第頁(yè)，共頁(yè)第11頁(yè)，共11頁(yè)臨高縣新盈中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線2x﹣3y+1=0的一個(gè)方向向量是（）A.（2，﹣3） B.（2，3） C.（﹣3，2） D.（3，2）【答案】D【解析】【詳解】由題意可得：直線2x﹣3y+1=0的斜率為k=，所以直線2x﹣3y+1=0的一個(gè)方向向量=（1，），或（3，2）故選D．2.已知空間中三個(gè)不同的點(diǎn)、、，則下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的加減運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由平面向量的加法可知AC選項(xiàng)錯(cuò)誤，由平面向量的減法可得，B對(duì)D錯(cuò).故選：B.3.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)雙曲線方程寫(xiě)出漸近線方程即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為.故選：A.4.已知圓，直線，則直線與圓的位置關(guān)系（）.A.相切 B.相離 C.相交 D.無(wú)法確定【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與半徑進(jìn)行比較來(lái)確定正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以直線和圓相切.故選：A5.已知點(diǎn)、、在平面內(nèi)，則下列向量為平面的法向量的是（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)平面的法向量為，根據(jù)法向量的定義可得出，利用賦值法可得出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo).【詳解】設(shè)平面法向量為，由題意可得，，則，取，可得，故選：B.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，若拋物線上的點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為3，則（）.A. B. C.或 D.4或【答案】C【解析】【分析】結(jié)合拋物線的定義求得正確答案.【詳解】拋物線開(kāi)口向左，依題意，拋物線上的點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為3，所以，拋物線方程為，令，得，解得，故選：C7.已知圓（為圓心，且在第一象限）經(jīng)過(guò)，，且ΔABC為直角三角形，則圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)且，半徑為，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】依題意，圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可設(shè)且，半徑為，則，解得，所以圓的方程為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，其中解答中熟記圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，以及合理應(yīng)用圓的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作與軸垂直的直線，交雙曲線于、兩點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出直線的方程，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得的值.【詳解】在雙曲線中，，，則，所以，雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可知，直線的方程為，聯(lián)立，解得，可取、，故.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分值，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)a實(shí)數(shù)，直線，，則（）A.恒過(guò)點(diǎn) B.若，則或C.若，則或0 D.當(dāng)時(shí)，不經(jīng)過(guò)第二象限【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于直線方程，如果要找過(guò)定點(diǎn)的情況，可以對(duì)含參數(shù)的式子進(jìn)行整理.兩直線平行則，兩直線垂直則.通過(guò)這些定理來(lái)判斷每個(gè)選項(xiàng)的正確性.【詳解】將，代入方程左邊得.當(dāng)時(shí)才等于，并不是對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，所以不恒過(guò)點(diǎn).故A錯(cuò)誤.對(duì)于直線和.因?yàn)?，根?jù)兩直線平行的判定條件，則，整理得，解得或.當(dāng)時(shí)，，，兩直線平行；當(dāng)時(shí)，，，化簡(jiǎn)為，兩直線平行，所以或.故B正確.因?yàn)?，根?jù)兩直線垂直的判定條件，則，整理得.利用求根公式，所以C錯(cuò)誤.直線，當(dāng)時(shí)，，即.，直線不經(jīng)過(guò)第二象限.當(dāng)時(shí)，，，直線方程變形為，則，，所以直線不經(jīng)過(guò)第二象限，故D正確.故選：BD10.已知雙曲線，則下列關(guān)于雙曲線的結(jié)論正確的是（）A.實(shí)軸長(zhǎng)為6 B.焦距為5C.離心率為 D.焦點(diǎn)到漸近線的距離為4【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由雙曲線，可得，則，可得雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率為，所以A正確，B、C不正確；又由雙曲線的漸近線方程為，即，且焦點(diǎn)，不妨設(shè)右焦點(diǎn)，漸近線為，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以D正確.故選：AD.11.關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（）A.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面C.已知向量組是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底D.若，則是鈍角【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)空間向量共面定義判斷A，由共面向量定理判斷B，由空間向量基本定理判斷C，由向量夾角的范圍判斷D．【詳解】A選項(xiàng)，由于有兩個(gè)向量共線，則三個(gè)向量一定共面，A正確；B選項(xiàng)，中，所以四點(diǎn)共面，B正確；選項(xiàng)C，向量組是空間的一個(gè)基底，即不共面，若共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，所以，從而，與向量組是空間的一個(gè)基底矛盾，所以不共面，C正確；選項(xiàng)D，時(shí)，是鈍角或，D錯(cuò)．故選：ABC．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知斜率為2的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的方程為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線點(diǎn)斜式方程，直線斜率為且過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線方程為，代入題中已知即可得出答案.【詳解】已知直線斜率為2且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由直線點(diǎn)斜式方程得直線的方程為：，即.故答案為：.13.已知向量?jī)蓛蓨A角為60°，且，則__________．【答案】．【解析】【分析】由向量模長(zhǎng)公式列出算式并計(jì)算出結(jié)果.【詳解】.故答案為：.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則________.【答案】【解析】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，用點(diǎn)斜式求出直線的方程，將直線方程與拋物線聯(lián)立得到一元二次方程，利用韋達(dá)定理得到，，由即可求出.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為和，由題意得直線的方程為，將直線和拋物線聯(lián)立，可得，其中，則，，.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.求經(jīng)過(guò)直線與直線的交點(diǎn)M，且分別滿足下列條件的直線方程：（1）與直線平行；（2）與直線垂直.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）（2）解方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，利用待定系數(shù)法求解即提.【小問(wèn)1詳解】由，解得，即點(diǎn)，設(shè)所求直線方程為，則，解得，所以所求直線方程.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，點(diǎn)，設(shè)所求直線方程為，則，解得，所以所求方程為.16.已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G為線段AF的中點(diǎn).（1）用，，表示；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量的基本定理，結(jié)合向量運(yùn)算求得答案.（2）利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算即得.【小問(wèn)1詳解】在正四面體中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G為線段AF的中點(diǎn)，，所以.【小問(wèn)2詳解】正四面體的棱長(zhǎng)為1，則，所以.17.已知直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn).（1）若，，求橢圓的焦距；（2）求的取值范圍.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）把，代入橢圓方程，由得到的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求焦距.(2)直線與橢圓聯(lián)立方程組，消去，得到關(guān)于x的一元二次方程，由，化簡(jiǎn)得，即可得到的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由已知得橢圓方程為，所以，，故，所以焦距為2.【小問(wèn)2詳解】聯(lián)立方程組，消去，得，直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，，所以，所以的取值范圍?18.已知圓的方程為.（1）求過(guò)點(diǎn)，且與圓相切的直線的方程；（2）是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）或.（2）【解析】【分析】（1）考慮切線斜率存在和不存在兩種情況，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑計(jì)算得到答案.（2）設(shè)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，代入圓方程化簡(jiǎn)得到答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，是圓的切線；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，圓心到切線的距離，解得，故切線方程為，綜上所述：切線方程為：或.小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，即，點(diǎn)在圓上，則，即.19.如圖，長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，.（1）求的長(zhǎng)度；（2）求點(diǎn)D到平面的距離.【答案】（1）6（2）【解析】