專題14三角形中的重要模型之帽子模型、等邊截等長與等邊內接等邊模型

等腰（等邊）三角形是中學階段非常重要三角形，具有許多獨特的性質和判定定理。中考數學的常客,

并且形式多樣，內容新穎，能較好地考查同學們的相關能力。本專題將把等腰三角形的三類重要模型作系

統的歸納與介紹，方便大家對它有個全面的了解與掌握。

例題講模型

...........................................................................................................................................2

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（長短手模型）..................................2

模型2.等邊截等長模型（定角模型）...................................................5

模型3.等邊內接等邊..................................................................7

習題練模型］

...........................................................................

例題講模型I]

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型(長短手模型)

模型解讀

帽子模型，其實是等腰三角形獨特性質的應用，因為模型很像帽子，學習知識點的同時也增加了趣味性。

模型證明

條件：如圖，已知AB=AC,BD=CE,DG±BC^G,結論：①DF=FE；②BC=2FG。

證明：如圖，過點D作。/〃AC交BC于X,則/BHD=/ACH,NDHF=NECF,

'：AB=AC,：.ZB=ZACB,:./B=NBHD,:.BD=DH,'：CE=BD,：.DH=CE,

ZDHF=NECF

在和八ECF中,,NDFH=NEFC,：.^DHFRt^ECF(AAS),DF=EF；

DH=EC

ADHF沿正CF,FH=CF=-CH,VBD=DH,DGLBC,：.BG^GH=-BH,

22

FG=GH+FH=-BH+-CH=-BC,BC=2FG.

222

模型運用

例1.(23-24八年級上?廣東中山?期末)如圖，44BC中，AB^AC,BC=10,點P從點B出發沿線段

54移動到點A停止，同時點。從點C出發沿AC的延長線移動，并與點P同時停止.已知點P,。移動

的速度相同，連接尸。與線段BC相交于點。(不考慮點尸與點A,8重合時的情況).

(1)求證：AP+AQ=2AB.(2)求證：PD=DQ.(3)如圖，過點尸作PEJ_3C于點E,在點P,。移動的過程

中，線段DE的長度是否變化?如果不變，請求出這個長度；如果變化，請說明理由.

AA

例2.（24-25九年級上?山西臨汾?階段練習）綜合與探究

問題情境：在VA3c中,AB=AC,在射線A3上截取線段3。，在射線C4上截取線段CE,連結DE,DE

所在直線交直線BC于點M.

猜想判斷：（1）當點。在邊的延長線上，點E在邊AC上時，過點E作防〃A?交2C于點「如圖①.若

BD=CE,則線段。欣、9的大小關系為.

深入探究：（2）當點。在邊AB的延長線上，點E在邊C4的延長線上時，如圖②.若BD=CE,判斷線段

DM、EM的大小關系，并加以證明.

拓展應用：（3）當點。在邊A3上（點。不與A、8重合），點E在邊C4的延長線上時，如圖③.若3￡>=1,

CE=4,DM=0.1,求EM的長.

例3.（2024?貴州銅仁?模擬預測）如圖，過邊長為6的等邊AABC的邊AB上一點P,作PEJ_AC于E,。為

延長線上一點，連尸。交AC邊于D當以=。。時，的長為（

A.1B.2C.3D.4

例4.（2024?河南?校考一模）問題背景：已知在VABC中，邊AB上的動點D由A向B運動（與A,B不重

合），同時點E由點C沿BC的延長線方向運動（E不與C重合），連接DE交AC于點E點H是線段AF上

一點,求赤的值.

（1）初步嘗試：如圖①，若VABC是等邊三角形，DHLAC,且點D、E的運動速度相等，小王同學發現

4c

可以過點D作。G//BC交AC于點G,先證GH=AH,再證Gb=CF,從而求得"的值為

HF

（2）類比探究：如圖②，若VA3C中，ZABC=90°,ZADH=ABAC=30°,且點D,E的運動速度之比是

"求落的值;

（3）延伸拓展：如圖③，若在VA3C中，AB=AC,ZADH=ABAC=36°,記蕓=根，且點D、E的運動

AC

Ar

速度相等’試用含m的代數式表示法的值（直接寫出結果’不必寫解答過程）.

圖②

模型2.等邊截等長模型（定角模型）

模型解讀

條件：如圖，在等邊VABC中，點。，E分別在邊BC,AC上，且AE=CD,BE與AD相交于點P,BQ±AD

于點。.結論：①AABE絲ACAD；②AD=BE；③NBPD=60°；?BQ=2PQO

模型證明

證明：在等邊三角形ABC中，AB=AC,ZBAE=ZC=60°,

AB=AC

在A/WE和ACW中，＜ZBAE=ZC,ACW(SAS),：.AD=BE,ZCAD=ZABE；

AE=CD

ZBPQ=ZABE+ZBAP=ZCAD+ZBAP=ZBAE=60°.

BQVAD,：,ZPBQ=30°,：.BQ=2PQ.

模型運用

例1.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，點。、E分別是等邊三角形ABC邊8C、AC上的點，且3。=宜,

BE與AD交于點F.求證：AD=BE.

A

E

F

C

BD

例2.（2024八年級?重慶?培優）如圖，AABC為等邊三角形，且=與相交于點P,則NAPN

().

A.等于70。B.等于60。C.等于50°D,大小不確定

例3.（23-24八年級?廣東中山?期中）如圖，在等邊VABC中，點。、E分別在邊3C、AC上，且AE=CD,

的與AD相交于點P,于點。.⑴求證：BE=AD；（2）若尸。=4,求3尸的長.

例4.（2023?浙江杭州?模擬預測）如圖，在等邊三角形A3C的AC,3C邊上各取一點P,Q（均不與端點

重合），且AP=C。，AQ,3P相交于點。，下列結論不正確的是（）

A.ZAOB=120°B.AP2=POPB

C.若4B=8,BP=1,則E4=3D.若PC=mAP,BO=nOP,則〃=加+加

模型3.等邊內接等邊

模型解讀

模型證明

1）等邊內接等邊（截取型）

條件：如圖1,等邊三角形A8C中，點。，E,尸分別在邊AB,BC,CA上運動，且滿足

結論：三角形。E尸也是等邊三角形。

證明：：A4BC是等邊三角形，.?./A=/3=/C=60。，AB^BC=AC.

VAD=BE=CF,AAF=BD=CE.

AF=BD,

在AADF和&BED中，＜ZA=ZB,：.^ADF^BED（SAS）,

AD=BE,

：.DF=DE.同理ZZF=￡F,:.DF=DE=EF,ADEF是等邊三角形.

2）等邊內接等邊（垂線型）

條件：如圖，點尸、M、N分別在等邊VABC的各邊上，且MP_LAB于點尸，MW_L3c于點M,PNLAC

于點N,結論：三角形OEF也是等邊三角形。

證明：AABC是等邊三角形，.?.//1=ZB=NC=60。，

-.-MP1AB,NM1.BC,PN±AC,ZMPB=ZNMC=ZPNA=90°,

ZPMB=ZMNC=ZAPN=30°,ZNPM=APMN=ZMNP=60°,.?.△PMN是等邊三角形，

模型運用

例1.（2024七年級下?成都?專題練習）如圖，過等邊三角形AABC的頂點A、B、C依次作A3、BC、AC

的垂線MG、MN、NG,三條垂線圍成△腦VG,若AM=2,則AMNG的周長為（）

A.12B.18C.20D.24

例2.（24-25九年級上?四川成都?階段練習）如圖，已知等邊三角形ABC,點，，P2,E分別為邊ARBC,CA

上的黃金分割點（A片<3片，BP2<CP2,CPi<AP｝）,連接4G，P2P3,片鳥，我們稱鳥鳥為VABC的“內

含黃金三角形”,若在VA3C中任意取點，則該點落在“內含黃金三角形”中的概率是.

例3.（23-24八年級下.廣東云浮.期中）如圖，點、P,M,N分別在等邊三角形ABC的各邊上，且

于點尸，NM1BC于裊M,尸NLAC于點N.⑴求證：APAW是等邊三角形；（2）若AB=15cm,求3P的

長.

例4.（2023廣西中考真題）如圖，AABC是邊長為4的等邊三角形，點DE,尸分別在邊A3,BC,CA

上運動，滿足AD=3E=CF.（1）求證：AAD尸與力ED；（2）設AD的長為x,ADEF的面積為》求y關于

尤的函數解析式；（3）結合（2）所得的函數，描述ADE尸的面積隨AD的增大如何變化.

c

E

A

習題練模型

1.（23-24九年級上?山西晉中?階段練習）如圖，VABC是等邊三角形，點，￡分別在BC,AC上，且

BD:DC=2:1,CE;AE=2;1,BE與AD相交于點R則下列結論：①NAFE=60。，?CE2=DFDA,

③AQ3E=AE-AC.其中正確的有（）

A.3個B.2個C.1個D.0個

2.（2024廣東九年級二模）如圖，在等邊三角形A2C中，點P,Q分別是AC,BC邊上的動點（都不與線

段端點重合），MAP=CQ,A。、8尸相交于點。.下列四個結論：①若PC=2AP,貝。8。=60尸；②若BC=8,

BP”則PC=5；?AP2=OPAQ；④若AB=3,則OC的最小值為石，其中正確的是（）

A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③

3.（2024?廣西?一模）如圖，在等邊AABC中，鉆=3,點。，E分別在邊8C,AC上，S.BD=CE,連接

AD,BE交于點F,在點。從點B運動到點C的過程中，圖中陰影部分的面積的最小值為（）

A

1

D.

cI3

4.（23-24八年級上.黑龍江哈爾濱?階段練習）如圖，在VABC中，NACB=90。,AC=,點P在邊AB上,

點。在邊AC上，連接。尸并延長。尸交CB的延長線于點E,連接CF,且b=ED,過點A作AGLCV于

點G,AG交￡?于點K,過點B作交CP的延長線于點〃，以下四個結論中:

?AG=CH-②AD=BE；③當NBG"=45。時，2BH-EF=FG-?ZCAG=ZCEF.正確的有（）

個.

C.3D.4

5.（2023?福建莆田?一模）如圖，AABC和ABDE都是等邊三角形，將先向右平移得到AG/H,再繞

頂點G逆時針旋轉使得點“分別在邊A8和AC上.現給出以下兩個結論：①僅已知AABC的周長，就

可求五邊形DECHF的周長；②僅已知AAM的面積，就可求五邊形的面積.下列說法正確的是（）

A.①正確，②錯誤B.①錯誤，②正確C.①②均正確D.①②均錯誤

6.（23-24九年級上?北京昌平?期末）如圖，VABC是等邊三角形分別是AC,2C邊上的點，且AD=CE,

連接8。，AE相交于點E則下列說法正確的是（）

A

D

BEC

AT）1AF1

①烏△C4E；②N3FE=60°；③AAFBsAADF；④若一=—，則——=-

AC3BF2

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

7.（23-24九年級上.四川達州.期末）如圖，A4BC是等邊三角形，點RE分別在邊BC,AC上，且5D=CE,AD

與班相交于點尸.若AF=7,DF=1,貝的邊長等于（）

A.回一垃B.758-72C.屈+^D.757+72

8.（23-24八年級上?湖南長沙?階段練習）如圖所示，過等邊VA3C的頂點A,B,C依次作AB,BC,C4的

垂線MGMN,NG,三條垂線圍成AAWG,已知CG=4cm,貝履MNG的周長是cm.

9.（23-24天津九年級上期中）如圖，點。,E,廠分別在正三角形ABC的三邊上，且ADEF也是正三角形.若

AA3C的邊長為。，ADEF的邊長為6，則AAEF的內切圓半徑為.

A

10.（2024?甘肅金昌?模擬預測）如圖，在等腰直角VABC中，NA=9（T,A8=AC=4&,E為A3的中點，F

為AC上一點，連接跖并延長,交品的延長線于點。’若"=卜3’則小的長為一

11.（23-24八年級上.江蘇揚州.階段練習）如圖，過邊長為。的等邊VABC的邊上一點P,作尸ELAC于

E,。為BC延長線上一點，當尸A=C。時，連PQ交AC邊于。，則。E的長為.

12.（2023浙江中考一模）如圖，在等邊三角形ABC的AC,BC邊上各取一點P,Q,使AP=CQ,AQ,BP

相交于點。.若BO=6,PO=2,則AP的長，A。的長分別為.

13.（23-24八年級上.上海浦東新?期末）如圖，在等邊VA3C的AC,BC上各取一點。，E,使AD=CE,

AE,3。相交于點過點B作直線AE的垂線垂足為"若BE=2EC=4,則MX的長為.

A

14.（2023?遼寧鞍山?一模）如圖，在三角形ABC中，AB=AC,/BAC=60。，AD=CE,AE與8。相交

于點F,若防=4,則E到防的距離為.

15.（23-24九年級下?河南商丘?階段練習）【問題提出】

數學課上，老師給出了這樣一道題目：如圖1,在等邊三角形ABC中，點。，E分別在AC,3c邊上，AE,

BD交于點、F,且AD=CE.

（1）線段AE,8。的數量關系為,N3FE的度數為.

【類比探究】老師繼續提出問題，若改變VABC的形狀，（1）中的結論是否仍然成立呢？

同學們根據老師的提問畫出圖形，如圖2,VABC是等腰直角三角形，ZABC=90°,點、D,E分別在AC,

BC邊上，AE,BD交于點F,同學們發現，想要類比（1）中的探究過程得出結論，還需要確定線段AD,

CE的數量關系.

（2）請先將條件補充完整：線段AD,CE的數量關系為；再根據圖2寫出線段AE,8。的數量關

系和?E的度數，并說明理由.

【拓展探究】（3）如圖3,VABC是等腰直角三角形，AB=4,若點。沿AC邊上一動點，點E是射線CB上

一動點，直線AE,BD交于點F,在（2）的條件下，當動點。沿AC邊從點A移動到點C（與點C重合）

時，請直接寫出運動過程中CP長的最大值和最小值.

16.(2023?浙江杭州?二模)如圖，在等邊三角形ABC中，點。，E分別是邊BC,C4上的點，且比＞=CE,

連結AD,BE交于點P.(1)求證：AABE%CAD；(2)連接CP,若CPLAP時，①求的值；

②設VABC的面積為跖，四邊形CDPE的面積為S?,求包的值.

51

17.(23-24九年級下?上海寶山?階段練習)如圖(1),已知AABC是等邊三角形，點。、E、尸分別在邊AB、

BC、C4上，且N1=N2=N3.(1)試說明zXDEb是等邊三角形的理由.

(2)分別連接跳；DC,3尸與。C相交于。點(如圖(2)),求/5OD的大小.

⑶將△。口繞E點順時針方向旋轉60。得到圖(3),”與BC平行嗎？說明理由.

圖⑴圖⑵圖⑶

18.（23-24八年級下?遼寧沈陽?開學考試）VABC中（AB>AC）,點。是BC邊中點，過點。的直線交邊

于點M,交AC邊的延長線于點M且AM=4V.（1）如圖①，當ZBAC=60。時，求證：DN—DM=CN；

（2）如圖②，當NB4C=90。時，請直接寫出線段DN,DM,CN的數量關系.

19.（2024?廣西南寧?模擬預測）如圖，"LBC是邊長為2的等邊三角形，點、D,E,P分別在邊AB,BC,CA

上運動，滿足AD=3E=b.（1）求證：尸玨3￡E）;（2）設AO的長為x,ADE產的面積為》求y關于

尤的函數解析式；（3）結合（2）所得的函數，描述△/）環的面積隨AD的增大如何變化.

20.（23-24山東八年級上期中）問題背景：課外學習小組在一次學習研討中，得到了如下兩個命題:

(4)

①如圖(1),在正44BC中，M、N分別是AC、4B上的點，3M與CN相交于點。，若NBON=60。，則

=CN；②如圖(2),在正方形ABC。中，M、N分別是C。、上的點，與CN相交于點。，若NB0N

=90°,則創/=CN.

然后運用類似的思想提出了如下命題：③如圖(3),在正五邊形A8CDE中，M、N分別是DE上的點，

與CN相交于點O,若/BON=108。，則BM=CN.

任務要求：(1)請你從①②③三個命題中選擇一個進行證明；(2)請你繼續完成下面的探索；

①在正〃(n>3)邊形ABCDEK..中，M、N分別是CZA上的點，與CN相交于點O,試問當NBON

等于多少度時，結論BM=CN成立(不要求證明)；

②如圖(4),在正五邊形A2CDE中，M.N分別是AE上的點，與CN相交于點O,/BON=108°

時，試問結論BM=CN是否成立.若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.

21.(23-24九年級?四川綿陽?期末)小明在學習過程中，對教材的一個習題做如下探究:

【習題回顧】：如圖，在等邊三角形A3c的AC、3C邊上各取一點P,。使AP=CQ,AQ,BP相交于點O,

求N3OQ的度數.請你解答該習題.

【拓展延伸】：（1）如圖1,在等腰Rt^ABC的AC,3c邊上各取一點尸，Q,使AP=CQ,3尸平分/ABC,

AQ=①,ZBAC=90°,求解的長.小明的思路：過點A作AG/BC交延長線于點G,證明

XAQC0XGPA,…

Afi1

(2)如圖2,在RtaABC的AC,3c邊上各取一點P、Q,使CQ=2AP,BP平分/ABC,—

ACL

ABAC^90°,求AQ,8P的數量關系，請你解答小明提出的問題.

22.（23-24八年級上?福建福州?階段練習）如圖：VABC是邊長為6的等邊三角形，尸是AC邊上一動點，

由點A向點C運動（尸與點A、C不重合），點。同時以點尸相同的速度，由點B向CB延長線方向運動（點

。不與點B重合），過點尸作尸ELAB于點E,連接尸。交A3于點。.

A

（1）若設AP的長為x,則PC=,QC=；

（2）當/3QD=30。時，求AP的長；（3）點尸，。在運動過程中，線段即的長是否發生變化？請說明理由.

23.（2023?河南開封?一模）教材呈現：如下為華師版八年