專題07導數及其應用

目錄

易錯點01對導數的概念理解不到位

易錯點02錯用函數的求導法則

易錯點03混淆“在某點”和“過某點”切線的區別

易錯點04利用導數求函數單調區間忽略定義域

易錯點05混淆極值點與導數等于零的點的區別

易錯點06已知單調性求參數時混淆條件

易錯點07判斷函數零點個數時畫圖出錯

易錯點01：對導數的概念理解不到位

叁易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高二上?全國?課后作業）若函數小）可導，則業生蒙@等于（）

A.-2r⑴B.1r（l）C.一#⑴D./出

【答案】C

【分析】根據導數的定義即可求解.

【詳解】lim/(1—-"1).=」1曲/[l+(-Ax)]-/(l)

AxfO2Ax2Ax->0

故選：C

【易錯剖析】

f（.r0+Ar）-/（.r0）本題容易忽略分母不是分子函數值對應自變

在解題時要注意f'(x0]=lim—=lim

Ax

量的差而出錯.

【避錯攻略】

1.導數的概念

函數/（X）在X=X。處瞬時變化率是lim孚=lim./1(天,+-)-/(%)

,我們稱它為函數y=在x=%

Ar->0.丫Ax—>0Ax

處的導數，記作尸（X。）或丁（/.

【解讀】①增量—可以是正數，也可以是負，但是不可以等于0.-0的意義：心與0之間距離

要多近有多近，即18-0|可以小于給定的任意小的正數;

②當Ac—0時，Ay在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個確定的常數，即存在一個常數與

"/5+垓）-"）無限接近;

AxAx

③導數的本質就是函數的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率.如瞬時速度即是位移在這一時

刻的瞬間變化率，即尸（與）=lim電=lim/（＞+/）-/（/）.

——°Ax-Ax

2.幾何意義

函數y=/（x）在X=尤。處的導數/U）的幾何意義即為函數y=f（x）在點P（XO,y0）處的切線的斜率.

3.物理意義

函數s=s⑺在點10處的導數s"o）是物體在t0時刻的瞬時速度V,即v=s'（t0）；v=v⑺在點t0的導

數/仇）是物體在灰時刻的瞬時加速度a,即a=v'?o）.

易錯提醒：⑴-優）=lim”=lim以x。+為）二/（不）,要注意定義式中的分母一定是分子兩個函數值

對應自變量的差，如果不是要通過調整系數實現對應；（2）/'（尤0）的代數意義表示函數/（%）在/處的瞬時

變化率；（3）/'（%）的幾何意義表示曲線y=/（x）在x=x0處切線的斜率.

叁舉一反三

1.（24-25高二上?全國?課后作業）若可導函數的圖象過原點,且滿足lim/包=-1,則廣（。）等于（）

-Ax

A.-2B.2C.-1D.1

2.（24-25高二下?全國?課后作業）如果函數y=〃x）在x=l處的導數為1,那么受（）

A.gB.1C.2D.

3.（24-25高二下?河北石家莊?階段練習）設函數在點七附近有定義，且有

2

/（x0+AX）-/（X0）=6ZAX+Z?（AX）（。，〃為常數），則（）

z

A.f{x）=aB.f（x）=bC.f（x0）=aD./（x0）=Z?

■易錯題通關.

1.（24-25高二上?全國?課后作業）若/'（為）=-2,則lim"%）—〃%+'）=（）

\/Av_s.nA”

A.-1B.-2C.1D.2

2.（24-25高三上?廣西玉林?期中）設是定義在R上的可導函數，若?=2。Q為常

數），則廣（無。）=（）

A.—2aB.2aC.一〃D.〃

3.（2025高三?全國?專題練習）已知函數〃%）=%ln%,則lim正勻二的值為（）

A.2eB.0C.1D.e

Ax

4.（24-25高三上?上海?期中）若函數y=/（尤）在x=不處的導數等于a,則iim"%+2m。）的值為（）

-Ax

A.0B.—aC.〃D.2a

2

5.（24-25高三上?貴州貴陽?階段練習）若函數y=〃x）在區間（zb）內可導，且則

lim/U）-fU+/0的值為（）

2°h

A./'（%）B.2廣（X。）C.-2/（x0）D.-/'（%）

6.（23-24高二下.福建龍巖.階段練習）已知函數在x=x°處可導，且lim"/一3—）-〃二）=3,則

Axf02Ax

/'（%（））=（）

A.—3B.—2C.—D.2

2

7.（24-25高二?全國?課后作業）（多選）若函數f（x）在x=x0處存在導數，則+一〃/）的值（）

A.與不有關B.與〃有關C.與與無關D,與//無關

8.（24-25高三上?浙江?階段練習）已知：當〃無窮大時，|1+-|的值為e,記為+=e.運用上述

<n）〃-n）

結論，可得1加儂"2力（x>0）=.

易錯點02：錯用函數的求導法則

易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?山東聊城?期末）函數y=x%os12x-1］的導數為（）

B.y'=2xcos^2x-^-j-2x2sin^2x-^-j

C.=x2cos-^-2xsin^2x-y

D.y'=2xcos^2x-y^+2x2sin^2x--1-^

【答案】B

【分析】利用導數的運算法則以及復合函數求導法則可求出原函數的導數.

=2xcos2x--\-2x2sin\2x~—

33

故選：B.

【易錯剖析】

本題容易錯用復合函數的求導法則而出錯，要注意求導公式和求導法則的適用前提.

【避錯攻略】

1.求導的基本公式

基本初等函數導函數

/(x)=c(C為常數)rw=o

/（X）=X。（。eQ）/'(%)=axa~x

x

f(x)=a(a>0,Qw1)fr(x)=ax]na

f(x)=log。％(a>0,aw1)fw=.

x\na

/a)=e'「(x)="

/(x)=lnxr?=-

X

f(x)=sinxfr(x)=cosx

f(x)=cosX/'(%)=_sinx

2.導數的四則運算法則

（1）函數和差求導法則："（X）土g（x）］'=f'{x）±g，（x）;

（2）函數積的求導法則："（x）g（尤）］'=（（尤）g（x）+f（尤）g，（x）;

小p期》+日-nmid（無）1尸（X>g（無）一/（x）g'（x）

（3）函數商的1Vl求導法則：g（x）*o,則［uvl=-------------7------------.

g。）8一（無）

3.復合函數求導數

復合函數y=f［g（x）］的導數和函數y=/（?），林=g（x）的導數間關系為4=y,'u'：

易錯提醒：（1）復合函數對自變量的導數等于已知函數對中間變量的導數,乘以中間變量對自變量的導

數，即"‘=（2）求函數導數的總原則：先化簡解析式，再求導.注意以下幾點：連乘形式則先展

開化為多項式形式，再求導；三角形式，先利用三角函數公式轉化為和或差的形式，再求導；分式形式，

先化為整式函數或較為簡單的分式函數，再求導；復合函數，先確定復合關系，由外向內逐層求導，必要

時可換元.

舉一反三

1.（24-25高二上?全國?課后作業）己知某函數的導數為y'=M--,則這個函數可能是（）

2（x-l）

A.y=AJl-xB.y=InC.y-ln(l-x)D.y=\n—^—

x-1

2.（2025高三?全國?專題練習）下列求導運算錯誤的是（）

A.(tanx)=-tanxB.(logx)-

、72xln2

C-D.心卜上

3.（24-25高三?全國?聯考）已知函數〃x）=cos12x+。!，則

()

A.-1B.--C.1D-I

2

■易錯題通關.

1.（2025高三?全國?專題練習）函數y=xln（2x+5）的導數為（）

A./=2xIn（2%+5）B..=2%5

C.y=ln（2x+5）H--------D.yf=ln（2x+5）H——

1515

2.（24-25高三上?北京?開學考試）在下列函數中，導函數值不可能取到1的是（）

A.y=xlnxB.y=cosxC.y=TD.y=x-\nx

3.（24-25高三上?上海寶山?階段練習）已知y=e'cosx,則（）

A.yr=-exsinxB.yf=ex-sinx

D.=5/2exsinf-^--xj

C.V=+

4.（24-25高三上山西?期中）若函數"%）滿足=d-g-⑵尤2-3X,則/"⑵的值為（）

A.-1B.2C.3D.4

5.（24-25高二下?遼寧?階段練習）（多選）下列求導運算正確的是（）

A.(In2022/=—^—

B.(log4x)-

、720224xln4

C.]=一——D.(尤3一工]=3元2_二

vtanxJsin2xVX)x

6.（24-25高三上?陜西咸陽?期中）（多選）下列求導運算正確的是（）

A(sinx)xcosx-sinxB=1

〔XJ-X2-rljv

C.(log?3)'=。D.(3]=(2x-x2^ex

7.（24-25高三上?江蘇淮安?開學考試）（多選）下列導數運算正確的是（）

A一!尸

-5=B.(b),=C.(tanx)'=—D.(ln|x|)r=—

cosXX

8.（24-25高三上?江蘇鹽城?階段練習）（多選）下列導數運算正確的是（）

，

A,〔十TB.(ej=e-

C.(tanx)'=-D.(Igx)=---

COSXxlnlO

易錯點03：混淆“在某點”和“過某點”切線的區別

，易錯陷阱與避錯攻略

典例（2024.新疆.二模）過點（1,4）且與曲線/（x）=V+x+2相切的直線方程為（）

A.4x-y=0B.7x-4y+9=0

C.4x—y=0或7x-4y+9=0D.4x—y=0或4x—7y+24=0

【答案】C

【分析】先設過點的切線，再根據點在曲線上及切線斜率等于導數值解方程即可求值進而求出切線.

【詳解】設過點(1,4)的曲線y=/(%)的切線為：/:y-y0=(3就+1)(%-&)，

有［(3詔+1)(1—%o)=4-y()

Iy0=就+%。+2

1

X0=-2

解得%=1成.

%=4/9，

y。"

代入/可得4x—y=0或7%-4y+9=0.

故選：C

【易錯剖析】

本題容易誤將(1,4)點當做函數的切點而出錯，要注意過P點的切線P不一定是切點.

【避錯攻略】

1.在點P的切線方程

切線方程y-/(^o)=f'^o^x-x0)的計算：函數y=f(x)在點A(%0,/(%))處的切線方程為

%=/(%)

y-/(%)=/'(無o)(尤-尤0),抓住關鍵

k=f'5)'

2.過點尸的切線方程

設切點為尸(七,%),則斜率左=/'(%),過切點的切線方程為：y-%=/'(%)(尤-尤°),又因為切線方

程過點AO，”)，所以〃-%=((%)(根-尤0)然后解出毛的值.(％有幾個值，就有幾條切線)

【注意】在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外.

易錯提醒：(1)利用導數研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點：

(1)函數在切點處的導數值是切線的斜率，即已知切點坐標可求切線斜率，已知斜率可求切點坐標.

(2)切點既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點.

(3)曲線y=/(x)“在”點尸(%,%)處的切線與“過”點尸(%,%)的切線的區別：曲線在點

尸(無。,%)處的切線是指點P為切點，若切線斜率存在，切線斜率為左=r(%),是唯一的一條切線；曲線

y="“)過點尸(天,%)的切線，是指切線經過點P,點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可

能有多條.

(2)利用導數的幾何意義求參數的基本方法

利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關于參數的方程(組)或者參數滿足的不等式(組)，

進而求出參數的值或取值范圍.

（3）求解與導數的幾何意義有關問題時應注意的兩點

（1）注意曲線上橫坐標的取值范圍；

（2）謹記切點既在切線上又在曲線上.

舉一反三

1.（24-25高三上?廣東?階段練習）函數〃x）=lnx+2x的圖象在點（1,2）處的切線與坐標軸所圍成的三角形

的面積為（）

A.士B.—C.-D.—

2368

2.（23-24高二下?山西晉城?期末）過原點。作曲線/（x）=ex-辦的切線，其斜率為2,則實數。=（）

A.eB.2C.e+2D.e-2

3.（24-25高三?山東臨沂?期中）若過點（4匕）可以作曲線y=e㈤的兩條切線，則（）

fc+1a+ia+lb+1

A.e<aB.e<bC.0<b<eD.0<a<e

>易錯題通關.

1.（24-25高三上?江蘇鹽城?階段練習）曲線y=*（x-l）在x=l處的切線方程為（）

A.x=lB.y=lC.y=xD.y=x-1

2.（24-25高三上?河南?階段練習）曲線y=ex-2ax在x=0處的切線經過點（2,-1）,則實數。的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

3.（24-25高三上?海南省直轄縣級單位?階段練習）函數y=E在點（0,-1）處的切線與兩坐標軸圍成的封閉

圖形的面積為（）

A.-B.-C.—D.1

842

4.（24-25高三上?天津武清?階段練習）若直線y="與曲線y=lru+]相切，則％=（）

2x

A.In2H—B.-C.—D.4

424

5.（2024?河南洛陽?三模）（多選）若過點尸（1,0）作曲線y=d的切線，則這樣的切線共有（）

A.0條B.1條C.2條D.3條

6.（24-25高三?山東日照?期中）已知過點A（a,0）作曲線y=xe'的切線有且僅有兩條，則實數。的取值可能

為()

A.-2B.-3C.-4D.-5

7.(23-24高二下?北京西城?階段練習)已知直線，=叱-2是曲線y=lnx的切線，則切點坐標為()

A.[：，一1]B.(e,l)C.D.(0,1)

8.(24-25高三上?上海?開學考試)經過點P(>2)可以作與曲線2/_3x-y=0相切的不同直線共有()

A.。條B.1條C.2條D.3條

易錯點04：利用導數求函數單調區間忽略定義域

易錯陷阱與避錯攻略

典例(23-24高二下.寧夏吳忠?期中)函數/(?=《的單調減區間為()

Inx

A.(-oo,e)B.(0,e)C.(l,e)D.(0,1)和(l,e)

【答案】D

【分析】求出函數的導數，再解不等式即得答案.

【詳解】函數/(》)=怖的定義域為(。,D5L+⑹，求導得(。)=臀^,

lux(Inx)

由r(x)<0,即臀^<0,解得0<x<l或l<x<e,

(Inx)

所以函數“X)=4的單調減區間為(0,1)和(1,e).

Inx

故選：D

【易錯剖析】

本題容易忽略定義域為(0,1)。(1,—)而錯選B.

【避錯攻略】

1.函數單調性的判定方法

設函數y=/(x)在某個區間內可導，如果尸(x)>0,則y=/(x)為增函數；如果/'(x)<0,則y=/(x)

為減函數.

【解讀】①利用導數研究函數的單調性，要在函數的定義域內討論導數的符號;

②在某個區間內，/'(x)>0(/'(x)<0)是函數/(x)在此區間內單調遞增(減)的充分條件，而不是必

要條件.例如，函數/(x)=d在定義域(_8,+o。)上是增函數，但/(%)=3必20.

2.求可導函數單調區間的一般步驟

①確定函數/（X）的定義域；

②求/'（x）,令尸（%）=0,解此方程，求出它在定義域內的一切實數；

③把函數/（x）的間斷點的橫坐標和f\x）=0的各實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把

函數/（x）的定義域分成若干個小區間;

④確定了'（X）在各小區間內的符號，根據/'（x）的符號判斷函數/（幻在每個相應小區間內的增減性.

3函數在區間上單調與求函數單調區間

/⑴>0=>/（X）單調遞增；/（X）單調遞增=>f\x）>0；

r（x）<0=>/（X）單調遞減；/（%）單調遞減=>f\x）<0.

易錯提醒：（1）求函數的單調區間必須樹立定義域優先的思想，即先求函數的定義域，然后再定義域上求

函數的單調區間；（2）含參函數單調性討論的分類標準：①函數類型；②開口方向；③判別式；④導數等

于0有根無根；⑤兩根大小；⑥極值點是否在定義域內.

舉一反三

1.（2024?黑龍江佳木斯?模擬預測）若函數〃尤）=：Y-3A41nx,則函數的單調遞減區間為（）

A.（4,+co）B.（0,1）C.（0,4）D.（1,4）

2.（2024全國?模擬預測）已知函數/（x）=ln（x-2）+ln（4-x）,則的單調遞增區間為（）

A.（2,3）B.（3,4）C.（一力,3）D.（3,+。）

3.（24-25高三上?湖南長沙?階段練習）設/（x）=（Y+6）lnx+；尤2,aeR.

（1）若。=0,求"X）在x=l處的切線方程；

（2）若oeR,試討論/（x）的單調性.

>易錯題通關.

InY

1.（2024高三?全國?專題練習）函數〉=吧的單調遞增區間是（）

x

A.\雙:]B.（e,+e）C.D.（0,e）

2.（2024高三.全國?專題練習）函數7的單調遞減區間是（）

110,1

A.一,+8B.—00,—C.(e,+8)D.

3.(2024?浙江?模擬預測)函數〃％)=ln(2%-1)-f+%的單調遞增區間是()

A.(0,1)B.r1

Z1-A/21+應、ni+收〕

C.D.

2'2

\/

4.(2025?全國?模擬預測)已知函數〃%)=(m-2)%2-(m-4)x-ln%-2,則()

A.當0＜加＜2時，函數“X)在(0,+8)上單調

B.當機＜0時，函數在(0,+8)上不單調

C.當相，2時，函數八%)在(0,+8)上不單調

D.當根=0時，函數八%)在(0,+8)上單調

5.⑵-24高二下?福建福州?期中)函數/(x)=xln(-x)的單調遞減區間是

x

6.(23-24高二下?上海?期中)函數y=匚e的嚴格遞減區間是

x-2

7.(24-25高三上?福建三明?階段練習)已知函數〃x)=ln(l-%)+0n(l+x)水W0.

⑴若函數〃元)存在一條對稱軸，求上的值;

(2)求函數的單調區間.

易錯點05：混淆極值點與導數等于零的點的區別

,易錯陷阱與避錯攻略

典例(2024?遼寧丹東.一模)若x=l是函數/(刈Wd+m+l)/-(02+°_3卜的極值點，則a的值為()

A.-2B.3C.一2或3D.-3或2

【答案】B

【分析】根據題意，求出函數/(X)的導數，由廣⑴=。求出。，然后針對。的每一個值，進行討論，驗證尤=1

是不是函數的極值點，即可得答案.

［詳解］/(x)=^x3+(?+1)x2—［a1+Q—3)X=>/⑺=兀2+2(Q+1)%-(/+〃-3

由題意可知/'(1)=0=/'(1)=l+2(a+l)—(a~+a—3)=0=>°=3或。=—2.

當a=3時，/'(龍)=無?+8x—9=(x+9)(x—1),

令廣⑺>0,解得x<—9或x>l,函數在(一七一9)和(1,+⑹上單調遞增；

令(⑺<0,解得-9<x<l,函數/(尤)在(-9,1)上單調遞減，

所以尤=1是函數的極值點符合題意；

當a=-2時，尸(x)=廠-2x+l=(x-1)-上。，

所以函數/(x)是R上的單調遞增函數，沒有極值，不符合題意，舍去，

故選：B.

【易錯剖析】

導數等于零點的點不一定是函數的極值點，對于可導函數而言，其極值點應滿足兩個條件，一是導數

等于零，二是在極值點兩邊導函數的符號相反.

【避錯攻略】

1.函數的極值

函數在點龍。附近有定義，如果對X。附近的所有點都有/(X)<八/),則稱/(X0)是函數的一個極大

值，記作，極大值=/(%).如果對％附近的所有點都有〃尤)>/(%),則稱/(X。)是函數的一個極小值，記作

y極小值=/(%).極大值與極小值統稱為極值，稱/為極值點?

2.求可導函數，(尤)極值的一般步驟

第一步：先確定函數/(尤)的定義域；

第二步：求導數「(X)；

第三步：求方程/'(x)=0的根；

第四步：檢驗((x)在方程「(無)=。的根的左右兩側的符號，如果在根的左側附近為正，在右側附近為

負，那么函數y=/(x)在這個根處取得極大值；如果在根的左側附近為負，在右側附近為正，那么函數

y=在這個根處取得極小值.

易錯提醒：(1)①可導函數/(尤)在點與處取得極值的充要條件是：/是導函數的變號零點，即尸5)=0,

且在無。左側與右側，/'(X)的符號導號.

②((%)=0是與為極值點的既不充分也不必要條件，如/。)=無3,-(。)=。，但%=0不是極值點.另

外，極值點也可以是不可導的，如函數/（x）=W，在極小值點尤。=。是不可導的，于是有如下結論：升為

可導函數/（X）的極值點nZVo）=0;但/（X。）=0X^0為了（幻的極值點.

（2）①函數的極值反映函數在一點附近情況，是局部函數值的比較，故極值不一定是最值；函數的最

值是對函數在整個區間上函數值比較而言的，故函數的最值可能是極值，也可能是區間端點處的函數值；

②函數的極值點必是開區間的點，不能是區間的端點；

③函數的最值必在極值點或區間端點處取得.

1.（24-25高三上?吉林長春?階段練習）若x=0是函數/5）=33-1+；]/+面+0口一1的極小值點，則

/（x）的極大值為（）

A,-B.-C.--D.--

6336

2.（24-25高三上?天津武清?期中）已知函數/（同=丁+。111（》-1）有極值點，則實數。的取值范圍為（）

A.（—oo,0]B.（—co,0）C.^0,—D.^-00,—

3.（2024?遼寧?模擬預測）已知函數〃x）=x*-c）2在x=l處有極大值，貝卜=（）

A.1B.2C.3D.4

?易錯題通關

1.（2024?四川瀘州?一模）已知函數/'（x）=x（x-a）2在*=1處取得極大值，貝匹的值是（）

A.1B.2C.3D.4

2.（24-25高三上?江西階段練習）若x=0是函數/。）=+3-5+：）/+（4+。及-1的極小值點，貝廳⑺的

極大值為（）

A.-B.-C.--D.--

6336

1JT

3.（24-25高二?全國?課后作業）若函數/（xbasinx+gsiiBx在x=§處有最值，則〃等于（）

A.2B.1C.氈D.0

3

4.（24-25高二上?全國?課后作業）設函數（力=工，若“X）的極小值為則。=（）

x+a

A.—B.—C.—D.2

222

5.（24-25高三上?四川綿陽?階段練習）/（尤）=g尤3-依2-8依+1在（-3,0）上有極大值，無極小值，則。的取

值范圍是（）

A.WB.（。,+<?）C.（-<?,-3）D.1

已矢口/（%）=在元=一處有極值貝|。一人=（

6.（24-25高三上?江西南昌?階段練習）%3+36/%2+6%+4210,

A.-2或-7B.T或—11C.11D.-7

7.（23-24高二下?山東臨沂?期中）已知函數=當x=l時，有極大值則。=（）

A.2B.1C.0D.-1

易錯點06:已知單調性求參數時混淆條件

易錯陷阱與避錯攻略

13

典例（24-25高三上?山東臨沂?期中）若函數〃力=y3/+6+4的單調遞減區間恰為［T,4］,則實

數a的值為.

【答案】-4

1

［詳解］由題意得，f'（x）=x-3X+a,

???函數的單調遞減區間恰為［T4］,

即三一3元+。W0的解集為［T4］,

...所以-1和4是尸（力=0的兩根，

々=—1x4=—4.

故答案為：-4.

【易錯剖析】

本題易混淆八x）在區間D上單調和八尤）的單調區間是D的區別而出錯.

【避錯攻略】

1.可導函數六尤）在某區間上單調

（1）可以轉化為/,（%）>0（/,（^）>0）在給定區間上恒成立;

（2）給定的區間是原函數單調遞增區間（或遞減區間）的子區間，利用集合間關系求解

2.可導函數f（x）在某區間上不單調

（1）可轉化為f（x）在給定區間上有正有負，即廣（x）=0在給定區間上有實根（必要條件），且有不等實根

（充分條件）;

（2）可以通過求函數值域的方法解決.

（3）可以利用根的分布方法解決.

3可導函數f（x）在某區間上存在單調區間，轉化為/'（x）>0（或（尤）<0）有解問題.

易錯提醒：

已知函數的單調性求參數時，要注意以下幾點：（1）熟悉基本函數的單調性。

（2）注意下列二者之間的區別：函數在區間/上單調遞增（減）；函數的單調遞增（減）區間是D.

注意：其中/三。.

（3）首先明確已知函數的單調性；然后根據已知條件列出關于所求參數的不等式，正確解出含參數的不等

式，結果要用集合或區間的形式表示出來.

舉一反三

1.若函數〃到=著在[2,+8）上單調遞增，則上的取值范圍為（）

A.k>—B.kW—1C.k<1D.k<——

33

2.（24-25高二上?全國?課后作業）若函數=-依2一2在區間（1,4）內存在單調遞增區間，則實數。的

取值范圍是（）

A?[I*）B.

32J

C.D.—

2

3.（24-25高三上?上海?期中）已知g。）是定義域為R、的函數，g（x）=ax+2,若對任意的1<%<尤2<2,都

有g（Jg（2）>3成立，則實數“的取值范圍是（

）

玉-x2

A.。+8）B.--r°.

C.D.--

■易錯題通關

1.（2024湖北.一模）已知函數/（力=依2_向+2%是減函數，則。的取值范圍為（）

C.D.8,一；

A.(-oo,0]B.

2.（2025高三?全國?專題練習）若函數=J尤2一9加在區間,-1間上單調遞減，則實數。的取值范圍

是（）

A.1<6/<3B.a>4

C.-2<a<3D.l<a<4

3.（22-23高二下.北京海淀?期中）若函數"xb'-lnx在（0㈤上不單調，則實數%的取值范圍是（）

A.[l,+oo)B.(l,+oo)C.(0,1)D.(0,1]

4.（24-25高三上?山東棗莊?階段練習）已知函數〃力=廠：在R上單調遞增，貝心的取值范圍

Ie—ax,x<（J

是（）

A.[1,+<?)B.[0,1]C.[-1,1]D.(-<?,1]

5.（2025高三?全國?專題練習）已知函數〃同=（2/+如+*"1（4>0）在上存在單調遞減區間,

則。的取值范圍為（）

C.^0,1^U(8,+°o)D.

A.(0,1)U(4,4W)B.(1,4)

6.（2019?四川涼山?一模）若0<%<工2<，z都有叫-他叫<玉-龍2成立，則。的最大值為（）

A.；B.1C.eD.2e

易錯點07：判斷函數零點個數時畫圖出錯

叁易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?北京?階段練習）已知函數/（x）=ae、-/有兩個極值點，則實數a的取值范圍（）

2e

A.0<a<一B.0<a<ln2C.a<eD.0<?<In—

e2

【答案】A

【分析】先求函數導數，再根據題意將導函數為零轉化為兩個函數y=a和g（x）=2mx有兩個交點，然后利用

導數求g（x）=/的單調性，進而確定g。）圖象，最后根據圖象確定實數。的取值范圍.

【詳解】因為/（無）=。6*-彳2,；./，（力=祝*-2工,

由已知函數於）有兩個極值點可得有ae=2x=0兩個解

2x

即y=a和g(x)=m有兩個交點,

2(1-x)

g'（無）=

二當X＜1時，g'（X）＞0,g（x）在（一8,1）上單調遞增,

當尤>1時，g'(X)<0,g(x)在(1,+8)上單調遞減，

2

故gOOmax=g6=—，

e

而Xf+8時，g(x)—0,Xf-8時，g(X)->-CO；

故選：A.

【易錯剖析】

利用導數研究函數的圖像變化時一定要區分圖像趨向無窮時，是趨近無窮還是趨近于一個常數.

【避錯攻略】

1.判斷函數＞=/（無）在某個區間上是否存在零點，主要利用函數零點的存在性定理進行判斷.首先看函數

y=/（x）在區間［。，句上的圖象是否連續，然后看是否有若有，則函數＞=在區間（a,。）

內必有零點.

2.判斷函數y=/（x）的零點個數時，常用以下方法：

（1）解方程：當對應方程易解時，可通過解方程，判斷函數零點的個數；

（2）根據函數的性質結合已知條件進行判斷；

（3）通過數形結合進行判斷，畫函數圖象，觀察圖象與x軸交點的個數來判斷.

3.已知函數有零點（方程有根），求參數的取值范圍常用的方法：

方法1：直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍.

方法2：分離參數法：先將參數分離，再轉化成求函數值域問題加以解決.

方法3：數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，再數形結合求解.

易錯提醒：|判斷函數零點個數的方法：

方法1：利用零點存在性定理判斷法；

方法2：代數法：求方程〃x)=0的實數根；

方法3：幾何法：對于不易求根的方程，將它與函數y=/(x)的圖象聯系起來，利用函數的性質找出零點或

利用兩個函數圖象的交點求解.在利用函數性質時，可用求導的方法判斷函數的單調性并分析函數圖像的

變化趨勢.

舉一反三

1.(24-25高三上?遼寧沈陽?階段練習)已知〃*)=臊如-111%(〃后0),若〃無)有兩個零點，則實數機的取

值范圍為()

2.(2025高三?全國?專題練習)已知函數/(x)=(x+2)e*-加有兩個零點，則實數小的取值范圍為()

A.[--B.1一-C.(0,+oo)D.(-℃>,0)

3.(2024高二上?全國?專題練習)若函數“X)和g(x)的圖象上恰好有兩對關于x軸對稱的點，則函數

和g(x)為“對偶函數”.已知/(x)=l-e*,g(x)=<zr+xlnx是“對偶函數”，則實數a的取值范圍為()

A.(e-l,+oo)B.C.D.(-℃,e-l)

■4易錯題通