專題07三角形中的重要模型之

平分平行（平分射影）構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型

角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的常考知識(shí)點(diǎn)，需要掌握其各

大模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，，本專題就角平分線的非全

等類模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。

大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中

提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每

一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！

目錄導(dǎo)航

例題講模型

,2

模型L平分平行（射影）構(gòu)等腰模型,2

模型2.角平分線第二定理（內(nèi)角平分線定理與外角平分線定理）模型5

習(xí)題練模型

9

例題講模型］

模型1.平分平行（射影）構(gòu)等腰模型

模型解讀

角平分線加平行線必出等腰三角形：由平行線得到內(nèi)錯(cuò)角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換構(gòu)造

等腰。平行線、角平分線及等腰，任意由其中兩個(gè)條件都可以得出第三個(gè)。（簡(jiǎn)稱：“知二求一”，在以后

還會(huì)遇到很多類似總結(jié)）。

角平分線加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和對(duì)頂角相等構(gòu)造等腰。

模型證明

1）角平分線加平行線必出等腰三角形.

條件：如圖1,。。'平分NMON,過(guò)。0'的一點(diǎn)尸作尸結(jié)論：AOPQ是等腰三角形。

證明：\'PQ//ON,：.Zl=Z3,Y00,平分/MON,.*.Z2=Z1,

；./2=/3,...OQnPQ,...△。尸。是等腰三角形。

條件：如圖2,"BC中，2。是NABC的角平分線，DE//BC。結(jié)論：ABDE是等腰三角形。

證明：?:DE//BC,：.ZBDE=ZDBC,是/ABC的角平分線，ZDBE=ZDBC,

：.ZDBE=ZBDE,：.BE=DE,△BOE是等腰三角形。

條件：如圖3,在AABC中，30平分/ABC,CO平分NAC3,過(guò)點(diǎn)。作BC的平行線與AB,AC分別相

交于點(diǎn)M,N.結(jié)論：4B0M、ACON都是等腰三角形。

證明：由題意得：MN//BC,：.ZBOM=ZOBC,：8。是/ABC的角平分線，：.ZOBM=ZOBC,

：.ZB0M=ZMB0,：.BM=0M,，△BOM是等腰三角形。同理可得：ACON也是等腰三角形。

2）角平分線加射影模型必出等腰三角形.

條件：如圖4,8E平分NC8A,ZACB=ZCDA=90°.結(jié)論：三角形CEF是等腰三角形。

證明：平分NC8A,：.ZCBE=ZABE,VZACB=90°,：.ZCBE+ZCEB=90°,

VZCDA=90°,：.ZABE+ZBFD=90°,'：ZBFD=ZCFE,：.ZABE+ZCFE^90°,

：.ZCEB=ZCFE,：.CF=CE,三角形CE尸是等腰三角形。

模型運(yùn)用

例1.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在YABCD中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半

徑作弧，分別交54,8C于點(diǎn)"，N；②分別以N為圓心，以大于:MN的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在-ABC

內(nèi)交于點(diǎn)。；③作射線80,交AD于點(diǎn)E,交。延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.若CD=3,DE=2,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

（）

BE5

A.ZABE=ZCBEB.BC=5C.DE=DFD.—=—

EF3

例2.（2024.貴州貴陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在VABC中，BC=I,/ABC和—ACB的平分線相交于點(diǎn)。，過(guò)

點(diǎn)。作BC的平行線交A3于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)尸，若△AEF的周長(zhǎng)為14,則VA3C的周長(zhǎng)是（）

A.14B.19C.21D.23

例3.（2023?廣東?八年級(jí)期末）如圖，EL43Cr＞中，AB^3cm,BC=5cm,BE平分NA8C交于E點(diǎn)，CF

平分/BCD交于F點(diǎn)，則的長(zhǎng)為cm.

例4.（2023春?四川達(dá)州?八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在RtAABC中,NACB=90。，CDLAB,垂足為

平分/C48,交C。于點(diǎn)E,交CB于點(diǎn)孔則下列結(jié)論成立的是（）

A.EC=EFB.FE=FCC.CE=CFD.CE=CF=EF

例5.（2023.成都市青羊區(qū)八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，ABAC=90°,AD_L5c于點(diǎn)。，NABC的平

分線BE交4。于R交AC于E,若AE=3,DF=2,則AD=.

例6.（2023九年級(jí)?廣東?專題練習(xí)）如圖1,在VABC中，/ABC和—AC3的平分線交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)。作

EF//BC,交AB于E,交AC于元

（1）當(dāng)3E=5,CF=3,貝1］跖=；⑵當(dāng)BE>CF時(shí)，若CO是-4CB的外角平分線，如圖2,它

仍然和/ABC的角平分線相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作E尸〃3C,交AB于E,交AC于尸，試判斷ERBE,CF

之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

模型2.角平分線第二定理（內(nèi)角平分線定理與外角平分線定理）模型

模型解讀

角平分線第二定理：三角形一個(gè)角的平分線與其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。

該定理現(xiàn)在教材里面雖然沒(méi)有講,但它在實(shí)戰(zhàn)確有很大的作用（可以避免去構(gòu)造勾股定理或相似），很多時(shí)

候能起到事半功倍的良好效果。

模型證明

1）內(nèi)角平分線定理

條件：如圖，在“3C中，若2。是442c的平分線。結(jié)論：BC:AB=CD:AD

證明：作。尸，3C,作垂足分別為凡H.

S-DFBC

：8。是/ABC的平分線，：.DF=DH,貝U7以=y-------

^BAD-DHAB

2

SyBCDBECDCD.BC_CD

（2）作8E1CA垂足為E,則2_

*AD

*7BAD-BEDAAD

2

條件：如圖2,在△ABC中，N3AC的外角平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)0。結(jié)論：ABAC=BRCD.

證明：如圖2,過(guò)。作CE〃/M.交5A的延長(zhǎng)線于E,

CE//AD,?,.——=—,N2=N4,N1=N3,VZ1=Z2,AZ4=Z3,：.AE=AC,：.——=——.

CDEAACCD

3）奔馳模型

條件：如圖3,“LBC的三邊BC、AC、A2的長(zhǎng)分別是a,b,c,其三條角平分線交于點(diǎn)0,將"RC分

為三個(gè)三角形。結(jié)論：S.ABO：S&BCO'S￡AO=C'a'匕。

證明：過(guò)點(diǎn)。作OD，3C于點(diǎn)。，作OE/AC于點(diǎn)E,作于點(diǎn)尸.

由題意知：OA,OB,OC是AABC的三條角平分線，OD±BC,OE工AC于，OFLAB:.OD=OE=OF,

?「△ABC的三邊A3、BC、AC長(zhǎng)分別為a,b,c,

S^ABO:SABCO:SQO=（彳xcxOF）:（—axOD）:（—xZ?xOE）=c：a：b.

模型運(yùn)用

例1.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，在44BC中，ZC=90°,ZB=30°,以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為

半徑畫弧分別交A5AC于點(diǎn)M和點(diǎn)N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于;跖V的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于

點(diǎn)P,連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)￡）.若AACD的面積為8,則△ABD的面積是（）

A.8B.16C.12D.24

例2.（2023?四川瀘州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，"1BC的三邊A3、BC、C4長(zhǎng)分別是10、15、20.其三條

角平分線交于點(diǎn)。，將"RC分為三個(gè)三角形，5ABO：S,0：$KAO等于（）

A.1:1:2B.1:2:3C.2:3:4D.1:2:4

例3.（23-24九年級(jí)上.吉林?期末）已知VABC,AD是一條角平分線.

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，若AD是/A4c的角平分線.可得到結(jié)論：會(huì)=黑.

AC

小紅的解法如下：過(guò)點(diǎn)。作。“上AB于點(diǎn)E,DF1AC于點(diǎn)片過(guò)點(diǎn)A作AG,3c于點(diǎn)G,

：AZ）是N54C的角平分線，且OE1AB,DF1AC,：..

q-ABxDE-BDxAG

..△ABD_2_________'△ABD2________BD

又,:=

S^ADCIACXDF

^^ADC-CDxAGaS

22

ABBD

【類比探究】如圖②，若4。是-R4C的外角平分線,A。與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。.求證:就一而

圖①圖②

例4.(23-24九年級(jí)上?湖南婁底?期末)一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分

線的一個(gè)論證.如圖1,已知M是VABC的角平分線，可證我器.小慧的證明思路是：如圖2,過(guò)點(diǎn)

C作CE〃AB,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,構(gòu)造相似三角形來(lái)證明*=黑

AC

圖3

(1)嘗試證明：請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖2證明十三=三；

(2)應(yīng)用拓展：如圖3,在中，ZS4C=90°,。是邊BC上一點(diǎn).連接AD,將AACD沿所在直

線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊A3上的E點(diǎn)處.

①若AC=1,AB=3,求DE的長(zhǎng)；②若5C=Z,ZAED=a,求DE的長(zhǎng)(用含左與。的代數(shù)式表示).

例5.（2024?遼寧沈陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）【問(wèn)題初探】

在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,張老師給出如下問(wèn)題:“如圖1,在VABC中,40是VABC的角平分線,求證：修=器”

有兩名同學(xué)給出了不同的解答思路:

①如圖2,小麗同學(xué)從結(jié)論出發(fā)給出如下解題思路：過(guò)點(diǎn)C作A3的平行線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,運(yùn)用等

腰三角形和相似等知識(shí)解決問(wèn)題.

②如圖3,小強(qiáng)同學(xué)從“AD是VA3C的角平分線”給出了另一種解題思路:在AC上截取=連接DF,

過(guò)點(diǎn)C作的平行線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,也是利用相似等知識(shí)解決問(wèn)題.

（1）請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解答思路，寫出證明過(guò)程.

【類比分析】張老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將兩組線段比值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩三角形相似的對(duì)

應(yīng)邊的比.為了幫助學(xué)生更好地領(lǐng)悟這種轉(zhuǎn)化思想，張老師將問(wèn)題進(jìn)行了改編，提出下面問(wèn)題，請(qǐng)你解答.

（2）如圖4,若AACB的外角/C4E平分線AD交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，求證：絲=空.

ACDC

4

【學(xué)以致用】（3）如圖5,在四邊形ABCD中，AD=-,CB=4,AB=2,ZABC=90%AD//BC,BE平

分/ABC,求的的長(zhǎng).

習(xí)題練模型］

1.（2024?湖南懷化?一模）如圖，以直角VA8C的一個(gè)銳角的頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交直

角邊A3于點(diǎn)。，交斜邊AC于點(diǎn)E,再分別以點(diǎn)，E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)R

s

作射線AF交邊BC于點(diǎn)G,若AB=3,BC=4,用'.c表示VA3C的面積（其它同理），貝（）

2.（23-24八年級(jí)上.陜西西安.階段練習(xí)）如圖，VABC中，,ABC與—ACB的平分線交于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸作

DE〃3c交A8于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,那么下列結(jié)論:?VBDF和4CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；

③VADE的周長(zhǎng)等于AB與AC的和；④BF〉CE；⑤若NA=80。，則/圻C=130。.其中正確的有（）

A.①②③⑤B.①③④⑤C.①②④⑤D.②③④⑤

3.（2023春?山東淄博?九年級(jí)校考期中）如圖，AABC中，NABC=90。，點(diǎn)/為AABC各內(nèi)角平分線的交點(diǎn),

過(guò)/點(diǎn)作AC的垂線，垂足為若BC=3,AB=4,AC=5,那么出的值為（）

BC

5_

A.1B.2C.2D.

22

4.（2023春?湖南岳陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是△ABC的角平分線，相交于點(diǎn)。OF，AB

于尸，ZC=60°,下列四個(gè)結(jié)論：①ZAO5=120。；@AD+BE=AB；③若AABC的周長(zhǎng)為孫。尸=〃，則

④若OE：Q4=1：3,則QD:QB=2:3.其中正確的結(jié)論有（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

5.（2024?江蘇宿遷?八年級(jí)校考期末）如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足為D,"平分NC4B,

交。。于點(diǎn)E,交CB于點(diǎn)F.若AC=3,AB=5f則CE的長(zhǎng)為（）

8

A-1B.3D.

5

6.（23-24山西八年級(jí)期中）如圖在YABC。中,/ABC的角平分線跳交AD于E,若CD=3,ED=2,

則平行四邊形ABC。的周長(zhǎng)為（）

A.15B.16C.17D.18

7.（2024.陜西寶雞.二模）如圖，。七是VABC的中位線，/AC5的角平分線交于點(diǎn)孔AC=12,BC=18,

則。尸的長(zhǎng)為（）

A

A.9B.6C.3D.2

ArQ

8.（24-25九年級(jí)上?廣東?課后作業(yè)）如圖，在VABC中，平分NBAC交于點(diǎn)。.若AB=4,-=j,

則BD=.

A

9.（23-24八年級(jí)上?四川綿陽(yáng)?期末）如圖，在等腰AABC中，AB=BC=a,CE=b,/8AC和乙48c的平分線

分別為AD,BE相交于點(diǎn)O,AD交BC于點(diǎn)、D,3E交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作于尸，若OF=c,貝UAABC

的面積為

10.（2023春?陜西咸陽(yáng)?八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在"LBC中，ZB=60°,NC=50。，點(diǎn)。為的邊

SAE

BC上一點(diǎn)，點(diǎn)區(qū)G分別在邊AB、AC上，連接AD、DE、DG,若產(chǎn)吸==，則/ADC的度數(shù)為—

）△ADGA5

11.（2024.天津?八年級(jí)校考期中）如圖，在AABC中，AD是/及1C的平分線，延長(zhǎng)AD至E,使A。=。七,

若AB=3AC,△BDE的面積為9,則AABC的面積是

12.（2023?遼寧鞍山?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知AD/8C,點(diǎn)E是8上一點(diǎn)，AE平分ZA4￡）,3E平

分NABC,延長(zhǎng)BE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)?①AABE學(xué)AAFE；②E為CD的中點(diǎn)；③若AD=3,BC=7,

則AF=10；④若四邊形ABC。的面積為27,^,AE=~BE,則所的長(zhǎng)為18,其中正確的結(jié)論有.

13.（2023春?貴州畢節(jié)?八年級(jí)期末）如圖，“BC的三邊AB、BC、C4長(zhǎng)分別是20、30、40,其三條角平

分線將AABC分成三個(gè)三角形，則凡ABO：5BCO：Sqo等于.

14.（23-24九年級(jí)下?江蘇南京?自主招生）（1）若AD為NA4c的角平分線，求證：---；

Ap2BP

（2）已知，ZABC=ZADC=90°,Zfi4c=30°,ADAC=45°,求證：一=——.

CPDP

⑴⑵

15.（22-23八年級(jí)上?浙江杭州?期末）如圖，在RGABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=2,CD是NACB

的角平分線，點(diǎn)E,尸分別是邊AC,2C上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,B,C重合），連結(jié)DE,DF.

（1）右分別記Z\BCD,△ACD的面積為S^BCD^AACD，求^ABCD-*^AACD的值.

⑵設(shè)AE=x,BF=y,①若=S四邊形。七“，求%+》的值.

20

②若%^+5刈〃=3，X->=2,請(qǐng)判斷V班昭的形狀，并說(shuō)明理由.

ABC器經(jīng)過(guò)

16.（2024?吉林長(zhǎng)春?三模）如圖①，4。是VA3C的角平分線.數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論:

討論得到如下3種證明思路:

思路1：過(guò)點(diǎn)D向/A4C兩邊作垂線段，利用三角形的面積比證出結(jié)論;

思路2：過(guò)點(diǎn)C作48的平行線，與4。的延長(zhǎng)線相交，利用三角形相似證出結(jié)論;

思路3：過(guò)點(diǎn)。作DA的平行線，與B4的延長(zhǎng)線相交，利用平行線分線段成比例證出結(jié)論.

圖①

（1）請(qǐng)參考以上3種證明思路，選擇其中一種證出結(jié)論;

(2)在圖①中，4D是VABC的角平分線.若AB=6,AC=4,BC=1,貝的長(zhǎng)度為；

BF3BF

(3)如圖②，在VABC中，ZBAC=60a,VABC的角平分線B。、CE相交于點(diǎn)尸，若*;==，則一的值為

BC5CF

17.(22-23九年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí))［感知］如圖①所示，在等腰VA3C中，=AC,平分/54C,

??ACCD

易z得——=——(不需要證明)

ABDB

⑴［探究］如圖②所示，李麗同學(xué)將圖①的等腰VABC改為任意VABC,AD平分NBAC,他通過(guò)觀察、測(cè)量，

猜想X黑C=胃CD仍然成立，為了證明自己的猜想，他與同學(xué)進(jìn)行交流討論，得到了證明猜想的兩種方法：

ABDB

方法1：過(guò)點(diǎn)。分別作小工于點(diǎn)E,。尸1AC于點(diǎn)利用△ABD與AACD的面積比證明結(jié)論.

方法2：過(guò)點(diǎn)B作班〃AC交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,利用AC4D與△啊＞相似證明結(jié)論.

請(qǐng)你參考上面的兩種方法，選擇其中的一種方法完成證明.

(2)［應(yīng)用］如圖③所示，在Rt^ABC中，NACB=90。，AB=13,AC=5,平分,BAC.若點(diǎn)E在邊AB

上，AE=?，CE交A。于點(diǎn)尸，貝1jg=_____.

3FA

18.(2023?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè))小明在學(xué)習(xí)角平分線知