專題突破卷07導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)問題

討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)

證明零點(diǎn)個(gè)數(shù)

存在零點(diǎn)求參數(shù)

與三角函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)

隱零點(diǎn)問題

1.討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

1.(2023春?廣東江門?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)"x)=ae2，+(a-2)e'-x,其中aZl.

(1)若a=l,求的單調(diào)區(qū)間；

(2)討論函數(shù)〃x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

2.己知函數(shù)/'(x)=ox-lnr-2.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)/(X)的極值;

(2)討論函數(shù)/'(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

3.已知函數(shù)〃力=加+而，在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程是尸-3.

⑴求。，6的值；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=eR),討論函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

3

4.(多選)已知函數(shù)/(》)=/+》+-eR),則()

A.x=l是〃x)的極值點(diǎn)B./⑴是〃x)的最小值

C.〃龍)最多有2個(gè)零點(diǎn)D.〃x)最少有1個(gè)零點(diǎn)

5.已知函數(shù)/(x)=e*-亦+a,aeR

⑴討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

(2)討論函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

6.已知函數(shù)/(x)=lnx+5ax2-(a+l)x,aeR.

(1)討論/(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)當(dāng)a>1時(shí)，若存在網(wǎng),々戶3(再<<%<丫3),使得/(』)=/(%2)=/(%),求證：一<再+招+演<3.

a

2.已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)

7.已知函數(shù)〃x)=2/+4x—,若函數(shù)/(X)的圖象與曲線y=5/有三個(gè)交點(diǎn)，貝〃的取值范圍是______.

/、ex-ax,x>0,

8.己知函數(shù)〃X)=2(,(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，aGR)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的

_x_(Q+2)x+l,x<0n,

取值范圍是()

A/I)B.。,+8)

C.(e2,+oo)D.(e,+<?)

x-Inx,x>0

9.已知函數(shù)/(x)=11八

若y=/(x)-息恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則左的取值范圍為()

x+—,x<0,

、x

B-IT

A-

c-卜+:卜［1+泊D.]l—：,l]u(l,+oo)

10.已知函數(shù)〃x)=e'-2qx-e+1.

⑴若〃=2,求/(x)的最小值；

(2)若/(x)的圖象與直線V=F在區(qū)間(0,1)上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求。的取值范圍.

參考數(shù)據(jù)：Ve?1.65.

11.已知函數(shù)〃無)=ln尤-af+i,0eR.

⑴求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/'(尤)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

12.已知函數(shù)/(x)=eZ'-ox-l(aeR).

(1)當(dāng)。＞0時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若〃x)＞0對(duì)xe(O,+⑹恒成立，求a的取值范圍；

(3)證明：若〃x)在區(qū)間(0,+8)上存在唯一零點(diǎn)%,則/＜。-2.

3.證明零點(diǎn)個(gè)數(shù)

13.已知函數(shù)/(x)=x3-5x+3.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間：

(2)求證：/*)在區(qū)間(2,+co)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

14.己知函數(shù)〃x)=e7x-l)2.

(1)若a=l,求在(0,〃0))處切線方程；

(2)求〃x)的極大值與極小值；

(3)證明：存在實(shí)數(shù)當(dāng)”>0時(shí)，函數(shù)>=有三個(gè)零點(diǎn).

15.(2023春?廣東廣州?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)"x)=e2，,g(x)=2加e：

⑴若函數(shù)〃(x)與g(x)的圖象有一條斜率為1的公切線，求力的值；

⑵設(shè)函數(shù)/(x)=〃(x)-g(x)-4加2無，證明：當(dāng)加時(shí)，〃尤)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

16.已知函數(shù)/(x)=e'+(a-e2)x,其中awR.

(1)若a=e2-2,求函數(shù)/(x)在［0,2］上的最值;

⑵當(dāng)"0時(shí)，證明：尸(x)=/(x)-；/在(o,2)上存在唯一零點(diǎn).

17.設(shè)函數(shù)〃x)=(x-l)2e，-冰，若曲線/(X)在x=0處的切線方程為y=-2x+6.

⑴求實(shí)數(shù)6的值.

(2)證明：函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

⑶記尸(x)是函數(shù)“X)的導(dǎo)數(shù)，毛，入2為“X)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：卜一明

18.已知函數(shù)/(x)=(￡-l1lnx+》出■(℃!<).

(1)若。=2,求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

⑵若Q〉-1,證明：方程/")=二￡僅有1個(gè)實(shí)根.

4.存在零點(diǎn)求參數(shù)

19.若函數(shù)，(x)=x-lnx+加有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是.

20.已知函數(shù)/(x)=e'i+x-2存在零點(diǎn)0,函數(shù)g(x)=x?-加x-加-2存在零點(diǎn)6,且卜-〃<2,則實(shí)數(shù)加

的取值范圍是()

A.由+co］B.C.口.

21.若函數(shù)/(x)=ln>2m+1有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

22.(2023春?北京通州?高二統(tǒng)考期中)已知函數(shù)/(x)=e*-l.

⑴求〃x)的零點(diǎn)；

(2)設(shè)g(x)=/(x)-ax,aeR.

(i)若g(x)在區(qū)間(。,+8)上存在零點(diǎn)，求a的取值范圍；

(ii)當(dāng)。>0時(shí)，若g(x)在區(qū)間［1,2］上的最小值是0,求。的值.

V21

23.已知函數(shù)/(x)=Inx-萬+qx+5.

(1)若a=0,證明：/(x)V0恒成立.

(2)若/(x)存在零點(diǎn)，求a的取值范圍.

5.與三角函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)

24.函數(shù)〃x)=2sinx-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.1B.3C.5D.7

25.已知函數(shù)/(x)=lnx+sinx.

⑴求函數(shù)在區(qū)間［Le］上的最小值；

(2)判斷函數(shù)〃x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.

26.已知函數(shù)/(x)=2cosx+ae*(aeR).

⑴若a=l,求函數(shù)〃x)在點(diǎn)(OJ(O))處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,可內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求。的取值范圍.

27.已知/(x)=cos2x-sin2x+2sinx+a(aeR).

⑴求函數(shù)/(x)的值域;

⑵當(dāng)時(shí)，

①討論函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

JT

②若函數(shù)/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)X1,入2，證明xt+x2<~.

28.已知函數(shù)/'(x)=e*-a尤sinx-尤-l,aeR.

(1)當(dāng)。=0時(shí)，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)。=；時(shí)，證明：對(duì)任意的尤e(O,+s),/(x)>0；

(3)討論函數(shù)〃x)在(0,兀)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

29.已知函數(shù)/(x)=sinx+]T-2ax.

(1)當(dāng)x>0時(shí)，證明：f(x)+2ax+l<ex+x-1；

(2)若函數(shù)/(%)在(0,兀)上只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

30.已知函數(shù)/(x)=e*-2x.

(1)求證：當(dāng)xe(O,l)時(shí)，xlnx+2x+/(x)>x3；

(2)求函數(shù)g(x)=/(x)-co&x在1],+(?)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

6.隱零點(diǎn)問題

31.已知函數(shù)其中aeR.

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

⑵若ae(O,l),設(shè)g(x)=/(x)-/(O),

(i)證明：函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+功內(nèi)有唯一的一個(gè)零點(diǎn);

(ii)記(i)中的零點(diǎn)為與,求證：e'。(工+1.

i-a

32.已知函數(shù)/'(xbasinx-lnMaeA),其導(dǎo)函數(shù)為/(x).

⑴若不等式/’(x)21-！在區(qū)間(0譚］上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：

XI3」

(2)當(dāng)。=2時(shí)，證明：/(X)在區(qū)間向上有且只有兩個(gè)零點(diǎn).

x

33.已知函數(shù)/(x)==-sinx,g(x)為/(%)的導(dǎo)函數(shù).

e

(1)判斷函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1上是否存在極值，若存在，請(qǐng)判斷是極大值還是極小值；若不存在，說明理由;

⑵求證：函數(shù)在區(qū)間(-叫兀)上只有兩個(gè)零點(diǎn).

34.設(shè)函數(shù)/(%)=加工2-1+cosx

(1)當(dāng)〃7=；時(shí)，求證：〃x)20

(2)若/(x)有唯一零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)小的取值范圍.

35.已知函數(shù)［(x)=xe“-x-lnx-Q,若/(%)在(0,e)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。值可以是()

1

A.-1B.0C.D.e

e

36.已知函數(shù)/(x)=e*-asinx-l在區(qū)間[o，Wj內(nèi)有唯一極值點(diǎn)

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)證明：/0)在區(qū)間(0,左)內(nèi)有唯一零點(diǎn)*2，且X2<2X].

0限時(shí)訓(xùn)兜____________________________

1.設(shè)函數(shù)/(x)=d+亦2+bx+c,則“設(shè)>36”是“/(x)有3個(gè)零點(diǎn)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知彳>0,若關(guān)于x的方程——Xx+XlnUx)=0存在正零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)力的取值范圍為()

(3]B.[1,+co)C.(-8,3]D.艮+co)

ex—x,x<k

3.已知函數(shù)/(無)=

x3-x+l,x>k

①若k=0,不等式/(x)<l的解集為；

②若函數(shù)g(x)=/(x)-l恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)左的取值范圍為.

4.給定方程：(|r+sinx-l=0,則下列命題中：

①該方程沒有小于0的實(shí)數(shù)解；

②該方程有無數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)解；

③該方程在(-%。)內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解；

④若玉是該方程的實(shí)數(shù)解，則%>-1.

正確的命題是.

5.已知函數(shù)/'(x)=xeT+asinx,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若x=0恰為/⑴的極值點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

⑵求/(x)在區(qū)間上叱：J上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

6.已知函數(shù)/(無)=w(lnx-1)-(2-m)x,(m豐0).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

⑵設(shè)函數(shù)尸(x)=/(x)+2sinx+l,求證:當(dāng)加=1時(shí)，/(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn).

7.已知函數(shù)，(工人：/-!"?①?即在