北京市通州區2024-2025學年八年級上學期期末考試數學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.8的立方根是（）

A.2B.-2C.+2D.+4

2.2024年7月27日，第46屆世界遺產大會通過決議，將“北京中軸線——中國理想都城

秩序的杰作”列人《世界遺產名錄》.下面是北京中軸線文化遺產傳承與創新大賽“北京中軸

線標志設計賽道”中的其中四個設計圖案，其中不星軸對稱圖形的是（）

■3

A.C.畫

D.案

3.下列各式正確的是)

A.=B.(-應)2=-2C.=±2D.±A/64=±8

4.以下列長度的三條線段為邊，能組成直角三角形的是（）

A.1；1；1B.2；3；4C.1；52D.a；3；5

5.估算回的值在（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

6.下面是“作403的角平分線”的尺規作圖方法:

（1）以點。為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線。4、03于點C、D.

（2）分別以點C、。為圓心，大于;C。的長為半徑作弧，兩弧在ZAO3的內部交于點

（3）作射線ON.就是的平分線.

上述方法通過判定OMCAOMD得到Z.COM=ZDOM,其中判定,OMCqOMD的依據

是（)

A,

c

DB

A.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等

B.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等

C.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等

D.三邊分別相等的兩個三角形全等

7.一個不透明的盒子中裝有1個黑球，2個白球，這些球除顏色外沒有其他差別，隨機從

盒子中摸出2個球，下列事件屬于必然事件的是（）

A.摸出的2個球中有黑球B.摸出的2個球中有白球

C.摸出的2個球都是黑球D.摸出的2個球都是白球

8.小明用兩個全等的等腰三角形設計了一個‘蝴蝶”的平面圖案.如圖，其中△OA3與ODC

都是等腰三角形，且它們關于直線/對稱，點E,歹分別是底邊AB,C。的中點，OELOP.下

列推斷錯誤的是（）

OB1ODB.NBOC=ZAOB

OE=OFD.ZBOC+ZAOD=180°

二、填空題

9.若&方在實數范圍內有意義，則實數X的取值范圍是.

,7T

10.以下各數:①T,②③0,?~,⑤3.14,⑥灰，⑦2.1212212221……（每相鄰兩

個1之間依次多一個2）中，其中是無理數的有個.

11.比較大小：2娓5（填“>”，"=”或

試卷第2頁，共6頁

12.方程丁二+工=0的解為______.

2x-6x

13.若最簡二次根式H/與"是同類二次根式，則機的值是.

14.如圖，在VABC中，AC=4,線段AB的垂直平分線交AB,AC于點M,N,若BN=3,

則NC的長為.

15.“二十四節氣”是中華上古農耕文明的智慧結晶，被國際氣象界譽為“中國第五大發明在

一個不透明的盒子中裝了8張關于“二十四節氣”的卡片，其中有3張“立冬”，4張“小寒”，1

張“大寒”，這些卡片除了畫面內容外其他都相同，從中隨機摸出一張卡片，恰好是“小寒”的

可能性為.

16.如圖，將四個全等的直角三角形拼成一個大正方形，設直角三角形的兩條直角邊長分別

為a,b（a<Z?）,連結“尸，段HF=m,完成下面問題：

（1）ZHGF=°；

（2）給出下面四個結論：①匕<￡；②a+bNa2；③a+b<m；@^/2（a+b）>m.

上述結論中，所有正確結論的序號是.

三、解答題

17.計算：收一6『胡.

18.計算：A/6（A/8->/2）+（2A/3+1）（273-1）.

19.已知：如圖，點A、D、B、E在同一直線上，AC=EF,AD=BE,ZCAB=ZFED.求

證：BC=DF.

21.化簡求值：1其中尤=正一］.

x+2x+lIx+lj

22.小明發現，任意一個直角三角形都可以分割成兩個等腰三角形.

已知：在VABC中，ZACB=90°.

求作：線段C。，使得線段。將VABC分割成兩個等腰三角形.

下面是小明設計的尺規作圖的作法：

①作直角邊AC的垂直平分線與斜邊A8相交于點。；

②連接CD.

則線段CD為所求.

(1)請你按照小明設計的作法，使用直尺和圓規，補全圖形(保留作圖痕跡);

(2)完成下面的證明.

證明：?直線是線段AC的垂直平分線，點。在直線上，

:.DC=DA.(_)(填推理的依據)

/.N_=N_.

ZACB=90°,

ZBCD=90°

4=90。—ZA.

.\ZBCD=ZB.

:.DC=DB.(_)(填推理的依據)

/.ADCB和△OC4都是等腰三角形.

試卷第4頁，共6頁

23.鄉村振興，交通先行.近年以來，某市高質量推進“四好”農村公路建設，著力打通農村

交通基礎設施.某村準備修一條5400米長的道路，在修建600米后，由于采用新的修建技

術，這樣每天修建長度是原來的2倍，結果共用15天完成了全部任務，求原來每天修建道

路多少米.

24.如圖，VA3C為等邊三角形，8。平分/ABC交AC于點。，DE〃BC交AB于點、E.求

證：AE=-AB.

2

25.如圖，在邊長為1的小正方形組成的6'8網格中，VABC的三個頂點均在格點上，請按

(1)在網格中，畫線段且使CD=AB,連結AD；

(2)線段AD的長為AC的長為一，8的長為」

(3)ACD為一三角形，點A到CD的距離為

26.如圖，在四邊形中，AB=AC,?D90?,3E_LAC于點孔交CD于點E,連

結E4,若胡平分NDEF.

⑴求證：AABF^AACD；

(2)若3尸=7,DE=3,求CP的長.

27.我們已經學習了二次根式和完全平方公式，請閱讀下面材料:

當a>0,b>0時：

?(,\/^_yfby=〃_2,ab+b

又揚)2..O

**?a—2y[ab+b..O

?*?a+b..2y[ab

當且僅當a=b時，a+b=2^[ab.

請利用上述結論解決以下問題：

(1)當x>0時，4x+」的最小值為此時尤=_；

⑵若y="+9(%>_2),求>的最小值.

x+2

28.如圖，VA3C中，AB=AC,/B4C=c(0。<?<90。)，。為線段AC上一點，連結8D,

將線段80繞點。順時針旋轉180。-［得到線段DE.

⑴求證：ZABD=ZADE；

(2)連結CE,取CE的中點F連結AF,DF.

①依題意補全圖形；

②求NATO.

試卷第6頁，共6頁

《北京市通州區2024-2025學年八年級上學期期末考試數學試卷》參考答案

題號12345678

答案ACDCDDBB

1.A

【分析】本題考查了立方根.熟練掌握立方根是解題的關鍵.根據23=8,即可得出結果.

【詳解】解：.23=8,

??.8的立方根是2,

故選：A.

2.C

【分析】本題主要考查了軸對稱圖形判斷，根據定義逐項判斷即可.將一個圖形沿某直線折

疊，直線兩旁的部分能夠重合，這樣的圖形稱為軸對稱圖形.

【詳解】因為圖A是軸對稱圖形，所以A不符合題意；

因為圖B是軸對稱圖形，所以B不符合題意；

因為圖C不是軸對稱圖形，所以C符合題意；

因為圖D是軸對稱圖形，所以D不符合題意.

故選：C.

3.D

【分析】本題主要考查了求平方根，算術平方根，

根據算術平方根解答A,B,C,再根據平方根解答D即可.

【詳解】解：因為斤記=粗=1,所以A不正確；

因為(-&>=(&)2=2,所以B不正確；

因為4=2,所以C不正確；

因為=±8,所以D正確.

故選：D.

4.C

【分析】根據直角三角形斜邊最長及勾股定理逆定理逐項分析即可求解

【詳解】A.F+FMZWF，不符題意;

B.22+32=13^42,不符題意；

C.l2+(73)2=4=22,符合題意；

答案第1頁，共14頁

D.(V7)2+32=16^52,不符題意

故選C

【點睛】本題考查了勾股定理逆定理，理解勾股定理逆定理是解題的關鍵.

5.D

【分析】根據無理數的估算方法估算回的范圍即可.

【詳解】解：4<V20<5,

.,?同在4和5之間，

故選：D.

【點睛】本題考查了估算無理數的大小，掌握無理數的估算方法是解此題的關鍵.

6.D

【分析】本題考查全等三角形的判定，根據作圖得到OC=CM=,再根據,

得到OMCgOMD(SSS),即可.

【詳解】解：由作圖過程可知，OC=OD,CM=DM,

"：OM=OM,

_OMCgOMD(SSS),

判定/cOMD的依據是三邊分別相等的兩個三角形全等.

故選：D.

7.B

【分析】本題考查了必然事件、不可能事件、隨機事件，根據必然事件、不可能事件、隨機

事件的概念逐項分析即可得解，熟練掌握必然事件、不可能事件、隨機事件的概念是解此題

的關鍵.

【詳解】解：A、摸出的2個球中有黑球是隨機事件，故不符合題意；

B、摸出的2個球中有白球是必然事件，故符合題意；

C、摸出的2個球都是黑球是不可能事件，故不符合題意；

D、摸出的2個球都是白球是隨機事件，故不符合題意；

故選：B.

8.B

【分析】本題考查了對稱的性質，等腰三角形的性質等；

答案第2頁，共14頁

A.由對稱的性質得NAO3="OC,由等腰三角形的性質得ZBOE=~ZAOB,

2

ZDOF=-ZDOC,即可判斷;

2

B.N3OC不一定等于即可判斷；

C.由對稱的性質得OAB^ODC,由全等三角形的性質即可判斷；

D.過。作GNLO”,可得NGOD=NBOH,由對稱性質得=同理可證

ZAOM=ZBOH,即可判斷；

掌握軸對稱的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：A.OE1OF,

.-.ZBOE+ZBOF=90°,

由對稱得ZAOB=Z.DOC,

點E,尸分別是底邊A8,CO的中點，△OAB與ODC都是等腰三角形，

ZBOE=-ZAOB,ZDOF=-ZDOC,

22

:.ZBOF+ZDOF^90°,

:.OB1OD,結論正確，故不符合題意；

B.4OC不一定等于40瓦結論錯誤，故符合題意；

C.由對稱得OABqODC,

:點E,尸分別是底邊AB,CD的中點，

：.OE=OF,結論正確，故不符合題意；

過。作G揚，O”,

?..NGOD+/DOH=900,

/BOH+/DOH=9伊，

:./GOD=/BOH,由對稱得/BOH=/COH,

;.ZGOD=ZCOH,

答案第3頁，共14頁

同理可證ZAOM=ZBOH,

ZAOD+ZBOC=ZAOD+ZAOM+ZDOG=180°,結論正確，故不符合題意；

故選：B.

9.x>3

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，

根據二次根式有意義的條件可得％-320,求出答案即可.

【詳解】根據題意，得x-320,

解得x>3.

故答案為：x>3.

10.3

【分析】本題主要考查了無理數，根據定義：無限不循環小數是無理數解答即可.

【詳解】解：-4彳,0,3.14是有理數；言,而2.1212212221…（每相鄰兩個1之間多一個2）

是無理數，一共有3個.

故答案為：3.

11.<

【分析】本題主要考查實數的大小比較，熟練掌握實數的大小比較是解題的關鍵.根據實數

的性質進行求解即可.

【詳解】解：由（2斯『=24,52=25可知：2娓<5.

故答案為：<.

12.x=2

【分析】本題主要考查了解分式方程，

根據去分母，移項，合并同類項，系數化為1,最后檢驗即可.

【詳解】解：—^-+-=0,

2%-6尤

兩邊都乘以x（2x—6）,得x+2x—6=0,

移項，合并同類項，得3x=6,

系數化為1,得x=2.

經檢驗，尤=2是原方程的解.

故答案為：尤=2.

13.-1

答案第4頁，共14頁

【分析】根據最簡二次根式和同類二次根式的性質，通過計算，即可完成求解.

【詳解】解：："是最簡二次根式，且最簡二次根式^與指是同類二次根式

4—2m=6

m=—l,

故答案為：-1.

【點睛】本題主要考查了同類二次根式，熟知同類二次根式的定義是解題的關鍵：如果兩個

最簡二次根式的被開方數相同，那么這兩個二次根式叫做同類二次根式.

14.1

【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩

個端點的距離相等是解題的關鍵.根據線段垂直平分線的性質得到N4=NB,進而解答即可.

【詳解】解：???MN是線段的垂直平分線，

NA=NB,

CN=AC-AN=AC-BN=4-3=1,

故答案為：1.

15.—/0.5

2

【分析】本題主要考查了概率的計算，

先確定所以可能出現的結果，再判斷符合條件的結果，然后根據概率公式計算即可.

【詳解】解：一共有8張卡片，其中小寒有4張，

所以隨機摸出一張卡片，恰好是“小寒”的可能性為,

o2

故答案為：■

16.90②③④

【分析】對于(1),根據直角三角形的兩個銳角互余及全等三角形的對應角相等可得答案;

對于(2),先說明四邊形EFGH是正方形，根據勾股定理得療=2(/+〃)，再逐個判斷即

可.

【詳解】解：：DGH-CFG,

：.ZDGH=乙CFG,HG=FG.

ZCFG+ZCGF=90°,

ZDGH+Z.CGF=90°,

答案第5頁，共14頁

NFGH=90。.

故答案為：90；

由(1),同理可得N￡HG=4ffiF=9O。，

,GH=GF=\la2+b2,

/.四邊形EFGH是正方形，

根據勾股定理，得HG2+FG1=HF-,

即a2+b2+a2+b2=m2,

解得病=2(a2+b2).

由"/=2.2+2/x2,得m>6b，不能確定機，2b的關系.

所以①不正確；

根據三角形的三邊關系可得a+b>萬定.

所以②正確；

:機z=2(/+〃)，

a+b<m.

所以③正確；

由m2=2(/+"),

得m2+4ab=2(/+2ab+b2),

即m2+4ab=2((z+Z7)2,

開方,得y/m2+4ab=V2(a+b),

yfl{a+b)>m.

所以④正確.

正確的有②③④.

故答案為：②③④.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質，正方形的判定，勾股定理，直角三角形的性質,

三角形的三邊關系，完全平方公式的應用，證明內部四邊形是正方形是解題的關鍵.

17.6+

答案第6頁，共14頁

【分析】本題主要考查二次根式的加減法，先將各二次根式化為最二次根式后再合并即可得

出答案.

【詳解1解：A/27—6，^+卡

=3石-2石+2近

=73+2>/2

18.25/3+11

【分析】本題主要考查二次根式的混合運算，根據單項式乘以多項式以及平方差公式計算后

再合并即可得出答案.

【詳解】解：A/6（V8-72）+（2^+1）（2A/3-1）

=V48-V12+（2V3）2-1

=4A/3-2A/3+12-1

=25/3+n

19.見解析

【分析】本題考查的是全等三角形的判定和性質，先證明四=DE,再利用SAS證明

△ABC絲△￡1￡）廠即可.

【詳解】證明：?.,AD=BE,

:.AD+BD=BE+BD,

/.AB=DE,

在VABC和￡E昭中，

AB=DE

<ZCAB=NFED,

AC=EF

：.AABC^AE￡>F（SAS）,

：.BC=DF.

20.4

【分析】本題主要考查了代數式求值，完全平方公式的應用，

先將x=6+2整理為x-2=g,再將待求式配方，然后整體代入求值.

答案第7頁，共14頁

【詳角軍】解：?「X=G+2,

x—2=A/3?

??%2-4x+5,

=x2-4x+4+l,

=(X-2)2+1,

=(⑻2+1,

=4.

21.—,近

x+15

【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，

先計算括號內的，再將除法變為乘法，同時分解因式，然后約分化為最簡，最后代入數值計

算即可.

【詳解】原式=「口

x+2%+1%+1

x-1x+1

(X+1)2X—1

1

X+1

Vx=V5-l,

x+1=石，

?腰式—1一石

??際工I——f=-?

65

22.⑴見解析

(2)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等；ZA=ZDCA；ADCA-,同一個三角形中，

等角對等邊

【分析】本題考查了作圖一尺規作圖、等腰三角形的判定、垂直平分線的性質：

(1)根據作法補全圖形即可求解；

(2)根據垂直平分線的性質得OC=ZM,再根據角的等量代換得N3CD=NB,進而可證

得DC=DB,由等腰三角形的判定即可求證結論；

熟練掌握尺規作法作垂直平分線的方法及等腰三角形的判定的解題的關鍵.

答案第8頁，共14頁

【詳解】（1）解：作法：①以點A為圓心，大于!AC為半徑畫弧，以點8為圓心，以相同

2

長度為半徑畫弧，與前弧相交，

②連接兩個交點得直線交A8于點D,

③連接C。，

如圖所示，即為所求.

鄭

（2）直線是線段AC的垂直平分線，點。在直線上,

：.DC=DA.（線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等），

:.ZA=ZDCA.

ZACB=90°,

:.ZBCD=900-ZDCA.ZB=90°-ZA.

:.ZBCD=ZB.

.?.DC=D3.（同一個三角形中，等角對等邊），

ADCB和△DG4都是等腰三角形.

故答案為：線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等；ZA=ZDCA；ZDCA；同一個三

角形中，等角對等邊.

23.200米

【分析】設原來每天修建道路x米，則采用新的修建技術后每天修建道路2x米，根據題意

列出分式方程，解方程即可求解.

【詳解】設原來每天修建道路x米，則采用新的修建技術后每天修建道路2x米，

解得：x=200,

經檢驗，x=200是所列方程的解，且符合題意.

答：原來每天修建道路20。米.

答案第9頁，共14頁

【點睛】本題考查了分式方程的應用，根據題意列出方程是解題的關鍵.

24.見解析

【分析】本題考查了等邊三角形的性質，等角對等邊，平行線的性質，由VABC為等邊三角

形，結合三線合一，得到AO=Cr>=，AC,由平行線的性質可證明NAEE>=/ADE=60。，

2

可得鉆=AD,從而證明結論.

【詳解】證明：是等邊三角形，8。平分一ABC交AC于點。

/.AD=CD=-AC

2

?/DE//BC

：.ZAED=ZASC=60°,ZADE=/C=60。

：.ZAED=ZADE

/.AE=AD

：.AE=-AC=-AB.

22

25.⑴見解析

(2)0，2石，5

(3)直角，2

【分析】本題考查作圖-應用與設計、平行線的性質、平行四邊形的判定和性質、勾股定理、

直角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題.

(1)利用平移的性質畫出圖形即可；

(2)利用勾股定理計算即可；

(3)利用勾股定理的逆定理證明，再運用等積法即可解決問題.

【詳解】(1)解：如圖，CD即為所畫，

AD=A/12+22=^；

AC=742+22=V20=2A/5；

答案第10頁，共14頁

CD=打+不=5

故答案為：'s/s;2下;5；

⑶解：AD-=5,AC2=20,CD2=25,

AD2+AC2=CD2,

「ACD是直角三角形，且/。。=90。，

設點A到C。的距離為〃，則有：

-ADAC=-CDh,

22

.,ADACA/5X2A/5、

CD5

即：點A到CO的距離為2,

故答案為：直角；2.

26.⑴見解析

(2)CF=布

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質和判定，勾股定理，角平分線的性質，

對于(1),根據角平分線的性質得AF=AD,再結合已知條件根據“斜邊直角邊”證明這兩

個三角形全等；

對于(2),先根據全等三角形的性質求出CE,再根據角平分線的性質求出口，然后根據

勾股定理得出答案.

【詳解】(1)證明：：？。90?,

/.DEJ.AD.

平分且3E_LAC,

AF=AD.

[AB^AC

.,.在RtABF和Rt^ACD中jA尸.A。

答案第11頁，共14頁

AABF^AACD(HL)；

(2)解：,；AABF^AACD,

：.BF=CD=1.

?/EA平分NDEF,

/.ZAEF=ZAED.

又"E_LAC,DE,LAD,

/.ZEAF=ZEAD,

：.ED=EF=3,

在RtZXEFC中，EC=4,EF=3,

CF=yJCE2-EF2=A/7.

27.(1)4,1

（2）y的最小值為26

【分析】本題主要考查了二次根式和完全平方公式的應用,

對于（1）,根據題意可得4元+224,再根據題意求出x的值即可；

X

對于（2）,將原式整理為了=尤+2+三，再結合已知條件可得x+2+4—N2、（x+2）?工

x+2x+2Vx+2

接下來可得答案.

【詳解】（1）解：根據題意可知

xVx

即4x+4Z4.

X

當4x=!時，4.r+-=4,

XX

解得X=1時，4x+L的最小值是4；

2x

故答案為：4,g；

(2