正定矩陣的若干判別方法及其應用研究摘要：矩陣在研究代數學的工具與方法中占據著重要的地位.正定矩陣是研究矩陣問題的一個分支，其在矩陣中扮演著重要的角色，正定矩陣的性質定理在解題過程中可以靈活運用，且這些性質是一般矩陣所不具有的，而且這些性質也被廣泛地應用于各個領域.本文首先介紹了正定矩陣的定義及相關理論，然后探討了正定矩陣的若干判別方法（如：定義法、順序主子式法、特征值法、標準型法、合同矩陣法）,最后從正定矩陣在凸函數、普通不等式的證明、求解多元函數極值、積分、解決矩陣問題、柯西不等式這六個方面介紹正定矩陣的應用.關鍵詞：二次型；正定矩陣；判別方法；應用目錄TOC\o"1-2"\h\u216521緒論 緒論1.1研究背景在研究矩陣問題中，正定矩陣作為一類常用矩陣，它首先是從正定二次型中抽象出來的一個概念，在有了正定矩陣這個概念之后，解決二次型的問題就變得簡單方便，正定矩陣不僅在代數學中應用廣泛，在函數學、、圖像處理學、概率統計和物理學等學科中都得到了廣泛的應用，因此正定矩陣的性質、定理以及正定矩陣在各方面的應用一直備受學者關注，而在實際生活問題中也經常出現一些相關數學問題，這就需要我們研究正定矩陣的應用，如正定矩陣在矩陣四則運算、在函數極值、在不等式中的應用等.關于正定矩陣的判定及其應用的發展方向是更為寬廣、更為系統的.正定矩陣的發展趨勢是通過研究其性質定理，并將其相互轉換和利用，進而去研究相關矩陣的正定性.正定性思想是在證明矩陣問題中的一種重要思想.矩陣正定性的一些判定性質是解決線性代數中證明問題的一個重要重要途徑之一.本文的研究線路是通過查詢與閱讀各類相關文獻，對正定矩陣及其相關知識點進行歸納總結，探討判斷正定矩陣的幾種方法，及正定矩陣在凸函數的判定、求解函數極值點、積分，普通不等式、解決矩陣問題及在柯西不等式中的應用.1.2研究意義矩陣在研究代數學的工具與方法中占據著重要的地位.正定矩陣是研究矩陣問題的一個分支，其在矩陣中扮演著重要的角色，是學習矩陣時不可忽略的重點.本文對數學感興趣的學生深入理解和掌握正定矩陣理論有著非常重要的意義.這篇文章的研究能夠加強初學者對正定矩陣知識的掌握，是對初學者掌握正定矩陣理論程度的進一步完善與加深，然后還在這些的基礎上闡述了正定矩陣在多方面應用，讓初學者對正定矩陣的掌握更為牢固，對學習高等代數方面的知識更加的簡便，更好的去理解與掌握高等代數知識.從而可以培養我們對代數知識的串聯思想.其次，我們可以從正定矩陣在多方面的應用中，去開闊視野，提高聯想能力，去激發對數學的探究欲望.研究正定矩陣的判別方法與其在各方面的應用，是我們研究矩陣問題必不可少的部分，其在其他各個領域中也具有重要的研究意義與價值.1.3文獻綜述對于正定矩陣的若干判別方法及其應用這個課題，許多學者對其進行了研究.2006年姜國在其論文《正定矩陣的判定及其性質》中概括了正定矩陣的性質和應用，并且總結了判別矩陣是否正定的方法；

2008年岳貴鑫在其論文《正定矩陣及其應用》中強調正定矩陣是不同于其他矩陣的一種特殊矩陣，因此研究其特殊的性質也是有必要的，所以其在論文中給出了正定矩陣的多種充要條件及其在多方面的應用.其中就包括正定矩陣在處理矩陣問題中的運用、在柯西不等式中的運用等；2010年朱用文、王燕、侯汝成在《正定矩陣在函數極值問題中的應用》一文中提到了運用正定矩陣來處理多元函數的極值問題,并且給出了當矩陣正定、負定、不定時函數極值存在的問題；2011年，黃云美在《正定矩陣的性質及其應用》中羅列了正定矩陣的多條性質,并且補充說明并證明了正定矩陣在其他方面的運用；2017年，李立群在《正定矩陣及其應用》中寫到了正定矩陣的定義、性質、正定矩陣的判別方法（運用定義法、運用順序主子式法），還寫到了正定矩陣在多方面法的運用（在數學分析中的運用、與柯西不等式的關系）；2019年蘇妍在《正定二次型的判別方法》中詳細地介紹了正定矩陣的判別方法（定義法、標準型法、特征值法、合同矩陣法以及順序主子式法）；2019年，董改芳在《關于正定矩陣的性質及其應用》一文中同時也向讀者總結了正定矩陣的部分性質和若干的判定方法,并且還補充了正定矩陣在實例中的運用；2020年，李紹剛和遲曉妮在《正定矩陣的性質及其應用》一文中總結并推廣了正定矩陣的基本性質定理,同時給出了正定矩陣在其定理基礎下的推廣以及其在特征值、方程根以及在不等式中的運用.2正定矩陣的定義設是元實二次型（是實對稱矩陣)，對任何不全為0的實數都有則稱為正定二次型，為正定矩陣.3正定矩陣的相關結論定理1REF_Ref21256\r\h[1]若都是正定矩陣，則是正定矩陣.推論1若都是正定矩陣,則是正定矩陣.推論2若都是正定矩陣,則是正定矩陣.定理2REF_Ref21256\r\h[1]正定矩陣的合同矩陣一定是正定矩陣.

證設為階正定矩陣,為階實對稱矩陣且與合同.

由正定矩陣的等價條件可知,與單位矩陣合同.又因為與合同,那么與單位矩陣合同,即為正定矩陣.定理3REF_Ref21256\r\h[1]若是實對稱矩陣,的特征值全大于的特征值全大于.若,則是正定矩,且由已知條件可知陣.證已知是實對稱矩陣都是正定矩陣,則是正定矩陣，設是的任一特征值,則這表明是的特征值.由于是正定矩陣,故所以,即的特征值全大于0,從而為正定矩陣.推論3設都是實對稱矩陣,的特征值均大于.若

≥0,則是正定矩陣.定理4REF_Ref21893\r\h[2]若是正定矩陣,則是正定矩陣的充要條件是證必要性:設是正定矩陣,則是實對稱矩陣,從而充分性:由知故是實對稱矩陣.由于正定,存在可逆矩陣使得,從而即與相似,因而與有相同的特征值.因為正定,故也正定,的特征值全大于零,故的特征值大于零,所以是正定矩陣.定理5REF_Ref22947\r\h[4]若是實對稱矩陣,且可逆,則是正定矩陣.證由已知可知,,則是實對稱矩陣.又因為故與合同,從而是正定矩陣.

對定理5進行推廣,推論如下:推論4若是實對稱矩陣,且可逆,則是正定矩陣.注:當滿足推論4的條件時,不一定是正定矩陣.例如則是實對稱矩陣，且可逆.顯然不是正定矩陣.4正定矩陣的性質性質1REF_Ref23023\r\h[3]若都是階實對稱矩陣，且是正定矩陣，則存在一階實可逆矩陣使與同時為對角形.性質2REF_Ref23023\r\h[3]若是實對稱正定矩陣，則存在使均為正定矩陣.性質3REF_Ref23023\r\h[3]若是階正定矩陣，則性質4REF_Ref22947\r\h[4]若實對稱矩陣正定，則正定,正定.性質5REF_Ref21256\r\h[1]任意兩個同階正定矩陣的和是正定矩陣,更一般地,多個正定矩陣的正

線性組合也是正定矩陣

證設都是正定矩陣,又設由是正定矩陣,可得

則有所以是實對稱矩陣.因為對任意有我們知道是正定矩陣,則有所以因此是正定矩陣.5正定矩陣的判別方法5.1定義法REF_Ref23023\r\h[3]設是元實二次型（為實對稱矩陣)，如果對任意不全為零的實數都有則稱為正定二次型，為正定矩陣.對于證明給定的矩陣正定的問題,應用定義法最方便快捷.例1設是實矩陣，且列滿秩，即證明是正定矩陣.證首先，因為所以，是實對稱矩陣.其次，由可知，齊次線性方程組只有零解.因此對任意的維列向量必有,不妨設,則是一組不全為零的實數.從而，對任意維列向量,二次型，即二次型正定，所以矩陣是正定矩陣.5.2順序主子式法定理1REF_Ref23023\r\h[3]階實對稱矩陣正定的充分必要條件是的所有順序主子式例2證明二次型是否是正定的.證的矩陣為任取的一個階順序主子式，即的一切順序主子式都大于零，所以為正定二次型.例3設二次型判定該二次型的矩陣是不是正定矩陣.解由題意得二次型的矩陣是它的各階順序主子式分別為,順序主子式全部大于零，因此矩陣是正定矩陣.5.3特征值法定理2元實二次型是正定的,當且僅當階實對稱矩陣的特征值都大于0.證對于二次型，存在正交變換，將其化為標準型為，其中為矩陣的特征值，正定正定全大于零.例4證明二次型為正定二次型.證二次型的矩陣為:所以：，則有的特征值是因為的特征值都是正數，所以是正定矩陣.例5已知是階實對稱正定矩陣,證明是正定矩陣.

證由可知,是對稱矩陣,設是A的特征值,則的特征值即,那么則則有：的特征值全為正數，所以是正定矩陣.例6設是階實對稱矩陣,且滿足,證明是正定矩陣.證設是矩陣的特征值,是矩陣的屬于特征值的特征向量,則有因為所以即

由于是實對稱矩陣,故由上式可知矩陣的特征值為1或2,即矩陣的特征值全為正數,從而可得是正定矩陣.5.4標準型法定理3REF_Ref24450\r\h[6]元實二次型是正定的,當且僅當它的標準型的系數全為正數，即它的正慣性指數為.例7判斷二次型的正定性.首先，將二次型化為標準型為（配方法）：令為滿秩變換，所以得到標準型為：又因它的標準型的系數全為正，正慣性指數，所以它是正定二次型.5.5合同矩陣法定理4REF_Ref24450\r\h[6]元實二次型=是正定的，當且僅當階實對稱矩陣與單位矩陣合同.例8已知是階可逆矩陣，證明是對稱正定矩陣.證由于因此，是對稱矩陣.又因為且是可逆矩陣，故與合同，所以是對稱正定矩陣.6正定矩陣的應用6.1正定矩陣在凸函數判定中的應用定理5REF_Ref23023\r\h[3]設是定義在非空凸集上的二階連續可微函數,則若的Hesse矩陣在上正定,則是上的嚴格凸函數.例9判斷是否為凸函數

解的Hesse矩陣

由于一階和二階順序主子式都大于零,故的Hesse矩陣正定的,從而是嚴格凸函數.6.2正定矩陣在求解函數極值點中的應用.定理6REF_Ref25145\r\h[8]設二元函數在點具有二階連續的偏導數，記則在數學分析中有如下結論：當而時，函數在點有極大值；當而時，在點有極小值；當時，此時函數無極值.若令則上述結論中的條件可以簡單的歸結為該矩陣是正定的、負定的、不定的.更一般的，對于任意元的多元函數，也可以依據相應的矩陣的正定性判斷其極值.哈森矩陣定義設元函數在點具有二階連續偏導數，我們就稱矩陣為函數在點的哈森矩陣.由二階偏導數的連續性得知矩陣是對稱矩陣，則有以下定理.定理7REF_Ref25145\r\h[8]設元函數在點的某領域內具有一階及二階連續偏導數，又有，則：矩陣是正定矩陣時，函數在點取極小值；矩陣是負定矩陣時，函數在點取極大值；矩陣是不定矩陣時，函數在點不取極值；例8求多元函數的極值.解由，求解得則可求得點.再求哈森矩陣.因為則由且對角線元素皆為正，所以矩陣是正定的，則是的極小值，且在點的極小值為.6.3正定矩陣在積分中的運用正定矩陣在積分中的運用，一般地須先由矩陣正交變換后得到的行列式，并且得出其特征值大于零.然后由正交變換后的到的行列式再進行等價變化后得到一個行列式.最后根據積分的公式，將之前所求對應的行列式代入可證.例9證明：橢球體的體積等于其中是正定矩陣.證是正定矩陣，正交矩陣，使得為的特征值，令作等價變換,則由此變換的行列式為所以.6.4正定矩陣在普通不等式中的應用定理8階實對稱矩陣是正定矩陣是由于其對應的實二次型其中而二次型正定是指對任意因此可以利用此性質來證明不等式是否成立.例10證明不等式(其中是不全為零的實數)成立.證令其系數矩陣為，的各階順序主子式為,則為正定矩陣.因此對于任意一組不全為零的都有,故原不等式成立.例11證明不等式成立證令則二次型為則A的各階順序主子式=0,=所以是半正定的，那么二次型是半正定的，即所以原不等式成立.6.5正定矩陣在解決矩陣問題中的運用由已知的正定矩陣的性質定理去證明其他矩陣問題，去解決與證明與正定矩陣相關的矩陣問題，例12REF_Ref25860\r\h[9]若都是階實對稱矩陣，且是正定矩陣.證明存在一個階實可逆矩陣使與同時為對角型.證因為是正定的，所以合同于，即存在可逆矩陣使且是階實對稱矩陣，則存在正交矩陣使則取則為所求.例13若是實對稱的正定矩陣，則存在使均是正定矩陣.證若的特征值為，則的特征值為所以存在使得特征值大于零，其余同理可證.例14若是階正定矩陣，有.證與都是階實對稱正定矩陣，所以存在一階實可逆矩陣使其中為的特征值且大于零.所以為的特征值，也是大于零的，因此.6.6正定矩陣在柯西不等式中的運用定理9REF_Ref23023\r\h[3]形如的不等式就是柯西不等式，我們將它用內積來表示為，下面用正定矩陣來表示柯西不等式.設是一個階正定矩陣，存在對任意向量與，定義表示為從而可以證明由定義的一定是維向量間的內積，反之，對于維向量間的任意一種內積，一定存在一個階正定矩陣，使得對任意向量、可由來定義，因此給定一個階正定矩陣，在維向量間就可以由該矩陣定義一個內積，從而得到相應的柯西不等式：當時，就變成了.例15證明不等式對于所有實數和均成立.證從不等式來看,可知它相當于，其中是由矩陣所定義的，又因為矩陣是正定矩陣，所以就能得知該不等式就是由矩陣所確定的內積所產生的柯西不等式，所以不等式是成立的.7總結正定矩陣在矩陣理論乃至代數中占有非常重要的地位。正定矩陣的研究具有重要的理論和應用意義.本文研究了正定矩陣的歷史發展地位、各類性質以及相關定理，并從這些性質和定理出發探討了多種判定正定矩陣的方法；定義法、主子式法、特征值法、標準型法、合同矩陣法，根據已知條件及各種方法的適用范圍選定上述一種方法.最后本文在對正定矩陣在凸函數判定中的應用、求解多元函數極值的相關問題以及在普通不等式中證明的運用、在積分中的運用、在解決矩陣問題中的運用、在柯西不等式中的運用六個方面進行了闡述與例題說明，完成了相關的目標.達到了寫作的目的.

參考文獻:劉暢.正定矩陣性質的推廣[J].沈陽師范大學學報，2009,27（3）：268-271.倪凌煒.實對稱矩陣的若干判別方法[J].湖州師范學院學報，2010,26（2）.李立群.正定矩陣及其應用[J].山東農業工程學院學報,2017,34(07):28-30.黃云美.正定矩陣的性質及