北京市2025屆高三數學二輪復習專題過關檢測

立體幾何

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合

題目要求的一項.

1.設7?是兩條不同的直線，a,夕是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）

A.若a1/3,ma,則B.若tz_La,則zn_L/7

C.若ma,"_La,則mD.若加a,則

2、已知四面體O—A3C中，設51=a,OB=b,OC=c,。為3C的中點，E為OD的中點，則

AE用向量a,Z?,c可表示為（）

A、a——b——cB、-a+—b+—cC、-a+—b+—c

444422

3、已知圓錐的母線長為20，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的底面半徑為（）

A.72B.—C.73D.立

22

4、正四棱錐P-ABCD的所有棱長均為2,則側面與底面所成角的余弦值為（）

5、如圖，在棱長為2的正方體ABC。-中，E為8旦的中點，動點/沿著線段BQ從點3移

動到點C1.則下列結論中正確的是（）

A、直線。E與直線AB為異面直線B、4僅五4恒為鈍角

C、三棱錐尸-AAE的體積越來越大D、A萬IBC

6、如圖，在三棱錐P-ABC中，VA3C與,K鉆都是邊長為2的等邊三角形，且尸。=4，則

一、3

C.一

24

7、沙漏是一種古代計時儀器.如圖，某沙漏由上下兩個相同圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為6cm,

2

細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的一，則這些細沙的體積為（

3

163323

B.—ncm'C.871cm3D.—兀cm

33

8、己知以邊長為4的正方形為底面的四棱錐，四條側棱分別為4,4,20，2亞,則該四棱錐的

高為（）

V3

r\.--------C.273D.A/3

22

9、坡屋頂是我國傳統建筑造型之一，蘊含著豐富的數學元素.安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展

現造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的

等腰三角形.若A5=25m,5C=A￡>=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與

平面A5CD的夾角的正切值均為巫，則該五面體的所有棱長之和為（）

5

A.102mB.112mc.117mD.125m

10、如圖，在棱長為6的正四面體P-ABC中，以尸為頂點的圓錐在正四面體的內部（含表面），則

該圓錐體積的最大值為（）

A、2A/6HB、3屈TI

C、2島D、3后

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.在正方體A5co-中，直線AB1與8G所成角的大小為.

12、已知平面々的一個法向量為。=（羽3,2）,平面￡的一個法向量為6=（-1,%1）,若。〃，，則%+丁=

13、在棱長為2的正四面體A5CD中，M,N分別是A5CD的中點，貝H"N|=.

14、我國有著豐富悠久的印章文化，印章是簽署文件時代表身份的信物，因其獨特的文化內涵，有

時作為裝飾物來使用.圖1是一個金屬印章擺件，除去頂部的環可以看作是一個正四棱柱和一

個正四棱錐組成的幾何體，如圖2所示.已知正四棱柱和正四棱錐的底面邊長為4,體積之比

為3：1,且該幾何體的頂點在球。的表面上，則球。的半徑為—

圖1

15、在棱長為1的正方體A3CD—4用￡。中，點E在線段AC1上（不與4G重合），EF±AC

于凡尸GL8C于G,以下四個結論：

①平面所G；

②線段所與線段FG的長度之和為定值；

③"G面積的最大值為"

④線段EG長度的最小值為變.

2

其中所有正確的結論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.如圖，在直三棱柱ABC-A耳G中，AC=BC=1,A&=2,AC±BC,。是朋的中點.

(I)求直線CD與平面3Go所成角的正弦值；

(II)求點C到平面BCXD的距離.

17、如圖，在三棱錐P—ABC中，R4,平面ABC,PA=AB=5C=1,PC=g.

(1)求證：平面PAB；

(2)求二面角A—PC—6的大小.

18、已知四棱錐P/BC。，AD//BC,AB=BC=1,AD=3,DE=PE=2,E是AD上一點,

PE±AD.

（1）若F是PE中點，證明：8F〃平面PCD.

（2）若AB，平面PED,求平面上45與平面PCD夾角的余弦值.

19、如圖，在多面體A5co石尸中，四邊形ABCD為正方形，DE//CF,G為線段AF的中點,

AB=CF=2DE=2.

（I）求證：8￡>//平面AEF；

（II）若。石，平面/WCO,求直線BG與平面AEF所成角的正弦值.

20、如圖，在五面體A5CDPQ中，平面A5CD,ADA.CD,AB//CD,PQ//CD,

AD=CD=DP=4,AB=3,E,G分別為52Ap的中點，連接DG,EG,CE.

（1）求證：AP工平面DCE；

（2）求直線CP與平面DC五所成角的正弦值;

(3)線段上是否存在點使得CP〃平面。G/0?若存在，求也的值；若不存在，說明

BC

理由.

21、如圖，在四棱錐尸-ABCD中，E4_L平面ABCD,四邊形ABCD是邊長為1的正方形，E是

的中點.

(I)求證：PC〃平面BDE；

(II)求證：J°C±BD；

(III)若直線跖與平面PCD所成角的正弦值為巫，求R4的長度.

10

參考答案

一、選擇題

1、C2、B3、A4、D5、D6、C7、B8、D9、C10、A

二、填空題

11.—

3

12、--13、亞14、315、①②④

三、解答題

16.解：(I)由平面ABC,AC±CB,可得C4,CB,CC］兩兩垂直，所以以C為原點,

C4,CB,CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，如圖建立空間直角坐標系，.....2分

則C(0,0,0),D(l,0,l),8(0」,。)，G(0,0,2),

所以CD=(1,0,1),q0=(1,0,-1),G3=(0,l,-2)..…4分

設平面的法向量為機=(x,y,z),

所以?C.Dm=0,即(x-z=”0.......6分

CyBrn=0,[y-2z=0,

令％=1,則y=2,z=l,于是帆=(1,2,1),……8分

設直線CD與平面3G。所成角為8,

貝〔一|=，

Usin3=|cos<CD,m>|=..........................9分

\CD\-\m\3

所以直線CD與平面BC.D所成角的正弦值為B.

.........................10分

3

(II)因為CG=(0,0,2),.........................12分

所以點C到平面BCP的距離為|CC|'m|=45.

.........................15分

17、(1)因為？A，平面ABCBCu平面ABC,

所以同理上4LAB,

所以為直角三角形，

又因PB=dPd+AB?=①，BC=1,PC=0

所以「52+3。2=尸。2,則PBC為直角三角形，故

又因為BCId,PAPB=P,

所以8cl平面R45.

（2）由（1）BC_Z平面R45,又ABu平面R45,則BCLAB,

以A為原點，A8為％軸，過A且與BC平行的直線為》軸，轉為z軸，建立空間直角坐標系，如

圖，

則A(0,0,0),P(O,O,1),C(1,1,O),B(l,0,0),

所以AP=(。,0,1),AC=(1,1,0),BC=(0,1,0),PC=(1,1,-1),

m-AP=0Zi=0,

設平面？AC的法向量為帆=（4如4）,貝卜,即《

m-AC=0石+乂=0,

令王=1,貝！所以根=（1,—1,0）,

n-BC=0%=0

設平面PBC的法向量為〃=（w，y2，Z2），貝卜,即《

n^PC=0x2+y2-z2=0

令刀2=1,則Z2=l,所以“=(1,0,1),

所以cos（加/_m-n11

y/2xy/2~2,

又因為二面角A—PC—6為銳二面角,

TT

所以二面角A—PC—B的大小為”.

3

18、（1）取的中點為S,接SgSC,則"7/ED,SB=LED=1,

2

而ED//BC,ED=2BC,故SF//BC,SF=BC,故四邊形SFBC為平行四邊形,

故BFHSC,而跖平面PCD,SCu平面PCD,

所以BE〃平面PCD.

（2）因為即=2,故AE=1,ikAE//BC,AE^BC,

故四邊形AECB為平行四邊形，WCEIIAB,所以CEL平面P4D,

而PE,EDu平面上4D,故CE_LPE,CE_LED,而PE上ED，

故建立如圖所示的空間直角坐標系,

則A（0,—l,0）,5（l,—l,0）,C（l,0,0）,D（0,2,0）,P（0,0,2）,

則PA=（0,-1,-2）,PB=（l,-l,-2）,PC=（1,0,-2）,PD=（0,2,-2）,

設平面PAB的法向量為m=(x,y,z),

PA=0-y-2z=0

則由＜,取加=（0,-2,1）,

mPB=0x-y-2z=0

設平面尸CD的法向量為〃=反。)，

幾?PC=0a-2b=0

則由＜可得4,取〃=（2,1,1）,

n?PD=0[2b-2c=0

-1屈

故cosm,n

故平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為叵

30

19、解：(I)連結AC,設ACBD=O.

因為四邊形為正方形，

所以。為AC中點.

因為G為AF的中點，

所以。G〃CF,且OG=^CP.

2

由已知DE7/CF,且=

2

所以DE//OG,DE=OG.

所以四邊形DOGE為平行四邊形.

所以DO//EG,即8D〃EG.

因為平面EGu平面鉆F,

所以〃平面AEF.

(II)因為DEL平面ABCD,

所以￡>E_LDC,DE_LZM.

因為四邊形.48(7為正方形，所以ZMLOC.

所以DE,DA,DC兩兩垂直.

如圖所示，建立空間直角坐標系。-孫z.

因為AB=CF=2DE=2,

所以Z>(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),3(2,2,0),E(0,0,l),尸(0,2,2),G(l,l,l),

所以BG=(-1,-1,1),AE=(-2,0,1),AF=(-2,2,2).

設平面AEF的一個法向量為〃=(尤,y,z),

由rAE=^得「2x+z=。，即廣2羽

n-AF=O[-2x+2y+2z=0.[y=一尤.

取x=l,得“

設直線BG與平面AEF所成角為6,

則如，=回〈“"〉卜露=|心卜^?

即直線BG與平面但所成角的正弦值為二.

3

20、(1)因為尸￡)_]_平面A5CD,CDu平面A5CD,所以PDLCD.

又因為C￡>，AO,A￡>cP￡>=O,AO,P￡>u平面上位),所以平面Q4￡).

又APu平面。A￡),所以CDLAP.

又因為AD=DP,G為線段AP的中點，所以APLDG.

因為PQ//CD,AB//C￡>,所以PQ//AB.

因為E,G分別為線段52Ap的中點，所以EG//AB.

又CD//AB,所以EG//CD.即C,Q,G,E四點共面.

又CD￡>6=￡>,￡>6<=平面。。巳。￡><=平面。。后，

所以AP1平面DCE.

(2)因為平面A5CD,所以WAD,DC.

又ADLCD,所以ZM,OC,OP兩兩垂直.

如圖建立空間直角坐標系。-孫z.

于是A(4,0,0),B(4,3,0),C(0,4,0),P(0,0,4).

可得AP=(T,0,4),CP=(O,-4,4)

由（1）可得APJ_平面DCE.

所以平面DCE的一個法向量為AP=（T,0,4）.

設直線CP與平面DCE所成角為，，則有

APCP|(-4)X0+0X(-4)+4X4|

sin。=|cosAP,CP|=

APCP7(-4)2+02+427o2+(-4)2+422

則直線CP與平面DCE所成角的正弦值為。.

（3）設〃是線段上的一點，則存在2c[0,l],使BM=%BC.

BC=（^,1,O）,從而DM=DB+ABC=（4-42,3+2,0）.

由點A,P的坐標可得DG=（2,0,2）.

設平面DGM的法向量為〃=（x,y,z）

n-DM=0f（4-42）x+（3+2）y=0

則有＜，即C7I'

In-DG=Qi2x+2z=0

令x=3+2,則法向量為〃=（3+4,44—4,—3—%）

令n.CP=O,即T（4X—4）+4（—3—幾）=0,解得；1=（.

此時“J_CP，又顯然有CP宜平面。CM，從而CP//平面。GM.

所以，線段上存在點M,使得CP//平面。。欣，此時膽=’.

BC5

21、解：（I）證明：連接AC,設ACBD=O,連接OE,

因為在四棱錐尸-ABCD中，四邊形ABCD是正方形,

所以O為班）的中點，

因為E為F4的中點

所以在中，OEHPC,

又OEu平面BDE,PC<Z平面BDE

所以PC〃平面BDE.

(II)法1：因為R4_L平面ABCD,