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專題03抽象函數(shù)的定義域、求值、解析式、單調(diào)性、奇偶性

的應(yīng)用

o-----------題型歸納?定方向-----------?>

目

題型01抽象函數(shù)的定義域.......................................................................1

題型02抽象函數(shù)求值...........................................................................3

題型03抽象函數(shù)的解析式.......................................................................6

題型04抽象函數(shù)的單調(diào)性......................................................................10

題型05抽象函數(shù)的奇偶性......................................................................15

?>-----------題型探析,明規(guī)律------------*>

題型01抽象函數(shù)的定義域

【解題規(guī)律?提分快招】

插象齒救比叉域的被

所謂抽象函數(shù)是指用/(x)表示的函數(shù)，而沒有具體解析式的函數(shù)類型，求抽象函數(shù)的定義域問題，關(guān)鍵是

注意對應(yīng)法則。在同一對應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致

的，都在同一取值范圍內(nèi)。

抽象函數(shù)的定義域的求法

(1)若已知函數(shù)/(X)的定義域為[a,b],則復(fù)合函數(shù)/(g(x))的定義域由*g(x)勁求出.

⑵若已知函數(shù)/(g(x))的定義域為[a,b],則/(x)的定義域為g(x)在比口，切時的值域.

注：求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結(jié)果必須用

集合或區(qū)間來表示.

lawirn

一、單選題

1.(24-25高三上?貴州六盤水?期末)已知函數(shù)/(x)的定義域為[-1,3],則函數(shù)/(2x-l)的定義域為()

A.[-3,5]B.[-1,1]C.[0,4]D.[0,2]

【答案】D

【分析】由抽象函數(shù)的定義域列不等式即可得解.

【詳解】函數(shù)/（X）的定義域為M，

所以—1W2x—1<3,

解不等式得0WXW2,

即函數(shù)的定義域為[0,2],

故選：D

2.（24-25高三上?陜西咸陽?期中）己知函數(shù)了=/（3無+2）的定義域為則函數(shù)了=羋]的定義域為

3y/x-1

（）

A.（1,5]B.[1,5]C.[-1,1]D.（2,5]

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用抽象函數(shù)的定義域，結(jié)合復(fù)合函數(shù)定義域列式求解即得.

【詳解】由函數(shù)>=/（3x+2）的定義域為[fl],得-*VI,則-343X+245,

f（x}f-3<X<5

即歹=/（'）的定義域為[-3,5],在函數(shù)歹=罕4中，由解得l<x<5,

y/x-1[X-l>0

所以所求函數(shù)的定義域為0,5].

故選:A

3.（24-25高三上?云南昆明?期中）己知函數(shù)〃x-3）的定義域是[-2,4],則函數(shù)/（2x-l）的定義域是（）

A.B.[-5,7]C.[-9,1]D.

【答案】D

【分析】由函數(shù)/（x-3）的定義域求出/（x）的定義域，進而求出函數(shù)/（2x-l）的定義域.

【詳解】因為函數(shù)〃x-3）的定義域是[-2,4],

所以函數(shù)的定義域是卜5,1],

令—5W2x-141,以—2<x<1,

所以函數(shù)的定義域是卜25.

故選：D.

4.（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）己知函數(shù)〃無）的定義域為[0,3],則函數(shù)的定義域為（）.

A.[1,4]B.[0,2]C.[0,4]D.[1,2]

【答案】B

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】因為函數(shù)/'(x)的定義域為[0,3],

所以042,-143,解得0VxW2,

則函數(shù)/(2<1)的定義域為[0,2].

故選：B.

5.(24-25高三上?陜西咸陽?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x-l)的定義域為(-鞏3],則函數(shù)三]定義域為

()

A.[1,2]B.[1,2)

C.(-℃,l]u[2,+oo)D.(-<?,l]U(2,+oo)

【答案】D

9Y

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域求法列不等式得到:42,然后解不等式即可.

2-x

【詳解】，(xT)中，令xV3,則X-1V2,

所以,品),2x-戶-1）（2-小。

中有

2-x[2-"0

解得xV1或x>2.

故選：D.

題型02抽象函數(shù)求值

【解題規(guī)律?提分快招】

[二酸菜甬麻疽族「而「三二毫籥疝麗值手段一—一

Q如麗ii綠廠

一、單選題

1.(24-25高三上?福建泉州?階段練習(xí))若對任意的x,"R,函數(shù)滿足￡3=/3+/(田，則〃1)=

()

A.6B.4C.2D.0

【答案】D

【分析】利用賦值法即可求解.

【詳解】令x=y=o,則理=〃0)+〃0)，解得"0)=0，

令x=l/=O,貝=+故/⑴=0,

故選：D

2.(24-25高三上?廣東深圳?期中)已知函數(shù)〃x)的定義域為(0,+8),Vx,ye(0,+8),都有

/(5=/(x)T(y)+l,且=則"512)=()

A.—6B.—7C.-8D.—9

【答案】C

【分析】令x=v=l可得〃1),令丁=2x可得〃2),代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】當(dāng)x=i,v=i時，/(i)=/(i)-/(i)+i,所以"1)=1;

令y=2x得f(2x)="X)-1,所以/(2)=/(I)-1=0；

/(22)=/(2)-1=-1,/(23)=/(22)-1=-2,

/(24)=/(23)-1=-3,

/(512)=/(29)=/(28)-1=-8.

故選：C.

3.(24-25高三上?廣東江門?階段練習(xí))函數(shù)“X)滿足對任意的實數(shù)x,九均有=

且〃1)=；，則/(2)+/(3)+/(4)++7(2025)

/(I)/(2)〃3)/(2024)

A.1014B.1012C.2024D.2025

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法可得%1W(D,由此計算得解.

【詳解】依題意，對于V〃eN*,取％=篦+嫌=1,得/⑺?/⑴=/(〃+1),而/⑺。0,

因此端…g所以瑞+腎瑞…倡

故選：B

4.(24-25高三上?山東濰坊?期中)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x-V+1)-/(%+>+1)=/(%)/(田,

且/⑴=2,則/⑵+/(3)+/(4)=()

A.2B.0C.-2D.-4

【答案】C

【分析】分別對X、y賦值，結(jié)合已知條件分別求出/(3)、/(2)、7(4)的值，即可得解.

【詳解】令x=j=l可得/■。)-/(3)=/⑴./⑴,gp2-/(3)=2\解得〃3)=-2,

令x=l,>=0可得〃1)〃0)=〃2)-〃2)=0,則〃0)=0,

令尤=0,y=l可得/(0)-/(2)=〃0)41)=0,則〃2)=〃0)=0,

令x=2,y=l可得/(2)-/(4)=/(2)/⑴=0,可得〃4)=〃2)=0,

因此，/(2)+/(3)+/(4)=-2.

故選：C.

5.(24-25高三上?黑龍江?階段練習(xí))已知〃x)是定義在R上的函數(shù)，且/(x+1)-/(x)=l+〃x+l)/(x),

/(1)=2,則〃2024)=()

A.-2B.-3C.1D.y

【答案】C

【分析】借助賦值法令x=0可得〃0)=!

即可得再借助賦值法計算可得函數(shù)周期,

利用所得周期計算即可得解.

【詳解】因為〃x+l)-〃x)=l+〃x+l)〃x),

所以當(dāng)x=0時，/(l)-/(o)=l+/(l)/(o),又/⑴=2,所以/(0)=，

l+〃x)

又由/'(x+l)-7'(x)=l+/(x+l)/(x),可得/(x+l)=

]J+/(x)

i

所以f(x+2)=/((x+l)+l)=

罟摧1l+/(x)〃x)'

/(x+4)=/((x+2)+2)=--^-^=一—^=/(x)

〃x)

故函數(shù)〃X)是以4為周期的函數(shù)，所以〃2024)=〃。)=；.

故選：C.

6.(24-25高三上?湖南?階段練習(xí))定義在(0,+司上的函數(shù)〃x)滿足條件①Vxe(O,+s),〃x)wO,②

Vx,^e(0,+co),/(孫+當(dāng),則的值為()

24-58

A.—B.-C.—D.一

5525

【答案】B

【分析】令x=?=l求出”1),即可求出〃2),再令x=y=；求出/出，最后根據(jù)/0=+1計

算可得.

【詳解】?.、"€((),+8),/(xy)=1/(x)/(y),

令x=y=l,#/(1)=1/2(1),又.../(1)=2,

"1"⑴

.../(2)=/(1+1)==1

HA1

再令》=尸萬,

1

/(2"

5=小+小24

215

〃2)+/

2

故選：B

題型03抽象函數(shù)的解析式

【解題規(guī)律?提分快招】

插象鬲藪的稹型

【反比例函數(shù)模型】

反比例函數(shù)：=就然’則/⑴=—,[5x)J⑴J(f)均不為。]

【一次函數(shù)模型】

模型1：若/(X土井=/(x)±/(y),則/(x)=/(l)x；

模型2：若/(x土歹)=/(x)±/(y),則/(x)為奇函數(shù)；

模型3：若f(x+y)=模型+f(y)+m,則/(x)=[/(1)+m]x-m；

模型4：若/(%一了)=/(乃一/00+7%則/(》)=[/。)一加卜+加；

【指數(shù)函數(shù)模型】

模型1：若/(X+V=/⑴/⑺，則/(X)=[/⑴『；/(x)>o

模型2：若/(X—用=端，則/(x)=[/(l)r；/(x)>0

模型3：若/(x+y)=/(x)/(j)m,則/⑴=⑺⑴加]；

m

模型4：若f(x-J)=加，則/(、)=加,⑴;

J\y)m

【對數(shù)函數(shù)模型】

模型1：若/(x")=W(x),則/0)=/(4)3山>0且#1,>>0)

模型2：若")=/(x)+/(v),則/(x)=/(a)log〃x(a>(^Hl,x,y>0)

模型3若/(丁=/(%)一/(歹),則/(3)=/(。)34(。>0且11,%/>0)

模型4：若/(封)=/(x)+/(y)+機，則/(為=[/(口)+加]108(3%—優(yōu)(4>0且片1,演歹>0)

模型5：/(^)=f(x)-f(y)+m,則/(x)=[/(a)-加]噫*+掰(4>0且#Lx,y>0)

【嘉函數(shù)模型】

模型1：若/⑶)=/(x)/(j),則/(x)=/(?)|0&￥(a>0且w1)

模型2：若/(")=偌，則/(力=/(。產(chǎn)"(。>。且。1,尸。,/3#0)

代入/(a)則可化簡為募函數(shù)；

【余弦函數(shù)模型】

模型1：若f(x+y)+f(x-y)=2/(x)/(y)(/(x)不恒為0),則模x)=coswx

模型2：若/(》)+/3)=2/(“)/(一乂/(乃不恒為0),則〃x)=coswx

【正切函數(shù)模型】

模型：若f(x±y)=1*：猥)(/(X)/⑺麻)，則/(x)=tanwx

一2

模型3：若/(》+歷+/0-了)=姑0)/(歷(/(X)不恒為0),則/(X)=7COSWX

K

彳麗訶綜i

一、填空題

1.(23-24高三上?江西南昌?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)滿足〃x+2)=〃x)+l,則〃x)的解析式可以是

(寫出滿足條件的一個解析式即可).

【答案】/(x)=1x(答案不唯一)

【分析】利用待定系數(shù)法求解即可，若設(shè)/(%)=◎,然后代入化簡求出。即可.

【詳解】設(shè)〃x)=ax,由〃x+2)=〃x)+l,

代入可得，a(x+2)=ax+l,解得a=；,

??.〃x)=gx.

故答案為：/(x)=；x.(答案不唯一只要正確即可)

2.(23-24高三上?遼寧遼陽?期中)已知/(x)是定義在(0,+8)上的單調(diào)函數(shù)，且\/xw(O,+s),

/(7(x)-V^)=6,貝U/(100)=.

【答案】14

【分析】由單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，可得〃x)_?為定值，可以設(shè)則/(X)=7+4,又由

〃/)=6,可得〃x)的解析式求“100).

【詳解】Vxe(O,+s),/(/(x)-V^)=6,〃x)是定義在(0,+動上的單調(diào)函數(shù)，

則“X)-?為定值，設(shè)，=/(x)-4,則/(x)=f+4,

f(t)=t+&=6,解得f=4,得/(x)=4+?,

所以〃100)=4+^^=14.

故答案為：14.

3.(23-24高三上?湖北?期末)函數(shù)〃x)滿足〃x)+/[￡|=0,請寫出一個符合題意的函數(shù)的解析

式?

【答案】/(x)=log^(答案不唯一)

【詳解】取〃X)=10g2X,

則/(X)+/[：)=log2x+log21=log2TJ=log2l=0,滿足題意.

故答案為：/(x)=log2X(答案不唯一)

4.(24-25高三上?北京?期中)寫出同時滿足以下兩個條件的一個函數(shù)/(x)=—.

①Vx,yeR,/(中)=/(x)/(y)；

②Vx,ye[0,+⑹且"九.

【答案】公(答案不唯一)

【分析】根據(jù)條件可知二次函數(shù)可以滿足其要求.

【詳解】令"x)=/,則/3)=(盯)2=—/滿足條件①；

Vx,ye[0,+oo）且xwy,/.+/3=』+』=-+<+Y+口>-+行+2苫》/3丫=（土

"L，22442J2

足條件②;

故答案為：X2(答案不唯一)

5.(2025高三?全國?專題練習(xí))設(shè)/(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足對任意x,了，等式

-x)=-2/(x)+3y(4x-丁+3)恒成立，則〃x)的解析式為.

【答案】/(x)=3x(x+l)

【分析】通過令歹=》代入即可求解

【詳解】???“X)是定義在R上的函數(shù)，且對任意x/J(2y-力=-2/(村+3”以-)+3)恒成立，

...令y=x,得/(2無一無)=—2/(x)+3x(4x—x+3),即

/(x)=-2/(x)+3x(3x+3),;.3f(x)=3x(3x+3),.'.f(x)=3x(x+l).

故答案為：/(x)=3x(x+l)

6.(23-24高三上?浙江杭州?期末)寫出一個同時具有性質(zhì)①對任意0＜再＜々，都有/(占)＞/仁2)；②

/(中)=/⑴/⑺的函數(shù)/(X)=.

【答案】-(答案不唯一)

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合/■(個)=〃x)/(j)及常見的函數(shù)特點即可得結(jié)果.

【詳解】因為對任意0＜再＜%，都有〃再)＞〃％),即函數(shù)/(X)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，

由于〃孫)=/(x)/(y),即可取/(x)=：,

故答案為：-(答案不唯一).

X

7.(23-24高三上?海南海口?期末)已知函數(shù)“X)的定義域為R,且/■(x+y)+〃xr)=2〃x)〃y),

/(0)=1,請寫出滿足條件的一個/(x)=(答案不唯一).

【答案】l,cosx(答案不唯一)

【分析】根據(jù)所給條件分析函數(shù)為偶函數(shù)，取特殊函數(shù)可得答案.

【詳解】令x=0,則/(y)+/(-y)=2/(0"(y),

又/(0)=1,

所以/(y)+〃-y)=2/(y),即/(-y)=/(y),

所以函數(shù)為偶函數(shù)，

不妨取偶函數(shù)〃x)=l,則/(x+y)+f(xr)=l+l=2xlxl=2f(x)/(力,

也可取，(x)=cosx,則cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy,滿足題意.

故答案為：1,cosX(答案不唯一)

8.(2024?陜西銅川?三模)已知函數(shù)/(X)是定義域為R的偶函數(shù)，且/(x+1)為奇函數(shù)，寫出函數(shù)/(x)的

一個解析式為/(無)=.

【答案】COSy(答案不唯一)

【分析】由/(x+1)為奇函數(shù)可得了(X)的圖象關(guān)于點(L0)中心對稱，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可構(gòu)造

〃x)=cos藍符合題意.

【詳解】由/(x)為偶函數(shù)，知/(無)的圖象關(guān)于V軸對稱；

由/(x+1)為奇函數(shù)，知/(X)的圖象關(guān)于點(1,0)中心對稱，

據(jù)此構(gòu)造函數(shù)“X)=cos￡,則/(X)是偶函數(shù)；

/^+1)=3e+3=-51吟為奇函數(shù)，符合題意.

故答案為：cosy(答案不唯一).

題型04抽象函數(shù)的單調(diào)性

【解題規(guī)律?提分快招】

插象函數(shù)的性質(zhì)

1.周期性：f(x+a)=/(%)=>T=a；f(x+a)=-f(x)=>T=2a；

/(x+a)=A=>T=2a(左為常數(shù))；/(x+a)=f(x+b)=i>T=|a-/j|

f\x)

2.對稱性：

對稱軸：/(。一%)=/(。+》)或者/(24-》)=/(》)=>/(x)關(guān)于x=a對稱；

對稱中心：/(a-x)+/(a+x)=2b或者/(2a-x)+/(x)=2bn/(x)關(guān)于(a,A)對稱；

3.如果/(x)同時關(guān)于x=a對稱，又關(guān)于0,c)對稱，則/(x)的周期T=|a—b]

4.單調(diào)性與對稱性(或奇偶性)結(jié)合解不等式問題

①/(x)在R上是奇函數(shù)，且/(x)單調(diào)遞增n若解不等式/(x1)+/(x2)>0,則有

玉+%>°；

/(x)在R上是奇函數(shù)，且/(x)單調(diào)遞減=>若解不等式/(x1)+/(x2)>0,則有

項+%<°；

②/(X)在R上是偶函數(shù)，且/(X)在(0,+8)單調(diào)遞增n若解不等式/(xj>/(x2),則有㈤〉民|(不

變號加絕對值)；

/(x)在R上是偶函數(shù)，且/(x)在(0,+8)單調(diào)遞減n若解不等式/(X1)>/(x2),則有同<|引(變號

加絕對值)；

③/(x)關(guān)于(。力)對稱，且/(X)單調(diào)遞增n若解不等式/(X1)+/(X2)>2Z),則有；

%]+/〉2a；i

/(X)關(guān)于(a4)對稱，且/(X)單調(diào)遞減n若解不等式/(X1)+/(X2)>2Z),則有：

玉+%<2a；；

④/(x)關(guān)于x=a對稱，且/(X)在(a,+00)單調(diào)遞增n若解不等式/(西)〉/國)，則有上—4〉忸一4

(不變號加絕對值)；

/(x)關(guān)于x=a對稱，且/(x)在(a,+8)單調(diào)遞減n若解不等式/(西)〉/(々)，則有忖—《<怛―4：

(不變號加絕對值)；

Tftwim1

1.(24-25高三上?河北石家莊?階段練習(xí))已知/(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且

〃x)+g(x)=U：+2x2-3,則不等式〃3-2x)>〃x+2)的解集是()

A.]*]B.g+oo[C.~,1U(5,+⑹D.

【答案】A

【分析】由函數(shù)的奇偶性求出/(x),再利用函數(shù)的單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式即可；

【詳解】因為/(x)+g(x)=三匚+2/-3①，且是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，

-XX-xX

則〃T)+g(-口=.+加-3,即-〃x)+g(x)=T+2x2-3②，

由①②可得/(x)=W;，

因為函數(shù)〉=e'、y=-e-'均為R上的增函數(shù)，所以，函數(shù)〃尤)=二二為R上的增函數(shù)，

由/(3-2x)>/(x+2),可得3-2x>x+2,解得x<；.

因此，不等式/(3-2尤)>〃工+2)的解集是1-%￡].

故選：A.

2.(湖北省武漢市問津教育聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)/(x)是定義在

[-4,4]上的偶函數(shù)，在[-4,0]上單調(diào)遞增.若〃尤+-2),則實數(shù)x的取值范圍是()

A.(—°°,—3)U(1,+°°)B.(—3,1)C.[—3,1)U(3,5]D.[—5,-3)U(1,3]

【答案】D

【分析】由偶函數(shù)性質(zhì)得出函數(shù)在［0,4］上單調(diào)性，再由偶函數(shù)性質(zhì)變形不等式，然后由單調(diào)性化簡后求解.

【詳解】函數(shù)是定義在［-4,4］上的偶函數(shù)，在14叫上單調(diào)遞增，則在［0,4］上單調(diào)遞減，

/。+1)</(-2)化為/(卜+1|)</(2),即解得一5"<-3或3/>1,

故選：D.

3.(24-25高三上?福建泉州?期中)已知函數(shù)〃x)=e"3-e3T+x,則滿足〃2機-2)+〃心-1)>6的實數(shù)加

的取值范圍是()

A.B.C.D.(3,+⑹

【答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x+3)-3,分析其奇偶性和單調(diào)性，再解不等式即可.

【詳解】令g(x)=/(x+3)-3=e*-eT+x,則g(-x)=-e*-x=-g(x),且定義域為R,

所以g(x)為奇函數(shù)，

因為函數(shù)〉=e，,y=-er,夕=x在R上均為增函數(shù)，

所以函數(shù)g(x)在R上為增函數(shù)，

因為/(2加一2)=g(2加一5)+3,/O?-l)=g(m-4)+3,

所以原不等式可轉(zhuǎn)化為g(2m-5)+g(m-4)>0,

即g(2%-5)>-g(加一4)=g(4—m),

由單調(diào)性可得2加-5>4-加，解得加>3,

所以實數(shù)加的取值范圍是⑶+8).

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x+3)-3,再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，是解決本題

的關(guān)鍵.

4.(23-24高三上?浙江杭州?期末)若定義在R上的奇函數(shù)“X)在(e,0)上單調(diào)遞減，且/(3)=0,則滿足

#(x-2)20的x的取值范圍是(

A.[-l,0]U[5,+?)B.[-2,-l]U[0,5]

C.[-2,0]U[5,+a))D.[-l,0]U[2,5]

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，求出〃x)的單調(diào)區(qū)間，由奇函數(shù)性質(zhì)分段求解不等式即可得出答案.

【詳解】在R上的奇函數(shù)/(x)在(-*0)上單調(diào)遞減，則/(x)在Q+網(wǎng)上單調(diào)遞減，且〃0)=0,

/(-3)=-"3)=0,當(dāng)xe(-8,-3)u(0,3)時,/(x)>0,當(dāng)xe(-3,0)U(3,+8)時,/(x)<0,

由…加。，得/fx3<"0-24。或fx>0一2W3或無=°'

解得一1Vx<0或2VxV5或x=0,因此一iWxWO或24無V5,

所以滿足力(x-2)20的x的取值范圍是[T,O]U[2,5].

故選：D

5.(24-25高三上?河北邢臺?期末)已知函數(shù)/'(x)是定義在R上的減函數(shù)，且/(x-1)-2為奇函數(shù)，對任意

的”句-2,3],不等式恒成立，則實數(shù)/的取值范圍是()

C.[13,+oo)D.^--^-,+coj

【答案】B

【分析】設(shè)g(x)=/(x-l)-2,把+轉(zhuǎn)化成g(a-/+l)+g(a2)wo,再結(jié)合函數(shù)g(x)的

奇偶性，把不等式轉(zhuǎn)化成gg-+l)Wg(-/),再結(jié)合g(x)的單調(diào)性，得到“一+12-a2,分離參數(shù)，根

據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可求實數(shù)/的取值范圍.

【詳解】令g(x)=/(x-l)-2,則/(x)=g(x+l)+2,

由〃—)+/(/一1)?4,可得g(aT+l)+2+g(/-1+1)+244,

即g(a-/+l)+g(a2)<0,g(a-/+l)<-g(a2)=g(-a2).

因為〃x)是定義在R上的減函數(shù)，所以g(x)也是定義在R上的減函數(shù)，

^La-t+\>-a2,即++-|>/.

因為0目-2,3],所以區(qū):，即實數(shù)/的取值范圍是1-叫：

故選：B

6.(24-25高三上?甘肅天水?期末)函數(shù)/(x)的定義域為。，若對于任意的士,々€。，當(dāng)再<%時，都有

/(^)</(%2),則稱函數(shù)“X)在。上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)在[0,1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件:

①/⑼=0;②/[J=9(x)；③“1一月=1一“X).則等于()

,1113

A.---B.---C.---D.一

1282565124

【答案】D

【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得/出=；以及〃6=2/(￡|，從而可得*和mi：，根據(jù)

芭＜x?時，都有〃可得從而可求/[.的值后可得，￡]+/1.的值.

【詳解】???函數(shù)/（X）在[0』上為非減函數(shù),

①/(。)=0，③/(1一x)+/(x)=l,

令X=0,得/⑴=1；令》=

又：②=1/(x),.-./(%)=.

令x=l,得1=2/。,“。、

?.?當(dāng)再〈尤2時，都有/（國））（%）,〈〈）〈J,

9oo

故選：D

【點睛】關(guān)鍵點點睛：抽象函數(shù)的函數(shù)值的計算，解題的關(guān)鍵點是注意根據(jù)不等關(guān)系求確定的值，一般用“夾

逼”的方法（如;-

7.（24-25高三上?江蘇?期末）已知〃x）是定義在R上的偶函數(shù)，若吃,馬?0,+8）且西片迎時，

A?[；"）＞3（匹+苫2）恒成立，/⑴=3,則滿足/（x2+x）V3（x2+x）2的實數(shù)x的取值范圍為（）

—1--yfs—1+yfir1_1+y/5r1

A.B.[-1,1]C.0,^—D.[0,1]

【答案】A

【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性來求得x的取值范圍.

【詳解】設(shè)為＞迎，由"*）一,6）＞3（網(wǎng)+=）,

%f

得/(X1)-/(X2)>3(X]+X2)(X[-X2)=3(X；-X；),所以>/(%2)-3后,

令g(x)=/(x)-3x2,則g(xJ>g(X2),

所以函數(shù)g(X)在[o,+8)上單調(diào)遞增，

因為〃x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以〃r)=/(x),

所以對任意的xeR,g(-x)=/(-x)-3(-x)2=/(x)-3x2=g(x),

所以，函數(shù)g(x)為R上的偶函數(shù)，且g⑴=/"⑴-3x12=3-3=0,

由/1+》)《3卜2+工)2,nT#/(X2+X)-3(X2+X)2<0,BPg(x2+x)<g(l),

即產(chǎn)+工卜1,所以一1W/+XW1,即上+無解得xe石.

11[x+X+1>0[_22

故選：A

【點睛】方法點睛：形如“*)一/02)的已知條件,往往是給出函數(shù)的單調(diào)性，可以利用函數(shù)單調(diào)性的定

$—x2

義來進行求解.利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性來求解不等式，可將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式的形式，然后結(jié)合

單調(diào)性、奇偶性去掉函數(shù)符號，再解不等式來求得答案.

題型05抽象函數(shù)的奇偶性

【典例訓(xùn)練】

1.(24-25高三上?江蘇揚州?期中)已知函數(shù)>=/(x)對任意實數(shù)x,歹都滿足

2/(x)/(T)=/(x+y)+/(x-y),且/⑴=一1,/(0)^0,則函數(shù)/(力是()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.既奇又偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)

【答案】B

【分析】用賦值法，先令x=y=0求得/(0),再令x=0求解后即可判斷.

【詳解】在"(x)/(y)=/(x+y)+/(x-y)中，

令》=>=0,則2/2(o)=/(o)+/(o),又/(0)#0,所以7(0)=1,

令x=0得2/(0)/(j)=f(y)+/(-j),所以/。)=/(-y),

所以〃x)是偶函數(shù)，

故選：B.

2.(24-25高三上?山東濟寧?期中)己知函數(shù)〃無)的定義域為R,滿足〃x+y)-[〃x)+〃y)]=2024,則

下列說法正確的是()

A.“X)是偶函數(shù)B.“X)是奇函數(shù)

C./(力+2024是奇函數(shù)D./(x)+2024是偶函數(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)，利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)直接判斷即可.

【詳解】因為+-[“X)+〃》)]=2024,

所以令x=y=0,可得〃0)=-2024,

令尸T,貝!|〃0)--〃-x)=2024,

所以〃-力=-〃%)-4048,

則/(X)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，

且/'(f)+2024=-[/(%)+2024],

所以/(x)+2024是奇函數(shù).

故選:C

3.(18-19高三?全國?課后作業(yè))已知對任意x,yeR,都有〃叼+/(月=2/(言]/(寧)且

/(0)^0,那么/(X)()

A.是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)B.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

C.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)D.是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)

【答案】D

【分析】令x=y=0,結(jié)合"0)*0可求得/⑼的值，再令kr即可判斷〃x)的奇偶性.

【詳解】令x=y=0,有2〃0)=2〃0卜〃0),

因為八0)二0,所以"0)=1,

再令昨f,得：/(x)+/(-x)=2/(0)?/(X)=2/(x),

所以/(-x)=/(x),又xeR,

所以〃x)是偶函數(shù).

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：抽象函數(shù)的奇偶性的判斷，根據(jù)所給的等式進行取值是解題的關(guān)鍵.

4.(23-24高三下?河南洛陽?期末)己知函數(shù)〃無)的定義域為R,f(a)f(b)-f(a)=ab-b,則()

A."0)=0B./(1)=2C.〃月-1為偶函數(shù)D.為奇函數(shù)

【答案】D

【分析】對于A,令6=0,可求出“0)進行判斷，對于B,令a=b=l,可求出/⑴進行判斷，對于CD,

令a=0,b=x,可求出/(x),從而可求出進而可判斷其奇偶性.

【詳解】對于A,令6=0,則=得〃°)"(0)-1]=0,

所以〃。)=0或/(0)=1,

當(dāng)〃a)=0時，=M々不恒成立，所以〃0)=1,所以A錯誤，

對于B,令a=6=l,則/(1)/(1)-/。戶0,得/W(1)-1］=O,

所以/。)=0,或"1)=1,

由選項A可知/⑴*0,所以=所以B錯誤，

對于CD,令a=Q,b=x,則/⑼/(x)-/(0)=f,由選項A可知"0)=1,

所以〃x)=lf,所以〃x)-1=17-l=r,

令g(x)=/(x)-1=-x,貝!!g(-x)=x=-g(x),

所以g(x)為奇函數(shù)，即〃x)-l為奇函數(shù)，所以C錯誤，D正確，

故選：D

5.(多選)(24-25高三上?廣東?階段練習(xí))已知函數(shù)/⑴滿足〃x+l)〃y+l)=〃x)/3+〃x)+/3+l,

且/(0)=0,/(1)>0,則()

A./(-l)--lB./(x+l)=〃x)+l

C.“X)不可能是奇函數(shù)D.“X)在［0,1］上單調(diào)遞增

【答案】AB

【分析】利用賦值法和舉例法即可逐個選項進行判斷.

【詳解】對于A,取x=y=T,得〃一l)x〃T)+2〃-1)+1="(-1+1甘=0,

所以=A正確；

對于B,取x=y=0,得卜⑴［2=1,X/(l)>0,

所以/⑴=1，令尸。，得〃x+l)=/(x)+l,B正確；

對于C,若〃x)=x滿足〃x+l)/(j+l)=/(x)/5)+〃x)+〃y)+l,C錯誤；

對于D,取〃力=3(兇表示不超過x的最大整數(shù))，則〃x+l)=/(x)+l,

從而有/(x+l)/(y+l)=〃x)〃j)+/(x)+〃y)+l,

當(dāng)x?0,l］時，/(x)=0,D錯誤.

故選：AB

6.(24-25高三上?安徽宿州?期中)已知定義在(-8,0)"0,―)上的函數(shù)〃x)，滿足/3)+2=/(x)+/(y),

且當(dāng)x>l時，/(x)>2,則下列說法錯誤的是()

A./(-1)=2B.“X)為偶函數(shù)

C./(-2025)</(-2024)D.若/(x+2)<2,則一3<x<T

【答案】C

【分析】A選項，先令x=y=l,可得=再令x=>=-1,可判斷選項正誤；

B選項，令了=-1,結(jié)合/(x)定義域可判斷選項正誤；

C選項，由題可判斷了(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，后由B選項分析可判斷選項正誤；

D選項，由ABC選項可解不等式+2)<2.

【詳解】A選項，在/(中)+2=〃尤)+/(田中,令x=y=l,

得〃1)+2=/。)+/⑴，解得/⑴=2；再令x=y=-l,

得/⑴+2=/(-1)+/(-1),解得f(—1)=2,故A正確;

B選項，令昨-1,得+2=+所以f(—x)=f(x),

又/(x)的定義域關(guān)于原點對稱，所以/(x)是偶函數(shù)，故B正確；

C選項，設(shè)0<%<馬，則”強>1,所以〃。>2,

x\

所以/卜2)=/(、)=/(。+/(再)-2>/(占)，

所以/(X)在(0,+8)上是增函數(shù)，因為/(X)是偶函數(shù)，

所以“X)在(-8,0)上是減函數(shù)，從而/■(-2025)>〃-2024),故C錯誤；

D選項，因為〃x)是偶函數(shù)，則〃x+2)<2o/(|x+2|)<〃l),

又在(0,+8)上是增函數(shù)，所以|x+2|<l,解得-3<x<-l,故D正確.

故選：C.

o-----------題型通關(guān)?沖高考-----------?>

一、單選題

1.(2024?山西?一模)已知函數(shù)/(x)是定義在例—0｝上不恒為零的函數(shù)，若〃孫)=*+*1,則

()

A./(1)=1B./(-1)-1

C.為偶函數(shù)D.為奇函數(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，令x、丁取特殊值逐一驗證四個選項即可.

【詳解】令x=y=l,則/(1)=2/⑴,故/⑴=0,A選項錯誤；

令》=〉=-1,貝!=故/(-1)=0,B選項錯誤；

令>=T，則/(-x)=〃x)+§D=〃x),故/'(x)為偶函數(shù)，C選項正確；

因為/(X)為偶函數(shù)，又函數(shù)“X)是定義在打"0｝上不恒為零的函數(shù)，D選項錯誤.

故選：C

3

2.(24-25高三上?遼寧丹東?期中)已知函數(shù)〃切=(、_2戶+1，對于任意的，W-1,2],不等式

/(2f)+/S+t)V2恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(-oo,-2]B.(-0>,-10]C.[-3,+oo)D.[7,+e)

【答案】A

3

【分析】令g(x)=x”原不等式可轉(zhuǎn)化為g(2/2)+g(a+/2)W0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式

即可求解.

【詳解】令g(x)=f，則〃x)=g(x-2)+l,

所以不等式可化為g⑵-2)+l+g(a+/2)+142,

3

即g⑵-2)+g("+"2)W0,因為g(x)=6是奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增，

所以g(2/2)W-g(a+/-2)=g(-aT+2),則2f-2V-a-f+2,

所以aW-3/+4在fe[T2]上恒成立，貝!-2,

即實數(shù)。的取值范圍是(一冬-2].

故選：A

3.(2024?河南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(X)的定義域為R,對于任意實數(shù)x,y滿足

f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),且/(1)=1,則下列結(jié)論錯誤的是()

A./(O)=2B.〃x)為偶函數(shù)

C.為奇函數(shù)D./(2)=-1

【答案】C

【分析】由條件等式通過取特殊值求/(0),/(2)由此判斷A,D,再取特殊值確定“X),/(-x)的關(guān)系結(jié)

合函數(shù)的奇偶性的定義判斷選項B,C.

【詳解】因為Vx/eR,f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),

取x=l,>=0可得〃1)+〃1)=/⑴/⑼，又"