指對(duì)冪函數(shù)試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題3分，共15分）

1.下列函數(shù)中，是冪函數(shù)的是（）

A.\(y=x^2+1\)

B.\(y=\sqrt{x}\)

C.\(y=x^3\)

D.\(y=\frac{1}{x}\)

2.冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)的圖像在\(y\)軸上的截距為（）

A.0

B.1

C.\(\alpha\)

D.\(\alpha^2\)

3.若冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)在\(x=1\)時(shí)取最小值，則\(\alpha\)的取值范圍是（）

A.\(\alpha>0\)

B.\(\alpha<0\)

C.\(\alpha=0\)

D.\(\alpha\neq0\)

4.冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)在\(x=0\)處的值是（）

A.0

B.1

C.不存在

D.無法確定

5.冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)的圖像與\(x\)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

A.0

B.1

C.2

D.無法確定

二、填空題（每題3分，共15分）

6.冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)的圖像在\(x\)軸上的截距為______。

7.當(dāng)\(\alpha=-1\)時(shí)，冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)的圖像是______。

8.冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)的圖像在\(y\)軸上的漸近線方程是______。

9.若冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)在\(x=2\)時(shí)取得最大值，則\(\alpha\)的取值范圍是______。

10.冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)的圖像在\(x=0\)處的導(dǎo)數(shù)是______。

三、解答題（每題10分，共20分）

11.請(qǐng)證明：冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)等于\(\alpha\cdotx^{\alpha-1}\)。

12.請(qǐng)說明冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)的圖像在\(x\)軸上的截距和\(y\)軸上的漸近線方程。

四、計(jì)算題（每題10分，共20分）

13.若冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)在\(x=2\)時(shí)取得最小值，求\(\alpha\)的值。

14.已知冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)等于\(4\)，求\(\alpha\)的值。

五、應(yīng)用題（每題10分，共20分）

15.一物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度\(v\)與時(shí)間\(t\)的關(guān)系可表示為\(v=k\cdott^{\beta}\)，其中\(zhòng)(k\)和\(\beta\)是常數(shù)，且\(k>0\)，\(\beta\neq0\)。若物體在\(t=1\)秒時(shí)的速度為\(5\)米/秒，求\(\beta\)的值。

16.一個(gè)人在爬樓梯，每分鐘可以爬\(n\)階樓梯，樓梯總數(shù)為\(m\)階。設(shè)\(h\)為爬樓梯的高度（米），\(d\)為樓梯的寬度（米），則\(h\)與\(n\)和\(d\)的關(guān)系可以表示為\(h=kn^{\alpha}\)，其中\(zhòng)(k\)和\(\alpha\)是常數(shù)，且\(\alpha\neq0\)。若此人爬\(10\)分鐘共爬了\(100\)階樓梯，且每階樓梯的寬度為\(0.5\)米，求\(\alpha\)的值。

六、綜合題（每題10分，共20分）

17.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+4\)，求函數(shù)在\(x=1\)處的切線方程。

18.某商品的單價(jià)為\(p\)元，銷售量為\(q\)件，總成本為\(C\)元，其中\(zhòng)(C=100+10q+0.5q^2\)。求當(dāng)\(q=50\)件時(shí)的平均成本。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析思路：

1.C。冪函數(shù)的定義是形如\(y=x^{\alpha}\)的函數(shù)，其中\(zhòng)(\alpha\)是常數(shù)。選項(xiàng)C符合這個(gè)定義。

2.B。當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=0^{\alpha}=0\)，所以圖像在\(y\)軸上的截距為0。

3.A。當(dāng)\(\alpha>0\)時(shí)，函數(shù)在\(x=1\)處取得最小值。

4.A。當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=0^{\alpha}=0\)。

5.A。當(dāng)\(\alpha\neq0\)時(shí)，圖像與\(x\)軸有一個(gè)交點(diǎn)。

二、填空題答案及解析思路：

6.0。冪函數(shù)在\(x=0\)處的值為0。

7.雙曲線。當(dāng)\(\alpha=-1\)時(shí)，函數(shù)變?yōu)閈(y=\frac{1}{x}\)，其圖像是雙曲線。

8.\(y=0\)。冪函數(shù)在\(y\)軸上的漸近線是\(y=0\)。

9.\(\alpha<0\)。當(dāng)\(\alpha<0\)時(shí)，函數(shù)在\(x=2\)處取得最大值。

10.0。當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=x^{\alpha}\)的導(dǎo)數(shù)不存在，但在\(x=0\)處導(dǎo)數(shù)為0。

三、解答題答案及解析思路：

11.證明：\(f(x)=x^{\alpha}\)，則\(f'(x)=\alpha\cdotx^{\alpha-1}\)。在\(x=1\)處，\(f'(1)=\alpha\cdot1^{\alpha-1}=\alpha\)。

12.解答：冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)在\(x\)軸上的截距為0，因?yàn)楫?dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=0\)。\(y\)軸上的漸近線方程為\(y=0\)，因?yàn)楫?dāng)\(x\)趨向于無窮大或無窮小時(shí)，\(y\)趨向于0。

四、計(jì)算題答案及解析思路：

13.解答：\(y=x^{\alpha}\)在\(x=2\)處取得最小值，所以\(\alpha<0\)。設(shè)\(\alpha=-\frac{1}{n}\)，則\(y=x^{-\frac{1}{n}}\)。在\(x=2\)時(shí)，\(y=2^{-\frac{1}{n}}\)取得最小值，解得\(n=1\)，所以\(\alpha=-1\)。

14.解答：\(y=x^{\alpha}\)的導(dǎo)數(shù)為\(f'(x)=\alpha\cdotx^{\alpha-1}\)。在\(x=1\)時(shí)，\(f'(1)=\alpha\cdot1^{\alpha-1}=\alpha=4\)，所以\(\alpha=4\)。

五、應(yīng)用題答案及解析思路：

15.解答：\(v=k\cdott^{\beta}\)，在\(t=1\)時(shí)，\(v=k\cdot1^{\beta}=k\cdot1=5\)，所以\(k=5\)。因此，\(v=5\cdott^{\beta}\)。當(dāng)\(t=1\)時(shí)，\(v=5\)，所以\(\beta=1\)。

16.解答：\(h=kn^{\alpha}\)，在\(n=10\)時(shí)，\(h=k\cdot10^{\alpha}\)。總成本\(C=100+10q+0.5q^2\)，在\(q=50\)時(shí)，\(C=100+10\cdot50+0.5\cdot50^2=100+500+1250=1750\)。平均成本\(\frac{C}{q}=\frac{1750}{50}=35\)。因?yàn)閈(h=kn^{\alpha}\)，所以\(35=k\cdot10^{\alpha}\)，解得\(\alpha=\frac{\log35}{\log10}\)。

六、綜合題答案及解析思路：

17.解答：\(f(x)=x^3-3x^2+4\)，\(f'(x)=3x^2-6x\)。在\(x=1\)時(shí)，\(f'(1)=3\cdot1^2-6\cdot1=-3\)，所以切線斜率為-3。切點(diǎn)為\((1,f(1))=(1,2)\)。切線方程為\(y-2=-3(x-