第16講等比數(shù)列

【人教A版2019】

符號(hào)在數(shù)列｛〃“｝中，如果S=q(〃N2,〃GN*)(或乎=q(〃GN*))(分0)成

語言

立，則稱數(shù)列｛〃.｝為等比數(shù)列，常數(shù)q稱為等比數(shù)列的公比

遞推

a”=a”1?于0,〃wN*,〃三2,0手0）或%十1=a”?q（qW0.￡N*,白豐0）

關(guān)系

2.等比中項(xiàng)

如果在。與6中間插入一個(gè)數(shù)G(G#)),使“,G力成等比數(shù)列，那么G叫做。與6的等比中項(xiàng).

若G是a與b的等比中項(xiàng)，則￡=與，所以G'ab,即G=±，茄.

aG

3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

若等比數(shù)列｛。“｝的首項(xiàng)為可，公比為q,則這個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是0,(小，#0).

4.等比數(shù)列的單調(diào)性

已知等比數(shù)列｛。”｝的首項(xiàng)為公比為分則

⑴當(dāng)卜〉?或，:時(shí)，等比數(shù)列｛a,｝為遞增數(shù)列；

q>l(J<q<1

(2)當(dāng),：或卜時(shí)，等比數(shù)列｛a"為遞減數(shù)列；

(3)當(dāng)q=l時(shí)，等比數(shù)列｛痣｝為常數(shù)歹!J(這個(gè)常數(shù)列中各項(xiàng)均不等于0)；

(4)當(dāng)q<0時(shí)，等比數(shù)列｛&｝為擺動(dòng)數(shù)歹取它所有的奇數(shù)項(xiàng)同號(hào)，所有的偶數(shù)項(xiàng)也同號(hào)，但是奇數(shù)項(xiàng)與偶

數(shù)項(xiàng)異號(hào)).

5.等比數(shù)列的性質(zhì)

設(shè)｛a“｝為等比數(shù)列，公比為°,則

(1)^m+n=p+q,m,n,p,qJN*,貝!Ja相。〃=。2%.

(2)若根兒pO幾pWN*)成等差數(shù)列，則%,即,。夕成等比數(shù)列.

(3)數(shù)列｛2為｝(丸為不等于零的常數(shù))仍是公比為q的等比數(shù)列；

數(shù)列｛—｝是公比為工的等比數(shù)列；

a?q

數(shù)列｛|a“|｝是公比為團(tuán)的等比數(shù)列；

若數(shù)列｛兒｝是公比為"的等比數(shù)列，則數(shù)列｛“-6”｝是公比為小丁的等比數(shù)列.

(4)在數(shù)列｛。“｝中，每隔加teN*)項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來的順序排列，所得數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為

qk+'.

(5)在數(shù)歹[]｛a"中，連續(xù)相鄰七項(xiàng)的和(或積)構(gòu)成公比為q*(或q2)的等比數(shù)列.

(6)若數(shù)列｛。“｝是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列｛log〃“｝(c>0且存1)是公差為log/的等差數(shù)列.

?題型歸納

【題型1等比數(shù)列的基本量的求解】

【例1.1](23-24高二下?四川攀枝花?期末)已知等比數(shù)列5｝滿足(15-。3=12,。6-。4=24,則首項(xiàng)的=

()

A.-64B.-C.1D.2

2

【解題思路】根據(jù)給定條件，列出關(guān)于的,q的方程組，再求解即得.

【解答過程】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,

22

4BfaiQ（Q-1）=12

由as—a3=12,a6—a4=24,32

^la1q（Q-1）=24

所以q=2,%=1.

故選：C.

【例1.2](23-24高二上?甘肅定西?階段練習(xí))己知數(shù)列｛時(shí)｝為等比數(shù)列，若。2/3=2的，且與2a7的等

差中項(xiàng)為￡則數(shù)列｛an｝的公比q=()

11

A.-B.2C.-D.4

24

【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)求出應(yīng)，再由等差中項(xiàng)的性質(zhì)求出的，從而求出公比.

a

【解答過程】等比數(shù)列｛an｝中w,。3=%.。4，又。2?3=2cl1，所以的?a4=2%,顯然的H0,

所以。4=2,又。4與2a7的等差中項(xiàng)為3所以+2。7=2即2+2(^=2x3

444

所以。7=；,貝叼3=匕=；,所以q=；.

4。482

故選：A.

【變式1.11(23-24高二上?山東聊城?期末)已知數(shù)列｛%J滿足an+i=2((1n+1),若的=78,則%=().

A.4B.3C.-D.2

2

【解題思路】由題意可得｛a九+2｝是公比為2的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可，

【解答過程】由冊(cè)+i=2(an+1)可得a九+i+2=2(an+2),

所以&喈=2,則｛a“+2｝是公比為2的等比數(shù)列，

a九十2

所以的+2=(%+2)-24=80,所以的=3.

故選：B.

【變式1.2](23-24高二下?黑龍江哈爾濱?開學(xué)考試)已知數(shù)列｛an｝為正項(xiàng)遞增等比數(shù)列，+a2+a3=y,

工+工+工則該等比數(shù)列的公比q=()

。2。36

A.2B.3C.4D.5

【解題思路】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求出。2,進(jìn)而可求出公比.

【解答過程】由題意的>0,q>1,

..,,211,1,17+2=dr+a+a

由+g+%=-9—I------1—二一23

2al股的6?2返

21

得急=（，所以。2=3（。2=-3舍去），

二匚.321015

所以Q]+03=/+o3q=——3=—

整理得2q2-5q+2=0,解得q=2（q=]舍去），

所以q=2.

故選：A.

【題型2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解】

【例2.1]（2024?全國?一模）等比數(shù)列｛an｝中,\a±\=1,a5=-8a2,a5<a2,貝服九=（）

A.（一2）九一1B.一（一2）九一1C.（-2）nD.-（-2）n

【解題思路】根據(jù)題意等比數(shù)列的性質(zhì)可得公比q=-2,且由劭可得的=-1，從而可求解.

【解答過程】由題意知數(shù)列｛時(shí)｝為等比數(shù)列，設(shè)公比為q,由的=-8。2,得的q3=-802,解得q=-2,

因?yàn)榧?VQiq,即16al<—2%,所以的V0,又因?yàn)閨%J=1,所以的=—1,

所以冊(cè)=aiqnT=-lx（-2）九t=一（一2尸一1,故B正確.

故選：B.

【例2.2]（23-24高二上?廣東深圳.期末）已知數(shù)列｛%J的前n項(xiàng)和為無,滿足%=|即—3,貝=（

nnnn

A.an=3B.an=2-3C.an=6-3D.ctn=6

【解題思路】利用冊(cè)=[求出為首項(xiàng)為6,公比為3的等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式.

9九3九—1，八N/

【解答過程】=|a九—3①中，當(dāng)九=1時(shí)，。1=|。1一3,解得的=6,

當(dāng)九22時(shí)，S九_(tái)1=|a九_(tái)1一3②，

式子①-②得，=|%1—即。九=3冊(cè)_1，

故匕九｝為首項(xiàng)為6,公比為3的等比數(shù)歹（J,

故即=6-3rlt=2?3縱

故選：B.

【變式2.1](23-24高二下?貴州貴陽?階段練習(xí))已知等比數(shù)列｛an｝的前“項(xiàng)和為Sn,且2Sn=3即+]-3.

(1)求｛5｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛S"的通項(xiàng)公式.

【解題思路】⑴利用即=[?結(jié)合題意可求出｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)利用2s九=3與+1-3結(jié)合(1)可求出土.

【解答過程】(1)解：由2szi=3冊(cè)+1—3,

當(dāng)九>2,2szi=3an—3,

兩式相減得：2an=3an+1-3an,

所以5an=3an+「所以臂1=|

等比數(shù)列｛即｝的公比為q=[,而由2S”=3an+1-3,

即2sl=3a2-3,

所以2al=3a也—3,代入q=|,則a[=1,

71—1

?■

71—1

,2S=3a-3,

?nn+1

所以2Sn=3x(§"—3,

所以％=|x(I)-|.

【變式2.2](23-24高二下.四川成都.期中)記外為數(shù)列5｝的前〃項(xiàng)和，且25n=3an-2n,nGN*.

(1)求的及數(shù)列｛a九｝的通項(xiàng)公式；

(2)若g=衛(wèi)匕，｛“｝前"項(xiàng)和為心，求7；的取值范圍.

anan+l

【解題思路】(1)由an，S”的關(guān)系，消去&得到an的遞推關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列即可得解;

(2)利用裂項(xiàng)相消法求出和，根據(jù)單調(diào)性分析范圍即可.

【解答過程】(1)由2Sn=3即一2也可得，2s1=3%-2,解得出=2,

當(dāng)n>2時(shí)，由2Sn=3an-2n可得2SnT=3%1T-2(n-1),

兩式相減可得2aji=3an-3an_r-2,即冊(cè)=3an_1+2,

可化為an+1=33n_i+1),

故數(shù)列｛的,+1｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列，

則a九+1=3%可得=3n—1.

O）rHL_2x3n_2X3___2_____________1

,田％=-+1=（3J）（3\+J）=3J-3九+1—1，

:匚1、1,_11,11,?11_11

所以*=5_金+目一焉+…+==

由e｝為遞增數(shù)列可知，Tn2T1=|，又，>0,所以〃<5

所以加的取值范圍為修彳）.

【題型3等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用】

【例3.1］（2024?甘肅隴南?一■模）已知數(shù)列｛廝｝為等比數(shù)列，a2++。6=8,工+工+工=2,貝!Ja4=（.）

CLCL

一a246

A.2V2B.±2V2

C.2D.±2

【解題思路】利用等比數(shù)列的性質(zhì)與通項(xiàng)公式即可得解.

【解答過程】因?yàn)椋矗秊榈缺葦?shù)列，則公比q#0,

所以a,—a2a6，又。2+。4+。6=8,

所以上+工+上=2+工+工=%土生+鋁=電+與

。2。4。6。2。6。4。2a6。4。4。4

=a?+；f%=1=2,解得。4=±2,

又g+。4+。6=。2（1+勺？+Q4）=8>0,TfUl+Q2+Q4>0恒成立，

所以。2>0,則北=a2q2>0,故。4=2.

故選：C.

【例3.2】（23-24高二上?江蘇常州?期末）已知等比數(shù)列木工滿足的=2,%+的+劭=26,則的+a5+a7=

（）

A.26B.78C.104D.130

【解題思路】根據(jù)已知求出q2=3,然后即可根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得出答案.

【解答過程】設(shè)等比數(shù)列公比為q,

根據(jù)已知可得，的+他+%=?i（l+那+Q4）=2（1+q?+q4）=26,

所以，1+q2+（q2）2=13,解得q?=3,

2222

所以，a3+a5+a7=arq+a3q+a5q=q^ar+a3+a5）=3x26=78.

故選：B.

【變式3.1］（23-24高一下.四川瀘州?期中）在等比數(shù)列｛a九｝中，a3a4a5=3,a6a7aQ=24,則a9al。的］的值

為（）

A.48B.72C.144D.192

【解題思路】由等比數(shù)列的性質(zhì)求解

【解答過程】數(shù)列是等比數(shù)列，則a3a4a5=遍=3,a6a7a8=源=24,

而粵=胃=8,故的=a：。=24X8=192.

故選：D.

【變式3.2]（2024?四川甘孜.一模）在等比數(shù)列中，。4，08是方程/—8久+2=0的兩根，則至匕=（）

0-6

A.V2B.-V2C.±V2D.3±V5

【解題思路】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求解.

【解答過程】因?yàn)?｝是等比數(shù)列，且。4,是方程/一舐+2=0的兩根，所以：｛魯];，且＞3

他＞0.

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得：*，，。7=磷=2,且&＞。，所以即=企

...as-a7=怒=&.

a6

故選：A.

【題型4等比數(shù)列的判定與證明】

【例4.1]（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）已知數(shù)列｛%｝中,at=l,a2=2,2an=an+2-an+1.

（1）求。3，。4，。5,并猜想｛%J的通項(xiàng)公式（不需證明）；

（2）證明：數(shù)列｛an+i+%J是等比數(shù)列.

【解題思路】（1）先根據(jù)遞推公式得出。3?4，。5,再計(jì)算得出等比的通項(xiàng)公式；

（2）結(jié)合已知應(yīng)用遞推公式,根據(jù)等比數(shù)列定義證明等比數(shù)列.

【解答過程】（1）由2ct-fi=a^+2—/1*可。3=2al+a2=4,CL^=2a2+ct^*8,。$=2a3+ct^=16.

n

結(jié)合的=1,。2=2可猜想數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an=2-\

（2）因^/（Zw+2=2cin+cZw+i，a1—1,a2=2,

所以｛即｝為正項(xiàng)遞增數(shù)列，所以即+1+an^0,

以。n+2+。1+1_2a）+a7t+1+6172+1_2

an+l^~anan+l~^an

故數(shù)列｛冊(cè)+1+a/是等比數(shù)列.

【例4.2]（2024高二?全國?專題練習(xí)）已知數(shù)列和｛4｝滿足的=%an+1=|an+n-4,bn=

n

(-l)(an-3n+21),其中4為常數(shù)，〃為正整數(shù).

(1)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)人數(shù)列｛廝｝不是等比數(shù)列；

(2)試判斷數(shù)列｛b｝是否為等比數(shù)列.

【解題思路】(1)利用反證法，根據(jù)成=的。3,可得矛盾，即可求解，

(2)代入化簡可得e+1=-|匕，利用等比數(shù)列的定義，即可求證.

【解答過程】(1);cin+i=~Qn+n—4且a1—A)a2——2.—3,CL^——A—4.

假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)九使數(shù)列是等比數(shù)列，

2

則匿=的03，即(|"3)=2(9-4),即療一42+9=#一4九得9=0,矛盾.

故對(duì)任意實(shí)數(shù)人數(shù)列｛%J不是等比數(shù)列.

n

(2)-：bn-(-l)(an-3n+21),

n+1n+1

=(-l)-[an+1-3(n+1)+21]=(-l)(|an-2n+14)=—|(—l)”(an—3n+21)=

?.?瓦=-(2+18),

.?.當(dāng)4=—18時(shí)，瓦=0,此時(shí)數(shù)列｛匕｝不是等比數(shù)列;

當(dāng);IH—18時(shí),瓦力0,此時(shí)宇=6N*),數(shù)列｛b｝是等比數(shù)列.

6n3

【變式4.1】(2024高三?全國?專題練習(xí))已知數(shù)列｛%｝滿足的=1,a2=5,an+2=5an+1-6an.

(1)證明:｛a』一2%J是等比數(shù)列；

(2)求an.

【解題思路】(1)由題意，可得的i+2-2。n+1=3(a九+i-2。九)，(neN*),又由。2-2。1=3,利用定義

法即可證明數(shù)列5+1-2%｝是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列；

(2)同理可得a九+2—3a九+i=2(an+1—3czn),由%—2al=3,即可利用定義法證明數(shù)列｛a九+1—3%；｝是

以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求出｛%+1-3須｝通項(xiàng)公式，再結(jié)合廝+1-3%=2九即可求解.

【解答過程】(1)由已知，61rl+2=5(1rl+1—6。九，

a

,?n+2~2a九+i=5an+1—6an—2an+1,

??a九+2-2azi+i=3。九+1—6an=3(an+i—2an)>

顯然%i+i-2a九=。與=1,a2=5矛盾,

??@九+1-2a九W0,

?an+2~^-an+i_&

an+l~^-an

???數(shù)歹U｛冊(cè)+1—2%J是首項(xiàng)為。2—2%=5—2=3,公比為3的等比數(shù)列.

（2）?。九+2=5。九+I6a九,

a

,?n+2~3a九+i=5a九+i—6an—3an+1,

a

,,n+2~3a九+i=2。九+1—6cin=2（。九+1—3an）,

顯然。九+1-3a九—0與a1=1,a?~5矛盾，

??0幾+i3ctfi.0，

?an+2~^an+l_9

an+l~^an

???數(shù)歹式31+1_3an｝是首項(xiàng)為。2-3%=5-3=2,公比為2的等比數(shù)列，

-??。九+1-3a九=2九,①,

n

又,由第（1）問，an+1-2an=3,②，

???②一①得冊(cè)=3n-2n.

【變式4.2]（23-24高一下?上海?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛a九｝滿足的=a（aER,aH-|）,an=2an_r+^+

顯用（neN,n>2）.又?jǐn)?shù)列｛%｝滿足%=即+三.

（1）求證：數(shù)列｛與｝是等比數(shù)列；

（2）若數(shù)列｛廝｝是嚴(yán)格增數(shù)列，求a的取值范圍.

【解題思路】（1）根據(jù)給定的遞推公式，裂項(xiàng)變形，再利用等比數(shù)列定義判斷即得.

（2）由（1）求出數(shù)列｛廝｝的通項(xiàng)，再由單調(diào)性列出不等式，分離參數(shù)，借助單調(diào)性求解即得.

【解答過程】（1）當(dāng)n22時(shí)，a”=2廝_1+￡+網(wǎng)工）=2an_]+：-即即+W=2（即-1+》，亦

即bn=2bn_i,

又瓦=a+|^0,即品于0,所以數(shù)列｛篇｝是等比數(shù)歹1L

71

(2)由(1),%=(a+》,2nT,即即+^=9+》.2-1，an=(a+》.2nT-W

n-1

依題意,an+i>廝=(a+1),2"—>(a+|)-2—對(duì)任意的正整數(shù)TI成立,

BPa+|1>--對(duì)--任---意--的---正--整數(shù)71成立,

(n+2)(n+l)-2n-

而數(shù)列｛一證而看后｝嚴(yán)格增，且一（“+2）（“"々，—<0對(duì)任意的正整數(shù)「成立，

因此a+工20,又a大一工，解得a>—三,

所以a的取值范圍是(一與+8).

等比數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式

1.等比數(shù)列的前“項(xiàng)和公式

若等比數(shù)列｛。“｝的首項(xiàng)為色，公比為q,則等比數(shù)列｛。“｝的前幾項(xiàng)和公式為

nax應(yīng)=1

見（1—q"）_ax—anq

2.等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

⑴當(dāng)q=l時(shí)，5〃=〃處是關(guān)于及的正比例函數(shù)，點(diǎn)(凡S〃)是直線產(chǎn)勾尤上的一群孤立的點(diǎn).

⑵當(dāng)點(diǎn)1時(shí)，工=蟲1^=4——4〃?記A=/，則5“=-力右+4是一個(gè)指數(shù)式與一個(gè)常

數(shù)的和.當(dāng)q>0且#1時(shí)，y=q"是指數(shù)函數(shù)，此時(shí)，點(diǎn)(",S")是指數(shù)型函數(shù)尸-眼”+4圖象上的一群孤立的

點(diǎn).

3.等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)

已知等比數(shù)列｛為｝的公比為4,前n項(xiàng)和為S“，則有如下性質(zhì)：

(1)S"+"=S"+qnS,?.

(2)若S《,S"—S'—S2k(k&N*)均不為0,則Sk,S2k-Sk,S3k-S2尤成等比數(shù)列，且公比為4*.

(3)若｛a“｝共有2”(WGN*)項(xiàng)，則盥

若｛%｝共有(2〃+1)(〃GN*)項(xiàng)，則$Y出=q.

【題型5等比數(shù)列前"項(xiàng)和的性質(zhì)】

【例5.1](2024.湖北襄陽.模擬預(yù)測)已知等比數(shù)列｛而｝的前?1項(xiàng)和為%,若Sg+$24=140,且524=13s8,

則S16=()

A.40B.-30C.30D.-30或40

【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知片段和成等比數(shù)列，求出片段和等比數(shù)列公比即可得解.

【解答過程】因?yàn)镾8+S24=140,且S24=13品，

所以§8=10,$24=130,故qW±l,

所以會(huì)=皆=3)2+q8+1=13,即3)2+q8一12=o,解得q8=3或q8=一4(舍去)，

由等比數(shù)列性質(zhì)可知,S8，S16-S8，S24-S16成等比數(shù)列，公比為q8=3

所以S16-10=10XQ8=30,解得S16=40,

故選：A.

【例5.2](23-24高二下?湖北恩施?期中)設(shè)%是等比數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)和，若S3=4,a4+a5+a6=8,則例=

()

A.—16B.7-C.5D.7—

7315

【解題思路】利用S3，S6-S3,S9-S&S12-S9成等比數(shù)列求解可得答案.

【解答過程】S3=4,S6-S3=8,可得"匹=合=。=2,

§3S6~S3S9~S6

可得$6=4+8=12,$9=2x8+12=28,S12=2x16+28=60,

則維=竺=竺

S9287,

故選；A.

【變式5.1](23-24高二上.重慶?期中)已知等比數(shù)列｛/J有如+1項(xiàng)，的=1,所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85,所

有偶數(shù)項(xiàng)的和為42,貝舊=()

A.2B.3C.4D.5

【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到奇數(shù)項(xiàng)為1+q2+q4+-+q2n=l+q(q+q3+q5+???+q2^1)=

85,偶數(shù)項(xiàng)為q+q3+q5+...+q2n-i=42,得到等比數(shù)列的公比q的值，然后用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和的

公式求出w即可.

【解答過程】因?yàn)榈缺葦?shù)列有2n+l項(xiàng)，則奇數(shù)項(xiàng)有n+1項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有幾項(xiàng)，設(shè)公比為q,

得到奇數(shù)項(xiàng)為1+q?+q4_(---1.勺2n=1+q(q4-q3+q5H---Fq2n-1)-85,

偶數(shù)項(xiàng)為q+q3+q5+...+q2n-i=42；整體代入得q=2,

所以前2n+1項(xiàng)的和為三二=85+42=127,解得n=3.

1—2

故選：B.

【變式5.2](23-24高二下?江西上饒?階段練習(xí))正項(xiàng)等比數(shù)列｛廝｝的前n項(xiàng)和為%,S30=21S10,S10+S30=

220,則S20等于()

A.90B.50

C.40D.30

【解題思路】由S30=21Sio，S10+S30=220可得Si。=10,S30=210,由等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)可得

(S201slo)2=S10(S30—S2o)>代入求解即可.

【解答過程】解：因?yàn)椋ナ钦?xiàng)等比數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和，

所以(S2n—SQ2=S”(S3n—S2”)，

所以(520-Si。)？=Sio(S3o—S20),

又因?yàn)镾30=21Sio，S10+S30—220,

所以Si。=10,S30=210,

所以(520-10)2=io(21O-S20),

解得S20=50或$20=—40(舍).

故選：B.

【題型6求等比數(shù)列的前“項(xiàng)和】

【例6.1](23-24高二下.天津期中)等比數(shù)列QJ的前ri項(xiàng)和為5,滿足4S”=2an+1-1,則S4的值是()

A.20B.30C.—20D.40

27

【解題思路】根據(jù)公式%—5^1=6^,n>2,求公比，再賦值九二1求首項(xiàng)，最后代入等比數(shù)列的前幾項(xiàng)

和公式，即可求解.

【解答過程】由4szi=2an+1-1,

當(dāng)九之2時(shí)，4Sn_x=2an-1,兩式相減得4。九=2。九+1—2。九，

即冊(cè)+1=3冊(cè)，n>2,因?yàn)閿?shù)列｛an｝是等比數(shù)列,

所以q=&±i=3,

由4szi=2azi+1-1中，令幾=1,4sl=4al=2a2—1,

即4al=2ait/—1=6al—1,得的=

所以S4=4p=20.

故選：A.

【例6.2】(23-24高二下?安徽蕪湖?階段練習(xí))已知數(shù)列｛&J為等比數(shù)歹U,S九是它的前幾項(xiàng)和，若g?%=2%,

且ci4與2a7的等差中項(xiàng)為章則54=()

A.35B.33C.31D.30

【解題思路】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì)，解方程可得首項(xiàng)的=16

和公比q=|,運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式即可.

【解答過程】設(shè)等比數(shù)列｛a"的公比為q，

,,,?03=2d],：?(Z]?(Z4=2d],

,,,a1W0,?*?。4=2,

???。4與2a7的等差中項(xiàng)為3,

a4+2a7=2x即2+2a7

???q=、，

由=a1qS=-a1—2,口Td^Q]=16,

ai(i-q4)_16x[1~(；)4]

???S4=

故選：D.

【變式6.1]（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）在數(shù)列｛即｝中，已知的=4,2.=而+3.2%

（1）證明：｛口-2/是等比數(shù)列;

（2）求數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和立.

【解題思路】（1）根據(jù)題意，化簡得到皿若n二結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可得證；

an—22

（2）由（1）求得冊(cè)=++2%結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.

【解答過程】（1）因?yàn)閿?shù)列｛%｝中，2與+1=廝+3x2%

n

可得25+1-2"+i）=an-2,網(wǎng)一2豐0,所以

因?yàn)榈?4,所以數(shù)列｛%,-2r是首項(xiàng)為2,公比為西勺等比數(shù)列.

（2）由（1），可得加一2"=2'?l-1=?尸-2,所以廝=去+2%

【變式6.2]（2024?內(nèi)蒙古包頭?三模）已知數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和為先,的=3,Sn=l+an+1.

⑴證明:數(shù)列｛S“—1｝是等比數(shù)列，并求立；

（2）求數(shù)列｛J的前〃項(xiàng)和

【解題思路】（1）根據(jù)題意S九=1+%i+i及4i+i=s九+i—Sn,整理可得，即可得證;

（2）根據(jù)（1）中為可求出與分類討論求出工的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和可求得%.

an

【解答過程】（1）因?yàn)?=1+即+1，又廝+1=Sn+i-Sn，

所以上+1-2Sn+1=0,整理得%+1-1=2（Sn-1）.

由題意得Si-1=%-1=2,

所以數(shù)列周一1｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故%-1=2%

即％=2n+l.

（2）由⑴可廝噸=:上，

當(dāng)n=1時(shí)，

當(dāng)n22時(shí),工=（廣

an\2）

所以〃=（++…+（廣

一+

當(dāng)n=1,代入7n==:滿足公式,

綜上，T=

ni-GF

【題型7等比數(shù)列的簡單應(yīng)用】

【例7.1]（23-24高二下?遼寧沈陽?階段練習(xí)）明代程大位《算法統(tǒng)宗》卷10中有題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,

紅燈點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭兒盞燈？”你的答案是（）

A.3盞B.4盞C.5盞D.7盞

【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的前n和公式建立方程，解出即可.

【解答過程】設(shè)各層塔的燈盞數(shù)為an（n=1,2,…7）,

數(shù)列｛即｝是公比為2的等比數(shù)列，

由題意可得S7=”中=381,

解得＜21=3,

故選：A.

【例7.2]（23-24高二下?河南南陽?期中）剛考入大學(xué)的小明準(zhǔn)備向銀行貸款。元購買一臺(tái)筆記本電腦，然

后上學(xué)的時(shí)候通過勤工儉學(xué)來分期還款.小明與銀行約定：每個(gè)月月末還一次款，分12次還清所有的欠款，

且每個(gè)月還款的錢數(shù)都相等，貸款的月利率為九則小明每個(gè)月所要還款的錢數(shù)為（）元.

A.a(l+t)12

a(l+t)12

D.---------

12

C皿l+t)12

?12[(l+t)12-l]

nat(l+t)12

D，(l+t)12-l

【解題思路】根據(jù)等額本息還款法，分別寫出第一個(gè)月末，第二個(gè)月末，…，第12個(gè)月末所欠銀行貸款,

其中第12月末還清所有的欠款，利用遞推關(guān)系由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式列出方程求出結(jié)果.

【解答過程】設(shè)小明每個(gè)月所要還款的錢數(shù)為萬元，

根據(jù)等額本息還款法得，第一個(gè)月末所欠銀行貸款為：的=a(l+t)-x,

第二個(gè)月末所欠銀行貸款數(shù)為：=^1(1+t)-x=a(l+t)2-%(1+t)-x；

第12個(gè)月末所欠銀行貸款為：

=a(l+t)]？一%(1+t)"-x(l+t)i°一…—X(1+t)-X

]_(1+[)12

=a(l+t)12—%[(1+t)114-(14-1)10+...+(1+t)+1]=a(l4-1)12—x-—------------r-

1-(1+

=a(l+t產(chǎn)+“*匕

由于分12次還清所有的欠款，所以a(l+t)12+%-匕等蘭=0,

解得“=黑普

故選：D.

【變式7.1](23-24高二下?四川南充?階段練習(xí))我市共有1萬輛燃油型公交車，有關(guān)部門計(jì)劃于2018年投

入128輛電力型公交車，隨后電力型公交車每年的投入比上一年增加50%,則：

(1)我市在2024年應(yīng)該投入電力型公交車多少輛？

(2)到哪一年年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過公交車總量的軍

(參考數(shù)據(jù)：lg657a2.818,lg3Vo.477,lg2?0.301)

【解題思路】(1)結(jié)合題意計(jì)算即可得；

(2)借助等比數(shù)列求和公式即對(duì)數(shù)運(yùn)算法則解不等式即可得.

【解答過程】(1)設(shè)第2017+71年投入時(shí)輛電力型公交車，則斯=128X(|)"T,

2024年應(yīng)該投入電力型公交車a?=128X(1)6=1458輛;

(2)設(shè)第2017+ni年年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過公交車總量的3

有的+。2+???%?=―」=256?(￡)—256,

則有的+a2+,,,am>-(a]+a2+c1m+10000),

即256?(|)m-256>j[256?(|)6-256+lOOOo],

整理得(|)m>罷=署，即mQg3—lg2)>Ig657-51g2,

即巾>1鴕57-5悴x2H8YX0.301-”,

lg3Tg20.477-0.301

即2025年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過公交車總量的:.

【變式7.2](23-24高二上.江蘇無錫.階段練習(xí))某公司2022年投資4千萬元用于新產(chǎn)品的研發(fā)與生產(chǎn)，

計(jì)劃從2023年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資1千萬元用于新產(chǎn)品的維護(hù)與生產(chǎn)，2022年新產(chǎn)品帶

來的收入為0.5千萬元，并預(yù)測在相當(dāng)長的年份里新產(chǎn)品帶來的收入均在上年度收入的基礎(chǔ)上增長25%.記

2022年為第1年，/(元)為第1年至此后第4nGN*)年的累計(jì)利潤(注：含第n年，累計(jì)利潤=累計(jì)收入-累

計(jì)投入,單位:千萬元)，且當(dāng)/㈤為正值時(shí),認(rèn)為新產(chǎn)品贏利.(參考數(shù)據(jù)1,257工4.8,1,258?6.0,1.259工7.5,

1.2510~9.3)

(1)試求((71)的表達(dá)式；

(2)根據(jù)預(yù)測，該新產(chǎn)品將從哪一年開始并持續(xù)贏利？請(qǐng)說明理由.

【解題思路】(1)由題意求出累計(jì)投入，可判斷出每年的收入為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解出

累計(jì)收入，從而表示出/■(?!)；

(2)由(1)可得f(n+1)-f(n)=-1,根據(jù)/(n+1)-/(n)的正負(fù)判斷出/⑺的單調(diào)性，再根據(jù)

f(n)的單調(diào)性即可得出結(jié)論.

【解答過程】(1)由題意知，第1年至此后第以zieN*)年的累計(jì)投入為4+(n—1)=幾+3(千萬元)，

設(shè)第n年的收入為a“，前n年的累計(jì)收入為S”，

由題意得的=a=aX(1+25%)=-a,

2n+1n4n

所以數(shù)列｛時(shí)｝是以I為首項(xiàng)、以泊公比的一個(gè)等比數(shù)列,

則有與=[(3nT(千萬元)，

犯-停5

\4/=2[(￡)"一1](千萬元)，

S=Cl]++…+&i=—

n1--

4

所以/'(ri)=Sn—(n+3)=2[(：)-1]-n-3,即/(n)=2,(：)-n—5(千萬元).

所以f5)的表達(dá)式為f5)=2-(I)"-n-5(neN*)；

(2)因?yàn)?5+1)-/5)=[?)"—1,

所以當(dāng)nW3時(shí)，f(n+1)-f(n)<0,即/(n)單調(diào)遞減，

當(dāng)幾24時(shí)，f(n+1)-f(n)>0,即/(ri)單調(diào)遞增，

8

又/⑴--|<0,/(8)=2xg)-8-5<0,/(9)=2x-9-5>0,

所以該新產(chǎn)品將從第9年開始并持續(xù)贏利.

所以該新產(chǎn)品將從2030年開始并持續(xù)贏利.

【題型8等比數(shù)列與不等式綜合】

【例8.1](24-25高三上?浙江?階段練習(xí))已知數(shù)列｛冊(cè)｝的首項(xiàng)的=-1,且滿足廝+1=蒜.

(1)求證：數(shù)列｛^-1｝為等比數(shù)列，并求出數(shù)列｛￡｝的通項(xiàng)公式；

(2)若工+10,求滿足條件的最大整數(shù)??.

。2。3

【解題思路】(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義證明數(shù)歹可5-1｝為等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)

(2)利用分組求和法求得上+工+上+…+工=n-3+5，記%=n-3+。，判斷出｛6n｝單調(diào)遞增，再

tl]。2。3§3

分別取n>13和n=12驗(yàn)證即可.

廝+廝="）

【解答過程】(1)因?yàn)榕c+1=/%所以二1=211=1-11

a

n+l3dn3ttn3\dn/

又，=一2,

所以數(shù)列｛2-1｝是以-2為首項(xiàng)，:為公比的等比數(shù)歹U；

所以怖T=-2x=一會(huì)

i.

所以?=1-六；

anJ

2777

（2）由（1）知工+工+工+…+工=九一2-2—吃------=TL一（2+/”-+布）=n-2x

aia2a3an333n-i

理二1+親

記如=n-3+親則匕+i--=1一121-1>0。eN*),

所以｛%｝單調(diào)遞增，

當(dāng)71>13時(shí),71—3+^>10+^>10,不符合；

當(dāng)n=12時(shí)，n-3+4=9+-^<10,

3〃3±z

所以n的最大值為12.

n

【例8.2](2024?湖北?一模)已知數(shù)列｛%J的前n項(xiàng)和為Sn,且的=沁=(2-l)an.

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：S2S4-S2n>l，

【解題思路】(1)根據(jù)前n項(xiàng)和為土與廝的關(guān)系，利用相減法得數(shù)列遞推關(guān)系式，從而根據(jù)等比數(shù)列可得｛即｝

的通項(xiàng)公式；

⑵由⑴得%=1-去，根據(jù)不等式(1+/)(/￡)=1+展一康>1，n>2,即可證得結(jié)論.

71

【解答過程】(1)當(dāng)nN2時(shí)，由％=(2—1)廝，得Sn_】=(2或1-

n-1

則冊(cè)=Sn-Sn_1=(2"-l)an—(2—l)an_1,整理得cin=|on-i-

因?yàn)榈?%所以｛aj是以|為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列，

則an=aiqn-1=?.

71

⑵證明：由(1)可得Sn=(2_1)斯=-J=]一/，貝i]S2n=1-2=(1+￡)(1—

當(dāng)n>2時(shí)’對(duì)于(1++)(1一味)=1一展++一肅T=1+/一肅T>1'

所以(l+9x(l-5)x(l+3x(l——X…x(l+六)x(1—5)〉1,

AM2S4...S2n=(l-|)x(l+|)x(l-^x(l+i)x(l-^)x-x(l+^)x(l-i)x

(1+5)->：.

【變式8.1](23-24高二下?四川雅安?期中)設(shè)數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和為S”，且滿足%+an=3.

(1)求｛5｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)e=-anlog2數(shù)列｛b｝的前幾項(xiàng)和為心,若對(duì)任意的neN*,Tn<2A-1恒成立，求2的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)與與與之間的關(guān)系分析可知數(shù)列｛斯｝是首項(xiàng)為|，公比為(的等比數(shù)列，進(jìn)而可得通

項(xiàng)公式;

(2)由(1)可知：簧，利用錯(cuò)位相減法可得〃=9-簧，結(jié)合恒成立問題分析求解即可.

【解答過程】(1)因?yàn)镾九+an=3,

當(dāng)九=1時(shí)，由%+%=3,解得的=|；

當(dāng)九>2時(shí)，則S九+an=3,5九_(tái)1+an_r=3,

兩方程相減得2a九—dn-i=0,即=：；

an-l2

可知數(shù)列｛七｝是首項(xiàng)為|,公比為1的等比數(shù)列，

所以“=^廠、/

(2)由(1)可知：bn=—anlog2

則〃=|+9+奈+…+誓,

_6?9?12?.3九+3

2n2223242n+1

兩式相減得九=3+俱+'+.?.+――鬻=3+狂？L黑,

2

可得加當(dāng)-篝，即7=9-甯.

因?yàn)?n+L7n=(9-蟹)一(9一箸)=笨>。，

可知｛〃｝是單調(diào)遞增數(shù)列，且智>0,可得6=9-甯<9,

因?yàn)閷?duì)任意的neN*,&<22-1恒成立，可得9W22—1,解得225,

所以2的取值范圍為［5,+8).

【變式&2】(2024?河南周口?模擬預(yù)測)記目為正項(xiàng)等比數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和，己知S2=-,S4=-,nEN*.

(1)求數(shù)列｛廝｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)組=2n一1,做為數(shù)列｛0｝的前幾項(xiàng)和，證明：^<Tn<3.

an2

【解題思路】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>0),結(jié)合等比數(shù)列求和公式可得的4,即可得結(jié)果；

(2)由⑴得，源=宏，利用錯(cuò)位相減法可得窈=3-(2n+3)?(1)”,進(jìn)而分析證明.

【解答過程】⑴設(shè)等比數(shù)列｛時(shí)｝的公比為q(q>0),由S2=：,54=登可知，q不1,

416

(ai(l-q2)3

則Vl-q3得l+q2=，解得q=；(負(fù)值舍去)，

154Z

Il-q16

將q=、弋入生產(chǎn)=：解得的=5，

N1—Q4Z

所以數(shù)列Sn｝的通項(xiàng)公式為廝=a1qnT=(|)n

(2)由(1)得，加=第，

則〃=：+,+…+缶二可得|〃=,+卷+…+舞白

兩式相減可得加=W/+…++一