專題25相似模型之母子型（共邊共角）模型

相似三角形是初中幾何中的重要的內容，常常與其它知識點結合以綜合題的形式呈現，其變化很多，

是中考的常考題型。在相似三角形中存在眾多的相似模型，其中“母子型”相似模型應用較為廣泛，深入理解

模型內涵，靈活運用相關結論可以顯著提高解題效率，本專題重點講解相似三角形的“母子”模型。

目錄導航］

例題講模型

..................................................................................................................................................................1

模型L“母子型,，模型（共邊共角模型）........................................................1

習題練模型］

11

例題講模型］

【知識儲備】母子型相似證明題一般思路方法：

①由線段乘積相等轉化成線段比例式相等；

②分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；

③第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；

④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復第③步。

模型1.，，母子型，，模型（共邊共角模型）

模型解讀

“母子”模型的圖形（通常有一個公共頂點和另外一個不是公共的頂點，由于小三角形寓于大三角形中，恰似

子依母懷），也是有一個“公共角”，再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應成比例就可以判定這兩個三

角形相似。

模型證明

圖1圖2圖3圖4

1）“母子，，模型（斜射影模型）

條件：如圖1,ZC=ZABD；結論:AB2^ADAC.

證明：'：ZC=ZABD,ZDAB=ZBAC,/.AADB^ABAC,.?.絲=絲，：.AB2=ADAC.

ABBC

2）雙垂直模型（射影模型）

條件：如圖2,ZACB=90°,CDLAB-,

結論：AACDsAABCsACBD；CA1=ADAB,BC2=BDBA,CD2=DADB.

證明：ZACB=90°,CD1AB,：.ZA+ZACD=90°,ZA+ZB=90°,：.ZB^ZACD,

VZA=ZA,/.AACD^AABC,.?.生=絲，：.AC2=ADAB,同理可證：BC?=BD-BA,CU=DA，DB.

ABAC

3）“母子”模型（變形）

條件：如圖3,ZD=ZCAE,AB=AC；結論：△A8OSZ\ECA；

證明：'：AB=AC,：.ZABC=ZACB,：.ZDBA=ZACE,'：ZD=ZCAE,：.^ABD^AECA

4）共邊模型

條件：如圖1,在四邊形A3CD中，對角線平分/ABC,ZADB=ZDCB,結論：BD2=BA-BC-,

證明：：對角線平分NA8C,

VZADB=ZDCB,：.^ADB^/\DCB,:.理=些,：,BD2=BABC

DBBC

模型運用

例1.（2024.河北石家莊.二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC為對角線，NBAE=NDAC,AB=9,

AD=12,則CE長為（）

-48

A.3B.3C.9D.——

47

【答案】A

【分析】根據平行四邊形ABCD,得到40=昵=12,4。||8C,繼而得到N3C4=,結合

NBAE=N/MC得到NBC4=/54E,結合=NB證明△B4ESAJBG4,列出比例式解答即可.

本題考查了平行四邊形的性質，三角形相似的判定和性質，熟練掌握平行四邊形的性質，相似的性質是解

題的關鍵.

【詳解】???平行四邊形A3cD,：.AD=BC=12,AD\\BCt：.ZBCA=ZDACf

VZBAE=ZDAC,；./BCA=/BAE,

ARRFQRF97

*.*/R=/R，.**/\BAEtur>/\BCA,-----=---,—=---,解得BE=—,

BCBA1294

21

故CE=BC—BE=—,故選A.

4

例2.(2023?湖北孝感?模擬預測)閱讀：兩千多年前，古希臘數學家歐多克索斯發現了黃金分割，即：點P

RPAp

是線段上一點(AP>3P),若滿足瓦=布,則稱點「是的黃金分割點.黃金分割在我們的數學學

習中也處處可見，比如我們把有一個內角為36。的等腰三角形稱為“黃金三角形”.

ACB

圖1圖2圖3

(1)應用：如圖1,若點C是線段的黃金分割點(AC>BC),若AB=1,則AC的長為

(2)運用：如圖2,已知等腰三角形ABC為“黃金三角形"，AB=AC,ZA=36°,為—ABC的平分線.求

證：點。是AC的黃金分割點.(3)如圖3中，AB=AC,ZA=36°,M平分/ABC交AC于先取A3的

中點E,連接E尸并延長交3C的延長線于BC=1,請你直接寫出CM的長為

【答案】⑴"⑵證明見解析⑶CM-與

【分析】⑴設AC”，則BC=?，根據黃金分割的含義可得：靠=*,即A—再解方

,CDBC3.CDAD?口/工、人

程即可；(2)證明△CBZ3z\C4B,推tn出拓二花‘推出通=花’可得結論.

(3)如圖，連接AM,同理可得：ZABC=ZACB=12°,Nl=N2=36。=N54C,可得AF=3R=8C=1,

證明ME，AB,MB=MA,Z.CAM=72°-36°=36°=ABAC,可得C是的黃金分割點，S.BC<CM,

可得后=三7,設CM=x，再解方程可得答案?

CMBM

【詳解】⑴解：???點C是線段AB的黃金分割點(AC>BC),AB=1,

設AC=a,則3c=1-。，=半，即AC2=BCA8,

ACAB

**.a2=l-a,<72+(7-1=0?解得：a=~-(負根舍去)，AC=-；

22

(2)證明：,：AB=AC,ZA=36°,AZABC=ZC=72°,

又,/BD平分ZABC,：.ZABD=ZCBD=-ZABC=36°,

2

ZBDC=360+36°=72°,Z.AD=BD,BC=BD,即AD=3D=3C,

又,/ZC=ZC,ZCBD=ZA,Z\CBD^/XCAB,

.CDBC,CDAD

六。點是AC的黃金分割點.

"BC"AC'"AZ)"AC

(3)如圖，連接AM,同理可得：ZABC=ZACB=12°,Zl=Z2=36°=ZBAC,

Z.AF=BF^BC^1,為AB的中點，AF=BF,MEYAB,AMB=MA,

圖3

ZABM=ZBAM=72°,ZAMB=36°,ZCAM=72°-36°=36°=ABAC,

同理可得C是8M的黃金分割點，且BC<CN,

.BCCM1

設CM=x,=上整理得:入1=0,

X

解得“理（負根舍去―

【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質，線段的垂直平分線的性質，黃金分割點的含義，相似三角形的

判定與性質，一元二次方程的解法，熟記黃金分割的含義是解本題的關鍵.

例3.（22-23八年級下?湖南衡陽?期中）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC.BD交于點、O,CELBD于

點E,已知3E:￡）E=3:1,BD=2拒,則矩形A3C￡>的周長為

【答案】2用6/6+24

【分析】首先根據題意求出BE=士叵，DE力,然后根據矩形的性質得48=90。，然后證明

22

DFCE3

△DCES&CBE,得有二胃，求得CE=9,然后利用勾股定理求出CO和5C的長度，即可得出結果.

CEBE2

【詳解】解：：BE：DE=3:1,BD=2A/3,：.BE=—,DE=—

22

?.?四邊形ABCD是矩形，ZBCD=90°,

VCE±BD,:.ZCED=ZBEC=90°,:.NDCE=NCBE=90°—NBCE,:.^DCE^^CBE,

DFCF即c言=C。E解得以=3日（負值舍去）

CEBECE3,32

2

?；"ED=/BEC=90°CD=y/DE2+CE2=5BC=^BE2+CE2=3

矩形ABCD的周長為2（C￡>+8C）=2（若+3）=2括+6.故答案為：2抬+6.

【點睛】本題考查矩形的性質、同角的余角相等、相似三角形判定與性質，證明AOCESACBE是解題關鍵.

例4.（2024?廣西南寧?三模）閱讀與思考，完成后面的問題.

射影定理，又稱“歐幾里得定理”，是數學圖形計算的重要定理.如圖，在中，ZBAC=90°,A。是

斜邊8C上的高，則有如下結論：

①AD2=BDDC；②AB?=BDBC;@AC2=CD-BC.下面是該定理的證明過程（部分）：

：是斜邊3C上的高，/.ZADB^90°=ZADC.'：ZB+ZBAD=90°,ZB+ZC=90°,

：.ZBAD=ZC.：.AABD^AC4D（依據）.即AZJ=BQQC.

（1）材料中的“依據”是指;（2）選擇②或③其中一個結論加以證明;

⑶應用：AABC中，ZA=90°,8（1,0）,C（-3,0）,點A在y軸上，求頂點A的坐標.

【答案】（1）兩角分別對應相等的兩個三角形相似（2）見解析（3）頂點A的坐標為（0,灼或他，-@

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，解題關鍵是熟練運用相似三角形的判定和性質進行推理證

明和計算.（1）根據“兩角分別對應相等的兩個三角形相似”即可解答；

（2）②根據“兩角分別對應相等的兩個三角形相似"證明即可得證；③根據“兩角分別對應

相等的兩個三角形相似”證明AACD3c4；（3）根據題意以。為坐標原點建立平面直角坐標系，利用證

明的射影定理得。4。=OB.OC=1X3,即可求出0A=a,由此求出頂點A的坐標.

【詳解】（1）解：“依據”是：兩角分別對應相等的兩個三角形相似，

故答案為：兩角分別對應相等的兩個三角形相似；

（2）證明：②AB?=BD.BC,理由如下：

AD1BC,ZC4B=90°,/.ZADB=ZCAB=90°,

ADBD

?；ZABD=NCBA,：.Z\ABD^Z\CBA,：.—=—AAB2=BDBC;

BCAB

@AC2=CDBC,理由如下：9：ADIBC,ZG4B=90°,：.ZADC=ZCAB=90°,

ACCD.

.XACD=NBCA，:?△ACD-----AC2=CD?BC;

BCAC

（3）解：如圖，根據題意以。為坐標原點建立平面直角坐標系，VB（1,O）,C（-3,0）,：.OB=1,OC=3,

'：ZC4B=90°,AOJ.BC,：.=OBOC=M,，OA=百，...頂點A的坐標為（。,退）或（。,一石）.

例5.（2023?山東淄博?九年級統考期末）如圖，已知A/4BP,點C,D在邊上，連接尸C,尸口，使NADP=60。,

且△ACPSA/TW.⑴請判定丁⑦的形狀，并說明理由；⑵若AC=2,BD=3,求尸的面積.

【答案】（1）APCD是等邊三角形，理由見解析（2）6G+15夜

4

【分析】（1）根據相似三角形的性質得出/4。尸=/尸/切=180。-/尸"=120。，然后根據鄰補角得出

NPCD=60°,進而即可得出結論；（2）根據相似三角形的性質即可求解.

【詳解】（1）解：APCD是等邊三角形，理由如下，

---AACPSAPDB,ZADP=60°；.ZACP=ZPDB=180°-/PDA=120°,

?.ZPCD=180°-ZPAC=60°,APCD是等邊三角形，

（2）解：???△PCD是等邊三角形，設等邊三角形的邊長為。,

74cPC9a

AACPS^PDB,---=,XAC=2,BD=3,,解得：a=A/6（負值舍去）,

PDDBa3

如圖所示，過點P,作于點E,

/.PE=—CD=—x46=-yf2,：.AB=AC+DB+CD=2+3+46=5+46,

222

AAB尸的面積為342義尸石=；（5+布卜|應=述手，1

【點睛】本題考查了相似三角形的性質，勾股定理，等邊三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性

質是解題的關鍵.

例6.（2024?浙江溫州?三模）如圖，在銳角三角形A3C中，AC>BC.以點C為圓心BC長為半徑畫弧，交

邊于點。，連接。.點E是CB延長線上的一點，連接AE,若平分NC4E.

⑴求證：AACD^AAEB.（2）當4）=8。時，求——的值.

EB

【答案】（1）見解析（2）3

【分析】本題考查了角平分線的定義、等腰三角形的性質、相似三角形的判定與性質，熟練掌握以上知識

點并靈活運用是解此題的關鍵.（1）由題意得：BC=CD,由等邊對等角得出NCBD=NCDB,從而得出

ZADC=ZABE,再由角平分線的定義得出N/MC=NE4B,即可證明

(2)由題意得出例=：,由相似三角形的性質得出竺=之，從而即可得解.

AB2EB2

【詳解】(1)證明：由題意得：BC=CD,:.NCBD=NCDB,:.ZADC=ZABE,

?.,A5平分NCAE,:.NDAC=NEAB,.^ACD^^AEB；

AZ)1ADCDCD1BC_1

(2)解：-.AD=BD,-----=—?.9/\ACDaaZ\AEB，?：BC=CD,

AB2AB~EBEB~2~EB~2

例7.(2024?河南?二模)三角形的布洛卡點(Brocardpoim)是法國數學家和數學教育家克洛爾

(A.￡Cr^l780-1855)于1816年首次發現，但他的發現并未被當時的人們所注意.1875年，布洛卡點被

一個數學愛好者法國軍官布洛卡(BrorarJl845-1922)重新發現，并用他的名字命名.如圖1,若AABC內

一點尸滿足===則點尸是AABC的布洛卡點，/a是布洛卡角.

(1)如圖2,點P為等邊三角形48c的布洛卡點，則布洛卡角的度數是；出、PB、PC的數量關系

是；(2)如圖3,點尸為等腰直角三角形42c(其中/BAC=90。)的布洛卡點，且Nl=/2=/3.

①請找出圖中的一對相似三角形，并給出證明；②若"RC的面積為g,求APBC的面積.

2

【答案】(1)30°,PA=PB=PC-.(2)①△ABP&BCP,證明見解析；(3)5PBC=1.

【分析】(1)根據題意理清布洛卡點、布洛卡角的概念，利用概念來解答；(2)①找△ABPs^BCP,證明

過程利用等腰直角三角形的性質及布洛卡角的概念，通過找出三個角分別對應相等來證明；②把三角形

AABC面積看作三個三角形面積之和來表示，除所求三角形面積之外的兩個，其中一個根據條件可以利用勾

股定理求出面積，另一個可以利用所求三角形面積來表示，建立等式即可求解.

【詳解】解：(1)由題意知：ZBAP=ZCBP=ZACP,

???△2WC為等邊三角形，ZABC=ZBCA=ZCAB,AB=BC=AC,

“APB'BPC,:.AP=BP,:.NPAB=NPBA,

..NPBA=/PBC,/PBA+APBC=60°,APBC=30。，同理可證得出：NBAP=NCBP=ZACP=30°,

ZABP=NBCP=NCBP=30。,PA=P3=PC故答案是：30°,PA=PB=PC.

(2)①△ABP—BCP

證明：：AABC是等腰直角三角形NABC=NACB=45。，BPZABP+Z2=Z3+ZBCP=45°,

：/2=/3,:.ZABP=NBCP,XVZ1=Z2,/.AABP^ABCP.

,:APABS/BC,:更=空=也=顯,：,AP=^BP,CP=0BP,S^PAB=-S^PBC,：.CP=2AP.

CPBPBC222Ac

,/ZAP3=ZBPC=180O-(Nl+ZASP)=180O-(/2+ZABP)=135。，ZAPC=360O-ZAPS-ZBPC=90°.

在RtAlPC中，VCP=2AP,AC=5由勾股定理得AP=1,CP=2,

==

?,^AAPC5CP,AP=1,??S4ABe=S^PBC+S^PAC+^APAB=1^APBC+1+/^PBC~^''S、PBC=■

【點睛】本題考查了新概念問題、等邊三角形、直角三角形、三角形全等的判定定理和性質、相似三角形

的判定定理和性質、勾股定理，涉及知識點多，綜合性強，題目較難，解題的關鍵是：通過閱讀材料，弄

明白題中的新定義或新概念，然后利用概念及靈活運用所學知識點進行解答.

例8.（2024?四川廣元?中考真題）數學實驗，能增加學習數學的樂趣，還能經歷知識“再創造”的過程，更是

培養動手能力，創新能力的一種手段.小強在學習《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形

（如圖1）產生了如下問題，請同學們幫他解決.

在AABC中，點。為邊45上一點，連接CO.⑴初步探究：如圖2,若NACD=Zfi,求證：AC2=ADAB；

（2）嘗試應用：如圖3,在（1）的條件下，若點。為A2中點，BC=4,求CO的長；（3）創新提升：如圖4,

點E為CO中點，連接BE,若NCDB=NCBD=30°,ZACD=NEBD,AC=2幣,求BE的長.

【答案】⑴證明見解析⑵CD=2后⑶互

【分析】（1）根據題意，由NAa>=NB,NA=NA,利用兩個三角形相似的判定定理即可得到

△ACD^AABC,再由相似性質即可得證；（2）設4）=%>=;九，由（1）中相似，代值求解得到AC=&能，

4n1

從而根據AACD與AABC的相似比為就=正求解即可得到答案；

（3）過點C作￡8的平行線交A3的延長線于點如圖1所示，設CE=DE=a,過點B作3F_LEC于點

F,如圖2所示，利用含30。的直角三角形性質及勾股定理即可得到相關角度與線段長，再由三角形相似的

判定與性質得至u槳=缶==-4，代值求解即可得到答案.

AC/\riI"271av7

A（JAn

【詳解】（1）證明：vZACD^ZB,ZA=ZA,AAACD^AABC,：.—=—,AAC2=AD-AB■.

ABAC

（2）解：：點。為AB中點，.?.設AD=BD=7〃，

由（1）知△ACDsAABC,AAC2=ADAB=m-2m=2.m2,

AC=41m>AACD與AABC的相似比為二7；=下，—z;=~r=,*/BC=4CD=2A/2;

AC72￡>Cy/2

（3）解：過點C作EB的平行線交43的延長線于點H,過C作CTLAB,如圖1所示：

F

丁點E為C。中點，，設CE=DE=a,VZCDB=ZCBD=3Q°,：.CB=CD=2a,ZDCB=120°,

在Rt^BCy中，Cy=；CD=。，則由勾股定理可得8。=2氐，過點8作族，EC于點尸，如圖2所示:

ZFCB=60°,/.ZCBF=30°,:.CF=；BC,：.CF=a,BF=島,：.EF=2a,:.BE=。,

,:CH〃BE,點、E為CD中點、,:.CH=2BE=2幣a,DH=2DB=4?,NEBD=NH,

ADACCD2a_1

又ZACD=4EBD,ZACD=ZH,

AACD^AAHC,AC-AH-CH_2A/7?-?7

XVAC=2A/7,AD=2,AH=14,：.DH=12,BP4A/3O=12,.,.0=5/3,:.BE=>fia=屈.

【點睛】本題考查幾何綜合，涉及相似三角形的判定與性質、含30。的直角三角形性質、勾股定理等知識,

熟練掌握三角形相似的判定與性質是解決問題的關鍵.

習題練模型］

1.（2022?浙江衢州?統考中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC,ZB=36°.分別以點4C為圓心，大于

的長為半徑畫弧，兩弧相交于點DE,作直線DE分別交AC,8C于點RG.以G為圓心，GC長為半

徑畫弧，交BC于點H,連結AG,AH.則下列說法簿誤的是（）

A.AG=CGB.ZB=2,ZHABC..CAH與BAGD.BG2=CGCB

【答案】C

【分析】根據線段垂直平分線的判定與性質即可判斷選項A；先根據等腰三角形的性質可得

/C4G=/C=36。，從而可得NAGB=72。，再根據等腰三角形的性質可得ZAHG=/G4H=54。，然后根據

三角形的外角性質可得NH4B=18。，由此即可判斷選項B；先假設AC4H三A54G可得NC4H=ZBAG,再根

據角的和差可得NC4H=90。,/BAG=72。，從而可得/C4"w/BAG,由此即可判斷選項C；先根據等腰三

角形的判定可得3G=AB=AC,再根據相似三角形的判定可得AMC~AG4C,然后根據相似三角形的性質

可得AC?=CG-CB,最后根據等量代換即可判斷選項D.

【詳解】解：由題意可知，OE垂直平分AC,CG=HG,:.AG=CG,則選項A正確；

AB=AC,ZB=36°,.-.ZC=ZB=36°,-：AG=CG,CG=HG,:.ZCAG=ZC=36°,AG=HG,

ZAGB=ZC4G+ZC=72°,NAHG=NGAH==54。，

2

AHAB=ZAHG-Zfi=18°,;.ZB=2ZHAB,則選項B正確；

假設ACAH三ABAG,ZCAH=ZBAG,

又ZCAH=ZCAG+Z.GAH=36°+54°=90°,ZBAG=ZHAB+ZGAH=180+54°=72°,

Z.CAHZBAG,與NC4/7=Zfl4G矛盾，則假設不成立，選項C錯誤；

?.■ZBAG=12°=ZAGB,AB^AC,:.BG^AB=AC,

"B=NCAG=36°

在AABC和4c中，《/八公，:.AABC~^GAC,

zc=zc

,EPAC-=CGCB,BG2=CGCB,則選項D正確；故選：C.

CGAC

【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質、等腰三角形的判定與性質、全等三角形的性質、相似三角形

的判定與性質，綜合性較強，熟練掌握判定定理與性質是解題關鍵.

2.（2024?河北張家口.一模）如圖，點。在AABC的邊AC上，添加一個條件，使得AAD3s.以下是

天翼和往琛的做法.下列說法不正確的是（）

天冀的做法：添加條件=

證明：?：ZABD=ZC,ZA=ZA.：.^ADB^AABC（兩組角對應相等的兩個三角形相似）

*4,AZ/H.ABBD

往琛的做法:添加條件17；=、

ArCCn

證明：VZA=ZA,—=—.；.AADBS^ABC（兩組對應邊成比例及一組對應角相等的兩個三角形相似）

ACCB

A.天翼的做法證明過程沒有問題B.往琛的做法證明過程沒有問題

C.天翼的做法添加的條件沒有問題D.往琛的做法添加的條件有問題

【答案】B

【分析】根據題意已知NA=/A,故添加兩組對應邊成比例夾角為/A或者添加一組對應角相等，即可求

解.本題考查了相似三角形的判定，正確記憶相關知識點是解題關鍵.

【詳解】解：依題意，ZA=ZA,添加一組對應角相等，可以使得AADBSAABC,故天翼的做法以及過程

An4H

沒有問題，往琛的做法添加的條件有問題，應為第=嘿，證明過程中用到兩組對應邊成比例夾角相等,

ABAC

故B選項符合題意，故選：B.

3.（2024?浙江?模擬預測）如圖，在矩形A3CD中，AB=6,8c=8,點E在線段3D上（不與點8,點。重

合），ZAED=2ZADE,則DE的長為（）

A.7.8B.屈C.7.5D.8

【答案】A

【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，三角形外角性質，相似三角形的判定和性質，連接AC,交

于。，作平分NAED，交AD于F,由矩形性質得OA=OD=-AC,ZABC=90°,進而得ZOAD=ZODA,

2

AC=10,得到ZAOE=2ZODA,OA=gAC=5,即得ZAOE=ZAED,得到AE=AO=5,由E尸平分ZAED,

Ar4/7FF

可得NAEF=NDEF=NADE,得到班=小，再證明AE4/SAQLE,得到一=—=—,據此即可求

ADAEDE

解，正確作出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】解：連接AC,交80于。，作平分NAED,交4）于產，

F

------------------------

???四邊形ABC。是矩形，：.OA=OD=-AC,ZABC=90°,

2

AZOAD=ZODA4。=，板+5。2=后+82=10，AZAOE=2ZODA,AO=-AC=5,

f2

VZAED=2ZADE,:?ZAOE=ZAED,：.AE=AO=5,

???石方平分—AED,ZAEF=ZDEF=-ZAED,

2

VZAED=2ZADE,：.ZAEF=ZDEF=ZADE,EF=DF,

....AEAFEF

?XEAF=ADAE，??小EAFs小DAE，??——，

ADAEDE

58—九x39

設EF=DF=x,貝!]AF=8—%,?，?一=----=---，角星得x=—，DE=1.8,故選：A.

85DE8

4.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為4,則這個正五邊形的對角線AC的長

是_________.

A

CD

【答案】26+2/2+2百

【分析】此題考查了正五邊形以及等腰三角形的性質和相似三角形的判定與性質.根據正五邊形以及等腰

三角形的性質得出AF=AB=4,再證明△BCFSAACB,根據相似三角形的性質求出C尸，最后由線段和差

即可求出AC的長.

【詳解】解：如圖，連接3D交AC于點尸,

（5—21x180°

:五邊形ABCDE是正五邊形，ZABC=ZBCD=^——1-------=108°,鉆=3C=CD=4,

1QQO_1QOO

??.ZBCA=ABAC=--------------=36°,ZABF=108°-36°=72°,

2

ZAFB=ZCBD-^-ZBCA=360+36°=72°,AZABF=ZAFB,：.AF=AB=4,

?:NBCF=ZACB,ZBAC=/CBF,：.ABCF^AACB,=

ACBC

4CF「

BP——解得CF=25-2或CF=-2式-2（舍去），

CF+44

/.AC=CF+AF=2A/5-2+4=2V5+2,故答案為：2^5+2.

5.(2024?四川成都?中考真題)如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AD是UlBC的一條角平分線，E為AD中

點，連接8E.若BE=BC,CD=2,則8D=

#7+1

【答案】

-2-

【分析】連接CE,過E作EF1CD于凡設8￡>=x,EF=m,根據直角三角形斜邊上的中線性質和等腰三

角形的性質證得。尸=。6=gs=l,ZEAC=ZECA,ZECD=ZEDC=ZBEC,進而利用三角形的外角性

質和三角形的中位線性質得到NCEE>=2NC4E,AC=2EF=2m,證明ACBESACED,利用相似三角形的

性質和勾股定理得到療=3+2無；根據角平分線的定義和相似三角形的判定與性質證明AC4BSAEBE得至U

2川=(x+l)(x+2),進而得到關于x的一元二次方程，進而求解即可.

【詳解】解：連接CE,過E作ETLCJD于E設BD=x,EF=m,

c

A^~---------------

VZACB=90°,E為AD中點，.*.CE=AE=DE,又CD=2,

CF=DF=-CD=1,ZEAC=ZECA,ZECD=ZEDC,：,ZCED=2ZCAE,AC=2EF=2m,

2

,：BE=BC,；.NBEC=/ECB,則NBEC=NEDC,又ZBCE=NECD,：.^CBE^CED,

.?.若=*,ZCBE=ZCED=2ZCAE,：.CE2=CDCB=2（2+x）=4+2x,

則m2=EF2=CE2-CT?=3+2x;：AD是^ABC的一條角平分線，

ZCAB=2Z.CAE=ZCBE,又ZACB=NBFE=90°,

.?.2（3+2x）=（x+l）（x+2）,即尤2_X_4=O,解得尤="±1（負值已舍去），故答案為：邊？土

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、直角三角形的性質、等腰三角形的性質、三角形的中位線

性質、三角形的外角性質、角平分線的定義以及解一元二次方程等知識，是一道填空壓軸題，有一定的難

度，熟練掌握三角形相關知識是解答的關鍵.

6.（23-24九年級下?遼寧本溪?階段練習）如圖，在AABC中，AB=2AC.以點A為圓心，以AC的長為半徑

作弧交邊AB于點D分別以點D,C為圓心，以大于gc。的長為半徑作弧，兩弧交于點P,作射線AP交BC

于點￡，則之三的值為.

【分析】本題考查了角平分線的尺規作圖，全等三角形的判定及性質，等腰三角形的判定及性質，相似三

角形的判定及性質；連接EO,過B作3G〃口交射線AP于G,由SAS可判定

AADE^AACE,由全等三角形的性質得NA￡D=/AEC,由相似三角形的判定方法得AAECS“1GB,由

CFAC

相似三角形的性質得二;=F，由等腰三角形的判定及性質得BG=BE,即可求解；掌握相關的判定方

BGAB

法及性質，能根據題意構建相似三角形是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，連接ED,過5作5G||OE交射線釬于G,.?.NG=NAED,

G

由作法得：ZEAD=AEAC,AD=AC,

AD二AC

在VADE*和AACE中</EAD=ZEAC,/.AADE^AACE（SAS）,

AE=AE

CEAC

:.ZAED=ZAEC,:.ZG=ZAEC,..^AEC^AAGB,：.——二——,

BGAB

CE1

?：AB=2AC,/.—=-,-.-ZBEG=ZAEC,:.ZBEG=/G,

BG2

CF1i

'.BG=BE,?=故答案：y.

7.（23-24九年級上?陜西漢中?期中）如圖，點C、O在線段AB上，且。是等腰直角APCD的底邊.當

時（2與人、8與P分別為對應頂點），ZAPB=。.

【答案】135

【分析】根據等腰直角三角形的性質得到/CPD=90。，/PCD=/PDC=45。,再由三角形外角的性質得

到NA+/APC=45。，根據相似三角形的性質得到N3PD=NA,則ZAP3=N/4PC+NCTO+NA=135。.

【詳解】解：???△PCD是等腰直角三角形，且8為底邊，

ZCPD=90°,ZPCD=ZPDC=45°,/.ZA+ZAPC=ZPCD=45°，:APDB^AACP,ZBPD=ZA,

：.ZAPB=ZAPC+ZCPD+ZBPD=ZAPC+ZCPD+ZA=450+90°=135°,故答案為：135.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質，三角形外角的性質，等腰直角三角形的性質等等，熟知相似

三角形對應角相等是解題的關鍵.

8.（2024?河北邢臺?校考二模）如圖1,在AABC中，AB^AC,3c=24,tanC=3,點P為BC邊上一

點，則點尸與點A的最短距離為.如圖2,連接小，作NAP。，使得ZAPQ=NB,PQ交AC于Q,

【分析】根據等腰三角形的三線合一性作BC邊上的高AM，再根據三角函數值求出AM的長，根據垂線段

最短即可得到點P到A的最短距離即為AM長；

，根據等腰三角形的三線合一性即可得到BN的長，利用線段的和差求出PN的長，再根據三角函數值求出

AN的長，利于勾股定理即可得到AP長和AC長，再證ZAP。相似于44CP,即可得到A。長；

【詳解】解如圖1,過點A作AM1BC,垂足為

根據點到直線的距離垂線段最短，可得點尸與點A的最短距離為5；：.AB=AC=而正而不二13,

如圖2,過點A作AN_LBC,在RtAAPN中,PN=PC-CN=1,

又AN=5,：.AP2=PN2+AN2=26,在與/ACP中，ZPAQ^ZCAP,：.AAPQ-^AACP,

APAC

—：.AP2=AQAC,：.AQ=2故答案為：5；2.

【點睛】本題考查等腰三角形、直角三角形、銳角三角函數，相似三角形的性質和判定，綜合性較強，熟

練相似三角形的性質和判定以及銳角三角函數的意義以及直角三角形的邊角關系是解題的關鍵.

9.（2023?山東東營?統考中考真題）如圖，在AABC中，以點C為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AC,BC

于點。，E；分別以點O,E為圓心，大于goE的長為半徑作弧，兩弧交于點下；作射線CF交AB于點G,

若AC=9,BC=6,ABCG的面積為8,則AACG的面積為.

C

D

【答案】12

A（ZACAC

【分析】過點8作BM〃AC交CG的延長線于點M,證明AACGSABMG,得出空==三=2,根據

GBBMBC

【詳解】解：如圖所示，過點8作BM〃AC交CG的延長線于點/ACN=/CWB

由作圖可得CG是ZACB的角平分線，,ZACM=ZBCM

?：ZBCM=ZCMB：.BC=BM'：BM//AC：.^ACG^ABMG

.AGACAC.S^ACGAGAC93

''S.BCGGBBC6一展

「△BCG的面積為8,.?.△ACG的面積為12,故答案為：12.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，作角平分線，熟練掌握基本作圖以及相似三角形的性質與

判定是解題的關鍵.

10.（2023?內蒙古?統考中考真題）如圖，AC,ARCE是正五邊形ABCDE的對角線，與CE相交于點尸.下

列結論：①CF平分/ACD；②AF=2DF；③四邊形ABCF是菱形；④AB2=ADEF

其中正確的結論是.（填寫所有正確結論的序號）

CD

【答案】①③④

【分析】根據正五邊形的性質得出各角及各邊之間的關系，然后由各角之間的關系及相似三角形的判定和

性質，菱形的判定依次證明即可.

【詳解】解：①?..正五邊形ABCDE,

儂義。-

ZABC=ZBCD=ZCDE=NDEA=3）=10go；AB=BC=CD=DE=AE,

5

1QAO_1QOO

ZBAC=NBCA=NDAE=ZADE=NDCE=NCED=------------=36°,

2

A^ACE=108°-^BCA-^DCE=36°=^DCE,.?.。/平分/人⑺；正確；

?DFDE

②???/ACE=/。石C=36。，ZDFE=ZAFC,：.ADEF^ACF,——=——,

AFAC

DF1

VDE=AB,2AB>AC,：.—H—,即4F/2O9，故②錯誤；

AF2

③ZBAC=ZACE,ZABCBAD=108°+36°+36°=180°,

ABC//AD,AB//CE,四邊形ABCr是平行四邊形，

VAB^BC,；.四邊形ABCF是菱形