第19章矩形、菱形與正方形(90分鐘100分)一、選擇題(每題3分,共24分)1.如圖,將長(zhǎng)方形和直角三角形的直角頂點(diǎn)O重合,若∠AOE=128°,則∠COD的度數(shù)為(C)A.28° B.38° C.52° D.62°2.(2024·上海中考)四邊形ABCD為矩形,過(guò)A,C作對(duì)角線BD的垂線,過(guò)B,D作對(duì)角線AC的垂線.如果四條垂線拼成一個(gè)四邊形,那么這個(gè)四邊形為(A)A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形3.(2024·南充期末)下列說(shuō)法中,錯(cuò)誤的是(C)A.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 B.平行四邊形對(duì)角相等C.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是矩形 D.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形4.(2024·武漢中考)小美同學(xué)按如下步驟作四邊形ABCD;(1)畫∠MAN;(2)以點(diǎn)A為圓心,1個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑畫弧,分別交AM,AN于點(diǎn)B,D;(3)分別以點(diǎn)B,D為圓心,1個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)C;(4)連結(jié)BC,CD,BD.若∠A=44°,則∠CBD的大小是(C)A.64° B.66° C.68° D.70°5.如圖,將三角尺ABC沿邊BC所在直線平移后得到△DCE,連結(jié)AD,AE,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(D)A.△ABE是等腰三角形 B.四邊形ABCD是平行四邊形C.四邊形ACED是矩形 D.四邊形ABCD是菱形6.如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB=3,BC=4,過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC,交AD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD,垂足為F,則OE+EF的值為(C)A.325 B.245 C.125 7.(2023·重慶中考A卷)如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在BC,CD上,連結(jié)AE,AF,EF,∠EAF=45°.若∠BAE=α,則∠FEC一定等于(A)A.2α B.90°-2α C.45°-α D.90°-α8.(2024·樂山質(zhì)檢)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,且BE=BF,添加一個(gè)條件,仍不能證明四邊形BECF為正方形的是(C)A.BC=AC B.BD=DF C.AC=BF D.CF⊥BF二、填空題(每題4分,共24分)9.如圖,在△ABC中,AB=AC,分別以C,B為圓心取AB的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)D.連結(jié)BD,AD.若∠ABD=130°,則∠CAD=25°.

10.(2024·內(nèi)江質(zhì)檢)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC,BC為邊分別作正方形ACDE和正方形BCGF,若AG=6,S△ABC=5,則圖中陰影部分的面積為16.

11.如圖,以正方形ABCD的對(duì)角線AC為一邊作菱形AEFC,則∠AGB=67.5°.

12.如圖,在平行四邊形ABCD中,延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E,使AE=AB,連結(jié)EC,ED,AC,請(qǐng)你添加一個(gè)條件AD=CE(答案不唯一),使四邊形ACDE是矩形.

13.如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別是線段OB,OA上的點(diǎn),若AE=BF,AB=5,AF=1,BE=3,則BF的長(zhǎng)為

22.

14.如圖,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,點(diǎn)E是BC上一點(diǎn),點(diǎn)F是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連結(jié)AE,AF,AM平分∠EAF交CD于點(diǎn)M.若BE=DF=1,則DM的長(zhǎng)度為

125三、解答題(共52分)15.(8分)如圖,小明將一個(gè)正方形ABCD紙片剪去一個(gè)寬HD=6cm的長(zhǎng)條后,再?gòu)氖Ｏ碌拈L(zhǎng)方形紙片上剪去一個(gè)寬AE=8cm的長(zhǎng)條,如果兩次剪下的長(zhǎng)條面積正好相等,那么剩余紙片四邊形EBFG的面積為多少?【解析】設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為xcm,∴AB=BC=CD=AD=xcm,∴長(zhǎng)方形HDCF的面積為6xcm2,∵HD=6cm,∴AH=AD-HD=(x-6)cm,∴長(zhǎng)方形AEGH的面積為8(x-6)cm2,由題意得,8(x-6)=6x,解得x=24,∴BE=24-8=16(cm),EG=AH=24-6=18(cm),∴長(zhǎng)方形EBFG的面積為16×18=288(cm2).16.(8分)如圖,已知等邊△ABC,AD⊥BC,E為AB的中點(diǎn).以D為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧,交DE于點(diǎn)M,交DB于點(diǎn)N,分別以M,N為圓心,大于12MN為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線DP交AB于點(diǎn)G.過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交射線DP于點(diǎn)F,連結(jié)BF,求證:四邊形BDEF是菱形.【證明】∵△ABC是等邊三角形,∴AB=BC,∠ABC=60°,∵AD⊥BC,∴BD=12BC=12∵E為AB的中點(diǎn).∴DE=12AB,∴BD=DE,∴△BED是等邊三角形,∴BE=BD=DE,由作圖知,DF平分∠EDB,∴∠EDF=∠FDB,∵EF∥BC,∴∠EFD=∠FDB∴∠EFD=∠EDF,∴EF=ED,∵EF∥BD,∴四邊形BDEF是平行四邊形,∵DE=BD,∴四邊形BDEF是菱形.17.(8分)(2024·宜賓質(zhì)檢)如圖,以正方形ABCD的CD邊長(zhǎng)作等邊△DCE,AC和BE交于點(diǎn)F,連結(jié)DF.(1)求∠AFD的度數(shù);(2)求證:AF=EF.【解析】(1)在△ADF和△ABF中,AB=AD∠BAF=∠DAFAF=AF,∴△ADF又∵△DCE是等邊三角形,∴CE=CB,∴∠CBE=∠CEB=(180°-90°-60°)÷2=15°,∠ABF=75°,∴∠AFD=∠AFB=180°-45°-75°=60°;(2)∵由(1)可得∠ABF=∠ADF=75°,∴∠FDC=15°,∴∠EDF=75°,∠EDF=∠ADF,在△AFD和△EFD中,AD=DE∠EDF=∠ADFDF=DF,△AFD≌△EFD(S.18.(8分)如圖,在?ABCD中,點(diǎn)E,F分別為AB,CD的中點(diǎn),BD是對(duì)角線,AG∥DB交CB的延長(zhǎng)線于G.(1)求證:DE=FB;(2)若四邊形DEBF是菱形,求證:四邊形AGBD是矩形.【證明】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,∠BAD=∠C,AD=CB,AB=CD,∵點(diǎn)E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),∴AE=12AB,CF=12CD,∴AE在△ADE和△CBF中,AD=CB∠EAD=∠CAE=CF,∴△ADE≌△CBF(S.A(2)∵AD∥BC,AG∥DB,∴四邊形AGBD是平行四邊形,∵四邊形BEDF是菱形,∴BE=DE=AE=12AB,∴△ABD是直角三角形,∠ADB∴四邊形AGBD是矩形.19.(10分)(2024·呼倫貝爾、興安盟中考)如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)F在邊AD上,AB=AF,連結(jié)BF,點(diǎn)O為BF的中點(diǎn),AO的延長(zhǎng)線交邊BC于點(diǎn)E,連結(jié)EF.(1)求證:四邊形ABEF是菱形;(2)若平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為22,CE=1,∠BAD=120°,求AE的長(zhǎng).【解析】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,∴∠AFO=∠EBO,∵O是BF的中點(diǎn),∴OB=OF,在△AOF和△EOB中,∠AFO∴△AOF≌△EOB(A.S.A.),∴OA=OE,∵OB=OF,∴四邊形ABEF是平行四邊形,∵AB=AF,∴四邊形ABEF是菱形;(2)∵AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=180°,∵∠BAD=120°,∴∠ABE=60°,∵AB=BE,∴△ABE是等邊三角形,∴AE=AB,∵AD=BC,AF=BE,∴EC=DF=1,∵DF∥EC,∴四邊形EFDC是平行四邊形,∴CD=EF,∵AB+BC+CD+AD=22,∴AB+BE+1+CD+AF+1=22,∴4AB=20,∴AB=AE=5.20.(10分)(2024·遂寧中考)康康在學(xué)習(xí)了矩形定義及判定定理1后,繼續(xù)探究其他判定定理.(1)實(shí)踐與操作①任意作兩條相交的直線,交點(diǎn)記為O;②以點(diǎn)O為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧,在兩條直線上分別截取相等的四條線段OA,OB,OC,OD;③順次連結(jié)所得的四點(diǎn)得到四邊形ABCD.于是可以直接判定四邊形ABCD是平行四邊形,則該則定理是:.

(2)猜想與證明通過(guò)和同伴交流,他們一致認(rèn)為四邊形ABCD是矩形,于是猜想得到了矩形的另外一種判定方法:對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.并寫出了以下已知、求證,請(qǐng)你完成證明過(guò)程.已知:如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,AC=BD.求證:四邊形ABCD是矩形.【解析】(1)∵OA=OC,OB=OD,∴四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分,∴四邊形ABCD是平行四邊形(對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形).答案:對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD=BC,AD∥BC,∴在△BAD和△ABC中,AB=∴△BAD≌△ABC(S.S.S.),∴∠BAD=∠ABC,∵AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=180°,∴∠BAD=∠ABC=90°,∴四邊形ABCD是矩形(有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形).【附加題】(10分)如圖,在矩形ABCD中,M,N分別是AD,BC的中點(diǎn),P,Q分別是BM,DN的中點(diǎn).(1)求證:BM=DN.(2)連結(jié)MQ,PN,判斷四邊形MPNQ的形狀,并說(shuō)明理由.(3)矩形ABCD的邊AB與AD滿足什么關(guān)系時(shí),四邊形MPNQ是正方形?請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠C=90°,∵M(jìn),N分別是AD,BC的中點(diǎn),∴AM=CN,∴△MBA≌△NDC(S.A.S.),∴BM=DN;(2)四邊形MPNQ是菱形,理由如下:如圖,連結(jié)MN,∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC,AD∥BC,AB⊥AD,∵M(jìn),N分別是AD,BC的中點(diǎn),∴AM=BN=12AD=12BC,∴四邊形又∵AB⊥AM,∴四邊形ABNM是矩形,∵P是BM的中點(diǎn),∴MP=PB=PN