第頁，共頁第14頁，共14頁瀘州市高2024級高一上學期末統一考試數學本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁、共150分.考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題的答案標號涂黑.3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內，作圖題可先用鉛筆繪出，確認后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過聯立方程組來求得正確答案.【詳解】由解得，所以.故選：B2.下列函數是奇函數且在上單調遞增的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據基本初等函數的性質逐項分析判斷即可.【詳解】對于選項A：奇函數，且在上單調遞減，故A錯誤；對于選項B：的定義域為，為非奇非偶函數，故B錯誤；對于選項C：為奇函數，且在上不單調，故C錯誤；對于選項D：為奇函數，且在上單調遞增，故D正確；故選：D.3.設函數的零點為，則所在的區間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據函數單調性以及零點存在性定理分析判斷.【詳解】因為在定義域內單調遞增，可知在定義域內單調遞增，且，所以函數的唯一零點為.故選：A.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】結合對數函數的定義域、單調性以及充分、必要條件的知識確定正確選項.【詳解】當時，.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A5.函數取得最小值時，（）A. B. C.0 D.【答案】C【解析】【分析】整理可得，結合正弦函數性質分析求解即可.【詳解】因為，則，可得：，當且僅當時，等號成立，所以函數取得最小值時，.故選：C.6.函數與的圖象在區間上的交點個數為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】令，可得，結合正切函數分析求解即可.【詳解】令，即，可得，且，可得，所以交點個數為3.故選：B.7.青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄法的數據V滿足關系式：.已知五分記錄法的評判范圍為，設，則五分記錄法中最大值對應的小數記錄法數據為最小值對應的小數記錄法數據的倍數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意結合指、對數運算分析求解.【詳解】設五分記錄法中最大值對應的小數記錄法數據為，最小值對應的小數記錄法數據為，則，兩式相減得，則，且，可得，所以，故C正確，檢驗可知其余選項均不符合.故選：C.8.已知函數為上偶函數，對任意，，均有成立，若，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據偶函數可知，分析可知在內單調遞減，結合單調性即可判斷大小.【詳解】因為函數為上的偶函數，則，且，則，即，可得，又因為對任意，，均有成立，可知在內單調遞減，則，即.故選：A.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，則（）A.的最大值為1 B.在上是增函數C.為的一個周期 D.在上有兩個零點【答案】AC【解析】【分析】利用數形結合即可作出判斷.【詳解】作出函數圖象，如圖：根據圖象可知：的最大值為1，故A正確，在上是減函數，故B錯誤，為的一個周期，故C正確，在上有三個零點，故D錯誤，故選：AC.10.已知，，若，則（）A.b的取值范圍是 B.ab的最大值為C.的最大值為 D.的最小值為8【答案】ABD【解析】【分析】利用不等式性質判斷A；由，結合二次函數性質求最值判斷B；由，應用基本不等式求最值，注意取值條件判斷C；應用基本不等式“1”的代換求最值判斷D.【詳解】由題設，則，又，故b的取值范圍是，A對；由，且，故的最大值為，B對；由，當且僅當取等號，而，所以取不到，C錯；由，當且僅當時取等號，故最小值為8，D對.故選：ABD11.定義在上的函數，對任意，，都有，且當時，恒成立，下列說法正確的是（）A. B.C.函數的圖象是中心對稱圖形 D.函數為上的增函數【答案】ACD【解析】【分析】對于A：令代入即可；對于B：舉反例說明即可；對于C：令，，結合對稱性的定義分析判斷；對于D：根據題意結合單調性的定義分析判斷.【詳解】因為對任意的，都有，對于選項A：令可得，所以，A正確；對于選項B：若，令，可得，解得，這與選項A相矛盾，故B錯誤；對于選項C：令，可得，整理可得，可知為函數的一個對稱中心，所以函數的圖象是中心對稱圖形，故C正確；對于選項D：任取實數，且，則，因為，則，且當時，恒成立，則，即，可得，所以函數為R上的增函數，故D正確；故選：ACD.【點睛】方法點睛：函數的性質主要是函數的奇偶性、單調性和周期性以及函數圖象的對稱性，在解題中根據問題的條件通過變換函數的解析式或者已知的函數關系，推證函數的性質，根據函數的性質解決問題．第Ⅱ卷（非選擇題共92分）注意事項：（1）非選擇題的答案必須用0.5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上，作圖題可先用鉛筆繪出，確認后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，答在試題卷和草稿紙上無效.（2）本部分共8個小題，共92分.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.12.計算__________.【答案】4【解析】【分析】根據根式以及對數的定義運算求解即可.【詳解】原式.故答案為：4.13.從四個函數，，，中選出兩個函數，分別記為和，若的圖象如圖所示，則__________.【答案】【解析】【分析】觀察圖像確定函數的定義域和奇偶性，再結合函數的單調性，確定的解析式.【詳解】根據圖像可知，函數的定義域為，所以一定包含,一定不包含,故或者,若,則為奇函數,圖象關于原點對稱，與題中圖像不符合,故,不成立.若,當時,單調遞減,單調遞減,所以在上單調遞減；當x∈0,+任取,,且,則,,因為,，且,所以,,當時,,所以,即所以在上單調遞減當時,,所以,即所以在上單調遞增,符合題意.故答案為：14.設函數，若，則實數k的最大值為__________.【答案】1【解析】【分析】分和x∈0,+∞兩種情況，根據對數函數符號可得的符號，結合恒成立問題分析求解即可.【詳解】由題意可知：的定義域為，若，則有：當時，則，可得，即，且在內的值域為1,+∞，則；當x∈0,+∞時，則，可得，即，且在0,+∞內的值域為，則；綜上所述：，所以實數k的最大值為1.故答案為：1.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）當時，設全集，求；（2）若，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意化簡集合，再根據并集和補集運算求解即可；（2）由題意可知，結合包含關系列式求解即可.【小問1詳解】因為，當時，則，可得，所以.【小問2詳解】若，則，可得，解得，所以a取值范圍為.16.已知函數.（1）若無零點，求實數a的取值范圍；（2）解關于x的不等式.【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）根據二次函數性質及零點個數有，即可求參數范圍；（2）應用分類討論求含參一元二次不等式的解集.【小問1詳解】由無零點，則，可得；【小問2詳解】由，即，當，可得解集為；當，可得解集為；當，可得解集為.17.在平面直角坐標系xOy中，角的頂點與坐標原點O重合，始邊為x軸的非負半軸，終邊與圓心為O的單位圓交于點P，P位于第一象限，且.（1）求點P的坐標；（2）將的終邊繞原點O逆時針旋轉得到的角記為，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意結合列式求解即可；（2）根據題意可知，利用誘導公式結合齊次化問題運算求解即可.【小問1詳解】由題意可得：，解得或，且角為第一象限角，則，可得，所以點P的坐標為.【小問2詳解】由題意可知：，則，所以.18.把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度為，空氣的溫度為，那么后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中k是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數.已知空氣的溫度為，把水放在空氣中冷卻，水的溫度從冷卻到需要30min.（1）求；（2）小王想喝的溫水，發現水的溫度為，如果他等待水溫自然冷卻，至少需要等待多少min？（3）某電熱水壺會自動檢測壺中水溫，如果水的溫度高于，電熱水壺不加熱，水的溫度冷卻到，電熱水壺開始加熱，直至水的溫度達到才停止加熱，且水的溫度從加熱到需要8min.現該電熱水壺中水的溫度為，經過98min后，此時壺中水的溫度是多少？【答案】（1）（2）至少需要等待60min（3）【解析】【分析】（1）根據題意代入相應數據運算即可；（2）根據題意可知，，代入運算即可；（3）根據題意可得水的溫度由冷卻到，需要，再加熱8min，結合題意求水溫即可.【小問1詳解】已知空氣的溫度為，把水放在空氣中冷卻，水的溫度從冷卻到需要30min，則，即，所以.【小問2詳解】由題意可知：，，可得，解得，所以至少需要等待60min.【小問3詳解】設水的溫度由冷卻到，需要，則，解得，此時電熱水壺開始加熱，需要8min加熱至，且，若水的溫度由冷卻到，可知需要60min，顯然，則，所以經過98min后，此時壺中水的溫度是.19.若函數滿足條件：在定義域內存在，使得成立，則稱具有性質；反之，若不存在，則稱不具有性質.（1）判斷函數是否具有性質，若具有性質，求出對應的值；若不具有性質，說明理由；（2）證明：函數具有性質；（3）已知函數具有性質，求a的取值范圍.【答案】（1）不具有，理由見詳解（2）證明見詳解（3）【解析】【分析】（1）根據題意可得，代入解方程即可判斷；（2）根據題意可得，整理可得，構建，根據零點存性定理分析判斷；（3）根據題意可得，整理可得，換元令，結合基本不等式運算求解即可.【小問1詳