：一般地，數軸上表示數口的點與原點的距離叫做數。的絕對值，記作同。

一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0。

即：如果。>0,那么|。|二

如果4=0,那么同=0；

如果4<0,那么|。|二-〃0

〃二間所表示的意義是：一個數和它的絕對值相等。很顯然，a>0o

5、倒數

定義：乘積是1的兩個數互為倒數。即：如果〃與〃互為倒數，則有反之亦成立。

°=所表示的意義是：一個數和它的倒數相等。很顯然，a=±\

ao

6、數的大小比較

法則：正數大于0,0大于負數，正數大于負數；兩個負數，絕對值大的反而小。

7、乘方

定義：求〃個相同因數的積的運算，叫做乘方。乘方的結果叫做累。

如：優=”讀作〃的幾次方（幕），在a"中，。叫做底數，〃叫做指.數。

〃個。

性質：負數的奇次幕是負數，負數的偶次幕是正數；正數的任何次幕都是正數；0的任何

正整數次幕都是0。

8、科學記數法

定義：把.一個大于10的數表示成。xl0”的形式（其中。大于或等于1且小于10,〃是正整

數），這種記數方法叫做科學記數法。小于-10的數也可以類似表示。

用科學記數法表示一個絕對值大于10的數時，）是原數的整數數位減1得到的正整數。

懸°的數為止的數的個數。

9、近似數

一般地,一個近似數四舍五入到哪一位，就說這個數近似到哪一位，也叫做精確到哪一位。

精確到十分位一精確到0.1；精確到百分位.一精確到0.01；…。

10、有理數的加法

加法法則：同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不相等的異號兩數相

加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數的兩個

數相加得0;一個數同0相加，仍得這個數。

加法運算律：①交換律a+b=b+a,②結合律（。+與+c=a+S+c）。

11、有理數的減法

減法法則：減去一個數，等于加這個數的相反數。即：a-b=a^b）o

12、有理數的乘法

乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。任何數與0相乘，都得0。

乘法運算律：①交換律而="；②結合律（"）c=〃Sc）;③分配律〃S+.c）=而+ac。

13、有理數的除法

除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數。即：a^b=a-

bQ

兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數都得0。

14、有理數的混合運算

混合運算的順序：①先乘方，再乘除，最后加減；.②同級運算，從左到右進行；③如有

括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行。

專題02實數

1、平方根

定”義1：一般地，如果一個正數X的平方等于小即丫二4,那么這個正數X叫做。的算術

平方根。。的算術平方根記作讀作“根號口”，〃叫做被開方數。即x=

規定：0的算術平方根是0。

定義2：一般地，如果一個數的平方等于小那么這個數叫做q的平方根或二次方根。即

如果那么x叫做〃的平方根。即x=土

定義3：求一個數。的平方根的,運算，叫做開平方。

壬數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0;負數沒有平方根。

2、立方根

定義：一般地，如果一個數的立方等于那么這個數叫做〃的立方根.或三次方根。即如

果丁=小那么x叫做a的立方根，記作蚣。即/二四。

求一個數的立方根的運算，叫做開立方。

壬數的立方根是正數；負數的立方根是負數；0的立方根是0。

3、無理數

無限不循環小數又叫做無理數。在理解無理數時，要抓住“無限不循環”這一實質，歸納起

來有四類：

(1)開方.開不盡的數，如非,尬等:

(2)有特定意義的數，如圓周率兀，或化簡后含有兀的數，如&+1等；

3

(3)有特定結構的數，如0.1010010001…等;

(4)某些三角函數，如sin60。等

4、實數

有理數和無理數統稱實數。即實數包括有理數和無理數。

備注：最小的正整數是1,最大的.負整數是-1,絕對值最小的數是0。

有理數關于相反數和絕對值的意義同群適合于實數。

5、實數的分類

分法一：

產有理數I有限小數或

「有理數“j無限循環小數

實數1I負有理數J

〔無理數｛數｝無限不循環小數

分法二：

正實數

實數，0

負實數

6、實數的比較大小

有理數的比較大小的法則在實數范圍內同樣適用。

(1)數軸比較：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。

(2)求差比較：設a、b是實數，

a-b>O<^>a>b,

a—b=O<->a=b,

a-h<O<^>a<b

(3)求商比較法：設a、b是兩正實數，—>1<^>a>b;—=\<=>a=b;—<\<^>a<b;

bbb

(4)絕對值比較法：設a、b是兩負實數，則網>碼0〃<6。

(5)平方法：設a、b是兩負實數，則從

備注：遇到有理數和帶根號的無理數比較大小時，讓“數全部回到根號下“，再比較大小。

7、實數的運算

在實數范圍內，可以■進行加、減、乘、,除、乘方及開方運算，而且有理數的運算法則和

運算律在實數范圍內仍然成立

1、力口法交換律.a+b=b+a

2^加法結合律(a+Z?)+c=a+S+c)

3、乘法交換律ah=ba

4、乘法結合律(ab)c=a(bc)

5、乘法對加法的分配律a(b+c)=ab+ac

6、實數的運算順序

先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。

實數范圍內混合運算的順序：①先乘方開方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行;

③如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行。

專題03整式

1、定義

(1)代數式：用運算符號把數或表示數的字母連接而成的式子叫做代數式。單獨的一個數

或一個字母也是代數式。

(2)單項式：用數或字母的乘積表示的式子叫做單項式。單獨的一個數或一個字母也是單

項式。

單項式中的數字因數叫做這個單項式的系數。一個單項式中，所有字母的指數的和,叫做這個單

項式的次數。

注意"單項式是由系數、字母、字母的指數構成的，其中系數不能用帶分數表示，如

3

這種表示就是錯誤的，應寫成-小〃%。一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式

3

的次數。如-5〃/2c是6次單項式

(3)多項式：幾個單項式的和叫做多項式。其中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母

的項叫做常數項。多項式里，次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數。

單項式與多項式統稱整式。［:學，科，網］

(4)同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項。

(5)合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項。

合并.同類項后，所得項的系數是合并前各同類項的系數的和，且字母連同它的指數不變。

2、整式的運算

(1)整式的加減：幾個整式相加減，如有括號就先去括號，然后再合并同類項。

去括號法則：同號得正，異號得負。即括號外的因數的符號決定了括號內的符號是否改變：

如果括號外的因數是正數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相同；

如果括號外的因數是負數，去括號后原括號內各項的符號與.原來的符號相反。

(2)整式的乘除運算

①同底數第的乘法：。加“〃二產+〃。.同底數察相乘，底數不變，指數相加。

②嘉的乘方累的乘方，底數不變，指數相乘

③積的乘方：積的乘方，等于把積?的每一個因式分別乘方，再把所得的累相

乘。

④單項式與單項式的乘法：單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數嘉分別相乘，對

于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。

⑤單項式與多項式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pco單項式與多項式相乘，就是用單項式去

乘多項式的每一項，再把所得的積相加。

⑥多項式與多項式的乘法：(o+〃)(p+q尸印+的+加+為。多項式與多項式相乘，先用一個多

項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

平方差公式：(〃+份(〃-份=。2.序。兩個數的和與這兩個數的差的積,等于這兩個數的平方差。

這個公式叫做平方差公式。

完全平方公式：5+32=/+2出^+從，g?b)2=a2.2ab+b2。兩個數的和(或差)的平方，等于它們

的平方和，加上(或減去)它們積的2倍。這兩個公式叫做完全平方公式。

⑦同底數塞的除法：十“〃二/乙同底數幕相除，底數不變，指數相減。

任何不等于0的數的0次基都等于lo

⑧單項式與單項式的除法：單項式相除，把系數與同底數嘉分別相除作為商的因式，對于

只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。.

⑨多項式除以單項式：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再

把所得的商相加。注：以上公式及法則在分式和二次根式的運算中同樣適用。

(3)添括號法則

同號得正，異號得負。即括號前的符號決定了括號內各項的符號是否改變：

如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；

如果括號前面是負號，括到括到里的各項都改變符號。［:學—科—網1

3、因式分解

定義：把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個多項式的因式

分解，也叫做把這個多項式分解因式。

以上公式都可以用來對多項式進行因式分解，因式分解的常用方法：

①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；

222222

②公式法：a-b=(a+b)(a-b)；cr^-lab+b^a+b)；a-2ab+b=(a-b)o

③分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)

④十字相乘法：a2+(p^+q)a+pjq=(a+p)(a+q)

因式分解的一般步驟：

(1)如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。

(2)在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數：2項式可以

嘗試運用公式法.分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及4項

式以上的可以嘗試分組分解法分解因式

（3）分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止。

專題04分式與二次根式

一、分式

1、分式的定義

一般地，如果A、8表示兩個整式，并且8