2010—2011學(xué)年度上學(xué)期單元測(cè)試高二數(shù)學(xué)試題【原人教】命題范圍：直線、圓和圓錐曲線方程 全卷滿分150分，用時(shí)150分鐘。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1．與圓相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有 （） A．2條 B．3條 C．4條 D．6條2．在中，三內(nèi)角所對(duì)的邊是且成等差數(shù)列，那么直線與直線的位置關(guān)系是 （） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直3．已知函數(shù)，集合，集合，則集合的面積是 （） A． B． C． D．4．已知P在雙曲線上變動(dòng)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，則的重心G的軌跡方程是 （） A． B． C． D．5．已知是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且，則方程表示（） A．焦點(diǎn)在軸上的橢圓 B．焦點(diǎn)在軸上的橢圓 C．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線 D．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線6．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線 （） A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條 C．有無(wú)窮多條 D．不存在7．一個(gè)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，（2，）是橢圓上一點(diǎn)，且成等差數(shù)列，則橢圓方程為 （） A． B． C． D．8．設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若在雙曲線右支上存在點(diǎn)，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的漸近線方程為 （） A． B． C． D．9．若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，則k的取值范圍是（） A．， B．， C．， D．，10．設(shè)離心率為e的雙曲線的右焦點(diǎn)為F，直線過(guò)點(diǎn)F且斜率為K，則直線與雙曲線C左、右支都有相交的充要條件是 （） A． B． C． D．11．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線上，且，則此雙曲線的離心率的最大值為 （） A． B． C． D．212．若AB過(guò)橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)=1中心的弦,F1為橢圓的焦點(diǎn),則△F1AB面積的最大值為 （） A．6 B．12 C．24 D．48二、填空題（每小題4分，共16分）13．已知雙曲線的一條漸近線方程是y=,它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為________________14．1998年12月19日，太原衛(wèi)星發(fā)射中心為摩托羅拉公司（美國(guó)）發(fā)射了兩顆“銥星”系統(tǒng)通信衛(wèi)星．衛(wèi)星運(yùn)行的軌道是以地球中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)為mkm，遠(yuǎn)地點(diǎn)為nkm，地球的半徑為Rkm，則通信衛(wèi)星運(yùn)行軌道的短軸長(zhǎng)等于15．已知與曲線C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線交x、y軸于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，|OA|=a，|OB|=b，a>2，b>2，線段AB中點(diǎn)的軌跡方程是。16．已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且=2，則的離心率為三、解答題17．（12分）已知，直線：和圓：．（1）求直線斜率的取值范圍；（2）直線能否將圓分割成弧長(zhǎng)的比值為的兩段圓弧？為什么？18．（12分）已知A、B分別是橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P）在橢圓上，線段PB與y軸的交點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)C是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對(duì)于△ABC，求的值19．（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率為,一個(gè)焦點(diǎn)是（為大于0的常數(shù)）．（1）求橢圓的方程;（2）設(shè)是橢圓上一點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn),若,求直線的斜率．20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作兩條相互垂直的弦AB、CD，設(shè)弦AB、CD的中點(diǎn)分別為M、N．（1）求證：直線MN必過(guò)定點(diǎn)；（2）分別以弦AB和CD為直徑作圓，求證：兩圓相交弦所在的直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．21．（12分）橢圓（a>b>0）的二個(gè)焦點(diǎn)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），M是橢圓上一點(diǎn)，且。（1）求離心率e的取值范圍；（2）當(dāng)離心率e最小時(shí)，點(diǎn)N（0，3）到橢圓上一點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，求此橢圓的方程。22．（14分）已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線過(guò)點(diǎn)（1，）．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)直線：與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，為何值時(shí)（3）是否存在實(shí)數(shù)，使（2）中的A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱（為常數(shù)），若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案1．C在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有兩類：①直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，有兩條與已知圓相切；②直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)其方程為，也有兩條與已知圓相切．易知①、②中四條切線互不相同，故選 C．2．B提示：成等差數(shù)列，又，，故兩直線重合。選B。3．D集合即為：，集合即為：，其面積等于半圓面積。4． C．雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（6，0）．設(shè)雙曲線上任一點(diǎn)P（x0，y0），的重心G（x，y），則由重心公式，得，解得，代入，得為所求．5．B由，又是三角形的一個(gè)內(nèi)角，故，再由，結(jié)合解得。故方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。選B。6．B該拋物線的通徑長(zhǎng)為4，而這樣的弦AB的長(zhǎng)為，故這樣的直線有且僅有兩條。選B。7．A提示：設(shè)橢圓方程為，由成等差數(shù)列知，從而，故橢圓方程為，將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，故所求的橢圓方程為。選A。8．C利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系，得出a與b之間的等量關(guān)系，可知答案選C9．D提示：特別注意的題目。將直線代入雙曲線方程得 若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，則應(yīng)滿足 。選D。10．C由已知設(shè)漸近線的斜率為于是，即故選C；11．B提示：，由又,∴故選B項(xiàng)。12．B設(shè)AB的方程為，代入橢圓方程得 ，。選B。13．依題意知，所以雙曲線的方程為14．2提示：－c=m+R， +c=n+R，∴c=，b=2=2．15．提示：滿足（a-2）（b-2）=2。設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y）,則a=2x,b=2y,代入①得（2x-2）（2y-2）=2,即（x-1）（y-1）=eq\f(1,2)（x>1,y>1）。16．如圖，,作軸于點(diǎn)D1,則由=2，得,所以,即,由橢圓的第二定義得,又由,得17．解析：（1）直線的方程可化為，直線的斜率，因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立． 所以，斜率的取值范圍是．……6分（2）不能．由（1）知的方程為，其中． 圓的圓心為，半徑．圓心到直線的距離． 由，得，即．從而，若與圓相交， 則圓截直線所得的弦所對(duì)的圓心角小于． 所以不能將圓分割成弧長(zhǎng)的比值為的兩段弧．………………12分18．解：（1）由題意知： ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1．………………6分（2）∵點(diǎn)C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)， ∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2． 在△ABC中，由正弦定理，， ∴＝．………………12分19．解：（1）設(shè)所求橢圓方程為:． 由已知得:,所以． 故所求橢圓的方程為:．………6分（2）設(shè),直線,則點(diǎn)． 當(dāng)時(shí),由于． 由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式,得 ,．又點(diǎn)在橢圓上, 所以,解得． 當(dāng)時(shí),,． 于是,解得． 故直線的斜率為0或．………………12分20．解：（1）由題設(shè)知F（1,0）且直線ＡＢ的斜率存在， 設(shè)代入， 得得 ， ，所以，同理可 ， 故不論k為何值，直線MN恒過(guò)定點(diǎn)T（3,0）………………6分（2）由拋物線定義可知，圓M、圓N都與拋物線的準(zhǔn)線x=－1相切， 所以圓M、圓N的半徑分別為、， 從而，⊙…………eq\o\ac(○,1) ⊙……eq\o\ac(○,2) 由eq\o\ac(○,1)－eq\o\ac(○,2)，得公共弦所在直線方程為： ， ， 故：兩圓相交弦所在的直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．………………12分21．解：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則，。 由，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。① 又由點(diǎn)M在橢圓上，得y2=b2，代入①， 得x2-c2，即。 ∵0≤≤，∴0≤≤，即0≤≤1， 0≤≤1，解得≤≤1。 又∵0＜＜1，∵≤≤1。………………6分（2）當(dāng)離心率取最小值時(shí)，橢圓方程可表示為。 設(shè)點(diǎn)H（x，y）是橢圓上的一點(diǎn)， 則|HN|2=x2+（y-3）2=（2b2-2y2）+（y-3）2=-（y+3）2+2b2+18（-b≤y≤b）。 若0＜b＜3，則0＞-b＞-3，當(dāng)y=-b時(shí)，|HN|2有最大值b2+6b+9。 由題意知：b2+6b+9=50，b=或b=-，這與0<b<3矛盾。 若b≥3，則-b≤-3，當(dāng)y=-3時(shí)，|HN|2有最大值2b2+18。 由題意知：2b2+18=50，b2=16，∴所求橢圓方程為．………………12分22．解：（1）由題意設(shè)雙曲線方程為，把（1，）代入得① 又的焦點(diǎn)是（，0），故雙曲線的