2025年中考數學一輪復習學案（全國版）

第四章三角形及四邊形

4.2三角形

考點分布考查頻率命題趨勢

考點1三角形的相關概念☆☆數學中考中，有關本專題的部分，每年

考查道題分值為分，通常以

考點2三角形中的重要線段☆☆☆1~3,3~9

選擇題、填空題、解答題的形式考查。

考點3等腰三角形以及等邊三角形☆☆

在考查其他知識點的綜合試題里一定

考點4直角三角形勾股定理及其應用☆☆☆用到本專題知識。

考點5直角三角形的性質及計算☆☆☆

☆☆☆代表必考點，☆☆代表?？键c，☆星表示選考點。

定理：a2b2c2

勾股定理及應用

勾

股應用:主要用于計算

定

理

直角三角形的判別方法:（勾股定理的逆定理）

222

若三角形的三邊滿足abc則它是一個直角三角形.

夯實基礎

考點1.三角形的相關概念

1.三角形的概念：由____________的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

2.三角形的分類

三邊都不相等的三角形

（1）按____分類：三角形底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等邊三角形

直角三角形

（2）按_____分類：三角形銳角三角形

斜三角形

鈍角三角形

3.三角形三邊的關系：三角形任意兩邊的和______第三邊，任意兩邊的差______第三邊。

4.三角形的穩定性:三角形三條邊的長度確定之后，三角形的形狀就唯一確定了.

5.三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有_____個內角，且每個內角

均大于0°且小于180°。

6.三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于_______。

推論：直角三角形的兩個銳角______。

7.三角形的內角和定理的應用：

（1)在三角形中,已知兩個內角的度數,可以求出第三個內角的度數；

（2)在三角形中,已知三個內角的比例關系,可以求出三個內角的度數；

（3)在直角三角形中,已知一個銳角的度數,可以求出另一個銳角的度數.

8.三角形的外角概念：三角形的一邊與另一邊的_______組成的角，叫做三角形的外角。

9.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于______．

10.三角形的外角的性質：

（1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的_____；

（2）三角形的一個外角______任何一個和它不相鄰的內角．

考點2.三角形中的重要線段

1.三角形的高：從三角形的一個頂點向底邊作垂線，____與頂點之間的線段叫做三角形的高。

2.三角形的角平分線：三角形一個內角的平分線與這個內角的對邊交于一點，則這個內角的頂點與

所交的點間的______叫做三角形的角平分線。

3.三角形的中線：三角形一邊的中點與此邊所對______的連線叫做三角形的中線。

（1）三角形的中線會把原三角形面積______。

（2）一邊上的中線把原三角形分成兩個三角形，這兩個三角形的周長差等于原三角形_____兩邊的差。

【易錯點提示】對三角形三條重要線段的深入理解

（1）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段。

（2）銳角三角形的三條高在三角形內部，相交于三角形內一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，

另一條高在三角形內部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角

形內部，三條高所在直線相交于三角形外一點。

考點3.等腰三角形和等邊三角形

1.等腰三角形

（1）等腰三角形的定義：有兩條邊_____的三角形叫做等腰三角形．相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做

底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫底角．

（2）等腰三角形的性質：

①等腰三角形的兩個_____相等．

②等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相_____．

（3）等腰三角形的判定定理：

如果一個三角形有兩個角______，那么這兩個角所對的邊也______（簡寫成“等角對等邊”）．

（4）等腰三角形的面積公式

其中a是底邊長，h是底邊上的高，S是面積

2.等邊三角形

（1）等邊三角形定義：_____條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.

（2）等邊三角形性質：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于_____.

（3）等邊三角形的判定：

①三條邊都_____的三角形是等邊三角形；

②三個角都_____的三角形是等邊三角形；

③有一個角為_____的等腰三角形是等邊三角形.

（4）等邊三角形的面積公式

其中a是等邊三角形的邊長，h是任意邊上的高，S是面積。

3.線段垂直平分線的性質與判定

（1）線段的垂直平分線定義：經過線段____并且_____于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分

線，也叫線段的中垂線。

（2）線段垂直平分線的做法

求作線段AB的垂直平分線.

作法：1）分別以點A，B為圓心，以大于AB/2的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點；

說明：作弧時的半徑必須大于AB/2的長，否則就不能得到兩弧的交點了．

2）作直線CD，CD即為所求直線．

說明：線段的垂直平分線的實質是一條直線.

（3）線段垂直平分線的性質：

1）線段的垂直平分線定理：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離______.

2）線段的垂直平分線逆定理：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的__________.

說明：線段的垂直平分線定理也就是線段垂直平分線的性質，是證明兩條線段相等的常用方法之一．同

時也給出了引輔助線的方法，“線段垂直平分線，常向兩端把線連”.就是遇見線段的垂直平分線，

畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現相等線段，直接或間接地為構造全等三角形創造條件．

考點4.直角三角形勾股定理及其應用

1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和______斜邊的平方.

如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2b2c2.

2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a，b，c，滿足_______，那么這個三角形是直角三

角形.

3.勾股數：像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個_____，稱為勾股數。

【易錯點提示】

(1)由定義可知，一組數是勾股數必須滿足兩個條件：①滿足a2＋b2＝c2；②都是正整數．兩者缺一不

可．

(2)將一組勾股數同時擴大或縮小相同的倍數所得的數仍滿足a2＋b2＝c2(但不一定是勾股數)，以它們

為邊長的三角形是直角三角形，比如以0.3cm,0.4cm,0.5cm為邊長的三角形是直角三角形．

考點5.直角三角形的性質及計算

1.直角三角形的性質

性質1.直角三角形兩銳角之和等于______。

性質2.直角三角形斜邊上的____等于斜邊的一半。

性質3.直角三角形中，30°角所對的直角邊等于_____的一半。

2.直角三角形的判定

（1）有一個角為_____的三角形是直角三角形。

（2）有兩個角的和是_____的三角形是直角三角形。

（3）一邊上的中線等于這條邊的_____的三角形是直角三角形。

（4）如果三角形的三邊長分別為a,b,c若滿足_______，那么這個三角形為直角三角形。

3.直角三角形面積公式

其中a、b是兩條直角邊的長，c是斜邊長，h是斜邊上的高，S是直角三角形面積。

4.直角三角形相關計算

（1）勾股定理可以直接解決直角三角形中已知兩邊求第三邊的問題；如果只知一邊和另兩邊的關系

時，也可用勾股定理求出未知邊，這時往往要列出方程求解；

（2）用于解決帶有平方關系的證明問題；

（3）與勾股定理有關的面積計算；

（4）勾股定理在實際生活中的應用。

考點1.三角形的相關概念

【例題1】（2024陜西省）如圖，在ABC中，BAC90，AD是BC邊上的高，E是DC的

中點，連接AE，則圖中的直角三角形有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【變式練1】（2024長沙一模）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）

A．1，3，4B．2，2，7C．4，5，7D．3，3，6

【變式練2】（2024湖南婁底一模）若一個三角形的兩邊長分別為2cm，7cm，則它的第三邊的長可

能是（）

A．2cmB．3cmC．6cmD．9cm

【變式練3】（2024黑龍江大慶一模）將一副三角尺按如圖所示的位置擺放，其中O，E，F在直線

l上，點B恰好落在DE邊上，∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．則∠ABE的度數為

（）

A．60°B．65°C．70°D．75°

考點2.三角形中的重要線段

【例題2】（2024四川南充）如圖，在RtABC中，C90，B30，BC6，AD平分CAB

交BC于點D，點E為邊AB上一點，則線段DE長度的最小值為（）

A.2B.3C.2D.3

【變式練1】（2024哈爾濱一模）如圖，嘉琪任意剪了一張鈍角三角形紙片（是鈍角），他打算用

∠?

折疊的方法折出的角平分線、邊上的中線和高線，能折出的是（）

∠???

A．邊上的中線和高線B．的角平分線和邊上的高線

C．??的角平分線和邊上的中線D．∠?的角平分線、??邊上的中線和高線

【變式∠?練2】（2024天?津?一模）如圖，中，∠?，G為??的中點，延長交于點E，F

為上一點，且于點H，下列△判?斷??中，正∠確1=的∠個2數是（??）????

????⊥??

①是的邊上的中線；

②??既△是???的角??平分線，也是的角平分線；

③??既是△???的邊上的高，也△是???的邊上的高．

A．??0△?????B．1△???C．?2?D．3

考點3.等腰三角形以及等邊三角形

【例題3】（2024福建省）小明用兩個全等的等腰三角形設計了一個“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其

中OAB與ODC都是等腰三角形，且它們關于直線l對稱，點E，F分別是底邊AB，CD的中

點，OEOF．下列推斷錯誤的是（）

A.OBODB.BOCAOB

C.OEOFD.BOCAOD180

【變式練1】（2024遼寧沈陽一模）已知等腰三角形的兩邊長分別為4和9，則這個三角形的周長

是（）

A．22B．19C．17D．17或22

【變式練2】（2024山西一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，E為BA延長線上一點，且ED⊥BC

交AC于點F．

（1）求證：△AEF是等腰三角形；

（2）若AB＝13，EF＝12，F為AC中點，求BC的長．

【變式練3】（2024上海一模）如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC．若AD＝4，則△ADE的周長

為．

【變式練4】（2024河北唐山一模）如圖，以O為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OA交于點B，

再以B為圓心，BO長為半徑畫弧，兩弧交于點C，畫射線OC，則∠O的度數為（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

【變式練5】（2024吉林一模）如圖，在中，、的垂直平分線分別交于點、，若

的周長是20，，，則△?的??周長為??（??）????△???

??=4??=7△???

A．4B．7C．9D．11

【變式練6】（2024南京一模）如圖，中，平分，且平分，于，

于．如果，，則Δ????．?∠?????⊥??????⊥?????⊥??

???=5??=3??=

考點4.直角三角形勾股定理及其應用

【例題4】（2024吉林省）圖①中有一首古算詩，根據詩中的描述可以計算出紅蓮所在位置的湖水深

度，其示意圖如圖②，其中ABAB，ABBC于點C，BC0.5尺，BC2尺．設AC的長

度為x尺，可列方程為______．

【變式練1】（2024陜西一模）如圖，在ABC中，ABAC，AD是BC邊的中線，若AB5，

BC6，則AD的長度為________．

【變式練2】（2024武漢一模）在△ABC中，D為BC邊上的點，AB＝13，AD＝12，CD＝9，AC＝15，

求BD的長．

【變式練3】（2024上海一模）如圖，是一農民建房時挖地基的平面圖，按標準應為長方形，他在挖

完后測量了一下，發現AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，請你運用所學知識幫他檢驗一下挖的是

否合格？

考點5.直角三角形的性質及計算

【例題5】（2024廣州）如圖，在ABC中，A90，ABAC6，D為邊BC的中點，點E，

F分別在邊AB，AC上，AECF，則四邊形AEDF的面積為（）

A.18B.92C.9D.62

【變式練1】（2024湖北荊州一模）如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點M與點C被

湖隔開．若測得AB的長為10km，則M，C兩點間的距離為（）

A．3kmB．4kmC．5kmD．6km

【變式練2】（2024貴州黔西南一模）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在線段BC上，且

∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝33，則BD的長度為________．

【變式練3】（2024蘇州一模）如圖，在Rt△ABC中∠ACT=90°，CD是斜邊AB上的中線，AC=4，

CD=3。求直角邊BC的長

考點1.三角形的相關概念

1.（2024黑龍江齊齊哈爾）將一個含30角的三角尺和直尺如圖放置，若150，則2的度數

是（）

A.30B.40C.50D.60

2.（2024四川德陽）如圖是某機械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中ABCD，

DEBC,ABC70，則EDC等于（）

A.10B.20C.30D.40

3.（2024江蘇連云港）如圖，直線ab，直線la，1120，則2__________．

4.（2024四川達州）如圖，在ABC中，AE1，BE1分別是內角CAB、外角CBD的三等分線，

11

且EADCAB，EBDCBD，在ABE中，AE，BE分別是內角EAB，外

13131221

11

角EBD的三等分線．且EADEAB，EBDEBD，…，以此規律作下去．若

1231231

Cm．則En______度．

考點2.三角形中的重要線段

1.（2024四川涼山）如圖，ABC中，BCD30，ACB80，CD是邊AB上的高，AE

是CAB的平分線，則AEB的度數是______．

2.（2024河北?。┤鐖D，ABC的面積為2，AD為BC邊上的中線，點A，C1，C2，C3是線段CC4

的五等分點，點A，D1，D2是線段DD3的四等分點，點A是線段BB1的中點．

△

（1）AC1D1的面積為______；

△

（2）B1C4D3的面積為______．

考點3.等腰三角形以及等邊三角形

1.（2024內蒙古赤峰）等腰三角形的兩邊長分別是方程x210x210的兩個根，則這個三角形的

周長為（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

2.（2024云南省）已知AF是等腰ABC底邊BC上的高，若點F到直線AB的距離為3，則點F

到直線AC的距離為（）

37

A.B.2C.3D.

22

3.（2024安徽?。┤鐖D，在Rt△ABC中，ACBC2，點D在AB的延長線上，且CDAB，

則BD的長是（）

A.102B.62C.222D.226

4.（2024重慶市B）如圖，在ABC中，ABAC，A36，BD平分ABC交AC于點D．若

BC2，則AD的長度為________．

5.（2024湖南?。┮粋€等腰三角形的一個底角為40，則它的頂角的度數是________度．

6.（2024四川遂寧）在等邊ABC三邊上分別取點D、E、F，使得ADBECF，連結三點得

到，易得，設，則

DEFADF≌BED≌CFES△ABC1S△DEF13S△ADF

AD111

如圖①當時，S13

AB2△DEF44

AD121

如圖②當時，S13

AB3△DEF93

AD137

如圖③當時，S13

AB4△DEF1616

……

AD1

直接寫出，當時，S△______．

AB10DEF

7.（2024湖北?。〥EF為等邊三角形，分別延長FD，DE，EF，到點A，B，C，使

DAEBFC，連接AB，AC，BC，連接BF并延長交AC于點G．若ADDF2，則

DBF______，FG______．

8.（2024江蘇常州）如圖，B、E、C、F是直線l上的四點，AC、DE相交于點G，ABDF，ACDE，

BCEF．

（1）求證：GEC是等腰三角形；

（2）連接AD，則AD與l的位置關系是________．

考點4.直角三角形勾股定理及其應用

51

1.（2024四川德陽）寬與長的比是的矩形叫黃金矩形，黃金矩形給我們以協調的美感，世界

2

各國許多著名建筑為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計．已知四邊形ABCD是黃金矩

形．(ABBC)，點P是邊AD上一點，則滿足PBPC的點P的個數為（）

A.3B.2C.1D.0

2.（2024江蘇鹽城）如圖，在ABC中，ACB90，ACBC22，點D是AC的中點，連

接BD，將BCD繞點B旋轉，得到BEF．連接CF，當CF∥AB時，CF________．

3.（2024四川樂山）我國明朝數學家程大位寫過一本數學著作《直指算法統宗》，其中有一道與蕩

秋千有關的數學問題是使用《西江月》詞牌寫的：

平地秋千未起，踏板一尺離地．

送行二步與人齊，五尺人高曾記．

仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．

良工高士素好奇，算出索長有幾？

詞寫得很優美，翻譯成現代漢語的大意是：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進

10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺．（假設秋千的繩索拉的很

直）

（1）如圖1，請你根據詞意計算秋千繩索OA的長度；

（2）如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置OA釋放，秋千擺動到另一側與豎直方向夾角為β

的地方OA，兩次位置的高度差PQh．根據上述條件能否求出秋千繩索OA的長度？如果能，請

用含α、β和h的式子表示；如果不能，請說明理由．

考點5.直角三角形的性質及計算

1.（2024四川南充）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，ABE30，將ABE沿BE

折疊得FBE，連接CF，DF，若CF平分BCD，AB2，則DF的長為_____．

2.（2024江蘇連云港）如圖，在ABC中，C90，B30，AC2．點P在邊AC上，

過點P作PDAB，垂足為D，過點D作DFBC，垂足為F．連接PF，取PF的中點E．在

點P從點A到點C的運動過程中，點E所經過的路徑長為__________．

3.（2024四川成都市）如圖，在Rt△ABC中，C90，AD是ABC的一條角平分線，E為AD

中點，連接BE．若BEBC，CD2，則BD______．

4.（2024黑龍江龍東）如圖，菱形ABCD中，點O是BD的中點，AMBC，垂足為M，AM交

BD于點N，OM2，BD8，則MN的長為（）

453525

A.5B.C.D.

555

5.（2024山東棗莊）一副三角板分別記作ABC和DEF，其中ABCDEF90，

BAC45，EDF30，ACDE．作BMAC于點M，ENDF于點N，如圖1．

（1）求證：BMEN；

（2）在同一平面內，將圖1中的兩個三角形按如圖2所示的方式放置，點C與點E重合記為C，點

A與點D重合，將圖2中的DCF繞C按順時針方向旋轉后，延長BM交直線DF于點P．

①當30時，如圖3，求證：四邊形CNPM為正方形；

②當3060時，寫出線段MP，DP，CD的數量關系，并證明；當60120時，直

接寫出線段MP，DP，CD的數量關系．

考點1.三角形的相關概念

1．已知在△ABC中，AB＝4，BC＝7，則邊AC的長可能是（）

A．2B．3C．4D．11

2.如圖，E為△ABC邊CA邊上一點，過點E作ED∥AB．若∠ABC＝110°，∠CED＝150°，則

∠C＝°．

考點2.三角形中的重要線段

1.在△ABC中，AD為邊BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，則∠BAC是度．

2．如圖，CD，CE，CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，則下列各式中錯誤的是（）

A．AB＝2BFB．∠ACE＝∠ACB

C．AE＝BED．CD⊥BE

3.如圖，AD是△ABC的中線，已知△ABD的周長為25cm，AB比AC長6cm，則△ACD的周長

為（）

A．19cmB．22cmC．25cmD．31cm

考點3.等腰三角形以及等邊三角形

1．已知等腰△ABC中，∠A＝50°，則∠B的度數為（）

A．50°B．65°

C．50°或65°D．50°或80°或65°

2．如圖，在等邊△ABC的底邊BC邊上任取一點D，過點D作DE∥AC交AB于點E，作DF∥AB交AC

于點F，DE＝5cm，DF＝3cm，則△ABC的周長為cm．

3．如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分線交BC于點D，AC的垂直平分線

交BC于點E，則∠DAE＝．

4．如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，

則∠EBC＝．

5.如圖，在中，，邊上的垂直平分線分別交、于點D、E，若的周長是

11，則直線△?上?任?意一?點?到=A4、C??距離和最小為（）????△???

??

A．28B．18C．10D．7

6．如圖，在△ABC中，BD、AE分別是AC、BC邊上的高，它們相交于點F，且AF＝BC．

求證：△ABD