北京市日壇中學(xué)2024-2025

工.-業(yè)/J、、九

局二數(shù)學(xué)

2024.8

（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）

本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符

合題目要求的一項(xiàng)）

1.已知集合“=回一3<*<1),27=(.X|-1<X<4)J則()

（x|-l<x<l）

AB.U

C{XI-3<.r<4）x卜<4)

D.

【答案】c

【解析】

【分析】直接根據(jù)并集含義即可得到答案.

【詳解】由題意得"UN={X|-3<X<4}.

故選：c.

2.已知命題P：玉eR,有SHL171,則十為（）

A.VxeR,sin.T<1B.areR,sinx<1

c.V.xeR,sin.x<lD.BxeR,sinx<l

【答案】c

【解析】

【分析】利用特稱命題的否定形式回答即可.

【詳解】由特稱命題的否定形式可知小七區(qū)，有sina「1的否定為：V.veR,SHIA<1.

故選：C

3.已知/（*）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/（?'）=l°g，L貝（）

A.-1B.OC.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及所給函數(shù)解析式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)?（1）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)X>0時(shí)，/（X）=l°g2X,

所以{2）=力2）=-1。小=-1,

故選：A

4.已知x,J,eR,則“x"”是＞』”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

【分析】通過特例，結(jié)合充分必要條件的判定方法即可判斷.

【詳解】T＞（Y,而

同樣J2）＞（7）,而一？＜（一1）,所以充分性、必要性都不成立.

故選：D

國(guó)的，的取值范圍是（）

/（2x-l）＜f

5.已知函數(shù)/"）是定義在［°，+0°）上的增函數(shù)，則滿足

12

A.B.M)住

【答案】D

【解析】

【分析】利用函數(shù)的定義域及單調(diào)性計(jì)算即可.

2.x-l>0

、11

2J-1<-XE

【詳解】由題意可知3,解不等式得同.

故選：D

6.若I。-二）=】，則二+亍=（）

A.一一B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求二，從而可求二+二

1…二】

【詳解】由題設(shè)有\(zhòng)故二=1七，故二+亍=（1+1）+（1-1）=?

故選：D

7.已知（，+x+a）（2*-l）展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為3,則展開式中1的系數(shù)為（）

A.-10B.-11C.-13D.-15

【答案】B

【解析】

【分析】先求出a的值，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，求出展開式中x的系數(shù).

,y0

【詳解】?.?N+'+a"2'T)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為3,

所以令x=l,可得2+。=3,解得。-1,

26

(x+x+a)(2x-l)=(X3+.T+1)(2X-1)6

.心川的展開式的通項(xiàng)為a=*8'(-】)=C"i(-1),廣

2

當(dāng)在(*'+*+】)項(xiàng)中取X時(shí),(2K-1)備項(xiàng)中需取“7,不符合條件；

當(dāng)在"項(xiàng)中取1時(shí)，(八；1『項(xiàng)中需取、0,貝(j6/=0,即k=6,此時(shí)1的系數(shù)為

”(-1)6=1；

當(dāng)在!丁+.1+1)項(xiàng)中取[時(shí)，項(xiàng)中需取X,貝即七=5,此時(shí)工的系數(shù)為

C；21(-1)3=-12

綜上，卜'+x+a)(2D展開式中x的系數(shù)為

故選：B.

C=JFlog3[l+—|

8.中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：A它表

示，在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬卬，信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S,信道

內(nèi)

S

部的高斯噪聲功率N的大小，其中萬(wàn)叫作信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計(jì).

按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬印，而將信噪比方從100°提升至800°,則「的增長(zhǎng)率約為

(lg2?0,3010；lg3w0,4771)()

A.16%B.26%c,30%D.33%

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)所給公式、及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則代入計(jì)算可得結(jié)果.

S

【詳解】解：當(dāng)"一時(shí)，。1=力叫1000,

S

—=8000

當(dāng)N時(shí),C2=fFlog28000

C2=JFlog38000=lg8000=3+31g2

===l+lg2?l+0.3010=1,3010

G=fFlog21000lgl000-3-

所以,

故°的增長(zhǎng)率約為30%.

故選：c.

9.如圖，在等腰梯形前CD中，皿=8,30=4,00=4,點(diǎn)P在線段功上運(yùn)動(dòng)，則以+尸3的取值范

【答案】B

【解析】

【分析】以中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出4。方程，設(shè)P的

劇4-4,0)5(4,0)。(-2,24)

易知，ZDXO=60\故A。方程為：】'="(x+4),

故設(shè)尸6國(guó)"+4)),-44x4-2.

所》=(-4-X,-+4))麗=(4-+4))

PA+PB=(-2x.-2j3(x+4)}

，

|PA+PB|3=4xa+12(x+4)J=16[(x+3)3+3]

v-4<T<-2,

.?津+西最小值為16x3=做最大值為16x[(Y+3y+3]=16X4=64

方+廊|』4壬,8-

故選：B.

10.設(shè)集合人={(x，J)Ix-J21,g+r>4,x-qi'<2),則

A.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,C，l)€”

B.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,(2,1)?A

C.當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí)，(2,1)?A

a/

D.當(dāng)且僅當(dāng)2吐(2,1)?A

【答案】D

【解析】

【詳解】分析：求出(?」)€乂及01)￡月所對(duì)應(yīng)的集合，利用集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行求解.

J0

詳解：若('DwA貝->2且a20,即若(LI)€4則°>2,

此命題的逆否命題為：若2,則有0」,任力，故選D.

點(diǎn)睛：此題主要結(jié)合充分與必要條件考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，集合法是判斷充分條件與必要條件的一種

非常有效的方法，根據(jù)p，q成立時(shí)對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.設(shè)

4={x|p(x))，B=(x|g(x)),若月￡3,則pnq；若且=3,則P=U,當(dāng)一個(gè)問題從正面思

考很難入手時(shí)，可以考慮其逆否命題形式.

第二部分(非選擇題共60分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.直線、一】'+3=0被圓*'+爐+%-4v=0所截得的弦長(zhǎng)為.

【答案】-V5

【解析】

【分析】利用圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化先化簡(jiǎn)方程，再圓心在直線上求解即可.

【詳解】，+丁+"4.1，=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得3+1)’+(.V-2)3=5

則圓心為半徑「=下，

顯然直線*-丁+3=°過圓心，則所截得弦為直徑，其長(zhǎng)為2把.

故答案為：2而

12.能使“cos(a+m=cosa+cosg”成立的一組a,1的值可以為.

【答案】33(答案不唯一)

【解析】

【分析】根據(jù)給定的等式，寫出一組a,.6的值并代入驗(yàn)證作答.

B=±

【詳解】取一3'"-3,則cos(a+g)=cosO=l,

?,n.nil,

cosa+cosp=cos(-y)+cos—=-+—=1

因此cos(a+0=cosa+cos(成立

nn

oc---.pa=-

故答案為：

92a+l

13.若對(duì)任意正數(shù)x,不等式f+4x恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

--.+00

【答案】L4

【解析】

【分析】利用基本不等式計(jì)算即可.

2+12-,

-r——4-------0——r"2a+l

x+4xx+i

【詳解】由題意可知'x對(duì)任意正數(shù)工恒成立,

4

rd—>2Jx-=4（x>0）

由基本不等式可知XVv當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立,

3

V~41

x+——

則X的最大值是2,

1

一S2a+1na2—

所以24,

--,+co

故答案為:4

...JmV+LxNO

/（X）=<3*

14.已知函數(shù)l（a-1）｝，*<°在（一叫地）上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是

【答案】（LJ5]

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，考慮增或減兩情況，列出相應(yīng)的不等式組，求得答案.

fw.x2+l,.x>0

/（X）=53

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)"M-D丁,X<0在（應(yīng)他上具有單調(diào)性，

力>0

<w2-1>0

所以當(dāng)為增函數(shù)時(shí)，有l(wèi)iNm,-i,解得

m<0

,m3-1<0

當(dāng)/（x）為減函數(shù)時(shí)，有解得加€0,

故實(shí)數(shù)用的取值范圍為0，J?〕，

故答案為：（L0]

15.已知函數(shù)'（"-sini）,關(guān)于此函數(shù)的說(shuō)法:①工為周期函數(shù)；

②人⑶（*eM）有對(duì)稱軸；③（2°）為/式x）（"e"*）的對(duì)稱中心；@1-4（x）|^?（?eN）；正確的序

號(hào)是.

【答案】①②④

【解析】

,..smnx,....

e

..裁一工￡（力=--（"N）

【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)及sinx,分別對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，即可得出結(jié)論.

.,、SID71X.

A(x)=--(”eN)

【詳解】解：由函數(shù)smA

可得①工（x+%）y（x）（”eM）,可得〃力為周期函數(shù)，故①正確;

,,、sinnx.、八sin(-?ix)sinnx/入八

4。)=--(?eN)￡（r）=

②由sin.vsin(-x)

故工（x）=X（--1?■）,￡（力是偶函數(shù)，故Ace」『）有對(duì)稱軸正確，故②正確;

“sin?2—n—sin—7i

惠0=^^=0〃5）=1^0

sin—sin一

③刀為偶數(shù)時(shí)，2,〃為奇數(shù)時(shí)，2

邑0），⑶=吧巴（〃=）

故2不為sinx的對(duì)稱中心，故③不正確；

④由M1"半卜sina],可得正確，故④正確.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域、周期性、對(duì)稱性等相關(guān)知識(shí)，綜合性大，屬于中檔題.

三、解答題共4小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過程.

16.已知函數(shù)/6）=）二°$1（&111+60°,'）一招

（I）求/r）的單調(diào)遞增區(qū)間；

[加—]

（U）若/（X）在區(qū)間,不上的最小值為-2,求m的最大值.

[-—■j-kTi,—+kTi].keZ.2

【答案】(I)1212(□)12

【解析】

【分析】（I）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的單調(diào)遞增

區(qū)間;

（II）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得加的最大值.

【詳解】解：（I）〃"）=28"卜1nx+每。=2ccsx皿+2板4x-6

=sni2x+V3cos2x=2sin(2.v+—

--+k7r<>x^—+kn,keZ

得1212

5兀，兀，，r

——+k/r,—+k兀,ke1.

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是一1212

n'.兀c7t2n

xem，62x4-—62m+—,—

(II)因?yàn)樗?3

兀

要使得了（"在［見6」上的最小值為一2,

n

sin2x+—jm,—

I3)在一

即6」上的最小值為-1.

、兀,兀-5幾

-加+—W——切0——

所以32,即12.

5兀

所以加的最大值為12.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，定義域和值域，屬于中檔題.

bsinA-acosIB--6

17.在△ABC中,

(1)求B；

C=-

⑵若c=5,,求。從①6=7,②4這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答.

n

【答案】（1）3

（2）答案見解析

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理，結(jié)合三角恒等變號(hào)，即可求解角3；

C=N.

(2)若選①匕=7,根據(jù)余弦定理求a；若選②一7，根據(jù)sin，=siw3+C),再根據(jù)正弦定理求a.

【小問1詳解】

ab

在AABC中，由正弦定理得Sin/-sin5,得bsinA=asmB,

bsin-4=acos5--

又I61

Dc

：.asinB=acosI61

,_(.nA_n，n，兀6_1,_

sinB=cosB—|=cosBcos—+sinBsin—=—cos54--sinB

即I6；6622,

tanB=>/3

又8日0,n),

：,B=-

3

【小問2詳解】

若選①〃=7,

則在△ABC中，由余弦定理b'=a'+c'-2accosB,可得J一5。-24=0,

解得a=8或a=-3(舍去)，可得。=8.

C=—sinZ=sin(5+C)=sin—cos—+cos—sin—=#+。

若選②4,則34344,

a_5

c而+『乃._5萬(wàn)+5

由正弦定理sin月sinC,可得一4—~F,解得2.

18.某科研團(tuán)隊(duì)研發(fā)了一款快速檢測(cè)某種疾病的試劑盒.為了解該試劑盒檢測(cè)的準(zhǔn)確性，質(zhì)檢部門從某地區(qū)

(人數(shù)眾多)隨機(jī)選取了80位患者和100位非患者，用該試劑盒分別對(duì)他們進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果如下：

非患者的檢測(cè)結(jié)果人數(shù)患者的檢測(cè)結(jié)果人數(shù)

陽(yáng)性1陽(yáng)性76

陰性99陰性4

(1)從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取一人，對(duì)其檢測(cè)一次，估計(jì)此患者檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的概率；

(2)從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取3人，各檢測(cè)一次，假設(shè)每位患者的檢測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立，以X表示檢測(cè)結(jié)

果為陽(yáng)性的患者人數(shù)，利用(1)中所得概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)假設(shè)該地區(qū)有10萬(wàn)人，患病率為0.01.從該地區(qū)隨機(jī)選取一人，用該試劑盒對(duì)其檢測(cè)一次.若檢測(cè)結(jié)

果為陽(yáng)性，能否判斷此人患該疾病的概率超過05?并說(shuō)明理由.

19

【答案】（1）20（2）詳見解析（3）此人患該疾病的概率未超過05,理由見解析

【解析】

【分析】

（D直接用古典概型的概率公式計(jì)算可得答案；

（2）可知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即丫~3（"，9），其中〃=3,-20,根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式

可得分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）根據(jù)患病率為0.01可知10萬(wàn)人中由99000人沒患病，1000人患病，沒患病檢測(cè)呈陽(yáng)性的有990

人，患病的檢測(cè)呈陽(yáng)性的950人，共有990+950=1450人呈陽(yáng)性，所其中只有950人患病，所以患病率為

空＜。5

1450由此可得答案.

【詳解】（1）由題意知，80位患者中有76位用該試劑盒檢測(cè)一次，結(jié)果為陽(yáng)性.

76_19

所以從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取一位，用該試劑盒檢測(cè)一次，結(jié)果為陽(yáng)性的概率估計(jì)為為一三.

（2）由題意可知其中〃=3,201

X的所有可能的取值為0,1,2,3.

山=。）=嘿2（孑忐

Pg”。喘八（步藕

達(dá)3端八（/黑

P（『）=C得八（9=繪

所以X的分布列為

w

X01

P

8000800080008000

vE（X）=叩=3x—=—

故X的數(shù)學(xué)期望2020.

（3）此人患該疾病的概率未超過05.理由如下：

由題意得，如果該地區(qū)所有人用該試劑盒檢測(cè)一次，那么結(jié)果為陽(yáng)性的人數(shù)為

119

99000x—+1000x--990+950-1940

10020,其中患者人數(shù)為950.

9509700?

若某人檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，那么他患該疾病的概率為19401940^

所以此人患該疾病的概率未超過0.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率公式，考查了二項(xiàng)分布的概率公式、分布列、數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.

19.已知橢圓。x'+A'S,設(shè)橢圓C與y軸的交點(diǎn)為4B(點(diǎn)A位于點(diǎn)8的上方),直線丁=匕+4

與c交于不同的兩點(diǎn)M，N,直線1=1與直線交于點(diǎn)G,求證：三點(diǎn)共線

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】設(shè)坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)之間的斜率公式判定*川即可.

【詳解】由曲線c的方程為/+丁=8,可知點(diǎn)40,2),3(0,-2),

=Jex+4

「2-c2n(l+*)F+166+24=0

由1X+>=8

因?yàn)橹本€與曲線C交于不同的兩點(diǎn)，

△=(16jt)3-96(l+>3)>0=>Jt3>-

所以2,

設(shè)點(diǎn)必知內(nèi)),％(、”>),則n=4+4..4=a+4

16r24

y+2c\3玉，

J+2=JGJ

易知直線斑/的方程為為,所以點(diǎn)U1十一J,

k_心_2卜__"+?

“AN—“AG-

因?yàn)橹本€皿和直線的斜率分別為％,3』

kM-kAG:"一？1]+?―也+2?也+6

所以x33'x33X]

、76發(fā)

2x-----

*日土：u十七)1+2產(chǎn)r

=0

3X/2

1+“

即上川=心明故4G,“三點(diǎn)共線.

/(x)=ax---(a+l)lnx

20.已知函數(shù)'x,awR.

（L求函數(shù)/si的單調(diào)區(qū)間;

(?)當(dāng)a時(shí),若」（”>1在區(qū)間上恒成立，求a的取值范圍.

【答案】0）當(dāng)時(shí)，函數(shù)/（》）在（°」）上單調(diào)遞增，在1+8）上單調(diào)遞減；

當(dāng)0<a<l時(shí)，函數(shù)，（*在卜a）上單調(diào)遞減，在（°」），（屋"°）上單調(diào)遞增;

當(dāng)a-1時(shí)，函數(shù)/s）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,+8）,無(wú)減區(qū)間；

小陽(yáng)fo.ll

當(dāng)時(shí)，函數(shù)了門）在I。1上單調(diào)遞減，在I。人1+81上單調(diào)遞增;

（2）（，國(guó)）

【解析】

【分析】（1）先求出了‘、」的定義域，在求導(dǎo)，根據(jù)。的范圍得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

1’根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，再由/（*）>1在區(qū)間口,」上恒成立，，得出a的取值范圍.

【詳解】解：⑴/（X）的定義域?yàn)?'>°）,

=--（a+l）*+l=（al）（xT）

x2x2?

當(dāng)a?0時(shí)，ax-lcO,令'解得0<x<l,則函數(shù)-〃川在（°」）上單調(diào)遞增，

令/解得x>l,則函數(shù)/⑴在（L+W上單調(diào)遞減.

1<T<1㈢

當(dāng)0<a<l時(shí)，令””<0,解得<、</,則函數(shù)/⑴在I7上單調(diào)遞減，

令」解得0cxe1或“,>a,則函數(shù)/（*）在（°J）,la'1上單調(diào)遞增.

當(dāng)。?1時(shí)，2°恒成立，則函數(shù)J"1的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,+8