一次函數百科名片一次函數的實例一次函數（linearfunction），也作線性函數，在x,y坐標軸中可以用一條直線表示，當一次函數中的一個變量的值確定時，可以用一元一次方程確定另一個變量的值。目錄[隱藏]數學術語基本定義表達式常用公式相關應用數學術語基本定義表達式常用公式相關應用[編輯本段]數學術語【讀音】yīcìhánshù【解釋】函數的基本概念：在一個變化過程中，有兩個變量x和y，并且對于x每一個確定的值，在y中都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說y是x的函數，也可以說x是自變量，y是因變量。表示為y＝kx＋b（k≠0，k、b均為常數），當b＝0時稱y為x的正比例函數，正比例函數是一次函數中的特殊情況。可表示為y=kx[編輯本段]基本定義變量：變化的量常量：不變的量自變量k和X的一次函數y有如下關系：y=kx+b（k為任意不為零常數，b為任意常數）當x取一個值時，y有且只有一個值與x對應。如果有2個及以上個值與x對應時，就不是一次函數。x為自變量，y為因變量，k為常量，y是x的一次函數。特別的，當b=0時，y是x的正比例函數。即：y=kx（k為常量，但K≠0）正比例函數圖像經過原點。定義域：自變量的取值范圍，自變量的取值應使函數有意義；要與實際相符合。相關性質函數性質1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k即：y=kx+b（k≠0)（k不等于0，且k，b為常數）2.當x=0時，b為函數在y軸上的,坐標為(0,b).3.k為一次函數y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ為一次函數圖象與x軸正方向夾角,Θ≠90°)形、取、象、交、減。4.當b=0時(即y=kx)，一次函數圖像變為正比例函數，正比例函數是特殊的一次函數.5.當兩直線中的k相同，b也相同時，兩直線重合當兩直線中的k相同，b不相同時，兩直線平行當兩直線中的k不相同，b不相同時，兩直線相交當兩直線中的k不相同，b相同時，兩直線交于y軸上的同一點（0，b）圖像性質1．作法與圖形：通過如下３個步驟（1）列表（2）描點；[一般取兩個點,根據“兩點確定一條直線”的道理]；（3）連線，可以作出一次函數的圖像——一條直線。因此，作一次函數的圖像只需知道２點，并連成直線即可。（通常找函數圖像與x軸和y軸的交點分別是-k分之b與0，0與b）2．性質：（1）在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函數與y軸交點的坐標總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數的圖像都是過原點。3．函數不是數，它是指某一變化過程中兩個變量之間的關系。4．k，b與函數圖像所在象限：y=kx時（即b等于0，y與x成正比例)：當k＞0時，直線必通過第一、三象限，y隨x的增大而增大；當k＜0時，直線必通過第二、四象限，y隨x的增大而減小。y=kx+b時：當k>0,b>0,這時此函數的圖象經過第一、二、三象限。當k>0,b<0,這時此函數的圖象經過第一、三、四象限。當k<0,b>0,這時此函數的圖象經過第一、二、四象限。當k<0,b<0,這時此函數的圖象經過第二、三、四象限。當b＞0時，直線必通過第一、二象限；當b＜0時，直線必通過第三、四象限。特別地，當b=0時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖像。這時，當k＞0時，直線只通過第一、三象限，不會通過第二、四象限。當k＜0時，直線只通過第二、四象限，不會通過第一、三象限。4、特殊位置關系當平面直角坐標系中兩直線平行時，其函數解析式中K值（即一次項系數）相等當平面直角坐標系中兩直線垂直時，其函數解析式中K值互為負倒數（即兩個K值的乘積為-1）[編輯本段]表達式解析式類型①一般式ax+by+c=0②斜截式y=kx+b（k為直線斜率，b為直線縱截距；其中正比例函數b=0）③點斜式y-y1=k(x-x1)（k為直線斜率,(x1,y1)為該直線所過的一個點）④兩點式(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直線上（x1,y1）與（x2,y2）兩點）⑤截距式x/a+y/b=1（a、b分別為直線在x、y軸上的截距）解析式表達局限性①所需條件較多（3個點，因為使用待定系數法需要列一個三元一次方程組）②、③不能表達沒有斜率的直線（即垂直于x軸的直線；注意“沒有斜率的直線平行于y軸”表述不準，因為x=0與y軸重合）④參數較多，計算過于煩瑣；⑤不能表達平行于坐標軸的直線和過原點的直線。傾斜角的概念x軸到直線的角（直線與x軸正方向所成的角）稱為直線的傾斜角。設一直線的傾斜角為α，則該直線的斜率k=tanα。傾斜角的范圍為[0,π)。[編輯本段]常用公式1.求函數圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/23.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/24.求任意線段的長：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2（注：根號下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和）5.求兩個一次函數式圖像交點坐標：解兩函數式兩個一次函數y1=k1x+b1y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2將解得的x=x0值代回y1=k1x+b1y2=k2x+b2兩式任一式得到y=y0則(x0,y0)即為y1=k1x+b1與y2=k2x+b2交點坐標6.求任意2點所連線段的中點坐標：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]7.求任意2點的連線的一次函數解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2)(其中分母為0，則分子為0)xy++在第一象限+-在第四象限-+在第二象限--在第三象限8.若兩條直線y1=k1x+b1∥y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b29.如兩條直線y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-110.y=k（x-n）+b就是向右平移n個單位y=k（x+n）+b就是向左平移n個單位一次函數的平移口訣：右減左加（對于y=kx+b來說，只改變b）y=kx+b+n就是向上平移n個單位y=kx+b-n就是向下平移n個單位口訣：上加下減（對于y=kx+b來說，只改變b）[編輯本段]相關應用生活中的應用1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt。2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。3.當彈簧原長度b（未掛重物時的長度）一定時，彈簧掛重物后的長度y是重物重量x的一次函數，即y=kx+b（k為任意正數）數學問題一、確定字母系數的取值范圍例1已知正比例函數，則當k<0時，y隨x的增大而減小。解：根據正比例函數的定義和性質，得且m<0，即且，所以。二、比較x值或y值的大小例2.已知點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函數y=3x+4的圖象上的兩個點，且y1>y2，則x1與x2的大小關系是（）A.x1>x2B.x1<x2C.x1=x2D.無法確定解：根據題意，知k=3>0，且y1>y2。根據一次函數的性質“當k>0時，y隨x的增大而增大”，得x1>x2。故選A。三、判斷函數圖象的位置例3.一次函數y=kx+b滿足kb>0，且y隨x的增大而減小，則此函數的圖象不經過（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解：由kb>0，知k、b同號。因為y隨x的增大而減小，所以k<0。所以b<0。故一次函數y=kx+b的圖象經過第二、三、四象限，不經過第一象限。故選A.典型例題例1.一個彈簧，不掛物體時長12cm,掛上物體后會伸長，伸長的長度與所掛物體的質量成正比例.如果掛上3kg物體后，彈簧總長是13.5cm，求彈簧總長是y(cm)與所掛物體質量x(kg)之間的函數關系式.如果彈簧最大總長為23cm，求自變量x的取值范圍.分析：此題由物理的定性問題轉化為數學的定量問題，同時也是實際問題，其核心是彈簧的總長是空載長度與負載后伸長的長度之和，而自變量的取值范圍則可由最大總長→最大伸長→最大質量及實際的思路來處理.解：由題意設所求函數為y=kx+12則13.5=3k+12，得k=0.5∴所求函數解析式為y=0.5x+12由23=0.5x+12得：x=22∴自變量x的取值范圍是0≤x≤22例2某學校需刻錄一些電腦光盤，若到電腦公司刻錄，每張需8元，若學校自刻，除租用刻錄機120元外，每張還需成本4元，問這些光盤是到電腦公司刻錄，還是學校自己刻費用較省？此題要考慮X的范圍解:設總費用為Y元，刻錄X張電腦公司：Y1=8X學校：Y2=4X+120當X=30時，Y1=Y2當X>30時，Y1>Y2當X<30時，Y1<Y2【考點指要】反比例函數、二次函數及方程、方程組、不等式綜合在一起，以選擇題、填空題、解答題等題型出現在中考題中，大約占有8分左右.解決這類問題常用到分類討論、數形結合、方程和轉化等數學思想方法.例3如果一次函數y=kx+b中x的取值范圍是-2≤x≤6，相應的函數值的范圍是-11≤y≤9.求此函數的的解析式。解：（1）若k＞0，則可以列方程組-2k+b=-116k+b=9解得k=2.5b=-6，則此時的函數關系式為y=2.5x—6（2）若k＜0，則可以列方程組-2k+b=96k+b=-11解得k=-2.5b=4，則此時的函數解析式為y=-2.5x+4【考點指要】此題主要考察了學生對函數性質的理解，若k＞0，則y隨x的增大而增大；若k＜0，則y隨x的增大而減小。綜合測試選擇題：1.若正比例函數y=kx的圖象經過一、三象限，則k的取值范圍是（）A.B.C.D.2.一根蠟燭長20cm，點燃后每小時燃燒5cm，燃燒時剩下的高度y（cm）與燃燒時間x（小時）的函數關系用圖象表示為（）3.（北京市）一次函數的圖象不經過的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.（陜西省課改實驗區）直線與x軸、y軸所圍成的三角形的面積為（）A.3B.6C.D.5.（海南省）一次函數的大致圖象是（）填空題：1.若一次函數y=kx+b的圖象經過（0，1）和（－1，3）兩點，則此函數的解析式為_____________.2.（2006年北京市中考題）若正比例函數y=kx的圖象經過點（1，2），則此函數的解析式為_____________.三、一次函數的圖象與y軸的交點為（0，－3），且與坐標軸圍成的三角形的面積為6，求這個一次函數的解析式.四、（蕪湖市課改實驗區）某種內燃動力機車在青藏鐵路試驗運行前，測得該種機車機械效率η和海拔高度h（，單位km）的函數關系式如圖所示.（1）請你根據圖象寫出機車的機械效率η和海拔高度h（km）的函數關系；（2）求在海拔3km的高度運行時，該機車的機械效率為多少？五、（浙江省麗水市）如圖建立羽毛球比賽場景的平面直角坐標系，圖中球網高OD為1.55米，雙方場地的長OA=OB=6.7（米）.羽毛球運動員在離球網5米的點C處起跳直線扣殺，球從球網上端的點E直線飛過，且DE為0.05米，剛好落在對方場地點B處.（1）求羽毛球飛行軌跡所在直線的解析式；（2）在這次直線扣殺中，羽毛球拍擊球點離地面的高度FC為多少米？（結果精確到0.1米）【綜合測試答案】一、選擇題：1.B2.B3.D4.A5.B二、填空題：1.2.三、分析：一次函數的解析式y=kx+b有兩個待定系數，需要利用兩個條件建立兩個方程.題目中一個條件比較明顯，即圖象和y軸的交點的縱坐標是－3，另一個條件比較隱蔽，需從“和坐標軸圍成的面積為6”確定.解：設一次函數的解析式為，∵函數圖象和y軸的交點的縱坐標是－3，∴∴函數的解析式為.求這個函數圖象與x軸的交點，即解方程組：得即交點坐標為（，0）由于一次函數圖象與兩條坐標軸圍成的直角三角形的面積為6，由三角形面積公式，得∴∴∴這個一次函數的解析式為四、解：（1