專題14抽象函數的定義域、求值、解析式、單

調性、奇偶性

目錄

解題知識必備....................................

壓軸題型講練...................................................................4

題型一、抽象函數定義域.......................................................4

題型二、抽象函數求值.........................................................5

題型三、抽象函數解析式.......................................................8

題型四、抽象函數的單調性...................................................10

題型五、抽象函數的奇偶性...................................................13

壓軸能力測評(12題).......................................................19

??解題知識必備8

一、抽象函數定義域的確定

所謂抽象函數是指用/(X)表示的函數，而沒有具體解析式的函數類型，求抽象函數的定義域問題，關鍵是

注意對應法則。在同一對應法則的作用下，不論接受法則的對象是什么字母或代數式，其制約條件是一致

的，都在同一取值范圍內。

抽象函數的定義域的求法

⑴若已知函數/(x)的定義域為[a,b],則復合函數/(g(x))的定義域由*g(x)勁求出.

(2)若已知函數/(g(x))的定義域為[a,b],則/(x)的定義域為g(x)在切時的值域.

注：求函數的定義域，一般是轉化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結果必須用

集合或區間來表示.

二、抽象函數的性質

1.周期性：f(x+a)=f(x)=>T=a-,f(x+a)=~f(x]=>T=2a；

/(x+a)=,=(左為常數)；f{x+a)=f(x+b)=>T=\a-b\

Ax)

2.對稱性：

對稱軸：/(。-》)=/(<7+》)或者/(2。-》)=/(》)n/(x)關于x=a對稱；

對稱中心：/(a-x)+/(a+x)=2A或者/(2a-x)+/(x)=2bn/(x)關于(a,A)對稱；

3.如果/(x)同時關于x=a對稱，又關于(4c)對稱，則/(x)的周期T=|a—.

4.單調性與對稱性(或奇偶性)結合解不等式問題

①/(x)在R上是奇函數，且/(x)單調遞增n若解不等式/(x1)+/(x2)>0,則有

玉+吃〉0；

/(X)在R上是奇函數，且/(X)單調遞減n若解不等式/(X1)+/(x2)>0,則有

西+/<°；

②/(X)在R上是偶函數，且/(X)在(0,+8)單調遞增n若解不等式/(xj>/(x2),則有周〉同(不

變號加絕對值)；

/(X)在R上是偶函數，且/(X)在(0,+00)單調遞減=>若解不等式/(%1)>/(x2),則有同<同(變號

加絕對值)；

③/(X)關于(凡。對稱，且/(X)單調遞增n若解不等式/(西)+/昆)〉26,則有

X]+%2〉2。；

/(X)關于(。力)對稱，且/(X)單調遞減n若解不等式/(再)+/(乙)〉2b,則有

%1+x2<2a；

④/(x)關于x=a對稱，且/(x)在(。,+℃)單調遞增=>若解不等式/(%1)>/(x2),則有上一同〉區一《

(不變號加絕對值)；

/(x)關于x=a對稱，且/(x)在(a,+oo)單調遞減n若解不等式/(Xj)>/(x2),則有,「《〈民一同

(不變號加絕對值)；

三、抽象函數的模型

【反比例函數模型】

反比例函數：/i=U則小)=—,)均不為0]

【一次函數模型】

模型1：若/(X土y)=/(x)±/(y),則/(x)=/(l)x；

模型2：若/(x±y)=/(x)±/(y),則/(x)為奇函數;

模型3：若/(》+歷=/00+/(了)+機,則/(%)=[/。)+掰k一機；

模型4：若/(x-y)=/(x)-/(y)+機，則/(x)=[/。)—加]x+機；

【指數函數模型】(供提前了解)

模型1：若/(x+y)=/(x"(y)，則/(x)="(l)「模x)>°

模型2：若/。一30=端，則/(x)="(l)r；/(x)>0

模型3：若/(X+y)=f(x)f(y)m,則/㈤='⑴Q；

m

模型4：若/小一>)=加黑，則/(》)=加[也]；

f(y)[_m

【對數函數模型】(供提前了解)

模型1：若/(x")=W(x),則/(x)=/(a)log°x(a>(^wl,x〉0)

模型2：若/(孫)=/(乃+/(歷,則/*)=/(。)108尸(4>0且，1,》,歹>0)

模型3:若/(j)=/(X)-/3),則/(》)=/(4)108〃8(4>0且/1,》/>0)

模型4：若/(砂)=/(x)+/(y)+加，貝1]/0)=[/(。)+機]噬尸一根(。〉0且#1戶">0)

模型5：若/(：)=/(》)一/0)+加，則/(x)=[/(a)—問log.x+Ma〉。且Hl,x,y>0)

【幕函數模型】(供提前了解)

模型1：若/(盯)=/(x)/(y),則/(x)=/(a)嗨"(a>。且W1)

模型2：若/(?=端，則/(》)=/(。產"(。>0且w1，產。，/3。0)

代入/(。)則可化簡為暴函數；

【余弦函數模型】(供提前了解)

模型1：若/(x+7)+f(x-y)=2/(x)/5(/(x)不恒為0),則/(x)=coswx

模型2：若/(幻+/(刃=2/(彳)/(三馬(/(功不恒為0),貝U〃x)=coswx

【正切函數模型】(供提前了解)

模型：若/(X土田=例|需(/(幻/3)*1)，貝Ij/(x)=tanwx

x

+j\X)J\y)J、，

2

模型3：若/(x+y)+/(x—y)=姑(X)/(JO(/(X)不恒為0),則/(x)—COSwx

k

X壓軸題型講練2

【題型一抽象函數定義域】

一、單選題

1.(23-24高一上?重慶璧山?階段練習)已知函數“X)的定義域為[-1,2],則/(3-2x)的定義域為()

A.[g,2]B.[-1,2]C.[-1,5]D.[1,-|]

【答案】A

【分析】根據抽象函數定義域之間的關系進行求解即可.

【詳解】由于函數“X)的定義域為[-1,2],故-143-2x42,解得

即函數〃3-2x)的定義域為g,2].

故選：A.

2.(23-24高一上?江蘇鎮江?期中)已知函數+2)的定義域為(T3),則〃x)的定義域為()

A.(-1,1)B.(1,5)C.(-3,1)D.(0,2)

【答案】B

【分析】根據抽象函數定義域的對應特征分析求解.

【詳解】對于函數〃x+2)：因為3),則x+2e(l,5),

所以〃x)的定義域為(1,5).

故選：B.

3.(24-25高一上?全國?單元測試)已知函數尸/(x-l)的定義域是[-1,2],則y=/(l-3x)的定義域為

()

A.--,0B.--3C.[0,1]D.--,1

【答案】C

【分析】由函數＞=的定義域可得對于＞=〃l_3x)可得l-3xe[-2,1],運算求解即

可.

【詳解】因為函數＞=/(無T)的定義域是[T2],即xe[-l,2],貝！Jx-1e[-2,1]；

對于函數＞=〃1-3x),可知l-3xe[-2,l],解得xe[0,l],

所以函數V=-3x)的定義域為[0,1].

故選：C.

二、填空題

4.（23-24高一上?湖南邵陽?期中）已知函數y=的定義域為[1,9],則函數y=的定義域

為.

【答案】卜3,-1]up]

【分析】可根據相同對應關系括號內取值范圍一樣解出結果.

【詳解】因為函數了=/4）的定義域為[L9],

所以14x49,

又因為函數y=/（/）,

所以14/49,即1X3或-3MxM-1,

故答案為：[T-l]u[l，3]

5.（24-25高一上?全國?課堂例題）若/（2x+l）的定義域是[T3],則〃x）的定義域為.

【答案】[T,刀

【分析】根據題意，列出不等式求解即可.

【詳解】7-14x43,

.,.-1<2x+l<7,

的定義域為[-1,7].

故答案為：[-1,7].

/(2x-3)

6.（23-24高一上?江西贛州?階段練習）若函數/（x）的定義域是[2,5],則函數y=的定義域

是.

【答案】（3,4]

【分析】應用求解抽象函數的定義域的方法求出/（2x-3）的定義域，和了2-2工-3>0的解集，即可求解.

【詳解】由題意得函數f（x）的定義域是[2,5],

令f=2x-3,所以24f45,BP2<2x-3<5,解得

由，一2X一3>0,解得x<-l或x>3,

/(2X-3)

所以函數>=的定義域為（3,4].

故答案為：（3,4],

【題型二抽象函數求值】

一、單選題

1.（24-25高三上?廣東?開學考試）己知函數〃尤）滿足〃x）+/1+x,則/(2)()

【答案】D

【分析】根據題意分別令x=2、x=g和x=-l,運算求解即可.

【詳解】因為+占j=l+x,

令x=2,可得/（2）+〃-1）=3；

令x=；,可得（J+〃2）=|；

兩式相加可得/㈠）++2〃2）=g,

令x=T,可得〃-1）+/（m=0；

QQ

則2"2）=1,即/（2）="

故選：D.

2.（24-25高三上?廣東?開學考試）已知函數滿足d=/（x）-/⑺=

則下列結論中正確

的是（）

A./Q]=-2B./（2）=0C./（4）=1D./⑻=2

【答案】A

【分析】利用賦值法對X/進行合理取值，即可得出選項中各函數值，得出結論.

【詳解】令＞=1得/⑴=0;

令x=l/=2得/&]=〃1）一〃2）=-1,所以/（2）=1；

令x=2,y=4得/&b〃2）-/（4）=-1,所以〃4）=2；

令x=4,y=8得=一/（8）=-1,所以/⑻=3；

令x=l,y=4得U〃l）_〃4）=_2.

綜上只有A正確.

故選：A

3.(2024?福建泉州?模擬預測)已知函數“X)滿足/(x+y)=〃x)+〃y)+2盯，若/⑴=1,則/(25)=

()

A.25B.125C.625D.15625

【答案】C

【分析】利用賦值法結合條件可得/(〃)="進而即得；或構造函數/卜片》?求解.

【詳解】解法一：由題意取x="(”eN)/=l,可得

/(?+1)=/(?)+/(1)+2?

=/(n-l)+2f(l)+2(n-l)+2n

=/(〃-2)+3/⑴+2(〃-2)+2(力-1)+2〃

=(?+1)/(1)+2(1+2+---+?)

=(M+1)/⑴+〃(n+1)

即知"-1)=”+”(”-1)=n2,則/(25)=625.

解法二：令g(x)=/(x)-X?,貝！)g(x+j)=/(x+y)-(x+>)2

=/(x)+/(y)+2孫-(x+y)2=/(耳+小)7-丁=g(x)+g(y),

所以g(〃)=g("-i)+g(i)=，"="g(i)="(〃i)-F)=。，

即g(〃)=/(〃)一〃2=0,所以/(")=/,貝lJ/(25)=625.

解法三：由/(x+y)="x)+/(y)+2"可構造滿足條件的函數/'(x)=-,

可以快速得到7(25)=625.

故選：C.

二、多選題

4.(23-24高一上?吉林?期末)已知函數/(%)對任意x/eR,恒有/(x+y)=/(x)+/(y)+2盯+2,且

/⑴=-1,貝U()

A./(0)=-1B./⑵=6C./(0)=-2D.八2)=2

【答案】CD

【分析】賦值法，分別令x=>=0,x=y=l,即可得出答案.

【詳解】令》=y=0,得/(0)=/(0)+/(0)+2,則〃0)=-2.故A錯誤，C正確；

令x=y=l,得”2)=/⑴+/(1)+2+2=2.故B錯誤，D正確.

故選：CD.

三、填空題

5.（23-24高一上?山東?階段練習）己知函數的定義域為R,若〃x+y）="x）+“y）+2孫-1對任意

實數x,了都成立，則/（。）=；/（4）-4/（1）=.

【答案】19

【分析】令》=>=。可求得/（0）=1;令x=y=l得/（2）=2/⑴+1,令乂=>=2得，

/（4）=2/（2）+7,相減即可求得.

【詳解】因為〃工+田=/四+/。）+29-1對任意實數*,y都成立，所以令x=N=O得，

〃0）=2〃0）-1,解得/（0）=1；令x=y=l得，

/（2）=2/（1）+1,令x=y=2得，

〃4）=2/（2）+7,所以〃4）=2[2〃1）+1]+7=4〃1）+9,所以〃4）一4〃1）=9.

故答案為：1；9.

6.（24-25高一上?湖南?開學考試）如果函數y=f（久）滿足：/（。+4）=/（。"0）（。力為實數）,且

壞“和腑卡,3）/⑸7（2019）/（2021）

川）=92,那么代數式7西+y⑹+…+y港好+712022）——?

【答案】505

【分析】根據題目規律，先求出懸1r進而求得答案?

【詳解】根據題意，令6=1,則=

f⑷11

所以=

/(?+1)7(i)2,

7(3)/(5)__7(2021)_1

/(4)一/(6)一/(2022)2

因為3,5,7,9,…,2021共有1010個,

所以能端…黑H-

故答案為：505.

【題型三抽象函數解析式】

一、填空題

1.（23-24高三上?廣東惠州?階段練習）已知函數/（x）滿足〃x+l）=/（x）+2,則〃無）的解析式可以

是.（寫出滿足條件的一個解析式即可）

【答案】f（x）=2x（答案不唯一）

【分析】利用待定系數法求解即可，若設“切="，然后代入化簡求出。即可.

【詳解】若設〃》)=辦，則由"x+l)=/(x)+2,

得a(x+l)=ax+2,解得。=2,

所以〃x)=2x,

故答案為：f(x)=2x(答案不唯一)

2.(23-24高一上?廣東佛山?階段練習)已知定義在R上的函數〃x)滿足Vx,yeR,

f(2xy+3)=/(x)./(j)-3/(;；)-6x+9,"0)=3,不等式〃x)>x的解集為.

【答案】(T+8)

【分析】利用賦值法先求出解析式，再求解不等式可得答案.

【詳解】令x=>=0,得/(3)=/(0>/(0)-3/(0)+9=9.

令k0,則〃3)=/(x>〃0)-3/(0)-6x+9,即9=3〃x)-9-6x+9,解得/(x)=2x+3,

則不等式“X)>x的解集為(-3,+co).

故答案為：(-3,+8)

二、多選題

3.(23-24高一上?安徽淮南?階段練習)已知函數滿足/(x+》)=/(x)+/(》)區"R,則()

A./(0)=0B.f(k)=kfQ,keZ

C.〃x)=4/0)D./(-x)/(x)<0

【答案】ABC

【分析】結合已知條件，利用賦值法逐項判斷.

【詳解】對于A,7(0)=/(0+0)=/(0)+/(0)=2/(0),.-./(0)=0,故A正確;

對于B,f也)=f(k-l)+/(I)=f(k-2)+/(1)+/(I)=…=/(1)+/(D+-+〃1)=飲1),故B正確；

對于c/⑴”]?心力訃"寧永皿+”力

訃肛故c正確；

對于D,"X-無)=/(x+(-初=/(x)+/(-x)=/(0)=0,/(x)=-/(-無)J(x)/(-x)=-(Ax))?<0,故D錯

誤.

故選：ABC.

三、解答題

4.(2024高一?全國?專題練習)己知-2/[￡|=3X+2,求的表達式

7

【答案】/(x)=-x---2(x^0)

【分析】在原式中用工替換x,得-2/(x)—+2,與原式聯立方程組，求解即可.

X\-XyX

【詳解】在原式中用L替換X,得了[口-2〃X)=3+2,

X)X

消去了1J,得/(X)

=-x----2(xw0).

7

???所求函數的表達式為“X)=-x-：-2(x/0).

5.(23-24高一?江蘇?假期作業)設〃x)是R上的函數，/(0)=1,并且對于任意的實數x,y都有

f(x+y)=f(y)+x(x+2y+l),求〃x).

【答案】/(x)=x2+x+l

【分析】利用賦值法可求〃x)的解析式.

【詳解】由已知條件得"0)=1,又/@+力=/(力+x(x+2y+l),

設＞=-x,貝！)/(x-x)=/(-x)+x(-x+l),

所以1=/(一無)一x~+x即/(—X)=X?—x+1

Af(X)-X2+X+1.

此時f(x+y)=x2+2xy+y2+x+y+l,

而f(j)+x(x+2y+1)=x2+2xy+x+y2+y+\-/(x+y),

符合題設要求，故/(x)=x2+x+l.

【題型四抽象函數的單調性】

一、解答題

1.(23-24高二下?四川南充?階段練習)已知/(久)是定義在R上的函數，且對任意實數XJ,

/(x+2力=〃x)+2/(力.

⑴若/⑴=-2,求/['的直

(2)若x>0時恒有/(x)<0,試判斷函數/(x)單調性，并說明理由.

4

【答案】⑴/-1，

3

(2)f(x)為R上的減函數，理由見解析.

【分析】(1)取》=尸0,可得〃0)=0,取x=O,y=解得取x=y=|,解得//)，即可得

出答案.

(2)由題意可知/(x+2y)-/(x)=2/(y),設馬>再，令”號土，則/>0,作差/(々)-/(再),進而可

得答案.

【詳解】解：⑴取尸尸0,則/(0尸/(0)+2〃0),/(0)=0,

取x=0,y=j則/⑴=/?⑼+2/出，/g]=T，

取x=0,產1,解得〃0+2)=〃0)+2〃1)取/⑵=-4,

取A片|,貝丫⑵=d|j+2?|),解得d|J=T，

(2)由題意可知f(x+2y)-/(x)=2/(y),

設工2〉再，令公當上，貝!J”o,

所以/(多)-/(&)=/(再+2。-/(再)=2/。)<0,

所以/(芍)</(西)，

所以函數在R上為減函數.

2.(23-24高一下?貴州六盤水?期中)已知函數/(x)的定義域為R,對任意x,V都滿足

/(x+y)=/("(力,且〃x)W0.當尤>0時，且/⑵=9.

⑴求了⑴，〃3)的值；

(2)用函數單調性的定義證明/(x)在R上單調遞增；

⑶若對任意的xeR,/(2x2-/+a"3/(x-5)〃3x-4)恒成立，求實數。的取值范圍.

【答案】⑴"1)=3,43)=27

(2)證明見解析

(3)-2<a<3

【分析】(1)利用賦值法可得/⑴與/(3)；

(2)利用賦值法可得"0)=1,且當x<0時〃x)>0；

(3)結合抽象函數的性質及函數的單調性可得不等式2x?-4x+82/一°,即(2/-4x+8"http://一°,根

據二次函數最值可知/一°46,解不等式即可.

【詳解】(1)由〃x+y)=〃x)/(力，

則/(2)=/(1+1)=尸0)=9,

又當x>0時，/(x)>l,

則/⑴=3,

〃3)=/(1+2)=/⑴.〃2)=3x9=27；

(2)令y=0,貝!J/(x+O)=/(x>/(O),即"0)=1,

當尤<0時，-x>0,〃-力>1且+==l,

即〃上看>。，

即〃x)>0在R上恒成立，

由/(x+y)=/(x)/(力，可知今;：)=/(/),

令X]=x+y,x2=x,且X]>z,HPX[->0,

則(IP=/(再_*2)>1，

所以〃再)"(乙)，

即/(X)在R上單調遞增；

(3)由已知/(2/-/+力3/(尤-5)43x-4)=3"4x-9),

又由(1)得/⑴=3,

所以-/+43〃4》-9)=〃1)〃4%-9)=〃4》-8),

又函數在R上單調遞增，

貝!|2/-/+a2飄-8恒成立，

所以2/-4%+82/-。恒成立，

X2X2-4X+8=2(X-1)2+6>6,

即/-a46,

解得-24a43.

3.(23-24高二下?福建福州?期中)已知函數〃無)的定義域為(0,+司，對任意正實數X1，龍2都有

/azh/GJ+AzHi，且當0cx<i時，f[x)>-\.

⑴求/■⑴的值；

(2)試判斷/(x)的單調性，并證明；

(3)^/(6X2-5X)+1>0,求x的取值范圍.

【答案】⑴=

⑵在(0,+功上單調遞減，證明見解析

【分析】(1)由賦值法即可求解，

(2)利用單調性的定義即可求證，

(3)由函數的單調性，列不等式即可求解.

【詳解】(1)令西=苫2=1,得=+/⑴+1,解得=

(2)/(x)在(0,+8)上單調遞減，證明如下：

不妨設。<再<馬，

所以/5)-/(占)=/口2)-71*72)

=/(工2)-f—+/(X2)+1=~f-—1,

\X2JJ\X2J

又0"<Z，所以。<土<1,所以-/五]<1,所以小)-/(再)<0,

即/C，

所以/(X)在(0,+8)上單調遞減；

(3)由(2)知/(x)在(0,+8)上單調遞減,

若/(6x2-5x)+1>0,即/(6X2,5X)>-1=/(1),

[6x2-5x<1

所以小一5x>0,

解得*x<0或沁<1,即x的取值范圍是1

【題型五抽象函數的奇偶性】

一、單選題

1.(23-24高一下?貴州遵義?期末)已知函數的定義域為R,/(x+^)=/(x)+/(y)-2,則(

A./(O)=OB.函數〃x)-2是奇函數

C.若〃2)=2,則〃2024)=-2D.函數在(0,+8)單調遞減

【答案】B

【分析】對A,賦值法令x=7=0求解；對B,賦值法結合奇函數的定義判斷；對C,令了=2求得函數的

周期求解；對D,利用單調性定義結合賦值法求解判斷.

【詳解】對于A,令x=y=0,可得/(0)=/(0)+/(0)-2,解得〃0)=2,故A錯誤；

對于B,Q/,可得f(O)=/(x)+/(-x)-2,又/⑼=2,

則/(r)-2=-/(x)+2=-[/(x)-2],所以函數〃x)-2是奇函數，故B正確；

對于C令尸2,得〃x+2)=/(x)+f(2)-2=/(x),則/⑺是周期函數，周期為2,所以

7(2024)=/(0)=2,故C錯誤；

對于D,令x=X],y=x2-Xj,且％＞再＞0,則/(再+%一再)=/(再)+/(%2_再)_2,

即〃%)-/(玉)=/優-芭)-2,而x＞0時，f(x)與2大小不定，故D錯誤.

故選：B.

2.(23-24高一下?河南洛陽?期末)已知函數〃無)的定義域為R,八a)f(b)-f(a)=ab-b,貝I]()

A.7■⑼=0B./(1)=2C./(月-1為偶函數D.7(x)-l為奇函數

【答案】D

【分析】對于A,令6=0,可求出/(0)進行判斷，對于B,令a=b=l,可求出/⑴進行判斷，對于CD,

令。=0,6=x,可求出/(x),從而可求出/(x)-1,進而可判斷其奇偶性.

【詳解】對于A,令6=0,則/(。)/(0)-/(。)=0,得=

所以〃。)=0或/(。)=1,

當/(a)=0時，伍)-〃。)=浦-方不恒成立，所以/'(0)=1,所以A錯誤，

對于B,令1=1,則/⑴”1)-/⑴=0,得/⑴[/⑴-1]=0,

所以/。)=0,或/⑴=1,

由選項A可知/⑴片0,所以/⑴=1,所以B錯誤，

對于CD,令a=Q,b=x,則/(O)/(x)-/(O)=f,由選項A可知/⑼=1,

所以=所以=l-x-l=f,

令g(x)=/(X)-1=-X,貝!)g(-x)=x=-g(x),

所以g(x)為奇函數，即/(x)T為奇函數，所以C錯誤，D正確，

故選：D

3.(23-24高一下?黑龍江大慶?開學考試)已知函數/(x)的定義域為R,且/[；]片0,若

/(x+〉)+/(x)/(y)=4xy,則下列結論錯誤的是()

C.函數是偶函數D.函數是減函數

【答案】C

【分析】首先利用賦值法求得了(-；]的值，再賦值P=求得/'口-；]的解析式，即可判斷C,再根

據函數的解析式，賦值判斷BD.

【詳解】對于A,令x=；、y=o,則有d，+/1￡|x/(o)=d￡|[i+/⑼]=0,

又故l+/(O)=O,BP/(O)=-l,

令片—則有嗎一斗佃?￡|=4XD，

即/(。)+/[￡|/]￡|=-1,由/(。)=一1,可得/[1]一￡|=°，

又卜0,故/?=0,故A正確；

對于C,令k―，貝!I有/)一j+〃x)/1￡j=4xx'B，

則/(x-！|=-2x,故函數是奇函數，故C錯誤；

對于D,有了]x+1一1]=一2(x+1)=—2x—2,即/(x+5]=—2x—2,

則函數是減函數，故D正確；

對于B,由/(x-j=-2x,令x=l,有/]￡|=-2X1=-2,故B正確.

故選：C

二、多選題

4.(23-24高一上?遼寧遼陽?期末)已知函數〃x)對任意x/eR恒有〃x+y)=〃x)+〃y)+4盯+1,且

"1)=1，則()

A."0)=7B.〃x)可能是偶函數

C./(2)=8D.〃x)可能是奇函數

【答案】AB

【分析】根據條件，通過賦值法，對各個選項逐一分析判斷即可得出結果.

【詳解】對于選項A,令x=y=O,得f(O)=〃O)+/(O)+l,則/(0)=-1,所以選項A正確;

令了=-心得/(O)=〃x)+〃-x)-4/+1,貝!|〃X)+〃-X)=4X2-2,

對于選項B,若是偶函數，則〃X)=/(-X)=2X2-1,所以選項B正確；

對于選項D,若/'(x)是奇函數，則+/(-1)=2*0,所以/(x)不可能是奇函數，所以選項D錯誤；

對于選項C,令x=y=l,</(2)=/(1)+/(1)+4+1=7,所以選項C錯誤；

故選：AB.

5.(23-24高一上?浙江金華?階段練習)定義在R上的函數〃x)滿足/(x)+/(y)=〃x+y),則下列說法正

確的是()

A.40)=0B.=-

C.為奇函數D.“X)在區間上",〃］上有最大值〃〃)

【答案】ABC

【分析】令x=y=o,求得"0)=0,可判定A正確；令〉=一》，推得〃-x)=-/(x),可判定C正確；

用-y代替y,可判定B正確；由〃為)-/(%)=/(%)+/(-%)=/(%-%),因為的符號不確定，可判

定D不正確.

【詳解】由定義在R上的函數上》)滿足/(x)+f(y)=/(x+y),

令x=y=0,可得2/(0)=〃0),可得〃0)=0,所以A正確；

令kT,可得〃x)+/(f)=/(o),因為"0)=0,可得=

所以函數〃x)為定義域上的奇函數，所以C正確；

用代替九^f(x)+f(-y)=f(x)-f(y)=f(x-y),所以B正確；

任取Xi,eR,且占<工2，則再一/<0，

則/'(玉)-/卜2)=/(否)+/'(-2)=/'(4-%),

其中一區-%)的符號不確定，所以函數/(x)的單調性不確定，

所以“X)在區間回山上的最大值不一定為了("),所以D不正確.

故選：ABC.

6.(23-24高一上?河北邢臺?階段練習)已知定義在R上的函數/(x),對任意實數x/,都有

〃孫)=0(x)+獷⑺，則()

A."0)=0B./(l)=0

C./(16)=16/(2)D.為奇函數

【答案】ABD

【分析】根據題意，令令x=y=0,可判定A正確；令x=y=l,可判定B正確；令x=y=4,求得

〃16)=8/(4),再令x=y=2,可判定C錯誤；令x=y=-l,求得=

再令>=T,得到〃-x)=-/(x),可判定D正確.

【詳解】由題意知，定義在R上的函數對任意實數亂九都有〃孫)=0(x)+V(y),

對于A中，令x=y=0,得〃0)=0,所以A正確；

對于B中，令x=y=l,得八1)=〃1)+〃1),則/⑴=0,所以B正確；

對于C中，令x=y=4,得/。6)=4/(4)+”(4)=8〃4),

再令x=y=2,得〃4)=2/(2)+2/(2)?4/(2),

可得“16)=8/(4)=32/(2),所以C錯誤.

對于D中，令x=y=-l,得/⑴=一2〃-1)=0,貝！-1)=0,

再令>=T,得〃T)=_/(X)+V(T)=-f(x),則/(x)為奇函數，所以D正確.

故選：ABD.

三、解答題

7.(23-24高一下?河北保定?階段練習)已知定義在R上的函數/(x)滿足：

/(x+y)=/(x)+/(y)-3xy(x+y).

⑴判斷了=/(x)的奇偶性并證明；

(2)若=求〃一2)；

⑶若Vx>0J(x)+x3>0,判斷并證明y=〃x)+無3的單調性.

【答案】⑴奇函數，證明見解析

⑵4

(3)y=/(x)+d在R上單調遞增，證明見解析

【分析】(1)根據條件，通過賦值工=〉=0,得到"0)=0,再賦值y=-x,即可證明結果；

(2)通過賦值工=>=1,得到/(2)=-4,再利用(1)中結果，即可求出結果；

(3)根據條件，直接利用函數單調性的定義法，即可證明結果.

【詳解】(1)了=/(幻是奇函數，證明如下：

因為/(x+y)=」(尤)+/(力-3孫(x+力,令x=y=O,得到/⑼=0,

令y=f,得到/(o)=/(x)+/(-x)=o,即=所以y=/(x)是奇函數.

(2)令x=y=l,得到〃2)=〃1)+〃1)-6=-4,由⑴知y=/(x)是奇函數,

所以〃-2)=-"2)=4.

(3)>=/(x)+x3在R上單調遞增，證明如下：

3

在R上任取xt>x2,令h(x)=/(x)+x,

2

貝!]"(占)一，7(無2)=/(xj+x；-f(x2)-xl=/(X]-X2+X2)-/(X2)+(X]-X2)(Xj+xAx2+x；)

((2((2；

=/X1-X2)-3(XJ-x2)x2xt+(尤1-x2)X1+xxx2+x1)=/X]-無2)+X]-x2)(Xj-2X]無2+x)

3

=/(x1-x2)+(x1-x2),

又因為v無>0J(x)+無3>0,而再-%>0,所以/(再-%)+(%-無2)3>0，

即力(%)-32)>0,得到〃(再)>〃(％),所以y=/(x)+x3在R上單調遞增.

8.(23-24高一上?山東?階段練習)已知定義在(-*0)U(0,+8)上的函數滿足f(y)~f(x)=,

當x>0時，f(x)>0,且〃1)=1.

⑴求〃2),〃一1)；

(2)判斷了(x)的奇偶性，并說明理由;

(3)判斷/(x)在(-叫0)上的單調性，并說明理由.

【答案】(11；-1

⑵奇函數；理由見詳解

(3)單調遞減，理由見詳解

【分析】(1)利用賦值法即可求得；(2)利用賦值構造或代換得到/(x)與/(-x)關系，進而判斷函數奇偶

性；(3)賦值構造出/(西)-/@2)表達式，再運用定義證明函數單調性.

【詳解】⑴令x=2,尸1,可得/⑴-〃2)=筆儼=〃2),

解得〃2)=；；

令x=l,y=-l,可得〃-1)-〃1)=坐去心，解得/'(T)=T.

J\z)

(2)〃x)為奇函數，理由如下:

而“〃I\

得止x）=1〃x皆）T-）〃龍「）-小）

/M-i

故"X）在（-8,0）U（0,+8）上是奇函數

（3）當x>0時，/（x）>0,所以當x<0,貝！|r>0,得

又〃x）在（F,0）U（0,+8）上是奇函數，所以當x<0,則〃x）<0,

設網<尤2<°，則〃尤1）-〃%）=4：，";）,所以/（尤1）-/（馬）>0，故/（再）>/（工2）,

J~X\）

y（x）在（-叫0）上單調遞減.

【點睛】方法點睛：抽象函數求解證明時，一般是通過賦值法，即在已知等式中讓自變量取特殊值求得一

些特殊的函數值，解題時注意所要求函數值的變量值與已知的量之間的關系，通過賦值還能得出函數的奇

偶性、周期性、單調性.

x壓軸能力測評2

一、單選題

1.（24-25高一上?湖北黃岡?階段練習）已知函數-x）定義域為（0,2）,則-1]定義域是（）

A.，門4、「?14、C.（141D.[「耳1,；4「

【答案】C

【分析】根據/X--無）的定義域為xe?2）,可得/-X的范圍，也是工-1的范圍，解出x的范圍即是〃工-1）

XX

的定義域.

【詳解】因為〃f-x）的定義域為xe（0,2）,

.■.-^<X2-X<2,對于函數/（工一1）有一一1<2,解得定義域為金.

4x4x133」

故選：C

2.（23-24高一上?吉林延邊?階段練習）己知定義在（0,+司上的函數“X）滿足/四-4/[[=-?，則〃2）

的值為（

【答案】D

【分析】由已知可知/[￡|-”(x)=T5x,與已知的式子聯立方程組可求出/(x),從而可求出〃2)的

值.

【詳解】因為定義在(0,+。)上的函數小)滿足/'(X)-4/mT，

所以O”(x)=-15x,所以d￡j=4/(xH5x,

所以/(x)-4[4〃尤)-15x]=-",解得/(x)=4x+L

XX

117

所以〃2)=8+5=了，

故選：D

3.(23-24高一上?安徽宣城?期末)己知函數/(x)滿足/(孫)=/(x)+/(y)-l,且x/e(0,+s),貝|

/。+/出+〃1)+/(2)+〃3)=()

5

A.0B.1C.5D.-

2

【答案】C

【分析】通過賦值得/。)=1,〃X)+/(￡|=2,由此即可得解.

【詳解】由題意在/(盯)=/3+〃目-1中令工="1,貝!)〃1)=2〃1)-1,解得〃1)=1,

令尸)貝！=l=+貝!]〃X)+/(￡|=2,

所以d+/出+〃1)+〃2)+〃3)=〃1)+〃2)+/出+〃3)+d=1+2+2=5.

故選：C.

4.(2023?浙江嘉興?模擬預測)己知函數的定義域為R,且〃xhdy&jxe(-叫0川(0,+動)，

/(x)+/(y)+2盯=/(x+y),貝I]/⑶的值是()

A.9B.10C.11D.12

【答案】D

【分析】由賦值法先得/'(0)=0,再由7?⑴與/(-1)關系列式求解.

【詳解】/(x)+/(y)+2盯=/(x+y)中令x=y=0,貝1]〃0)=0,

/(x)+f(y)+2盯=/(%+力中令x=l,y=-l,貝！)+一2=〃0)=0,

又〃X)=x7{1

中令x=—l,貝！=所以y(l)=2,

f(x)+f(y)+2呼=f(x+y)中,令x=y=l,則/(2)=2，(l)+2=6,

再令x=l,y=2,則〃3)=〃1)+八2)+4=2+6+4=12.

故選：D

5.(23-24高一下?河南洛陽?期末)已知函數〃X)的定義域為R,f(Gf?-f(a)=ab-b,貝I]()

A./(O)=OB./(1)=2C./(x)-l為偶函數D./(x)-l為奇函數

【答案】D

【分析】對于A,令6=0,可求出/(0)進行判斷，對于B,令a=b=l,可求出/⑴進行判斷，對于CD,

令。=0,6=x,可求出/(x),從而可求出進而可判斷其奇偶性.

【詳解】對于A,令6=0,則〃=得=

所以/(。)=0或/(。)=1,

當/⑷=0時，〃。)/8)-〃。)=必々不恒成立，所以〃0)=1,所以A錯誤,

對于B,令a=6=l,則/⑴/⑴一/⑴際0,^/(1)[/(1)-1]=0,

所以/。)=0,或/0)=1,

由選項A可知所以"1)=1,所以B錯誤，

對于CD,令a=Q,b=x,則/⑼由選項A可知=

所以〃x)=l-x,所以〃x)-l=17-l=r,

令g(x)=/(x