清單01特殊平行四邊形（11個考點梳理+題型解讀+提升訓練）

考點循單

定義有一個角是直角的平行四邊形

四個角是直角

性質

對角線相等

轆-

有一個角是直角的平行四邊形

角

判定三個角是直角的四邊形

對角線對角線相等的平行四邊形

定義有一組鄰邊相等的平行四邊形

邊四條邊相等

性質對角線互相垂直

對角線

菱形一每一條對角線平分一組對角

有一組鄰邊相等的平行四邊形

邊

判定四條邊相等的四邊形

對角線對角線互相垂直的平行四邊形

特殊平行四邊形

有一個角是直角

定義平行1四邊形

有一組鄰邊相等

邊四條邊相等

角四個角是直角

相等

正方形一對角線互相垂直平分

每條對角線平分一組對角

邊有一組鄰邊相等的矩形

角有一個角是直角的菱形

判定

對角線相等的菱形

對角線

對角線互相垂直的矩形

三角形中位線

三角形一~

直角三角形斜邊上的中線

1

【清單01】平行四邊形的性質

1.邊的性質：兩組對邊分別平行且相等，如下圖：AD/7BC,AD=BC,AB〃CD,AB=CD；

2.角的性質：兩組對角分別相等，如圖：ZA=ZC,ZB=ZD

3.對角線的性質：對角線互相平分。如圖：A0=C0,B0=D0

【清單02】平行四邊形的判定

1.與邊有關的判定：

兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

2.與角有關的判定：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

3.與對角線有關的判定：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

【清單03】三角形的中位線

三角形中位線：在4ABC中，D,E分別是AC,AC的中點，連接DE.像DE這樣,

連接三角形一兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.B

中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的二分之一。

【清單04】平行線之間的距離與平行四邊形的綜合

定義：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之

間的距離

性質：平行線之間距離處處相等

【清單05】菱形的性質

菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

※菱形的性質：(1)具有平行四邊形的性質

(2)且四條邊都相等

(3)兩條對角線互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。

2

注意：菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。

【清單06】菱形的面積

菱形的面積等于兩條對角線長的乘積的一半

S4S

^ABCD=Rt^oB=4X1*|AC*|BD=1AC*JBD

【清單07】菱形的判定

※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

四條邊都相等的四邊形是菱形。

【清單08】矩形的性質

※矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫更形。矩形是特殊的平行四邊形。

※矩形的性質：（1）具有平行四邊形的性質（2）對角線相等（3）四個角都是直角。

【清單09】直角三角形斜邊上的中線

※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

【清單101矩形的判定

※矩形的判定：（1）有一個內角是直角的平行四邊形叫矩形（根據定義）。

（2）對角線相等的平行四邊形是矩形。

（3）四個角都相等的四邊形是矩形。

【清單11】正方形的概念與性質

正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性質：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。（正方形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）

【清單12］正方形的判定

※正方形常用的判定：有一個內角是直角的菱形是正方形；

鄰邊相等的矩形是正方形；

對角線相等的菱形是正方形；

對角線互相垂直的矩形是正方形。

3

注意：正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關系（如圖3所示）:

圖3

觀型儲單

【考點題型一】菱形的性質

【典例1】如圖，在菱形4BCD中，對角線4c與相交于點。，且4C=8,BD=6,則菱形2BCD的高

為（）

1224

A.3B.4C.—D.—

55

【變式1-1］如圖，在菱形A8CD中，已知乙48。=26。，則4-40的度數為（）

C

A.98°B.128°C.120°D.118°

【變式1-2】已知菱形的邊長為3,較短的一條對角線的長為2,則該菱形面積為（）

A.2^2B.2V5C.4V2D.2V10

【變式1-3］如圖，在菱形力BCD中，乙4=60。，AD=2,P是48邊上的一點，E,F分別是DP,BP的中點,

4

則線段EF的長為

【考點題型二】菱形的性質與判定綜合運用

【典例2】如圖，在EMBCD中，點E,F分別在邊BC,AD上，AC與EF交于點。，且EF垂直平分4C,

連接4E,CF.

(2)若4C_LAB,ZB=30°,AE=12,求四邊形4ECF的面積.

【變式2-1］如圖，在菱形力BCD中，對角線4C,BD交于點。，過點C作CEIIBD,且BD=2CE,連接DE.

(1)求證：四邊形OCED是矩形.

(2)若2。=3,四邊形4BCD的面積是18百，連接。E,求。E的長.

【變式2-2］如圖，四邊形力BCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交于點。，點E、F分另U在AB、4D上,

5

AE=AF,連接EF,且力C1EF.

(1)求證：四邊形48CD是菱形；

(2)連接0E,若點E是4B的中點，OE=顯,OA=\OB,求四邊形力BCD的周長和面積.

【變式2-3］如圖，AABC中，乙4c8=90。，EF垂直平分BC,垂足為D,交48于點F,CE\\AB,連接BE,

CF.

(1)求證：四邊形CFBE是菱形；

(2)若4B=10,BC=8,求DF的長.

【考點題型三】菱形中最小問題

【典例3］如圖，在菱形2BCD中，AC=6,BD=6位,E是8C邊的中點，P,M分別是AC,4B上的動

點，連接PE,PM,則PE+PM的最小值是()

A.6B.2V6C.3V3D.4.5

6

【變式3-1］如圖，已知菱形4BCD的周長為16,面積為8/，E為的中點，若P為對角線BD上一動點,

【變式3-2］如圖，在菱形48CD中，E、下分別是邊C。、BC上的動點，連接AE、EF,G、X分別為4E、

EF的中點，連接G”.若NB=45。，BC=2?貝UGH的最小值為（）

A.V3B.—C.V6D.—

22

【變式3-3］如圖，點P是菱形4BCD對角線AC上一動點，AB=1,Z.BAC=30°,點M是邊48的中點,

過點M作MN||2C交BC于點N,貝必MPN周長的最小值是（）

A.V3+1B.V3-1C.--1D.—+1

22

【考點題型四】矩形的性質

【典例4】如圖，在矩形力BCD中，對角線BD的垂直平分線MN分別交于點M,N.若4M=

1.BN=2,貝！JBD的長為（）

A.2V3B.3C.2V5D.3企

7

【變式4-1］如圖，在矩形力BCD中，AC,BD交于點。，M,N分別為BC,0C的中點.若乙4cB=30。,

AB=12,則MN的長為。

C.6D.4

【變式4-2］如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O,乙4。。=120。，AO=4,貝必。的長是().

A.4B.2V3C.V3D.4V3

【變式4-3］如圖，點P是矩形2BCD的4。邊上一動點，AB,BC長分別為15和20,那么點尸到矩形兩條

對角線AC和BD的距離之和是()

A.26B.12C.24D.不能確定

【考點題型五】直角三角形斜邊上的中線

【典例5】在Rt△48C中，N4CB=90。，點。為力B邊的中點，連接CD,若4B=10,貝北。的長為

()

A.3B.5C.6D.8

【變式5-1］如圖，在RtAABC中,乙ACB=90°,CD1AB于點D/BCD=20。,E是斜邊4B的中點，貝U

NDCE的度數為()

A.30°B.50°

8

【變式5-2】如圖,在△ABC中，點。在BC邊上，E,尸分別是線段AC,B。的中點.^AB=AD,EF=

3,則4C=(

A.5B.6C.3V3D.4

【變式5-3】如圖,四邊形力BCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O,DH1BC于點H,連接。“2BAD=

56°,貝此。”。的度數是（）

A.38°B.34°C.28°D.24°

【考點題型六】矩形的性質與判定綜合運用

【典例6］如圖，平行四邊形4BCD中，尸是力B邊上的一點（不與點A,8重合），CP=CD,過點P作

PQ1CP,交4。于點。，連接CQ.

（1）若CQ平分ADCP,求證：四邊形2BCD是矩形；

（2）在（1）的條件下，當4P=2,CB=4時，求CD的長.

9

【變式6-1］如圖，四邊形2BCD的對角線相交于點O,AB=CD,AB||CD.若四邊形EB04是菱形;

⑴求證：四邊形4BCD是矩形.

(2)若NE=60。，AB=2,求四邊形4BCD的面積.

【變式6-2］如圖，在平行四邊形2BCD中，4E1BC于點E,延長BC至點尸，使CF=BE,連接DF,4F與

交于點。.

⑴求證：四邊形4EFD為矩形.

(2)若4B=6,0E=4,BF=10,求。尸的長.

【變式6-3］如圖，矩形48CD的對角線相交于。，點E是CF的中點，DFII4C交CE延長線于點F,連接2F.

⑴求證：四邊形4。￡>F是菱形；

(2)若/4。8=60。，/.AFC=90°,AB=1,求CF的長.

10

【考點題型七】矩形形中最小值問題

【典例7】如圖，矩形ABC。中，AB=6,BC=3,若"、上各取一點M、N,使BM+MN的值最

小，求這個最小值（）

A.5B.3V3C.yD.y

【變式7-1】如下圖，RtAABC中，乙4cB=90。，AC=6,BC=8,。是力B上一個動點，過點D分別作

DE14C于點E,DF1CB于點F,連接EF,則線段EF的最小值是（）

A.5B.2.5C.2.4D.4.8

【變式7-2］如圖，在菱形4BCD中，若AC—BD=2,S菱形"°口=24,E是CD邊上一動點，過點E分別作

EF1OC于點F,EG1。。于點G,連接FG,貝|FG的最小值為（）

A.2.4B.4.8C.3D.4

【變式7-3］如圖，矩形ABCD中，AB=2,AD=3,點E、F分別AD、DC邊上的動點，且EF=2,點G為

EF的中點，點P為BC上一動點，則DG=P4+PG的最小值為.

11

【考點題型八】矩形中折疊問題

【典例8】在長方形紙片4BCD中，點E是邊CD上的一點，將△4ED沿4E所在的直線折疊，使點。落在點尸

處.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,若點F落在對角線力C上，且NB4C=54。，求ACME的度數.

(2)如圖2,若點F落在邊BC上，且28=6,AD=10,求CE的長.

(3汝口圖3,若點E是CD的中點，力F的延長線交BC于點G,且4B=6,AD=10,求CG的長.

【變式8-1】如圖，將矩形力BCD沿對角線折疊，點C的對應點是點E,BC的對應邊BE交4。于點F.

(1)求證：ABF。是等腰三角形;

(2)若4B=3,BC=5,求4尸的長.

【變式8-2】如圖，將長方形紙片A8CD沿對角線4C翻折，點B落在點次處，3(交4。于2

BC

12

⑴求證：AE=CE-,

(2)若4B=8,BC=12,求0E的長.

【變式8-3】把一張矩形4BCD紙片按如圖方式折疊，使點A與點E重合，點C與點尸重合(E、/兩點均

在BD上)，折痕分別為DG.

(1)求證：四邊形BGDH為平行四邊形；

(2)若4B=6,BC=8,求線段FG的長.

【考點題型九】正方形的性質

【典例9】如圖，在平面直角坐標系中，正方形。4BC的頂點。，8的坐標分別是(0,0),(4,0),則頂點C的

坐標是()

A.(2,-2&)B.(2V2,-2V2)C.(2,-2)D.(2V2,-2)

【變式9-1】如圖,四邊形力BCD是正方形,延長BC到點E,使CE=AC,連結45交。。于點F,貝此力FC等

C.135D.150

13

【變式9-2］如圖，E是正方形A8CD內一點，于E,若2E=6,BE=8,則陰影部分的面積為

()

A.48B.76C.78D.84

【變式9-3］如圖，正方形4BCD和正方形EFG。的邊長都是2,正方形EFG。繞點。旋轉時，兩個正方形重

疊部分的面積是（）

A.1B.2C.3D.4

【考點題型十】正方形的性質與判定綜合運用

【典例10］如圖，在正方形4BCD中，E是邊BC上的一動點，過點E作EF1E4交CD于點G,且EF=

EA,連接CF.

⑴求證：ABAE=乙CEF；

⑵求NECF的度數.

14

【變式10-1］如圖，已知正方形紙片ABCD的邊長為9,BE=3,將△4BE沿4E對折至△力GE,延長EG交

CD于點F,連接4尸，且4F平分ND4G.

(1)證明：AAGF三AADF；

(2)求線段EF的長.

【變式10-2］如圖，在正方形4BCD中，點M是對角線BD上的一點，連接4M,過點M作MNLAM,交CD

于點N,以AM、MN為鄰邊作矩形ZMNP.

(1)求證：矩形4MNP是正方形.

(2)若點N為CD的中點，且AD=8,求正方形力MNP的面積.

【變式10-3］如圖，四邊形4BCD、DEFG都是正方形，連接4E、CG.求證:

(1)X￡=CG；

(2)AE1CG.

15

【考點題型十一】正方形中最小值問題

【典例12］如圖，正方形4BCD邊長為2,E是BC中點，點尸是BD上任一點，則PE+PC的最小值是

A.V5B.2C.V3D.V2

【變式12-1］如圖，正方形4BCD的邊長為4,E、F分別為邊力B和BC上的動點，且始終滿足AE=BF,連接

DE.DF,貝！IDE+DF的最小值為（）

C.4V2D.6

【變式12-2］如圖，在邊長為3的正方形4BCD中，點E,F分別是邊8C,CD上的動點，且BE=CF,連

接BF,DE,則BF+DE的最小值為（）

C.2V5D.V5

【變式12-2］如圖所示，正方形4BCD的面積為36,AABE是等邊三角形，點E在正方形4BCD內，在對角

線2C上有一動點P,使PD+PE的最小值為（）

16

AD

C.6D.6V3

17

清單01特殊平行四邊形（11個考點梳理+題型解讀+提升訓練）

考點循單

定義有一個角是直角的平行四邊形

四個角是直角

性質

對角線相等

矩形一

有一個角是直角的平行四邊形

角

判定三個角是直角的四邊形

對角線對角線相等的平行四邊形

定義有一組鄰邊相等的平行四邊形

邊四條邊相等

性質對角線互相垂直

對角線

菱形一每一條對角線平分一組對角

有一組鄰邊相等的平行四邊形

邊

判定四條邊相等的四邊形

對角線對角線互相垂直的平行四邊形

特殊平行四邊形

有一個角是直角

定義平行1四邊形

有一組鄰邊相等

邊四條邊相等

角四個角是直角

性質相等

正方形一對角線互相垂直平分

每條對角線平分一組對角

邊有一組鄰邊相等的矩形

角有一個角是直角的菱形

判定

對角線相等的菱形

對角線

對角線互相垂直的矩形

三角形中位線

三角形一~

直角三角形斜邊上的中線

18

【清單01】平行四邊形的性質

4.邊的性質：兩組對邊分別平行且相等，如下圖：AD/7BC,AD=BC,AB〃CD,AB=CD；

5.角的性質：兩組對角分別相等，如圖：ZA=ZC,ZB=ZD

6.對角線的性質：對角線互相平分。如圖：A0=C0,B0=D0

【清單02】平行四邊形的判定

4.與邊有關的判定：

兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

5.與角有關的判定：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

6.與對角線有關的判定：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

【清單03】三角形的中位線

三角形中位線：在4ABC中，D,E分別是AC,AC的中點，連接DE.像DE這樣,

連接三角形一兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.B

中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的二分之一。

【清單04】平行線之間的距離與平行四邊形的綜合

定義：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之

間的距離

性質：平行線之間距離處處相等

【清單05】菱形的性質

菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

※菱形的性質：(1)具有平行四邊形的性質

(3)且四條邊都相等

(3)兩條對角線互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。

19

注意：菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。

【清單06】菱形的面積

菱形的面積等于兩條對角線長的乘積的一半

S4S

^ABCD=Rt^oB=4X1*|AC*|BD=1AC*JBD

【清單07】菱形的判定

※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

四條邊都相等的四邊形是菱形。

【清單08】矩形的性質

※矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫更形。矩形是特殊的平行四邊形。

※矩形的性質：（1）具有平行四邊形的性質（2）對角線相等（3）四個角都是直角。

【清單09】直角三角形斜邊上的中線

※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

【清單101矩形的判定

※矩形的判定：（1）有一個內角是直角的平行四邊形叫矩形（根據定義）。

（2）對角線相等的平行四邊形是矩形。

（3）四個角都相等的四邊形是矩形。

【清單11】正方形的概念與性質

正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性質：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。（正方形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）

【清單12］正方形的判定

※正方形常用的判定：有一個內角是直角的菱形是正方形；

鄰邊相等的矩形是正方形；

對角線相等的菱形是正方形；

對角線互相垂直的矩形是正方形。

20

注意：正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關系（如圖3所示）:

圖3

乳型情單

【考點題型一】菱形的性質

【典例1】如圖，在菱形4BCD中，對角線4c與B。相交于點。，且4C=8,BD=6,則菱形2BCD的高DH

為（）

1724

A.3B.4C.—D.—

55

【答案】D

【分析】由菱形的性質可得4c_LBD,OA=OC=^AC=4,OB=OD=\BD=3,由垂線的性質可

得乙40B=90°,在RtAAOB中，根據勾股定理可得AB=VOX12+OB2=5,然后根據S菱形^CD=AB-

DH=.AC.BD可得DH=3.于是得解.

【詳解】解：?.?四邊形4BCD是菱形，AC=8,BD=6,

：.ACLBD,

11

OA=OC=-AC=-x8=4,

22

11

OB=OD=-BD=-x6=3,

22

???乙AOB=90°,

在408中，根據勾股定理可得：

21

AB=s/OA2+OB2=741+32=5,

???DH是菱形48CD的高,

S菱形4BCD=-DH=--AC-BD,

1ACBD18X624

???DH=-------=-x—=—

2AB255

故選：D.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質，垂線的性質，勾股定理，利用菱形的性質求面積，等式的性質2

等知識點，熟練掌握菱形的性質與菱形面積的計算方法是解題的關鍵.

【變式1-1］如圖，在菱形4BCD中，已知乙48。=26。，貝此艮4。的度數為（）

A.98°B.128°C.120°D.118°

【答案】B

【分析】本題主要考查了菱形的性質，根據菱形的對角線平分一組對角得到乙4BC的度數，再根據菱形

對邊平行即可得到答案.

【詳解】解：：在菱形力BCD中，已知N4B0=26。，

J./.ABC=2ZXBO=52°,AD||BC,

：./.BAD=180°-乙AHC=128°,

故選：B.

【變式1-2】己知菱形的邊長為3,較短的一條對角線的長為2,則該菱形面積為（）

A.2V2B.2V5C.4V2D.2V10

【答案】C

【分析】本題考查菱形的面積公式，涉及菱形的性質、勾股定理求線段長等知識，熟練掌握菱形性質

是解決問題的關鍵.已知菱形的邊長為3,較短的一條對角線的長為2,作出圖形，由菱形對角線相互

垂直，利用勾股定理可知另一條對角線長為4或，再根據菱形的面積公式即可解答.

【詳解】解：根據題意，作圖如下：

22

/?

AC1BD,

???菱形的邊長為3,較短的一條對角線的長為2,

OB=OD=-BD=1,

2

在RtAAOD中，/LAOD=90°,OD=1,AD=3,貝1］。4=7AD?一。。2=5—F=2vL

BD=2,AC=4VL

二菱形的面積為-BD=|x4V2x2=4vL

故選：C.

【變式1-3］如圖，在菱形4BCD中，NA=60。，AD=2,P是4B邊上的一點，E,F分別是DP,BP的中點,

則線段EF的長為.

【答案】1

【分析】本題考查菱形的性質、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵

是學會添加常用輔助線，突破點是證明A/IDB是等邊三角形.如圖連接BD,首先證明AADB是等邊三

角形，可得8。=2,再根據三角形的中位線定理即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接BD.

???四邊形2BCD是菱形,

AD=AB=2,

???=60°,

???△280是等邊三角形,

23

???BD=AD=AB=2,

VF,F分別是DP,BP的中點，

BPD的中位線，

EF=-BD=1.

2

故答案為：1

【考點題型二】菱形的性質與判定綜合運用

【典例2】如圖，在回48CD中，點E,尸分別在邊BC,2D上，4C與EF交于點。，且EF垂直平分4C,

連接力E,CF.

⑴求證：四邊形4ECF是菱形；

(2)若力C1AB,4B=30°,AE=12,求四邊形4ECF的面積.

【答案】(1)詳見解析

(2)7273,詳見解析

【分析】(1)證明AylOF三ACOEIASA)得。E=OF,再證明四邊形2ECF是平行四邊形，然后由菱形

的判定即可得出結論；

(2)由菱形的性質得CE=AE=12,再證明NCE。=NB=30。，則。C=2CE=6,AC=2OC=

12,然后由勾股定理得。E=6b,貝懷尸=12b，即可解決問題.

【詳解】(1)???四邊形4BCD是平行四邊形，

C.AD||BC,

：.^OAF=乙OCE,

：￡尸垂直平分4。，

OA=OC,EF1AC,

itAXOFffACOE中，

CZ-OAF=Z-OCE

jOA=OC，

(乙4。9=乙COE

???△AOFwzkCOE(ASA),

AOE=OF,

24

???四邊形/EC尸是平行四邊形,

又TEF1ZC,

???平行四邊形力ECF是菱形；

(2)由(1)可知，0E=OF,四邊形ZECF是菱形，

：.CE=AE=12,

ACLAB,EFLAC,

：.^COE=90°,EF||AB,

:?乙CEO=48=30。，

i

OC=-CE=6,

2

：.AC=2OC=12,OE=VCE2-OC2=V122-62=6同

：.EF=2OE=12V3,

菱形4ECF的面積=^AC-EF=|x12x12g=7273.

【點晴】本題主要考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、

含30。角的直角三角形的性質以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵.

【變式2-1］如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,BD交于點0,過點C作CEIIBD,且BD=2CE,連接DE.

(1)求證：四邊形OCEO是矩形.

(2)若力。=3,四邊形ABCD的面積是18百，連接。E,求OE的長.

【答案】(1)見解析

(2)6

【分析】本題考查了菱形的性質，矩形的判定與性質勾股定理.

(1)由菱形的性質得BD=2OD,4C1BD,證明。。=CE可證四邊形。CED是平行四邊形，進而可證

四邊形。CED是矩形；

(2)連接OE,由四邊形ABCD的面積是18舊求出BD=6百，由勾股定理得CD=6,進而可得OE=

6.

【詳解】(1)證明：???四邊形ZBCD是菱形

25

BD=20D,AC1BD即NCOD=90°

VBD=2CE

OD=CE

-■CE||BD即CE||OD

???四邊形OCEO是平行四邊形

/.COD=90°

???回。CED是矩形

(2)解:連接OE

OE=CD

在菱形力BCD中，AC=2OA=2OC=6,OD=3BD

，S菱形ABCD=,BD=18A/3

1廣

：.-\6BD=18V3

BD=6A/3

OD=3V3

???CD=卜+(3⑹之二$

：.OE=6.

【變式2-2］如圖，四邊形48CD是平行四邊形，對角線AC、BD相交于點。，點E、F分另U在4B、4D上,

AE^AF,連接EF,S.AC1EF.

(1)求證：四邊形4BCD是菱形;

26

(2)連接。凡若點E是4B的中點，OE=顯,OA=\OB,求四邊形力BCD的周長和面積.

【答案】(1)見詳解

⑵四邊形A8CD的周長和面積分別是8祈和16

【分析】(1)由平行四邊形的性質得NC4D=〃CB,再證NB4C=N￡MC,得AABC為等腰三角形即

可得出結論；

(2)由菱形的性質得。力=OC,OB=0D=BD=2,AC1BD,由直角三角形斜邊上的中線性質得

OE=\AB,然后根據勾股定理和菱形面積公式即可得出結論.

本題考查了菱形的性質、平行四邊形的性質，等腰三角形的性質、菱形的面積、勾股定理等知識，熟

練掌握菱形的性質是解題的關鍵.

【詳解】(1)證明：???2E=4F,

Z.AEF=Z.AFE,

???ACIFF,

??.z.BAC=Z.DAC,

???四邊形48CD是平行四邊形，

??.Z.CAD=Z.ACB,

Z.BAC=乙BCA,

...△ABC為等腰三角形，

BA=BC,

???四邊形4BCD是菱形；

(2)解：,?,四邊形2BCD是菱形，

???OA=OC,OB=OD=-BD,AC1BD,

2

???乙AOB=90°,

???E為45的中點，

???OE=-AB,

2

OE=V5,OA—OB,

2

???AB=2OE=2V5,OB=20A,

OA2+OB2=AB2,

：-5O&2=20,

27

??.0A=2(負值已經舍去)，

AC=20A=4,BD=20B=4。2=8,

-1-1

二四邊形48CD的面積==；x4x8=16.

/.四邊形力BCD的周長=4AB=8V5.

四邊形48CD的周長和面積分別是8祈和16.

【變式2-3］如圖，△4BC中，乙4cB=90。，EF垂直平分BC,垂足為D,交力B于點尸，CEWAB,連接BE,

CF.

(1)求證：四邊形CFBE是菱形；

(2)若4B=10,BC=8,求DF的長.

【答案】(1)證明見解析；

(2)3.

【分析】(1)證明△CDE三△BDF(ASA)得到DE=DF,即得四邊形CFBE是平行四邊形，進而由EF1

BC即可求證；

(2)由勾股定理可得力C=7AB2一BC?=6,再證明2CIIEF可得四邊形力CEF是平行四邊形，得到

EF—AC=6,進而即可求解.

【詳解】(1)證明：［CE||4B,

???Z.DCE=乙DBF,

???EF垂直平分BC,

???CD=BD,

在△CDE和△8DF中，

ZDCE=乙DBF

CD=BD,

/CDE=乙BDF

CDE=AB￡)F(ASA),

??.DE=DF,

???四邊形CFBE是平行四邊形，

又?：EF1BC,

28

???平行四邊形CFBE是菱形;

（2）解：???A.ACB=90°,

AC=7AB2-BC2=V102-82=6,AC1BC,

■：EF1BC,

：.AC\\EF,

又：C￡W，

???四邊形4CEF是平行四邊形，

???EFAC=6,

由