第一部分考點梳理第三章函數及其圖像第15課時二次函數的圖象和性質（三）

建立二次函數模型解決幾何問題，

常見的有兩類：一是用公式，如周長公

式、面積公式、體積公式等建立；二是

用圖形的有關性質，如勾股定理、三角

形相似、三角形全等等建立.名師指津1.

與拋物線上動點有關的面積問題常用

方法：（1）如果有某條邊在坐標軸上或者平行

于坐標軸可直接底乘高；（2）等高面積之比可轉化為底邊之比；（3）利用平行進行等面積轉化；（4）鉛垂高乘水平寬；（5）兩點在坐標軸上，動點象限確定可

直接連接原點和動點；（6）利用相似表示面積.2.

由動點產生的面積最大值，通常是求

二次函數的最值，有時也可轉化為求高

的最大值，即動點到定直線距離最遠

（此時高最大），而當直線與拋物線相

切時，此時聯立直線和拋物線表達式，

由判別式Δ＝0可求最值.3.

線段最值的基本圖形考點一

拋物線中的線段（周長）最值

問題例1

（2024·德陽）如圖，拋物線y＝

x2－x＋c與x軸交于點A（－1，0）和

點B，與y軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式；[答案]

解：（1）∵拋物線

y＝x2－x＋c與x軸交于點

A（－1，0），∴1＋1＋c＝0，解得c＝－2，∴拋物線的解析式為y＝x2－x－2.（2）當0＜x≤2時，求y＝x2－x＋c的

函數值的取值范圍；

如答案圖，過點P作

PG⊥AC于點G，連接

MB，過點P作PH⊥MB

于點H，（答案圖）∵對稱軸與y軸平行，∴∠AMP＝∠ACO，

由拋物線的對稱性可得PG＝PH，∠MAB＝∠MBA，∴點M在直線AC上，∵A（－1，0），C（0，－2），

（答案圖）

當A，P，H三點共線時取等號.（答案圖）考點二

拋物線中的面積最值問題例2

如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與

x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，

其中B（1，0），C（0，3）.（1）求拋物線的解析式；

（2）在第二象限的拋物線上存在一點

P，使得△APC的面積最大，請直接寫

出點P的坐標和△APC面積的最大值.[答案]

解：（2）對于y＝－x2－2x＋3，

令y＝0，即－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴A（－3，0），∴OA＝3.易知直線AC的解析式為y＝x＋3.如答案圖，過點P作PE⊥x軸交AC于點E.

（答案圖）設P（m，－m2－2m＋3）（－3＜m＜0），則E（m，m＋3），

（答案圖）

考點三

拋物線中的最值與存在性問題例3

（2024·重慶大渡口區）如圖，在

平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx

＋2與x軸交于A，B兩點（點A在點B

的左側），與y軸交于點C，已知A（－2，0），B（4，0），連接BC.

（1）求拋物線的表達式；

（答案圖）

（答案圖）

（答案圖）

（答案圖）

（答案圖）

（答案圖）1.

如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，

P為對角線BD上一動點，F為射線AD

上一點.若AP＝PF，則△APF面積的最

大值為（

C

）A.

8B.

6C.

4D.

2

（第1題）C

備用圖（第2題）（1）求拋物線的解析式；

備用圖（第2題）（2）點D是x軸上的任意一點，若

△ACD是以AC為腰的等腰三角形，請

直接寫出點D的坐標；

備用圖（第2題）

（3）當EF＝AC時，求點P的坐標；

備用圖（第2題）

（4）在（3）的條件下，若點N是y軸上

的一