2025年中考數學總復習《圖形的相似》專項測試卷含答案

學校:班級：姓名：考號：

一.選擇題（共10小題）

1.（2024秋?濱湖區期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,點E、尸分別在邊A。、BC上，將矩

形沿著￡尸翻折,點2恰好落在CD邊上的點8處,如果四邊形與四邊形EFCD的面積比為7：9,

那么線段FC的長為（）

33_883153^15

A.-B.一或一C.一或一D.一或一

2255828

2.（2024秋?杭州期末）黃金分割是大自然的基本規律，比如植物葉片按照黃金分割的規律進行排列.如

圖，點B是AC的黃金分割點（AB>BC）,若AC的長度為8cm,那么BC的長度是（）

A

B

C

A.4V5-8B.4V5-4C.4V5+4D.12-4A/5

3.（2024秋?無錫期末）如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,過點8作垂足為8,且8。=4,

連接CD,與AB相交于點過點M作血/AUCB,垂足為N.若AC=3,則MN的長為（）

4.（2024秋?連平縣期末）如圖，△ABC與B'C'位似，點O為位似中心，若△ABC的周長等于△

_1

A'B'C周長的一.AO=2,則OA'的長度為（）

4

5.（2024秋?武侯區期末）下列說法正確的是（）

A.任意兩個矩形都相似

B.方程7-2x=x-5有實數根

C.反比例函數圖象是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形

D.甲、乙兩人在太陽光下的水平道路上行走，同一時刻他們的身高與其影長的比相等

6.（2024秋?連平縣期末）如圖是小明設計利用光線來測量某古城墻高度的示意圖，如果鏡子尸與古

城墻的距離PD=12米，鏡子P與小明的距離BP=1.5米，小明剛好從鏡子中看到古城墻頂端點C,小

明的眼睛距地面的高度42=1.2米，解決本題應用了什么光學知識，該古城墻的高度是（）

C

工

工

工

工

工

B1P...........D.

A.光的反射，9.6米B.光的折射，9.6米

C.光沿直線傳播，8米D.光的反射，24米

.CD2CE

1.（2024秋?連平縣期末）如圖，在△4BC中，DE//AB,且一=則一的值（）

BD3CA

8.（2025?嘉定區一模）如圖，兩條不平行的直線A與直線/2相交于點。，四條平行線分別交直線71于點

A、B、C、D,分別交直線/2于點4、Bi、Ci、Di，則有44i〃BBi〃CCi〃DDi，如果40=3,OB\

=BiCi=2,CiDi=4,那么在下列結果中，線段之差最大的是（）

A.BD-ABB.0C-0AC.0C-CDD.CD-OB

9.（2024秋?溫州期末）一把放縮尺如圖所示，當畫筆A沿圖形尸運動時，畫筆A'隨之畫出放大后的位

似圖形尸'.若位似比為1：3,圖形尸的周長是4,則圖形尸的周長是（）

A.2B.8C.12D.16

10.（2024秋?南通期末）如圖，在△A2C中，AB^AC=5,BC=VTU,點E為邊AC上的點，且CE=2,

點E關于邊AB的對稱點為點凡連接CR則CF的長為（）

8A/10

A.2V5B.5c.----D.2V10

5

二.填空題（共5小題）

11.（2024秋?成都期末）如圖，在RtzXABC中，ZC=90°,DE//BC,。為AC的中點，尸為CD上一點，

連接將沿折疊得到△BGP,點C的對應點G落在線段DE上，若GE=2DG=4,貝l]AC

的值為

在13ABeD中，過AC上的點。作MN〃ASPQ//AD,M、N、P、。均

在平行四邊形的邊上，旦CN=3BN,SKON=9,則四邊形。MOQ的面積為.

13.（2024秋?武侯區期末）在如圖所示的“五角星”圖案中，C、D兩點都是線段A3的黃金分割點，若

,。是BC邊上一點，BD=2DC,

CE

連結皿點E在線段仞上，若/BEC=135。，則而的值為

15.（2024秋?寒亭區期末）如圖，小瑩用自制直角三角紙板測量“觀光塔”的高度，她調整自己的位置，

設法使斜邊4B保持水平，邊AC與點E在同一直線上.已知直角三角紙板中，AC=24cm,BC=18cm,

測得點A離地面的高度為15",小瑩與“觀光塔”的水平距離A8為178相，則“觀光塔”的高度跖

是m

三.解答題(共5小題)

4

16.(2025?黃浦區一模)已知平行四邊形ABCO中，AB=9,BC=5,sinB=尸是邊AB上一動點，過

FP2

點P作PEL尸C,交射線CD于點E,交AC于點兄尸是PE上的點，—=聯結CH

(1)求證：ZBAC=ZPCF；

(2)當△APCsZ\￡FC時，求線段3尸的長；

(3)當包竺=工時，求”的值.

SAPHC3AC

17.(2025?楊浦區一模)已知：如圖，ZkABC中，ZA=90°,點。是AB邊上一點，過點8作BE_LCD

交CD延長線于點E,AD?BC=BE?CD.

(1)求證：BE2=ED?EC；

18.(2024秋?寧波期末)如圖是由邊長為1的小正方形組成的4X4的網格，每個小正方形的頂點叫做格

點AABC三個頂點都是格點.僅用無刻度的直尺在給定網格中完成兩個畫圖任務.

(1)在圖1中，畫△EAC,使點E在格點上，且與△ABC相似；(只需畫出一個即可)

(2)在圖2中，線段上找一點D,使BD：DA=1：2.

AA

JBeB

圖1圖2

19.(2024秋?墊江縣期末)如圖，已知在直角△A3C中，ZABC=90°,E為AC邊上一點，連接BE,過

E作ED_LAC,交BC邊于點D

Az

(1)如圖1,連接AD,若CE=2,BD=3<2,ZC=45°,求△ADE的面積；

(2)如圖2,作/4BC的角平分線交AC于點F,連接DF,若/BDE=/CDF,求證：AE+DE=五BE；

(3)如圖3,若NC=3O°,將ABCE沿BE折疊，得到且8尸與AC交于點G,連接AD,DF,

DF

點E在AC邊上運動的過程中，當BfUAC時，直接寫出一的值.

DA

20.(2024秋?武侯區期末)如圖是凸透鏡成像示意圖，蠟燭48通過凸透鏡所成的像是C。，點。是

凸透鏡的中心，光線AE〃B。，點廠是凸透鏡的焦點，已知焦距。P的長為10cm,蠟燭AB的長為8cm,

點、D,B,O,尸在同一條直線上.

(1)如圖1,當蠟燭通過該凸透鏡成正立放大的虛像CZ)時，若。B=6cm.

CA

(0填空：而的值為；

(ii)求此時虛像CD的高度；

(2)如圖2,當蠟燭通過該凸透鏡成倒立縮小的實像CD,且CO=楙時，求此時物距的長.

4

參考答案與試題解析

題號12345678910

答案DDCCDADDCc

選擇題(共10小題)

1.(2024秋?濱湖區期末)如圖，在矩形ABC。中，AB=3,8c=4,點E、尸分別在邊A。、BC±,將矩

形沿著EF翻折,點2恰好落在CD邊上的點8處,如果四邊形ABPE與四邊形EFCD的面積比為7：9,

那么線段FC的長為()

33-88—153J5

A.-B.習或gC.^D.一或一

25828

【考點】相似三角形的判定與性質；矩形的性質；翻折變換(折疊問題).

【專題】矩形菱形正方形；圖形的相似；幾何直觀；運算能力；推理能力.

【答案】D

【分析】連接38,過點尸作FHLBC交AO于點“，證明四邊形是矩形，則C"=CZ)=3,CF

=DH,先求出四邊形EFCD的面積S=再證明和△2C8相似得——=一=-，設EH=3a,

4B'CBC4

B'C=4a,FC=x,BF=4-x,在RtZ\CB尸中，由勾股定理得(4-x)2=?+(4a)2,貝!Jx=2-2c?,

DH=FC=2-2a2,DE=2-2cr+3a,四邊形EFCD的面積S=1(DE+FC)?CD=1(4+3。-4a2),進而

得2(4+3a-4a2)=?，由此解出解得a=J,a=\,進而即可得出線段FC的長.

24Z4

【解答】解：連接39,過點尸作由交于點//,如圖所示:

:四邊形ABCD是矩形，AB=3,BC=4,

.,.AD—BC=4,CD=AB=3,ZC=ZD=90°,S矩形ABCD=12,

:.NC=ND=/CFH=NBFH=90°,

.,?四邊形CFHD是矩形，

：.CH=CD=3,CF=DH,ZFHD=ZFHE=90°,

設四邊形EFCD的面積為S,則四邊形ABFE的面積為12-S,

:四邊形ABFE與四邊形EFCO的面積比為7：9,

(12-S)：5=7：9,

解得：S=竿,

由翻折的性質得：EFLBB,,BF=B'F,

；?/CBB*/BFE=90°,

VZBFE+ZHFE=ZBFH=90°,

：.NCBB』NHFE,

又?：/FHE=/C=90°,

.HEFH3

??BrC~BC~4

???設石H=3〃，B'C=4a,

設FC=x,則BF=B，F=BC-尸C=4-x,

在RtZXCB戶中，由勾股定理得：B'F2=FC2+B'C2,

(4-X)2=f+(4〃)2,

解得：x=2-2a2,

:.DH=FC=2-2/,

:?DE=DH+EH=2-2?2+3?,

，四邊形EFCD的面積S=1(DE+FCACD=1(2-2a2+3a+2-2a2)X3=1(4+3a-4a2),

327

???一(4+3。-4〃2)=—,

24

整理得：8。2-6。+1=0,

解得：a=3〃=4，

當a=2時，FC=2-2/=2-2x(1)2=

當〃=彳時，FC=2~2a2=2-2XQ)?=-g->

315

綜上所述：線段PC的長為:或二.

28

故選：D.

【點評】此題主要考查了相似三角形的判定與性質，矩形的性質，圖形的翻折變換及其性質，理解矩形

的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質，圖形的翻折變換及其性質，靈活運用相似的性質，勾股定

理構造方程是解決問題的關鍵.

2.(2024秋?杭州期末)黃金分割是大自然的基本規律，比如植物葉片按照黃金分割的規律進行排列.如

圖，點2是AC的黃金分割點(AB>BC),若AC的長度為8c%,那么BC的長度是()

A

B

C

A.4V5-8B.4V5-4C.4V5+4D.12-4V5

【考點】黃金分割.

【專題】運算能力.

【答案】D

【分析】根據黃金分割的定義進行計算即可.

【解答】解：：點B是AC的黃金分割點，且AB>BC,

.ABV5-1

"AC—2'

又：AC=8的，

.".AB=(4A/5—4)cm,

：.BC=AC-AB^S-（4V5-4）=（12—4時）cm.

故選：D.

【點評】本題主要考查了黃金分割，熟知黃金分割的定義是解題的關鍵.

3.（2024秋?無錫期末）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,過點B作垂足為B,且8。=4,

連接CD,與AB相交于點過點M作皿NLC8,垂足為N.若AC=3,則MN的長為（）

【考點】相似三角形的判定與性質.

【專題】圖形的相似；運算能力.

【答案】C

【分析】由NACB=90°,BDLCB,MNLCB得AC//MN//BD,可得ABMNS^\BAC,ACW^A

MNBNMNCNMNMN

CDB,從而得=-7，=-把兩式相加得+=1,從而求出MN的長度.

ACBCBDBC34

【解答】解：VZACB=90°,BD±CB,MN±CB,

J.AC//MN//BD,

MBMNsdBAC,dCMNsACDB,

.MNBNMNCN

"ACBC'BD—BC'

MNMNBNCN

----+=+—=1,

ACBDBCBC

MNMN

,,,+=],

34

12

：.MN=芋，

故選：c.

【點評】本題主要考查了三角形相似的判定和性質.三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在

判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的

作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形.

4.（2024秋?連平縣期末）如圖，△ABC與△△'B'C'位似，點O為位似中心，若△ABC的周長等于△

1

4，"，周長的「。=2,則。4，的長度為（）

【考點】位似變換.

【專題】圖形的相似；運算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】根據位似的性質可得△ABCs/kA'B'C,且AC〃A'C,結合周長比進而可得相似比為

4c1

1：4,即有——=再證明△AOCs/vTOC,問題得解.

AtO4

【解答】解：:△ABC與B'C，位似，

AAABC^AA7B'C,S.AC//A1C,

1

「△ABC的周長等于AA'BrC周長的一，

4

???相似比為1：4,

.AC1

??心—4’

U：AC//ArC,

AAAOC^AA7OC,

eAOAC1

**ArOAiCr4'

???AO=2,

；.。4=竿=8,

4

故選：C.

【點評】本題考查的是位似變換、相似三角形的性質，掌握相似三角形的周長比等于相似比是解題的關

鍵.

5.（2024秋?武侯區期末）下列說法正確的是（）

A.任意兩個矩形都相似

B.方程7-2x=x-5有實數根

C.反比例函數圖象是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形

D.甲、乙兩人在太陽光下的水平道路上行走，同一時刻他們的身高與其影長的比相等

【考點】相似多邊形的性質；平行投影；根的判別式；反比例函數的應用；矩形的性質；軸對稱圖形;

中心對稱圖形.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】D

【分析】分別根據相似多邊形的性質，根的判別式，反比例函數的性質，矩形的性質，軸對稱圖形及中

心對稱圖形的定義，平行投影對各選項進行逐一分析即可.

【解答】解：A、任意兩個矩形不一定相似，原說法錯誤，不符合題意；

B、方程x2-2x=x-5可化為/-3x+5=0,

b=-3,c=5,

：.A=（-3）2-4XlX5=9-20=-11<0,

此方程無實數根，原說法錯誤，不符合題意；

C、反比例函數圖象是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，原說法錯誤，不符合題意；

。、甲、乙兩人在太陽光下的水平道路上行走，同一時刻他們的身高與其影長的比相等，正確，符合題

后、，

故選：D.

【點評】本題考查的是相似多邊形的性質，根的判別式，反比例函數的性質，矩形的性質，軸對稱圖形

及中心對稱圖形的定義，平行投影，熟知以上知識是解題的關鍵.

6.（2024秋?連平縣期末）如圖是小明設計利用光線來測量某古城墻CZ）高度的示意圖，如果鏡子尸與古

城墻的距離PD=12米，鏡子P與小明的距離BP=1.5米，小明剛好從鏡子中看到古城墻頂端點C,小

明的眼睛距地面的高度42=1.2米，解決本題應用了什么光學知識，該古城墻的高度是（）

C

工

工

工

A工

工

B,P-D

A.光的反射，9.6米B.光的折射，9.6米

C.光沿直線傳播，8米D.光的反射，24米

【考點】相似三角形的應用.

【專題】圖形的相似；應用意識.

【答案】A

【分析】根據題意得到/ABP=/CDP=90°,由光的反射定律可知則可證明△AP8

CDPD

sACPD,得到一=——，據此代入數值計算即可.

ABPB

【解答】解：由題意得：AB±BD,DCLBD,

：.ZABP=ZCDP=9Q°,

由光的反射定律可知NAP3=NCPD,

XAPBsXCPD,

.CDPD

??—,

ABPB

???尸0=12米，BP=1.5米，AB=1.2米，

.CD12

??—,

1.21.5

.,.CO=9.6米，

故選：A.

【點評】本題主要考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的判定定理是解答本題的關鍵.

CD2CE

7.（2024秋?連平縣期末）如圖，在△A2C中，DE//AB,且一=一,則一的值（）

BD3CA

【考點】平行線分線段成比例.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力.

【答案】D

【分析】根據平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可.

CD2

【解答】解：f

BD3

.CD2

?——，

CB5

'：DE//AB,

.CECD2

""CA~CB~5'

故選：D.

【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵.

8.（2025?嘉定區一模）如圖，兩條不平行的直線A與直線八相交于點O，四條平行線分別交直線于點

A、B、C、D,分別交直線/2于點4、Bi、Ci、Di，則有〃CCi〃DDi，如果40=3,OB]

=BiCi=2,CiDi=4,那么在下列結果中，線段之差最大的是（）

A.BD-ABB.0C-0AC.0C-CDD.CD-OB

【考點】平行線分線段成比例.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力.

【答案】D

【分析】根據平行線分線段成比例定理進行判斷便可.

【解答】解：由題知，

\'AAi//BBi，40=3,0Bi=2,

.0A0Ar3

,,0B-0B1-2

則令0A=3%,OB=2k.

同理可得，BC=2k,CD=4k,

：.BD-AB=k,0C-0A=k,0C-C￡）=0,CD-0B=2k,

顯然2%為差值最大的一個.

故選：D.

【點評】本題主要考查了平行線分線段成比例，熟知平行線分線段成比例是解題的關鍵.

9.（2024秋?溫州期末）一把放縮尺如圖所示，當畫筆A沿圖形/運動時，畫筆A'隨之畫出放大后的位

似圖形尸'.若位似比為1：3,圖形廠的周長是4,則圖形尸的周長是（）

A.2B.8C.12D.16

【考點】位似變換.

【專題】圖形的相似；運算能力.

【答案】C

【分析】根據位似圖形的周長比等于位似比解答即可.

【解答】解：???位似圖形的周長比等于位似比，且位似比為1：3,圖形廠的周長是4,

...圖形尸'的周長是4X3=12,

故選：C.

【點評】本題考查位似圖形的周長比等于位似比,掌握位似圖形的周長比等于位似比是解答本題的關鍵.

10.（2024秋?南通期末）如圖，在△A2C中，AB=AC=5,BC=國，點E為邊AC上的點，且CE=2,

點E關于邊AB的對稱點為點F,連接CF,則CF的長為（)

8^10

A.2V5B.5C.-------D.2V10

5

【考點】相似三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；勾股定理；軸對稱的性質.

【專題】平移、旋轉與對稱；運算能力.

【答案】C

【分析】如圖，過點2作27AC于點T,過點A作ADLBC于點D,過點￡作比于點"利用

面積法求出87,再利用勾股定理求出AT,利用相似三角形的性質求出OE,EF,證明

FHEHEF

推出方=強=而可得結論.

【解答】解：如圖，過點3作B7XC于點T,過點A作A0L3C于點0,過點石作EH,AC于點H.

EB

ET

AB=AC=5,BC=V10,AD±BC,

BD=CD=浮,

AD=y/AC2-CD2=

11

—BC-AD=mAC?BT,

22

710x^2

BT==3,

5

AT=7AB2-BT2=4,

AC=5,CE=2,

AE=5-2=3,

ZEAO=ZBAT,NAOE=NATB=90°,

AAOE^AATB,

OEAE

BT~AB"

OE3

3一5，

9

E,尸關于AB對稱，

n1o

EF=2OE=2x|=^,

ZEFH+ZFEH^90°,ZBAT+ZFEH^90°,

ZEFH=ZBAT,

NFHE=NATB=90°,

△FHEs^ATB,

FHEHEF

AT一TB~AB'

18

—FH--E-H--_5

4一3一5'

?"pj-f—72

一匹'FH~25^

54104

CH=EH+EC=蕓+2=詈

???CF=7FH2+CH2=J噲2+（哭）2=空

故選：c.

【點評】本題考查相似三角形的判定和性質，軸對稱的性質，勾股定理，等腰三角形的性質等知識，解

題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題.

二.填空題（共5小題）

11.（2024秋?成都期末）如圖，在Rt^ABC中，NC=90°,DE//BC,。為AC的中點，尸為CD上一點，

連接BF,將△BCF沿8E折疊得到△BGF,點C的對應點G落在線段。E上，若GE=2DG=4,則AC

的值為_^V1T_.

【考點】相似三角形的判定與性質；平行線的性質；勾股定理；翻折變換（折疊問題）.

【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉與對稱；圖形的相似；運

算能力；推理能力.

【答案】4VH.

【分析】作交。E的延長線于點”，由GE=2OG=4,得。G=2,求得E￡>=6,由。為AC

1EDAD1

的中點，求得AO=CD=9C,由。石〃5。證明△AEDs^ABC,求得一=—=一,貝I]5。=2皮）=

2BCAC2

12,再證明四邊形BCD"是矩形，得DH=BC=12,則GH=10,由折疊得3G=3C=12,CD=BH=

yjBG2-GH2=2V11,所以AC=4?L于是得到問題的答案.

【解答】解：作交OE的延長線于點“，

\*GE=2DG=4,

：.DG=2,

：.ED=DG+GE=2+4=6,

???￡>為AC的中點,

：.AD^CD=^AC,

9：DE//BC,

，△AEDsAABC,

.EDAD1

""BC~AC~2

：.BC=2ED=]2,

,CDH//BC,BH//CD,

，四邊形BCD”是平行四邊形，

VZC=90°,

四邊形BCD”是矩形,

：.DH^BC=n,ZH=90°,

GH=DH-DG=12-2=10,

由折疊得BG=BC=12,

:.CD=BH=y/BG2-GH2=V122-102=2411,

：.AC=2CD=4^T1,

故答案為：4vH.

【點評】此題重點考查相似三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、翻折變換的性質、勾股定理等知

識，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

12.（2024秋?重慶期末）如圖，在EIABC。中，過AC上的點O作PQ//AD,M、N、P、。均

在平行四邊形的邊上，且CN=3BN,SACON=9,則四邊形DMOO的面積為6.

【考點】相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質.

【專題】多邊形與平行四邊形；圖形的相似；運算能力；推理能力.

【答案】6.

【分析】由平行四邊形的性質得BC〃A。，CD//AB,ffi]MN//AB,PQ//AD,所以BN=AALCN=DM,

因為CN=3BN,所以CN=DM=3AM,再證明△AOMs^cON,得處也=（—）2=求得S^AOM=

S^CONCN9

薩△CON=1,設點。到AO的距離為九貝求得AM?/z=2,貝IS四邊形

=3AM?〃=6,于是得到問題的答案.

【解答】解：???四邊形A8C0是平行四邊形，

：.BC//AD,CD//AB,

,:MN〃AB,PQ//AD,

：.CD//MN,

???四邊形A3NM、四邊形。CNM、四邊形OMOQ都是平行四邊形，

:?BN=AM,CN=DM,

VCN=3BN,

:?CN=DM=3AM,

eAMAM1

??CN-3AM―3'

?：AM//CNfS^CON=9,

：.△AOMsMON,

.S—OM/M2121

??^7=（而）=9=3

**?SAAOM=百S^CON=gx9=1,

設點0到AD的距離為h,則SAAOM=

*.AM*h=2,

S四邊形DMOQ=DA/?/Z=3AM?/Z=3X2=6，

故答案為：6.

【點評】此題重點考查平行四邊形的判定與性質、相似三角形的判定與性質等知識，證明△AOMs4

1

CON,并且求得S^AOM=諷CON=1是解題的關鍵.

13.（2024秋?武侯區期末）在如圖所示的“五角星”圖案中，C、D兩點都是線段A3的黃金分割點，若

AC=4,則線段AB的長為6+2V5.（結果保留根號）

ACDB

【考點】黃金分割.

【專題】運算能力.

【答案】6+2V5.

【分析】根據黃金分割的定義進行計算即可.

【解答】解：由題知,

；C、D兩點都是線段AB的黃金分割點,

.ACV5-1

"BC~2

又：AC=4,

：.BC=2V5+2,

：.AB=AC+BC=4+2V5+2=6+2遍.

故答案為：6+2V5.

【點評】本題主要考查了黃金分割，熟知黃金分割的定義是解題的關鍵.

14.（2024秋?柯橋區期末）如圖，在等腰中，ZBAC=90°,。是BC邊上一點，BD=2DC,

CEV10

連結Q點E在線段AD上，若4EC=135。,貝兀的值為一毛

【考點】相似三角形的判定與性質；等腰直角三角形.

【專題】等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；運算能力；推理能力.

【答案】?.

【分析】過點E作尸。〃BC交AB于點P,交AC于點。，則AAQE^^ACD,所以

PEAEEQPEEQi

一=—=一,而BD=2DC,則——=一,所以PE=2EQ,推導出EQ=gPQ,由N3AC=90°,

BDADDC2DCDC匕3匕

AB=AC,WBC=V2AC,可證明AP=AQ,貝！18P=QC,再證明△尸BEs/XQEC,得一=—,則QC?

EQQC

=2E02,所以。。=魚￡。=多Q,推導出尸Q=/AQ,EQ=*QC,則QC=|AC,EQ=^AC,再證

明△CEQsABCE,得絲=生，則|人。2,求得生="，于是得到問題的答案.

CEBC3AC5

【解答】解：過點E作尸。〃3C交于點尸，交AC于點Q,則△APES^AB。，AAQE^AACD,

.PEAEEQ

??BD~AD~DC'

?；BD=2DC,

.PEEQ

??2DC~DC

；?PE=2EQ=PQ-EQ,

:?EQ=*Q,

???△ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,

AAB=AC,ZABC=ZACB=45°,

???NAPQ=NA5C=45°,ZAQP=ZACB=45°,BC=y/AB2+AC2=V2AC,

ZBPE=ZEQC=135°,ZAPQ=ZAQP,

：.AP=AQ,

：.BP=AB-AP^AC-AQ=QC,

VZBEC=135°,

：.ZQEC+ZPEB=45°,

；?/PBE+NPEB=/APQ=45°,

???ZPBE+ZPEB=/QEC+/PEB,

：.ZPBE=ZQEC,

：.APBE^AQEC,

.BPPE

?.=,

EQQC

：.QC2=2EQ2,

QC=<2EQ=V2X^PQ=孝PQ,

VPQ=y/AP2+AQ2=42AQ,EQ=*QC,

...QC=孝x42AQ=^AQ=I(AC-QC),

QC=|AC,

EQ=￥x|&C=咯AC,

ZCQE=ZBEC=135°,ZCEQ=ZBCE,

△CEQs^BCE,

EQCE

CE-BC

CE22

AC2—5,

CEV10

AC—5

M底心且Vio

故答案為：—^―

【點評】此題重點考查等腰直角三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識，正

確地作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵.

15.（2024秋?寒亭區期末）如圖，小瑩用自制直角三角紙板測量“觀光塔”的高度，她調整自己的位置，

設法使斜邊AB保持水平，邊AC與點E在同一直線上.已知直角三角紙板中，AC=24cm,BC=lScm,

測得點A離地面的高度為15小小瑩與“觀光塔”的水平距離A8為178w，則“觀光塔”的高度所

【考點】相似三角形的應用.

【專題】圖形的相似；運算能力；推理能力；應用意識.

【答案】135.

BCEH

【分析】先證△CAW△的E'得出就=而，求出團的長度，即可得出答案.

【解答】解：由題意得：HF=1.5m,ZACB=90°,ZAHE=90°,

：.ZACB=ZAHE,

'：ZCAB=ZHAE,

:.△CABsAHAE,

BCEH

?.—,

ACAH

_18EH

即—=,

24178

解得：EH=133.5(m),

EF=EH+HF=133.5+1.5=135(m),

故答案為：135.

【點評】本題考查了相似三角形的應用，判定出△CABsZVME相似是解題的關鍵.

三.解答題（共5小題）

4

16.（2025?黃浦區一模）已知平行四邊形A3c。中，AB=9,BC=5,sinB=尸是邊A3上一動點，過

、FP2

點尸作尸—父射線。于點E'父AC于點㈤E是PE上的點，-=?聯結加

(1)求證：ZBAC=ZPCF；

(2)當△APCsZiEFC時，求線段的長;

當紅空￡1AH

(3)一時，求一的值.

S&PHC3AC

E

【考點】相似形綜合題.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】（1）見解析;

17

(2)BP=~

,2-1

（3）藪的值為3或3

4

【分析】（1）過點C作CGL4B,垂足為點G,由sinB=5求出CG=4,由勾股定理的出BG=3,AG

rr2PP22

=6,所以tanNBAC=%=1，由NCPP=90°,—=-,得至！JtcmNPCF=tanNBAC=怖，進而可得

AG3pc33

出結論；

（2）根據平行線的性質以及角的和差關系證出/PC4=/PCD,由△APCS^EFC,得到/APC=/

o

EFC,ZBPC=APFC,所以tanN3PC=tanNPfT,求出PG=],進而可求出BP的長；

SAH”1PH1

（3）過點〃作HM±AB,垂足為點M,根據上空=一，得到一=一，證明出△MPHs/^GCP,可

S^PHC3PH3

MPMHPHPF2PH1

得:二,由77=不可得77=然后分兩種情況討論：①當點尸在線段PH的延長線上

GCGPCPPC3PC2

時；②當點尸在線段尸〃上時；即可解答.

【解答】解：（1）過點。作CGLA3,垂足為點G,

■:BC=5,ZBGC=90°,

CG4

?

1sinB=BC=5f

???CG=4,

：.BG=y/BC2-CG2=3,

*：AB=9,

：.AG^AB-BG=6,

VZAGC=90°,

CG2

tanZ-BAC=詬=

FP2

VZCPF=90°,—=

PC3

2

tanZ-PCF=tanZ-BAC=

VZBAC=ZPCF<90°,

ZBAC=ZPCF；

(2)過點C作CGLAB,垂足為點G,

：.AB//CD,

：.ZBAC=ZACD,

,/ZPCF=ZBAC,

：.ZPCF=ZACDf

：./PCA=/FCD,

?IAAPC^AEFC,

ZAPC=/EFC,ZBPC=/PFC,

tanZBPC=tanZPFC,

.CG3

??—―,

PG2

：.PG=1,

17

；?BP=BG+PG=苛:

(3)過點"作垂足為點”，

VZFPC=90°,

AZMPH+ZCPG=180°-ZFPC=90°,

VZCPG+ZPCG=90°,

ZMPH=ZPCG,

VZHMP=ZCGP=90°,

，叢MPHs叢GCP,

.MPMHPH

??GC-GP-CP'

..S^HFC_1

S^PHC3’

.FH1

??—,

PH3

①當點尸在線段尸〃的延長線上時,

設

：.GP=2a,MP=2,AM=^a,

3

2〃+a〃+2+3—9,

??CL-7,

VZAMH=ZAGC=90°,

???AAMH^AAGC,

9AHMH2

AC~CG-7；

②當點尸在線段PH上時，可得PH=PC,

設MH—b,

3

：.GP=b,MP=4,AM=^b,

3

??b-^b+4+3=9,

4

???匕=引

VZAMH=ZAGC=90°,

???AAMH^AAGC,

tAH_MH_1

AC-CG-5；

AJJ21

綜上所述：下的值為一或7

AC75

【點評】本題考查了解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質、平行線

的性質，掌握以上知識點是解答本題的關鍵.

17.（2025?楊浦區一模）已知：如圖，ZVIBC中，ZA=90°,點。是AB邊上一點，過點8作BE_LCD

交CD延長線于點E,AD?BC=BE?CD.

（1）求證：BE2=ED,EC；

（2）求證：AB?BC=2CE?BE.

【考點】相似三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】（1）見解析；

（2）見解析.

【分析】（1）先證明△4OCS/\BEC,得到/ACD=/BCE,ZADC=ZEBC,又因為NADC=/EDB,