二元一次方程組的實際應用（十大題型）

務難點題型歸他

【題型1數字問題】

【題型2年齡問題】

【題型3配套問題】

【題型4雞兔同籠問題】

【題型5牛羊值金問題】

【題型6幾何問題】

【題型7球賽積分問題】

【題型8盈不足問題】

【題型9銷售問題】

【題型10方案問題】

一國遹至空位_________________________________________

【題型1數字問題】

【典例1】一個兩位數的十位數字比個位數字大2,如果將十位數字與個位數字交換位置，所得新數和

原數的和是66,求原來的兩位數是幾？

【答案】42

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，設原來的兩位數的十位數字為X,個位數字為多

根據十位數字比個位數字大2得到方程久-y=2,根據將十位數字與個位數字交換位置，所得新數和原

數的和是66可得方程10久+丫+10）7+%=66,據此列出方程組求解即可.

【詳解】解：設原來的兩位數的十位數字為x,個位數字為y,

由題意得，［10x+y+ioy+%=66'

解得｛；:2，

.??原來的兩位數為4X10+2=42.

【變式1-1】已知某首歌曲的歌詞的字數是一個兩位數，十位數字是個位數字的兩倍，且十位數字比個

位數字大4,則這首歌的歌詞的字數是.

1

【答案】84

【分析】設這首歌的歌詞的字數的十位數字為x,個位數字為y,由題意：十位數字是個位數字的兩倍,

且十位數字比個位數字大4,列出二元一次方程組，解方程組即可.

【詳解】解：設這首歌的歌詞的字數的十位數字為x,個位數字為小

由題意得：L匕］24，

解得：憂：，

即這首歌的歌詞的字數為84,

故答案為：84.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵.

【變式1-2】一個三位數，十位數字比個位數字大1,百位數字是個位數字的2倍，把百位數字與個位數

字對調，得到的三位數比原來的三位數小297,則原三位數為.

【答案】643

【分析】設原三位數的個位數字為x,十位數字為y,則百位數字為2x,由題意：十位數字比個位數字

大1,把百位數字與個位數字對調，得到的三位數比原來的三位數小297,列出二元一次方程組，解方

程組即可.

【詳解】解：設原三位數的個位數字為x,十位數字為丹則百位數字為2%,

^7—%|1

(100X2x+10y+%-(100%+10y+2x)=297'

解得：憂:，

.?.2x=6,

即原三位數為643,

故答案為:643.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵.

【變式1-3］一個兩位數，十位數字比個位數字大3,若將十位數字和個位數交換位置，所得的新兩位數

比原兩位數的(多15,求這個兩位數.

【答案】63

【分析】設這個兩位數的十位數字為X,個位數字為力由題意列二元一次方程組，解方程組即可求解.

【詳解】解：設這個兩位數的十位數字為X,個位數字為》由題意得上Oy+%=Go%+y)+15，

2

解得:｛濟,

這個兩位數為63.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，根據題意列出方程組是解題的關鍵.

【題型2年齡問題】

【典例2】某學生想知道李老師的年齡，李老師說："我像你這么大時，你才2歲，你長到我這么大時,

我就35歲了."請你算一算，今年李老師、該學生各多少歲.

【答案】今年李老師24歲，該學生13歲

【分析】本題考查的是二元一次方程組的應用，理解題意設該學生今年x歲，李老師今年y歲，則根據

該學生和李老師的年齡差不變，建立方程組求解即可.

【詳解】解：設該學生今年x歲，李老師今年y歲，則

相據該學生和李老師的年齡差不變，

可得｛-M短;

解騎：24

答：今年李老師24歲，該學生13歲.

【變式2-1】一天，小楊問數學老師有多少歲了，老師想了想，說："我像你這么大時，你才4歲；你到

我這么大時，我就40歲了."根據語境，若設小楊和老師的年齡分別為尤歲、y歲，則可列方程組()

(x—y=4[x—4—y(x—4—x—yfx—4—y—x

A，｛x+y—40B.(y—40=x(y—x=y—40ly—x=40—y

【答案】D

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，理解題意是解題關鍵.設小楊和老師的年齡分別為無歲、

y歲，根據"我像你這么大時，你才4歲；你到我這么大時，我就40歲了〃列方程組即可.

【詳解】解：設小楊和老師的年齡分別為x歲、y歲，

由題意得：｛?二：二右二：，

故選：D.

【變式2-3】小芳與媽媽的年齡和是50歲，5年后，媽媽的年齡是小芳年齡的3倍，求小芳和媽媽的年

齡各是多少.若設小芳萬歲，媽媽y歲，則可列方程組為.

【答案】

3

【分析】根據題意，得5)，解答即可.

本題考查了方程組的應用，熟練掌握方程組的意義是解題的關鍵.

【詳解】解：根據題意，得

(x+y=50

［y+5=3(%+5),

故答案為：［常三］押》

【變式2-4】南安英都拔拔燈是國家級非物質文化遺產之一，因疫情原因停辦了好幾年，今年正月又重

新舉行，吸引了眾多的海內外游客參與.其中一位34歲的男子帶著他的兩個孩子參與了拔拔燈活動，

下面是記者與兩個孩子的對話：

記者：兩位小朋友，你們幾歲了？這么小就來拔拔燈了.

妹妹：我比哥哥少4歲；

哥哥：兩年后，妹妹年齡的3倍與我的年齡相加.恰好等于爸爸的年齡；

根據對話內容，請你用方程(組)的知識幫記者求出今年哥哥和妹妹的年齡.

【答案】今年妹妹6歲，哥哥10歲.

【分析】設今年妹妹的年齡為x歲，哥哥的年齡為y歲，根據兩個孩子的對話，即可得出關于x、y的二

元一次方程組，解之即可得出結論.

【詳解】解：設今年妹妹的年齡為x歲，哥哥的年齡為y歲，

根據題意得：｛3(%+2)：膜為=34+2，

解得：｛;二E，

答：今年妹妹6歲，哥哥10歲.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，列出二元一次方程組是解題的關鍵.

【題型3配套問題】

【典例3】2023年杭州亞運會期間，吉祥物琮琮、宸宸、蓮蓮因其靈動可愛的形象受到了大家的喜

愛.為了提高銷量，某店家推出了吉祥物套裝禮盒，一個套裝禮盒里包含1個吉祥物宸宸玩偶和2個其

他吉祥物的鑰匙扣.已知一個玩偶的進價為60元，一個鑰匙扣的進價為20元，該店家計劃用5000元

購進一批玩偶和鑰匙扣，使得剛好配套.求所購進的玩偶和鑰匙扣的個數.

【答案】購進50個玩偶，100個鑰匙扣

【分析】設購進x個玩偶，y個鑰匙扣，利用總價=單價x數量，結合購進玩偶和鑰匙扣數量間的關系,

4

即可列出關于x,y的二元一次方程組，此題得解.本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等

量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵.

【詳解】解：設購進x個玩偶，y個鑰匙扣，

???一個套裝禮盒里包含1個吉祥物宸宸玩偶和2個其他吉祥物的鑰匙扣，

?,?購進鑰匙扣的數量是購進宸宸玩偶數量的2倍，

■■■2x—y；

???一個玩偶的進價為60元，一個鑰匙扣的進價為20元，且店家共花費5000元，

.?.60%+2Oy=5000.

???根據題意可列出方程組

[2x=y

160%+2Oy=5000,

解得｛二濡

.??購進50個玩偶，100個鑰匙扣

【變式3-1】一工坊用鐵皮制作糖果盒，每張鐵皮可制作盒身20個，或制作盒底30個，一個盒身與兩

個盒底配成一套糖果盒.現有35張鐵皮，設用龍張制作盒身，》張制作盒底，恰好配套制成糖果盒，則

下列方程組中符合題意的是（）

A（x+y=35（x+y=35

A-ty=2x12x20%=3Oy

fx+y=35c=35

Cr-120%=2X30yD.J在=工

【答案】B

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，設用x張制作盒身，y張制作盒底，根據題意列出方程組

即可.

【詳解】解：設用x張制作盒身，y張制作盒底，

根據題意得：§立第類廠

故選：B.

【變式3-2】服裝車間有70名工人，縫制一種成人套裝（2件上衣和1條褲子配成一套）.已知1名工

人一天可縫制上衣6件或褲子4條，設久名工人縫制上衣，y名工人縫制褲子可使縫制出來的上衣和褲子

恰好配套，則下列方程組正確的是（）

.（x+y=70R（x+y=70

I6%=4yI2x=y

5

C%+y=70（x+y=70

c,12x6x=4yD,I6x=2x4y

【答案】D

【分析】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，根據“服裝車間有70名工人，縫制一種成人套

裝（2件上衣和1條褲子配成一套）.已知1名工人一天可縫制上衣6件或褲子4條"，可得出關于x,y

的二元一次方程組，此題得解.

【詳解】服裝車間有70名工人，

：.x+y=70；

???縫制一種成人套裝（2件上衣和1條褲子配成一套）.已知1名工人一天可縫制上衣6件或褲子4條，

：.6x=2x4y.

???根據題意可列二元一次方程組｛言?

故選：D.

【變式3-3】某工廠加工圓柱形的茶葉盒，購買了25塊相同的金屬板材，已知每塊金屬板材可以有/,

B,C三種裁剪方式./方式：裁剪成9個圓形底面和1個側面.2方式：裁剪成4個側面.C方式：裁

剪成12個圓形底面，如下圖.已知2個圓形底面和1個側面組成一個圓柱形茶葉盒，且要求圓形底面

與側面恰好配套.現已有4塊金屬板材按C方式裁剪.

/方式B方式5式

⑴設有x塊金屬板材按A方式裁剪，j塊金屬板材按B方式裁剪.則可以裁剪出圓形底面共個（用

含x的代數式表示），側面共一個（用含x,y的代數式表示）；

⑵這批金屬板材最多能加工多少個圓柱形茶葉盒？

【答案】⑴（9久+48）；（x+4y）

（2）60個

【分析】由題意，明確等量關系，建立二元一次方程組求解.

【詳解】（1）解：由題意，可以裁剪出圓形底面共（9久+48）個，側面共（％+4y）個；

（2）依題意得：第篝y），解得：E，

Ax+4y=8+4X13=60.

答：最多能加工60個圓柱形茶葉盒.

6

【點睛】本題考查二元一次方程組的應用，根據題意明確等量關系是解題的關鍵.

【題型4雞兔同籠問題】

【典例4】"雞兔同籠"是我國古代著名的數學趣題之一.大約在1500年前成書的《孫子算經》中，就有

關于“雞兔同籠"的記載："今有雉兔同籠，上有二十五頭，下有七十六足，問雉兔各幾何？"這四句話的

意思是：有若干只雞兔關在一個籠子里，從上面數，有25個頭；從下面數，有76條腿，問籠中各有幾

只雞和兔？

【答案】籠中有12只雞，13只兔

【分析】根據"上有二十五頭，下有七十六足"，得出關于x,y的二元一次方程組，解之即得.

【詳解】設籠中有x只雞，y只兔.

由題意得:{2J^==76

解得:憂;i

答：籠中有12只雞，13只兔.

【點睛】本題考查二元一次方程組的雞兔同籠問題，找出等量關系并根據生活常識列出方程組是解題關

鍵.

【變式4-1]第一道雞兔同籠問題收錄于《孫子算經》：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足,

問雞兔各幾何？意思是現在籠子里既有雞又有兔，有35個頭，94只腳，設有雞、兔各為x,y只，那么

下列選項中，方程組列正確的是（）

[x+y=35[x+2y=35（x+y=35[x+y—35

'I4x+4y=94[2x+4y=9414%+2y=94'I2x+4y—94

【答案】D

【分析】本題主要考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解題的關鍵是理解題意，找到題目的等量關

系.根據"雞的數量+兔的數量=35,雞的腳的數量+兔子的腳的數量=94"可列方程組.

【詳解】解：設有雞、兔各為x,y只，

根據題意，可列方程組為+工段4，

故選：D.

【變式4-2】某校組織學生參加數學知識競賽，共設20道選擇題，各題分值相同，每題必答，下表是部

分參賽者的得分統計表：

7

參賽者答對題數答錯題數得分

于瀟200100

王曉林18288

李毅101040

(1)觀察、分析表格提供的數據可知：答對1題得分，答錯1題扣分；

(2)若設答對題數是x,得分為y,請用含x的代數式表示y；

⑶參賽者李小萌得了76分，求他答對了幾道題；

⑷參賽者馬小虎說他得了80分，你認為可能嗎？為什么？

【答案】(1)5；1

(2)y=6x—20

⑶答對了16道題

⑷不可能，見解析

【分析】(1)設答對一題得小分，答錯一題扣n分，根據題意得：1篇2羨〉°88,進行計算即可得;

(2)若答對x道題，得分為y分，則答錯(20—%)道題，依題意得：y=5x-(20-x)=6x-20；

(3)根據(2)中的所得y與x的關系式，將y=76代入計算即可得；

(4)令y=80,即6x—20=80,進行計算即可得.

【詳解】(1)解：設答對一題得加分，答錯一題扣幾分，根據題意得：

(20m=100

118m—2n=88'

解得:crt

即答對一題得5分，答錯一題得1分，

故答案為：5；1;

(2)解：若答對x道題，得分為y分，則答錯(20—X)道題，依題意得：

y=5x—(20—x)=6x—20；

(3)解：依題意得：

6%—20=76,

解得：%=16,

即他答對了16道題;

8

（4）不可能，理由如下：

解：依題意，得：

6%—20=80,

解得：%=

,?樣不為整數，

參賽者馬小虎不可能得80分.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵是理解題意找出等量關系列出方程.

【題型5牛羊值金問題】

【典例5】我國傳統數學名著《九章算術》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十

六兩.問牛、羊各直金幾何？"譯文："假設有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩

銀子，問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？"

根據以上譯文，提出以下兩個問題：

⑴求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？

（2）若某商人準備用11兩銀子買牛和羊（要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完），請你為商人列出所

有可能的購買方法.

【答案】（1）每頭牛3兩銀子，每只羊2兩銀子；

⑵方案1：1頭牛，4只羊；方案2：3頭牛，1只羊.

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量

關系，正確列出二元一次方程組；（2）找準數量關系，正確列出二元一次方程.

（1）設每頭牛值x兩銀子，每只羊值y兩銀子，根據"5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊,

值16兩銀子"，即可得出關于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

（2）設購買機頭牛，"只羊，根據某商人準備用11兩銀子買牛和羊，列出二元一次方程，然后求出滿

足條件的正整數解即可.

【詳解】（1）解：設每頭牛值x兩銀子，每只羊值y兩銀子，依題意得：

（Sx+2y=19

I2x+5y=16'

解得：

—乙

答：每頭牛值3兩銀子，每只羊值2兩銀子;

9

(2)解：設購買心頭牛，"只羊,

依題意得：3m+2n=ll,

"m>n均為正整數，

(m—1(m=3

"In=4"In=1"

商人有2種購買方法：方案1：1頭牛，4只羊；方案2：3頭牛，1只羊?.

【變式5-1】在數學著作《九章算術》中有這樣一個問題："今有牛五，羊二，值金十九兩；牛二羊五,

值金十六兩，問牛羊各值金幾何？"譯文："五頭牛和兩只羊共值金19兩，兩頭牛和五只羊共值金16兩,

問牛和羊各值金多少兩？"請你解決這個問題.

【答案】牛和羊各值金3兩、2兩

【分析】設牛和羊各值金龍、V兩，根據題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解.

【詳解】設牛和羊各值金x、y兩，

根據題意有:襟：疑卷

解得：憂i，

答：牛和羊各值金3兩、2兩.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，明確題意，列出方程組，是解答本題的關鍵.

【變式5-2】我國傳統數學名著仇章算術/記載："今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金

十六兩.問牛、羊各直金幾何？"譯文："假設有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀

子，問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？"根據以上譯文，提出以下兩個問題：

(1)求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？

(2)某商人準備用28兩銀子買牛和羊(要求既有羊又有牛，且銀兩須全部用完)，且羊的數量不少于牛數量

的2倍，請問商人有幾種購買方法？列出所有的可能.

【答案】(1)每頭牛值3兩銀子，每只羊值2兩銀子

⑵①購買2頭牛，11只羊；②購買4頭牛，8只羊.

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：(1)找準等量

關系，正確列出二元一次方程組；(2)找準數量關系，正確列出二元一次方程.

(1)設每頭牛值x兩銀子，每只羊值y兩銀子，根據"5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16

兩銀子"，即可得出關于刈y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

10

(2)設購買rn頭牛，n只羊，根據某商人準備用28兩銀子買牛和羊，列出二元一次方程，再根據羊的數

量不少于牛數量的2倍，得幾22小，然后求出滿足條件的正整數解即可.

【詳解】(1)解：設每頭牛值x兩銀子，每只羊值y兩銀子，

依題意得:{M器要

解得:

答：每頭牛值3兩銀子，每只羊值2兩銀子；

(2)設購買m頭牛，幾只羊，

依題意得：3ni+2zi=28,

整理得：n=14-fm,

???加、九均為正整數，

???M為2的倍數，

???羊的數量不少于牛數量的2倍，

???n>2m,

(m=2=4

.??〔幾=11取1幾=8'

：?商人有2種購買方法：

①購買2頭牛，11只羊；

②購買4頭牛，8只羊.

【變式5-3】我國傳統數學名著仇章算術》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金

十六兩.問牛、羊各直金幾何？"譯文："假設有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀

子.問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據以上譯文，求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？

【答案】每頭牛值3兩銀子，每只羊值2兩銀子

【分析】設每頭牛值x兩銀子，每只羊值y兩銀子，根據"5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只

羊，值16兩銀子"，即可得出關于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

【詳解】解：設每頭牛值x兩銀子，每只羊值y兩銀子，

依題意得:像：舞山

解得：iv-l-

答：每頭牛值3兩銀子，每只羊值2兩銀子.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以，解題的關鍵是找準數量關系.

11

【題型6幾何問題】

【典例6】如圖，制作甲、乙兩種無蓋的長方體紙盒，需用正方形和長方形兩種硬紙板，且長方形的寬

與正方形的邊長相等.現有150張正方形硬紙片和300張長方形硬紙片，可制作甲、乙兩種紙盒各多少

個？

【答案】可以做成甲乙兩種小盒各30個，60個.

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，設可以做成甲乙兩種小盒各x個，y個，根據將

300張長方形硬紙片和150張正方形硬紙片全部用于制作這兩種小盒列出方程組求解即可.

【詳解】解：設可以做成甲乙兩種小盒各x個，y個，

由題意得,｛黑2弊溜,

解得｛；或&,

答：可以做成甲乙兩種小盒各30個，60個.

【變式6-1】如圖，小雯家客廳的電視背景墻是由10塊相同的小長方形墻磚砌成的大長方形，已知電視

背景墻的高度為1.5m,求每塊小長方形墻磚的長和寬.

【答案】長為1.2m,寬為0.3m

【分析】本題考查了二元一次方程組的實際應用，由圖可知，小長方形墻磚的長是寬的4倍，小長方形

墻磚的長加寬為1.5m,設每塊小長方形墻磚的長為xm,寬為ym,列出方程組求解即可.

【詳解】解：設每塊小長方形墻磚的長為久m,寬為ym.

由題意得｛屋短明，

解得噌，

12

答：小長方形墻磚的長為1.2m,寬為0.3m.

【變式6-2］如圖是由7個形狀、大小都相同的小長方形和一塊正方形無縫隙拼合而成，則圖中陰影部

分的面積為多少？

【答案】36

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應用，設小長方形的長為x,寬為乃根據題意可知長加上寬

的兩倍等于15,長為寬的三倍，據此列出方程組求解即可.

【詳解】解；設小長方形的長為x,寬為外

由題意得，｛龍二警二5,

解得｛；：I，

???陰影部分的正方形邊長為2y=6,

???陰影部分的面積為：62=36.

【變式6-3］在大長方形48CD中，放入九個相同的小長方形，數據如圖所示，請求出小長方形的長和寬.

【答案】小長方形長為8,寬為3

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，設小長方形長為x,寬為力根據長加寬的3倍等

于17,長加寬的4倍等于20列出方程組求解即可.

【詳解】解：設小長方形長為x,寬為y,

X+4y-2O

由題意得,X+3y-17

解得：妝著,

答：小長方形長為8,寬為3.

【變式6-3】劉爺爺計劃在一塊長為20m,寬為17m的長方形空地種上蔬菜，如圖所示，在空地上留出

13

三個完全相同的小長方形和四個完全相同的正方形來種植番茄(陰影部分)，其余部分種植辣椒.已知

正方形的邊長與小長方形的寬相等，請分別求出種番茄和辣椒的面積.

【答案】種植番茄的面積為46平方米，種植辣椒的面積為294m2.

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應用等知識點，設小長方形的寬為“m,長為ym,再結合圖

形可得方程組，然后解方程組求出的值，進而即可得解，結合圖形找出等量關系列出方程組是解題的

關鍵.

【詳解】設小長方形的寬為xm,長為ym,

根據題圖，得｛黑＞￡二"，

解騎,

種植番茄的面積為2x2x4+2x5x3=46(m2),

種植辣椒的面積為20X17-46=294(m2),

答：種植番茄的面積為46平方米，種植辣椒的面積為294m2.

【題型7球賽積分問題】

【典例7】籃球賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝1場得2分，負1場得1分.小組積分賽中，每個隊

伍要進行12場比賽.

(1)4隊勝了8場，那么他們負了一場，積分是一分.

⑵8隊總積分為21分，那么B隊勝負場數分別是多少？

【答案】⑴4,20；

(2出隊勝了9場，負了3場.

【分析】本題考查二元一次方程組的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出方程組解決問題.

(1)由題意知4隊負了4場，再由積分規則計算即可得到4隊積分為20分；

(2)設B隊勝了x場，負了y場，由等量關系列方程組求解即可解得答案.

【詳解】(1)解：???每個隊伍要進行12場比賽，

14

???4隊勝了8場，負了12—8=4（場）,

??-8x2+4x1=20（分），

4隊積分為20分,

故答案為：4,20；

（2）解：設B隊勝了無場，負了y場，

由題意可得｛克女,解得｛；要，

答：B隊勝了9場，負了3場.

【變式7-1】籃球賽場見真章，明德學子展風采”.第七屆"明德杯”籃球賽中，每場比賽都要分出勝

負.每隊勝1場得2分，負1場得1分.小組積分賽中，每個隊伍要進行24場比賽.

⑴“臥龍隊”勝了16場，負了場，積分是分.

⑵"雄鷹隊”總積分為43分，那么"雄鷹隊”勝負場數分別是多少？

【答案】⑴8,40

（2）“雄鷹隊"勝了19場,負了5場

【分析】本題考查二元一次方程組的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出方程組解決問題.

（1）由題意知“臥龍隊”負了8（場），再由積分規則計算即可得到“臥龍隊”積分為40分；

（2）設“雄鷹隊”勝了萬場，負了y場，由等量關系列方程組求解即可解得答案.

【詳解】（1）解：，??每個隊伍要進行24場比賽，

???“臥龍隊”勝了16場，負了24—16=8（場），

：16x2+8x1=40（分）,

“臥龍隊”積分為40分，

故答案為：8,40；

（2）解：設“雄鷹隊”勝了x場，負了y場，

由題意可得｛點?,解得｛；：對,

答：“雄鷹隊”勝了19場，負了5場.

【變式7-2】"籃球賽場見真章，明德學子展風采”.在第七屆“明德杯”籃球賽中，每場比賽都要分出勝負,

每隊勝1場得2分，負1場得1分.在小組積分賽中，每個隊伍要進行18場比賽.

15

（1）若“臥龍隊"共勝了12場，求該隊獲得的總積分.

⑵若"雄鷹隊"總積分為32分，則該隊勝、負場數分別是多少？

【答案】⑴"臥龍隊"獲得總積分為30分

（2廣雄鷹隊"勝了14場，負了4場

【分析】本題考查有理數運算的實際應用，二元一次方程組的實際應用：

（1）根據得分規則，列出算式進行計算即可；

（2）設“雄鷹隊"勝了X場，負了y場，根據題意，列出方程組進行求解即可.

【詳解】（1）解：???每個隊伍要進行18場比賽，"臥龍隊”勝了12場，

二負了18—12=6場,

12x2+6x1=30分，

?/臥龍隊"獲得總積分為30分.

（2）設"雄鷹隊"勝了x場，負了y場.

由題意，得｛承京埸

解得｛口

答："雄鷹隊”勝了14場，負了4場.

【變式7-3］問題：在籃球比賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝1場得2分，負1場得1分，某隊

在10場比賽中得到16分，那么這個隊勝負場數分別是多少？

⑴若設該隊勝x場，負y場,用含有x,y的式子表示下面的量：

①該隊一共比賽的場數是場；

②該隊共獲得積分是分；

（2）根據（1）,列出問題中的等量關系，得到方程組為.

⑶求解（2）中的方程組.

【答案】⑴①（久+y）；②（2久+y）

⑵｛成

16

【分析】(1)根據題意列出代數式即可；

(2)根據某隊在10場比賽中得到16分，列出方程組即可；

(3)用加減消元法解方程組即可.

【詳解】(1)解：①該隊一共比賽的場數是(x+y)場；

②該隊共獲得積分是(2%+y)分.

故答案為：①(x+y)；②(2x+y).

(2)解：???某隊在10場比賽中得到16分，

,[x+y=10

"12%+y=16'

故答案為：《飛；2.

⑶解:｛秣二"黑,

②一①得：x=6,

把尤=6代入①得：6+y=10,

解得：y=4,

???方程組的解為｛；:4-

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵是理解題意，根據等量關系列方程組.

【題型8盈不足問題】

【典例8】《九章算術》是我國乃至世界數學史上的瑰寶，尤其是方程思想

(1廣方程"二字最早見于我國《九章算術》這部經典著作中，該書的第八章名為"方程"如:

從左到右列出的算籌數分別表示方程中未知數羽y的系數與相應的常數項，即

可表示方程久+4y=23,求:表示的方程

(2)我國古代數學著作《九章算術》中有這樣一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四,

問人數、物價各幾何？"意思是："幾個人一起去購買某物品，每人出8錢，則多出3錢；每人出7錢,

則還差4錢.問人數、物品的價格分別是多少？"

【答案】(l)x+2y=32

17

(2)共有7人；物品的價格為53元

【分析】本題考查一元一次方程以及二元一次方程的實際應用.

(1)根據橫著的算籌為10,豎放的算籌為1,依次表示無，y的系數與等式后面的數字，即可列方程,

然后組成方程組；

(2)根據總錢數不變列式求解即可得到答案.

【詳解】(1)

解：|uuu---------------------吧表示的方程是x+2y=32；

(2)解：設有x人，則物品的價格為(8x—3)錢，由題意可得，

8%—3=7%+4,

解得：%=7,

.,-8%—3=7x8—3=53,

答：共有7人；物品的價格為53元.

【變式8-1】我國古代數學名著《九章算術》一書中記載了這樣一個問題：“今有共買牛，七家共出一百

九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十.問家數、牛價各幾何.”大意為：今有若干戶人家共

同買牛，若每7家共出190個錢，則少330個錢：若每9家共出270個錢，則多30個錢.問共同買牛

的家數和牛價各是多少？請你解決上述問題.

【答案】共有126家共同買牛，牛價為3750個錢

【分析】設有x家，牛價為y個錢，然后根據題意可列二元一次方程組進行求解.

【詳解】解：設有x家，牛價為夕個錢，根據題意，得：

{y--x=330

y7

270，

——9x—4y=30

解得:[y=3750,

答：共有126家共同買牛，牛價為3750個錢.

【點睛】本題主要考查二元一次方程組的應用，解題的關鍵是理解題意.

【變式8-2】《九章算術》是中國傳統數學重要的著作，奠定了中國傳統數學的基本框架，其中《盈不

足》卷記載了一道數學問題："今有共買物，人出八，贏三；人出七，不足四，問人數、物價各幾何？"

譯文："今有人合伙購物，每人出8錢，會多出3錢；每人出7錢，又差4錢.問人數、物價各多少？"

請解答上述問題.

18

【答案】共7人合伙購物，物價是53錢

【詳解】設物價為x錢，人數為y人，根據"每人出8錢，會多出3錢；每人出7錢，又會差4錢，"列

出方程組，即可求解.

解：設共久人合伙購物，物價是y錢，

依題意得:

解得：［y=L-

答：共7人合伙購物，物價是53錢.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵.

【變式8-3】《孫子算經》是中國古代的數學著作，成書大約一千五百年前.卷中舉例說明籌算分數算

法和籌算開平方法，其中“物不知數”的問題.在西方的數學史里被稱為“中國的剩余定理”.《孫子

算經》中有一道題：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五，屈繩量之，不足一尺，問木長幾

何？”大致意思是“用一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺，將繩子對折再量木條，木條剩余1尺,

向木條長多少尺？”

【答案】木條長6.5尺.

【分析】設繩子長X尺，木條長》尺，根據“用一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺，將繩子對折

再量木條，木條剩余1尺”，即可得出關于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結論.

【詳解】解：設繩子長龍尺，木條長y尺，

{x—y=4.5

y_lx=1.

解得：

答：木條長6.5尺.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及數學常識，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是

解題的關鍵.

【題型9銷售問題】

【典例9】2024"全民健身活力中國”漢方普惠杯一一聊城莘縣賽區海選，參賽者為了購買服裝，在某商廈

購買商品4B共三次，只有一次購買時，商品48同時打折，其余兩次均按標價購買，三次購買商品

4B的數量和費用如下表：

購買商品力的數量（個）購買商品B的數量（個）購買總費用（元）

19

第一次購物651140

第二次購物371110

第三次購物981062

⑴參賽者按打折扣價購買商品/，8是第次購買；

(2)求商品/,B的標價；

⑶若商品4,B的折扣相同，則商店是打幾折出售這兩種商品的？

【答案】⑴三

⑵商品/的標價為90元/個，商品B的標價為120元/個

⑶商店是打6折出售這兩種商品的.

【分析】本題考查了一元一次方程的應用，二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出

未知數，找出合適的等量關系，列方程求解.

(1)根據圖表可得第三次購物花的錢最少，買到/、8商品又是最多，所以以折扣價購買商品/、8是

第三次購物；

(2)設商品/的標價為x元/個，商品3的標價為y元/個，列出方程組求出x和y的值；

(3)設商店是打。折出售這兩種商品，根據打折之后購買9個/商品和8個2商品共花費1062元，列

出方程求解即可.

【詳解】(1)解：參賽者按打折扣價購買商品4B是第三次購買；

(2)解：設商品/的標價為久元/個，商品B的標價為y元/個，

根據題意得：匿若在；密,

解得｛二蹺，

經檢驗，方程組的解符合題意.

答：商品/的標價為90元/個，商品B的標價為120元/個；

(3)解：設商店是打a折出售這兩種商品的，

由題意得(9x90+8x120)x*=1062,

解得a=6,

答：商店是打6折出售這兩種商品的.

【變式9-1】今年春季，蔬菜種植場在15畝的大棚地里分別種植了茄子和西紅柿，總投入是26萬元，

其中，種植茄子和西紅柿每畝地的投入分別為2萬元和1萬元.請解答下列問題：

20

⑴求出茄子和西紅柿的種植面積各為多少畝？

（2）如果茄子和西紅柿每畝地的利潤分別為1.4萬元和1.6萬元，那么種植場在這一季共獲利多少萬元？

【答案】⑴茄子和西紅柿的種植面積各為11畝，4畝；

（2）21.8萬元.

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，有理數四則混合計算的實際應用：

（1）設茄子和西紅柿的種植面積各為x畝，y畝，根據蔬菜種植場在15畝的大棚地里分別種植了茄子

和西紅柿，總投入是26萬元，其中，種植茄子和西紅柿每畝地的投入分別為2萬元和1萬元列出方程

組求解即可；

（2）根據（1）所求，列式計算即可.

【詳解】（1）設茄子和西紅柿的種植面積各為X畝，y畝，得：

（x+y=15

12%+y=26'

解得：，

答：茄子和西紅柿的種植面積各為11畝，4畝；

（2）11x1.4+4x1.6=21.8（萬元），

答：種植場在這一季共獲利21.8萬元.

【變式9-2】小明在某商店購買商品4B共三次，只有一次購買時，商品同時打折，其余兩次均按標價

購買，三次購買商品4B的數量和費用如表：

購買商品4購買商品B

購買總費用/元

的數量（個）的數量（個）

第一次購物651140

第二次購物371110

第三次購物981062

⑴求商品4B的標價；

（2）若商品4B的折扣相同，問商店是打幾折出售這兩種商品的？

【答案】（1）商品2的標價為90元，商品B的標價為120元

⑵商店是打6折出售這兩種商品的

【分析】（1）設商品2的標價x元，商品B的標價為y元，由表中數據列出二元一次方程組，解方程組即

21

可；

(2)設商店是打a折出售這兩種商品的，由打折之后購買9個4商品和8個8商品共花費1062元，列出

一元一次方程，解方程即可.

【詳解】(1)由表中數據可知，小明以折扣價購買商品4B是第三次購物.

設商品力的標價為x元，商品B的標價為y元，

由題意得:｛瓢沈覆，

解得：｛二罌，

答：商品4的標價為90元，商品B的標價為120元；

(2)解：設商店是打a折出售這兩種商品的，

由題意得:(9x90+8x120)x0.1a=1062,

解得：a=6,

答：商店是打6折出售這兩種商品的.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次方程的應用，解題的關鍵是：(1)找準等量

關系，正確列出二元一次方程組；(2)找準等量關系，正確列出一元一次方程.

【變式9-3】為減少庫存，某商店舉行了促銷優惠活動.打折前，購買6個工商品和5個2商品，總費

用為114元；3個/商品和7個3商品，總費用為111元.打折后，小明購買了9個4商品和8個8商

品，總費用為141.6元.

⑴求打折前/商品和B商品的單價；

(2)若/商品和2商品的折扣相同，則該商店打幾折出售這兩種商品？小明在此次購物中得到了多少優惠？

【答案】(1)4商品的單價為9元，B商品的單價為12元；

(2)八折;35.4元的優惠.

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次方程的應用，解題的關鍵是：(1)找準等量

關系，正確列出二元一次方程組；(2)找準等量關系，正確列出一元一次方程.

(1)設每個/商品的標價為x元，每個8商品的標價為y元，根據“打折前，購買6個N商品和5個

3商品，總費用為114元；3個/商品和7個3商品，總費用為111元”，即可得出關于x,y的二元一

次方程組，解之即可得出結論；

(2)設商店打加折出售這兩種商品，根據“打折后，小明購買了9個/商品和8個3商品共用了141.6

元”，即可得出關于機的一元一次方程，解之即可得出加的值，再利用獲得的優惠=不打折時購買這

些商品所需費用-打折后購買這些商品所需費用，即可求出結論.

22

【詳解】(1)解：設打折前4商品的單價為尤元，B商品的單價為y元.

依題意,得｛給國：遇，解得｛:二：2

故打折前4商品的單價為9元，B商品的單價為12元.

(2)設該商店打小折出售這兩種商品.

依題意，得9x9x*+8x12x*=141.6,解得m=8.

9x9+12x8-141.6=35.4(元).

故該商店打八折出售這兩種商品，小明在此次購物中得到了35.4元的優惠.

【題型10方案問題】

【典例10】“臍橙結碩果，香飄引客來"，贛南臍橙以其"外表光潔美觀，肉質脆嫩，風味濃甜芳香”的特

點飲譽中外.現欲將一批臍橙運往外地銷售，若用2輛/型車和1輛3型車載滿臍橙一次可運走lot；

用1輛/型車和2輛2型車載滿臍橙一次可運走lit,現有臍橙31t,計劃同時租用A型車。輛，8型

車b輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿臍橙.

根據以上信息，解答下列問題：

(1)1輛/型車和1輛8型車都載滿臍橙一次可分別運送多少噸？

(2)請你幫該物流公司設計租車方案；

⑶若1輛/型車需租金100元/次，1輛8型車需租金120元/次.請選出費用最少的租車方案，并求出

最少租車費.

【答案】(1)1輛/型車載滿臍橙一次可運送3t,1輛8型車載滿臍橙一次可運送4t

(2)一共有3種租車方案，方案一：租/型車1輛，2型車7輛；方案二：租/型車5輛，2型車4輛;

方案三：租N型車9輛，8型車1輛

⑶最省錢的租車方案是方案一，即租/型車1輛，2型車7輛，最少租車費為940元

【分析】本題主要考查了二元一次方程組和二元一次方程的應用，解題的關鍵是根據等量關系，列出方

程.

(1)設1輛/型車載滿臍橙一次可運送xt,1輛B型車載滿臍橙一次可運送yt,根據2輛/