2025年中考數學一輪復習學案（全國版）

第三章函數

3.1函數初步

考點分布考查頻率命題趨勢

考點1平面直角坐標系內點的坐數學中考中，有關函數初步的部分，每年考查

☆☆

標特征1道題或者滲透在其他問題里，,分值為6分

左右，通常以選擇題、填空題出現。對于這

考點2函數及自變量的取值范圍☆☆

部分知識的復習需要學生熟練掌握函數的自

考點3函數圖象及其應用☆☆

變量取值范圍，函數圖像的應用。能根據給出

考點4函數圖象的分析與判斷☆☆的函數表達式，畫出函數的圖像。

☆☆☆代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。

夯實基礎

考點1.平面直角坐標系內點的坐標特征

1.各象限點的坐標特點

①第一象限的點：橫坐標___0，縱坐標___0；

②第二象限的點：橫坐標__0，縱坐標___0；

③第三象限的點：橫坐標___0，縱坐標___0；

④第四象限的點：橫坐標___0，縱坐標___0。

2.坐標軸上點的坐標特點

①x軸正半軸上的點：橫坐標____0，縱坐標___0；

②x軸負半軸上的點：橫坐標___0，縱坐標___0；

③y軸正半軸上的點：橫坐標____0，縱坐標___0；

④y軸負半軸上的點：橫坐標___0，縱坐標____0；

⑤坐標原點：橫坐標____0，縱坐標____0。

3．對稱點的坐標特點

①關于x軸對稱的兩個點，橫坐標____，縱坐標_____；

②關于y軸對稱的兩個點，縱坐標_____，橫坐標______；

③關于原點對稱的兩個點，橫坐標、縱坐標分別_______。

4.平移前后，點的坐標的變化規律

（1）點(x，y)左移a個單位長度后點的坐標為：________；

（2）點(x，y)右移a個單位長度后點的坐標為：_________；

（3）點(x，y)上移a個單位長度后點的坐標為：_________；

（4）點(x，y)下移a個單位長度后點的坐標為：________．

【口訣記憶】正向右負向左，正向上負向下．

考點2.函數及自變量的取值范圍

1.函數的定義

（1）一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的____，y都有

唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是________，y是x的函數．

（2）對函數定義的理解，主要抓住以下4點：

①有____個變量．

②函數_____數，函數的本質是對應，函數關系就是_____之間的對應關系，且是一種特殊的對應關系，

一個變量的數值隨著另一個變量數值的變化而變化．

③函數的定義中包括了對應值的_____性和_____性兩重意思，即對自變量的每一個確定的值，函數有

且只有一個值與之對應，對自變量x的不同取值，y的值可以______。

④在某個變化過程中處于主導地位的變量即為自變量，隨之變化且對應值有唯一確定性的另一個變量

即為該自變量的函數.

（2）函數取值范圍的確定

使函數有意義的自變量的取值的______叫做自變量的取值范圍，函數自變量的取值范圍的確定必須考

慮兩個方面：①不同類型的函數關系式中自變量取值范圍的求解方法；②當用函數關系式表示實際問

題時，自變量的取值不但要使_______有意義，而且還必須使_______有意義．

【溫馨提醒】求函數自變量的取值范圍注意的幾點

①整式型：自變量取全體實數；

②分式型：自變量取值要使分母不為0；

③二次根式型：自變量取值要使被開方數大于等于0.對于具有實際意義的函數，自變量取值范圍還

應使實際問題有意義

2.函數解析式及函數值

（1）函數解析式：用關于自變量的數學式子表示______與_____之間的關系，是描述函數的常用方法，

這種式子叫做函數的解析式．

注意：①函數解析式是等式．②函數解析式中指明了哪個是自變量，哪個是函數，通常等式右邊的代

數式中的變量是自變量，等式左邊的變量表示函數．③書寫函數的解析式是有順序的．④用數學式子

表示函數的方法叫做解析式法．

（2）函數值：對于自變量x在_____內的某個確定的值a，函數y所對應的值為b，即當x=a，y=b時，

b叫做自變量x的值為a時的函數值．

3.函數的表示方法

函數的表示方法一般有三種：______法、______法和_____法。

表示函數關系時，要根據具體情況選擇適當的方法，有時為了全面地認識問題，需要幾種方法同時使

用。

考點3.函數圖象及其應用

1.函數的圖象及其畫法

一般地，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面

內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象．

畫函數的圖象，可以運用描點法，其一般步驟如下：

①______：表中列舉一些自變量的值及其對應的函數值，自變量的取值不應使函數值太大或太小，以

便于描點，點數一般以5到7個為宜．

②_______：在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對

應的各點．描點時，要注意橫、縱坐標的符號與點所在的象限（或坐標軸）之間的關系，描出的點大

小要適中，位置要準確．

③______：按照橫坐標由小到大的順序，把所描出的各點用平滑曲線連接起來．

2.函數的圖象的功能

1．函數圖象上的任意點（x，y）中的x，y滿足函數______。

2．滿足函數解析式的任意一對（x，y）的值，所對應的點一定在函數的____上。

3．利用函數圖象可以求______的解、______的解集、______的解，還可以預測____的變化趨勢。

考點4.函數圖象的分析與判斷

類型1.根據函數性質判斷函數圖象

(1)若題目中明確給出一個函數的圖象，則根據函數圖象及函數圖象上的點得出函數解析式中未知系

數的值或取值范圍，進而可判斷出所求函數的大致圖象；

（2）若題目中未給出任何一個函數的圖象，則要根據題目中給出的交點條件，判斷函數圖象大致所

在象限，再將交點坐標分別代入題干中的函數解析式中，即可得出函數解析式中未知系數的值或取值

范圍，進而可判斷出所求函數的大致圖象；

類型2.分析實際問題判斷函數圖象

1.找起點（明確自變量和因變量）

2.找特殊點（交點或者轉折點）

3.判斷圖象的趨勢

4.看是否與坐標軸相交

類型3.分析幾何圖形動態問題判斷函數圖象

此類函數是由分段函數組成，解題的關鍵是認真分析題意，弄清每一段上的函數值是如何隨自變

量變化而變化的，在解決此類問題時，有時需要先求出函數的關系式再進行判斷。具體方法：

方法一：趨勢判斷法.根據幾何圖形的構造特點，對動點運動進行分段，并判斷每段對應函數圖象的

增減變化趨勢；

方法二：解析式計算法.根據題意求出每段的函數解析式，結合解析式對應的函數圖象進行判斷；

方法三：定點求值法.結合幾何圖形特點，在點運動的拐點、垂直點、特殊點處求出函數值，對選項

進行排除；

方法四：范圍排除法.根據動點的運動過程，求出兩個變量的變化范圍，對選項進行排除．

【易錯點提示】動點問題函數的圖像

1．動點問題多數情況下會與分類討論的數學思想及方程、函數思想結合起來進行．

2．把動點產生的線段長用時間變量t表示出來以后，動點問題就“靜態化”處理了．

考點1.平面直角坐標系內點的坐標特征

【例題1】（2024廣西）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點P的坐標為2,1，則點

Q的坐標為（）

A.3,0B.0,2C.3,2D.1,2

【變式練1】（2024杭州一模）在平面直角坐標系的第二象限內有一點P，點P到x軸的距離為4，到

y軸的距離為5，則點P的坐標是（）

A．，B．C．，D．

【變(4式練?25】)（2024濟南一(5模,?）4在)平面直角坐標系(中?4，若5點)A（a，﹣b）(在?第5,三4)象限，則點B（﹣ab，

b）所在的象限

是（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【變式練3】（2024沈陽一模）點P(m，2)在第二象限內，則m的值可以是(寫出一個即可)______．

考點2.函數及自變量的取值范圍

【例題2】（2024甘肅威武）如圖1，“燕幾”即宴幾，是世界上最早的一套組合桌，由北宋進士

黃伯思設計．全套“燕幾”一共有七張桌子，包括兩張長桌、兩張中桌和三張小桌，每張桌面的寬都

相等．七張桌面分開可組合成不同的圖形．如圖2給出了《燕幾圖》中名稱為“回文”的桌面拼合方

式，若設每張桌面的寬為x尺，長桌的長為y尺，則y與x的關系可以表示為（）

A.y3xB.y4xC.y=3x+1D.y4x1

【變式練1】（2024安徽一模）關于變量說法正確的是（）

A.在一個變化過程中可以取不同數值的量叫變量；

B.在一個變化過程中只能取同一數值的量叫變量；

C.在一個變化過程中可以取同一數值的量叫變量；

D.在一個變化過程中只能取同一數值的量叫變量。

【變式練2】（2024湖南一模）已知函數y＝，若y＝2，則x＝．

【變式練3】（2024福建一模）在函數y＝中，自變量x的取值范圍是．

【變式練4】（2024海南一模）在函數中，自變量x的取值范圍是．

11

考點3.函數圖象及其應用?=??1+??2

【例題3】（2024甘肅臨夏）如圖1，矩形ABCD中，BD為其對角線，一動點P從D出發，沿著

DBC的路徑行進，過點P作PQCD，垂足為Q．設點P的運動路程為x，PQDQ為y，

y與x的函數圖象如圖2，則AD的長為（）

811

A.42B.C.73D.

3344

【變式練1】（2024自貢一模）如圖1，小亮家、報亭、羽毛球館在一條直線上．小亮從家跑步到羽

毛球館打羽毛球，再去報亭看報，最后散步回家．小亮離家距離y與時間x之間的關系如圖2所示．下

列結論錯誤的是（）

A．小亮從家到羽毛球館用了7分鐘

B．小亮從羽毛球館到報亭平均每分鐘走75米

C．報亭到小亮家的距離是400米

D．小亮打羽毛球的時間是37分鐘

【變式練2】（2024北京一模）如圖①所示，矩形ABCD中，動點P從點B出發，沿BC、CD、DA運動

至點A停止，設點P運動的路程為x，△ABP的面積為y，y關于x的函數圖象如圖②所示．

(1)求矩形ABCD的面積；

(2)求點M、點N的坐標；

1

(3)如果△ABP的面積為矩形ABCD面積的，求滿足條件的x的值．

5

考點4.函數圖象的分析與判斷

【例題4】（2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，在等腰Rt△ABC中，BAC90，AB12，動點E，

F同時從點A出發，分別沿射線AB和射線AC的方向勻速運動，且速度大小相同，當點E停止運動

時，點F也隨之停止運動，連接EF，以EF為邊向下做正方形EFGH，設點E運動的路程為

x0x12，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數

關系的是（）

A.B.C.D.

【變式練1】（2024大連一模）李強同學去登山，先勻速登上山頂，原地休息一段時間后，又勻速下

山，上山的速度小于下山的速度．在登山過程中，他行走的路程S隨時間t的變化規律的大致圖象

是（）

A．B．

C．D．

【變式練2】（2024天津一模）為了節能減排，鼓勵居民節約用電，某市將出臺新的居民用電收費標

準：(1)若每戶居民每月用電量不超過100度，則按0.50元/度計算；(2)若每戶居民每月用電量超過

100度，則超過部分按0.80元/度計算(未超過部分仍按每度電0.50元計算)．現假設某戶居民某月

用電量是x(單位：度)，電費為y(單位：元)，則y與x的函數關系用圖象表示正確的是()

考點1平面直角坐標系內點的坐標特征（含坐標與圖形）

1.在平面直角坐標系中，點P1,2關于原點的對稱點P'的坐標是()

A.1,2B.(-1,2)C.(1,-2)D.1,2

2.（2024四川成都市）在平面直角坐標系xOy中，點P1,4關于原點對稱的點的坐標是（）

A.1,4B.1,4C.1,4D.1,4

3.（2024四川涼山）點Pa,3關于原點對稱的點是P2,b，則ab的值是（）

A.1B.1C.5D.5

4.（2024湖南長沙）在平面直角坐標系中，將點P3,5向上平移2個單位長度后得到點P的坐標

為（）

A.1,5B.5,5C.3,3D.3,7

5.（2024江西省）在平面直角坐標系中，將點A1,1向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位

長度得到點B，則點B的坐標為______．

6.（2024湖南省）在平面直角坐標系xOy中，對于點Px,y，若x，y均為整數，則稱點P為“整

y

點”．特別地，當（其中xy0）的值為整數時，稱“整點”P為“超整點”，已知點P2a4,a3

x

在第二象限，下列說法正確的是（）

A.a3B.若點P為“整點”，則點P的個數為3個

C.若點P為“超整點”，則點P的個數為1個D.若點P為“超整點”，則點P到兩坐標軸的

距離之和大于10

7.（2024河北省）平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都是整數，且橫、縱坐標之和大于0的點

稱為“和點”．將某“和點”平移，每次平移的方向取決于該點橫、縱坐標之和除以3所得的余數（當

余數為0時，向右平移；當余數為1時，向上平移；當余數為2時，向左平移），每次平移1個單位

長度．

例：“和點”P2,1按上述規則連續平移3次后，到達點P32,2，其平移過程如下：

若“和點”Q按上述規則連續平移16次后，到達點Q161,9，則點Q的坐標為（）

A.6,1或7,1B.15,7或8,0C.6,0或8,0D.5,1或7,1

8.（2024貴州省）為培養青少年的科學態度和科學思維，某校創建了“科技創新”社團．小紅將“科”

“技”“創”“新”寫在如圖所示的方格紙中，若建立平面直角坐標系，使“創”“新”的坐標分別

為2,0，0,0，則“技”所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.（2024河北省）在平面直角坐標系中，我們把一個點的縱坐標與橫坐標的比值稱為該點的“特征

值”．如圖，矩形ABCD位于第一象限，其四條邊分別與坐標軸平行，則該矩形四個頂點中“特征

值”最小的是（）

A.點AB.點BC.點CD.點D

10.（2024河南省）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的邊AB在x軸上，點A的坐標

為2，0，點E在邊CD上．將BCE沿BE折疊，點C落在點F處．若點F的坐標為0，6，則點

E的坐標為___________．

11.（2024甘肅臨夏）如圖，在ABC中，點A的坐標為0,1，點B的坐標為4,1，點C的坐

標為3,4，點D在第一象限（不與點C重合），且△ABD與ABC全等，點D的坐標是______．

12.（2024甘肅威武）敦煌文書是華夏民族引以為傲的藝術瑰寶，其中敦煌《算經》中出現的《田

積表》部分如圖1所示，它以表格形式將矩形土地的面積直觀展示，可迅速準確地查出邊長10步到

60步的矩形田地面積，極大地提高了農田面積的測量效率．如圖2是復原的部分《田積表》，表中

對田地的長和寬都用步來表示，A區域表示的是長15步，寬16步的田地面積為一畝，用有序數對記

為15,16，那么有序數對記為12,17對應的田地面積為（）

A.一畝八十步B.一畝二十步C.半畝七十八步D.半畝八十四步

考點2函數及自變量的取值范圍

2x

1.（2024上海市）函數f(x)的定義域是（）

x3

A.x2B.x2C.x3D.x3

4

2.（2024江蘇揚州）在平面直角坐標系中，函數y的圖像與坐標軸的交點個數是（）

x2

A.0B.1C.2D.4

3.（2024廣西）激光測距儀L發出的激光束以3105kms的速度射向目標M，ts后測距儀L收到

M反射回的激光束．則L到M的距離dkm與時間ts的關系式為（）

3105

A.dtB.d3105tC.d23105tD.d3106t

2

11

4.（2024黑龍江齊齊哈爾）在函數y中，自變量x的取值范圍是______．

3xx2

考點3函數圖象及其應用

1.（2024河南省）把多個用電器連接在同一個插線板上，同時使用一段時間后，插線板的電源線

會明顯發熱，存在安全隱患．數學興趣小組對這種現象進行研究，得到時長一定時，插線板電源線中

的電流I與使用電器的總功率P的函數圖象（如圖1），插線板電源線產生的熱量Q與I的函數圖象

（如圖2）．下列結論中錯誤的是（）

A.當P440W時，I2AB.Q隨I的增大而增大

C.I每增加1A，Q的增加量相同D.P越大，插線板電源線產生的熱量Q越多

2.（2024廣州）一個人的腳印信息往往對應著這個人某些方面的基本特征．某數學興趣小組收集了

大量不同人群的身高和腳長數據，通過對數據的整理和分析，發現身高y和腳長x之間近似存在一個

函數關系，部分數據如下表：

腳長

…232425262728…

x(cm)

身高

…156163170177184191…

y(cm)

（1）在圖1中描出表中數據對應的點(x,y)；

k

（2）根據表中數據，從yaxb(a0)和y(k0)中選擇一個函數模型，使它能近似地反映

x

身高和腳長的函數關系，并求出這個函數的解析式（不要求寫出x的取值范圍）；

（3）如圖2，某場所發現了一個人的腳印，腳長約為25.8cm，請根據（2）中求出的函數解析式，

估計這個人的身高．

考點4函數圖象的分析與判斷

1.（2024四川資陽）小王前往距家2000米的公司參會，先以v0（米/分）的速度步行一段時間后，

再改騎共享單車直達會議地點，到達時距會議開始還有14分鐘，小王距家的路程S（單位：米）與

距家的時間t（單位：分鐘）之間的函數圖象如圖所示．若小王全程以v0（米/分）的速度步行，則

他到達時距會議開始還有________分鐘．

2.（2024江西省）將常溫中的溫度計插入一杯60℃的熱水（恒溫）中，溫度計的讀數y℃與時

間xmin的關系用圖象可近似表示為（）

A.B.C.D.

3.（2024山東煙臺）如圖，水平放置的矩形ABCD中，AB6cm，BC8cm，菱形EFGH的

頂點E，G在同一水平線上，點G與AB的中點重合，EF23cm，E60，現將菱形EFGH

以1cm/s的速度沿BC方向勻速運動，當點E運動到CD上時停止，在這個運動過程中，菱形EFGH

與矩形ABCD重疊部分的面積Scm2與運動時間ts之間的函數關系圖象大致是（）

A.B.

C.D.

4.（2024甘肅威武）如圖1，動點P從菱形ABCD的點A出發，沿邊ABBC勻速運動，運動到

點C時停止．設點P的運動路程為x，PO的長為y，y與x的函數圖象如圖2所示，當點P運動到BC

中點時，PO的長為（）

A.2B.3C.5D.22

5.（2024武漢市）如圖，一個圓柱體水槽底部疊放兩個底面半徑不等的實心圓柱體，向水槽勻速注

水．下列圖象能大致反映水槽中水的深度h與注水時間t的函數關系的是（）

A.B.C.D.

6.（2024山東威海）同一條公路連接A，B，C三地，B地在A，C兩地之間．甲、乙兩車分別

從A地、B地同時出發前往C地．甲車速度始終保持不變，乙車中途休息一段時間，繼續行駛．下

圖表示甲、乙兩車之間的距離y（km）與時間x（h）的函數關系．下列結論正確的是（）

8

A.甲車行駛h與乙車相遇B.A，C兩地相距220km

3

C.甲車的速度是70km/hD.乙車中途休息36分鐘

考點1平面直角坐標系內點的坐標特征（含坐標與圖形）

1．在平面直角坐標系中，點A（a，2）與點B（6，b）關于原點對稱，則ab=________．

2．在平面直角坐標系中，點（3，2）關于x軸對稱的點的坐標為（）

A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）

3.在平面直角坐標系的第二象限內有一點P，點P到x軸的距離為4，到y軸的距離為5，則點P的

坐標是（）

A．，B．C．，D．

4．(點4A的?坐5)標是（2，﹣3(）5,，?將4)點A向上平移4(個?單4位5長)度得到點A'，(則?點5,4A)'的坐標為_____．

5．在如圖所示的方格紙上建立適當的平面直角坐標系，若點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（2，

2），則點C的坐標為．

6．如圖，△A1B1C1是△ABC向右平移4個單位長度后得到的，且三個頂點坐標分別為A1（1，1），B1

（4，2），C1（3，4）．（1）請畫出△ABC，并寫出點A、B、C的坐標；（2）求出△COA1的面積．

考點2函數及自變量的取值范圍

1.在函數中，自變量x的取值范圍是．

x

y=5x+3

2．函數y的自變量x的取值范圍是（）

A．x≠5B．x＞2且x≠5C．x≥2D．x≥2且x≠5

考點3函數圖象及其應用

1.某超市糯米的價格為5元/千克，端午節推出促銷活動：一次購買的數量不超過2千克時，按原價

售出，超過2千克時，超過的部分打8折．若某人付款14元，則他購買了千克糯米；設某人

的付款金額為元，購買量為千克，則購買量關于付款