線性代數試題庫及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題2分，共20分）

1.若矩陣A是一個對稱矩陣，則A的轉置矩陣______。

A.一定是A本身

B.一定是A的逆矩陣

C.一定是A的伴隨矩陣

D.一定是A的共軛矩陣

2.設向量a=(1,2)，向量b=(2,1)，則向量a和向量b的夾角余弦值是______。

3.若行列式|A|=0，則A______。

A.一定是滿秩矩陣

B.一定是非滿秩矩陣

C.一定是可逆矩陣

D.一定是不可逆矩陣

4.設矩陣A為：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2\\

3&4

\end{pmatrix}

\]

則矩陣A的逆矩陣是______。

5.設矩陣A為：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&0&1\\

0&1&0\\

1&0&1

\end{pmatrix}

\]

則矩陣A的秩是______。

6.設矩陣A為：

\[

A=\begin{pmatrix}

2&1&0\\

3&2&1\\

1&1&2

\end{pmatrix}

\]

則矩陣A的行列式是______。

7.設矩陣A為：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9

\end{pmatrix}

\]

則矩陣A的秩是______。

8.設矩陣A為：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2\\

3&4

\end{pmatrix}

\]

則矩陣A的特征值是______。

9.設矩陣A為：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&1\\

1&1

\end{pmatrix}

\]

則矩陣A的伴隨矩陣是______。

10.設矩陣A為：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9

\end{pmatrix}

\]

則矩陣A的逆矩陣是______。

二、填空題（每題3分，共15分）

1.設矩陣A為：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2\\

3&4

\end{pmatrix}

\]

則A的行列式是______。

2.設向量a=(1,2)，向量b=(2,1)，則向量a和向量b的夾角余弦值是______。

3.設矩陣A為：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2\\

3&4

\end{pmatrix}

\]

則矩陣A的逆矩陣是______。

4.設矩陣A為：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&0&1\\

0&1&0\\

1&0&1

\end{pmatrix}

\]

則矩陣A的秩是______。

5.設矩陣A為：

\[

A=\begin{pmatrix}

2&1&0\\

3&2&1\\

1&1&2

\end{pmatrix}

\]

則矩陣A的行列式是______。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.設矩陣A為：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9

\end{pmatrix}

\]

求矩陣A的逆矩陣。

2.設向量a=(1,2)，向量b=(2,1)，求向量a和向量b的夾角余弦值。

3.設矩陣A為：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2\\

3&4

\end{pmatrix}

\]

求矩陣A的特征值和特征向量。

四、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：若矩陣A可逆，則其行列式不為零。

2.證明：若矩陣A和B都是n階方陣，且AB=BA，則A和B的秩相等。

五、計算題（每題10分，共20分）

1.設矩陣A為：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9

\end{pmatrix}

\]

求矩陣A的行列式。

2.設矩陣A為：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2\\

3&4

\end{pmatrix}

\]

求矩陣A的特征值和特征向量。

六、應用題（每題10分，共20分）

1.設線性方程組為：

\[

\begin{cases}

x+2y-z=1\\

2x+y+2z=2\\

-x+y-z=0

\end{cases}

\]

求該方程組的通解。

2.設線性方程組為：

\[

\begin{cases}

x+y+z=1\\

2x-y+3z=2\\

3x+2y-z=3

\end{cases}

\]

判斷該方程組是否有解，若有解，求出方程組的通解。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.A

解析：對稱矩陣的轉置矩陣等于其本身。

2.0

解析：向量a和向量b的點積為0，說明它們垂直，夾角余弦值為0。

3.B

解析：行列式為0意味著矩陣的秩小于其階數，因此是非滿秩矩陣。

4.\(\frac{1}{2}\begin{pmatrix}

4&-2\\

-3&1

\end{pmatrix}\)

解析：通過行變換將A轉換為單位矩陣，然后取逆得到A的逆矩陣。

5.2

解析：矩陣A的秩等于其非零行數，這里有兩個非零行。

6.0

解析：矩陣A的行列式為0，因為第一列的元素都是第二列的兩倍。

7.3

解析：矩陣A的秩等于其非零行數，這里有三個非零行。

8.3,1

解析：通過求解特征方程得到特征值3和1。

9.\(\begin{pmatrix}

1&-2&1\\

-3&1&-3\\

1&-2&1

\end{pmatrix}\)

解析：通過行變換將A轉換為單位矩陣，然后取伴隨矩陣得到A的伴隨矩陣。

10.\(\begin{pmatrix}

\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\

-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\

\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}

\end{pmatrix}\)

解析：通過行變換將A轉換為單位矩陣，然后取逆得到A的逆矩陣。

二、填空題答案及解析：

1.2

解析：行列式計算為1*4-2*3=2。

2.0

解析：向量a和向量b的點積為1*2+2*1=4，模長分別為\(\sqrt{5}\)和\(\sqrt{5}\)，夾角余弦值為0。

3.\(\frac{1}{2}\begin{pmatrix}

4&-2\\

-3&1

\end{pmatrix}\)

解析：通過行變換將A轉換為單位矩陣，然后取逆得到A的逆矩陣。

4.2

解析：矩陣A的秩等于其非零行數，這里有兩個非零行。

5.0

解析：矩陣A的行列式為0，因為第一列的元素都是第二列的兩倍。

三、解答題答案及解析：

1.\(\begin{pmatrix}

\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\

-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\

\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}

\end{pmatrix}\)

解析：通過行變換將A轉換為單位矩陣，然后取逆得到A的逆矩陣。

2.0

解析：向量a和向量b的點積為1*2+2*1=4，模長分別為\(\sqrt{5}\)和\(\sqrt{5}\)，夾角余弦值為0。

3.特征值：3,1；特征向量：對應特征值3，特征向量為(1,1,1)，對應特征值1，特征向量為(1,-1,0)。

四、證明題答案及解析：

1.證明：若矩陣A可逆，則其行列式不為零。

解析：可逆矩陣的定義是存在一個矩陣B使得AB=BA=I，其中I是單位矩陣。根據行列式的性質，有|AB|=|A||B|=|I|=1，因此|A|≠0。

2.證明：若矩陣A和B都是n階方陣，且AB=BA，則A和B的秩相等。

解析：由于AB=BA，可以通過行變換將A和B同時轉換為相同的行最簡形式。因此，A和B的秩相同。

五、計算題答案及解析：

1.0

解析：矩陣A的行列式為0，因為第一列的元素都是第二列的兩倍。

2.特征值：3,1；特征向量：對應特征值3，特征向量為(1,1,1)，對應特征值1，特征向量為(1,-