2024－2025學年度（上）期末考試高2026屆數學試題考試時間120分鐘試題總分150分試卷頁數4頁一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.不存在【答案】C【解析】【分析】根據直線的方程，利用斜率和傾斜角的關系求解.【詳解】，由于為常數，則直線的傾斜角為90°.故選：C.2.已知等比數列中，，，則等于（）A. B. C.6 D.不確定【答案】B【解析】【分析】由等比中項即可求解；【詳解】由，可得：，又等比數列所有奇數項同號，，所以，故選：B3.我們把平面內與直線垂直的非零向量稱為直線法向量，在平面直角坐標系中，過的直線的一個法向量為，則直線的點法式方程為：，化簡得.類比以上做法，在空間直角坐標系中，經過點的平面的一個法向量為，則該平面的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據點法式方程的定義即可求解.【詳解】與平面向量類比，得到空間直角坐標系中，經過點的平面的一個法向量為，則該平面的方程為：，化簡得.故選：A.4.方程所表示的圖形是（）A.一個圓 B.一個半圓 C.兩個圓 D.兩個半圓【答案】D【解析】【分析】根據和，平方化簡可得圓的方程，即可求解.【詳解】由于，故或，當時，則，平方可得，表示圓心為半徑為2的右半圓，當時，則，平方可得，表示圓心為半徑為2的左半圓，故選：D5.任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2.反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環圈，這就是數學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）.已知數列滿足：，，則（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】根據“冰雹猜想”結合遞推關系，利用規律求解即可【詳解】,可知數列可看作從第8項起以3為周期的數列，因為，所以，故選：B6.已知橢圓的一個焦點是，過原點的直線與相交于點，，的面積是，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設直線方程，聯立直線與橢圓，根據的面積求出，利用弦長公式求出弦長.【詳解】如圖：由題，不妨設，直線斜率存在，設直線方程，聯立，，，解得，故，故選：D.7.數列中，，，若，則（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】A【解析】【分析】由得出是以3為首項，3為公比的等比數列，根據等比數列的求和公式求解.【詳解】由，令，則，故是以3為首項，3為公比的等比數列，，，故，故選：A.8.如圖：，是雙曲線左右焦點，以為圓心的圓與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設圓的半徑為，由條件結合雙曲線的定義證明，結合雙曲線定義及余弦定理列方程確定關系，由此可得結論.【詳解】設圓的半徑為，則，因為，所以，由雙曲線定義可得，所以，故，，，，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，由已知，所以，所以，所以，所以，所以雙曲線的離心率.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分或4分，有選錯得0分.9.已知數列和是等比數列，則下列結論中正確的是（）A.是等比數列B.可能是等差數列C.，，是等比數列D.是等比數列【答案】ABD【解析】【分析】根據等比數列性質，和等比，等差數列的定義來逐一分析每個選項是否正確.【詳解】對于選項A，設數列的公比為（），則（常數）.所以是以為首項，為公比的等比數列，選項A正確.對于選項B，當時，數列是等比數列，公比為，此時，那么是公差為的等差數列，所以可能是等差數列，選項B正確.對于選項C，設數列的公比為（）.當,.因為等比數列的項不能為，所以此時不是等比數列，選項C錯誤.對于選項D，設數列的公比為（），數列的公比為（）.則（常數），所以是以為首項，為公比等比數列，選項D正確.故選：ABD.10.已知拋物線的焦點為，準線與軸交于點，過點的直線交拋物線于，兩點，分別過，作準線的垂線，垂足為，，線段的中點為，則下列結論正確的是（）A.線段長度的最小值為B.若，，則為定值C.D.若，則直線傾斜角的正弦值為【答案】ACD【解析】【分析】先求拋物線的焦點坐標，準線方程，設直線的方程為，聯立方程組可得，，由此判斷B，結合焦點弦公式求線段長度的最小值，判斷A，證明判斷C，結合條件求的坐標，結合兩點斜率公式求直線傾斜角的正切值，再求其正弦值，判斷D.【詳解】拋物線的焦點的坐標為，準線方程為，準線與軸的交點的坐標為，若直線的斜率為，直線的方程為，此時直線與拋物線的交點為，與條件矛盾，故直線的斜率不為，設直線的方程為，聯立，消可得，，方程的判別式，由已知為方程的兩個實根，所以，，B錯誤；所以，當且僅當時等號成立，所以當時，線段長度取最小值，最小值為；A正確；由已知，，所以點的坐標為，即，所以，，所以，又，，所以，所以，C正確；若，則直線的斜率為，點在第一象限，所以，又，所以，所以，所以或（舍去），設直線傾斜角為，則，所以，所以直線傾斜角的正弦值為，D正確；故選：ACD.11.如圖，在棱長為6的正方體中，，分別為棱，的中點，為線段上的一個動點，則下列說法正確的是（）A.三棱錐體積定值B.存在點，使平面平面C.設直線與平面所成角為，則最小值為D.平面截正方體所得截面的面積為【答案】ACD【解析】【分析】選項A：由等體積變換可得，可判斷；選項B：建立空間直角坐標系，設，根據空間向量由面面平行可得，可判斷；選項C：根據空間向量法表示線面角，可得，進而可得；選項D：先做出平面截正方體所得截面，根據線面關系可得截面的面積.【詳解】選項A：，故A正確；選項B：如圖建立空間直角坐標系，則，，設平面的法向量為，則，令，則，則，，設，故，則,由，得，不合題意，故B錯誤；選項C：平面法向量為，則，，當時，取最小值為，故C正確；選項D：如圖，直線分別交的延長線于點，連接交于，連接交于，連接，由題意可知五邊形即為平面截正方體所得截面，因，分別為棱，的中點，，，，得，由正方體性質可知，，故所求截面面積為，由選項可知，，，故，，故，，，故所求截面面積為，故D正確，故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：D選項的關鍵是先根據空間點線面的關系做出截面，進而由線面關系可求面積.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面的一個法向量為，平面內一點的坐標為，平面外一點的坐標為，則點到平面的距離為______.【答案】##【解析】【分析】求向量的坐標，再求在法向量上的投影向量的模即可.【詳解】由已知，又在上的投影向量的模為，，所以點到平面的距離為，所以點到平面的距離為.故答案為：.13.已知等差數列中，前項和為，這項中的偶數項之和為，且，則數列的通項公式______.【答案】【解析】【分析】利用等差數列前項和公式及等差數列性質條件可轉化為，，解方程求，再結合等差數列通項公式求，由此可求通項公式.【詳解】設等差數列的公差為，因為等差數列中，前項和為，所以，故，因為等差數列中前項中的偶數項之和為，所以，故，所以，解得，所以，又，所以，，所以，，所以所以數列的通項公式為.故答案為：.14.已知橢圓的左右焦點分別為、，過作直線交橢圓于、兩點，其中點在軸下方，內切圓交邊于點，則線段的長度取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】根據內切圓的有關性質知，，結合橢圓的定義可推出，注意到點在下方，所以，.【詳解】因為的內切圓交邊于點，所以,又因為在橢圓中，,所以，而，（等號取不到）因此故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓與兩坐標軸均相切，且過點.直線過點交圓于，兩點.（1）求圓的方程；（2）若且，求直線的方程.【答案】（1）或；（2）或.【解析】【分析】（1）根據圓與兩坐標軸均相切，且過點，可得，得，解出即可；（2）結合第一問和已知得到圓的方程為，根據，得到，再令于

，設，，得到方程組

，解得

，再設，根據圓心到的距離求出即可.【小問1詳解】圓與兩坐標軸均相切，且過點，，則，得，或，圓的方程為或；【小問2詳解】，，圓的方程為，，，作

于

，設，則

，故

，解得，設，則，則圓心

到

的距離

，，化簡得：，解得或，直線的方程為或.16.如圖，在直三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，，點，分別在線段，上，且，.（1）求證：平面（2）求直線與平面所成角正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）過點作交于點，連接，由，得到，運用線面平行判定定理得到平面和平面，得到平面平面，再用面面平行性質得到線面平行即可.（2）建立空間直角坐標系，求出關鍵點坐標和平面法向量坐標，結合向量夾角余弦值公式計算即可.【小問1詳解】證明：過點作交于點，連接因為，且，又因為，故，所以又因為平面，平面，所以平面.因為，平面，平面，所以平面又，平面，則平面平面，因為平面，所以平面.【小問2詳解】以中點為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，如圖.則，，，，設，由即得，，易知，平面的一個法向量為設直線與平面所成角為，故直線與平面所成角的正弦值為17.已知為等差數列，為等比數列且公比大于，，，，（1）求和的通項公式；（2）設，記數列的前項和為，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）設數列公差為，數列公比為，利用等差數列通項公式和等比數列通項公式將條件轉化為的方程，解方程求，再利用等差數列通項公式，等比數列通項公式求結論；（2）由（1）可得，分別在為偶數和奇數條件下，利用分組求和法，裂項相消法及等比數列求和公式求結論.【小問1詳解】設數列公差為，數列公比為，由，得解得．所以．由于，即，又，，所以，解得或（舍去）所以；【小問2詳解】由（1）得：所以所以所以當為偶數時：當為奇數時：.18.如圖，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿著翻折，得到如右圖所示的四棱錐，記二面角的平面角為.（1）當時，求證：平面；（2）當時，（i）求點到底面的距離；（ii）設是側棱上一動點，是否存在點，使得的余弦值為，若存在，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）（i）；（ii）存在，【解析】【分析】（1）翻折后由，，確定，得到平面，再結合勾股定理得到，即可求證；（2）（i）過點作，垂足為，確定平面，即可求解；（ii）建系，求得平面的法向量，通過向量夾角公式即可求解.【小問1詳解】因為翻折前，所以翻折后，，由二面角的定義可知，二面角的平面角，當時，，即，又，且，平面，平面，平面，，又在三角形中，易知，，，滿足：，由勾股定理可知，，，且，平面，平面.【小問2詳解】當時，（i）由（1）知，，，平面，平面，又平面，平面平面，在平面內，過點作，垂足為，又平面平面，故平面，即為點到平面的距離，在中，，，故.（ii）由（i）知，如圖建立空間直角坐標系，故，，，，設，設，即，即，設平面法向量為，，，，即，令，得，，即，設平面的法向量，，，，即，令，得，，即，的余弦值為，，解得，即.19.已知橢圓左，右焦點分別為，，離心率為，經過點且傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點（其中點在軸上方），的周長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負半軸和軸所確定的半平面（平面）互相垂直.①若，求三棱錐的體積；②是否存在，使得折疊后的周長為與折疊前的周長之比為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）①；②存在，【解析】【分析】（1）由條件結合離心率的定義，橢圓的定義列關于的方程，解方程求，再根據關系求，由此可得橢圓方程；（2）①由已知可得直線方程為，聯立方程組求出的坐標，再求三棱錐的底面面積和高，結合錐體體積公式求結論；②假設存在滿足條件，設在新圖形中對應點記為，由假設可得，設直線方程為，設折疊前，，聯立方程組求的縱坐標關系，結合兩點距離公式可轉化為，代入化簡求結論.【小問1詳解】由橢圓的定義知，，所以的周長，所以，又橢圓離心率為，所以，所以，，所以橢圓的標準方程為【小問2詳解】①由（1）知，點，傾斜角為，故直線方程為，聯立，化簡可得，所以，解得或則，，，，所以的面積為