專題14三角形中的重要模型之帽子模型、等邊截等長與等邊內(nèi)接等邊模型

等腰（等邊）三角形是中學(xué)階段非常重要三角形，具有許多獨特的性質(zhì)和判定定理。中考數(shù)學(xué)的常客,

并且形式多樣，內(nèi)容新穎，能較好地考查同學(xué)們的相關(guān)能力。本專題將把等腰三角形的三類重要模型作系

統(tǒng)的歸納與介紹，方便大家對它有個全面的了解與掌握。

例題講模型

...........................................................................................................................................2

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（長短手模型）..................................2

模型2.等邊截等長模型（定角模型）...................................................5

模型3.等邊內(nèi)接等邊..................................................................7

習(xí)題練模型］

.........................................................................

例題講模型I]

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型(長短手模型)

模型解讀

帽子模型，其實是等腰三角形獨特性質(zhì)的應(yīng)用，因為模型很像帽子，學(xué)習(xí)知識點的同時也增加了趣味性。

模型證明

條件：如圖，已知AB=AC,BD=CE,DG±BC^G,結(jié)論：①DF=FE；②BC=2FG。

4

EE

證明：如圖，過點。作。AC交5c于X,則/陽D=ZDHF=ZECF,

AB=AC,：.ZB=ZACB,:.NB=/BHD,ABD=DH,VCE=BD,：.DH=CE,

"NDHF=ZECF

在△力H尸和/\ECF中,<NDFH=NEFC.：.DHFRiECF（AAS）,:.DF=EF；

DH=EC

.DHF沿；ECF,:.FH=CF=、CH,VBD=DH,DGJLBC,：.BG^GH=-BH,

22

：.FG=GH+FH=-BH+-CH=-BC,；.BC=2FG.

222

模型運(yùn)用

例1.(23-24八年級上?廣東中山?期末)如圖，ABC中，AB=AC,BC=10,點尸從點8出發(fā)沿線段

出移動到點A停止，同時點。從點C出發(fā)沿AC的延長線移動，并與點P同時停止.已知點P,。移動

的速度相同，連接尸。與線段8c相交于點。(不考慮點P與點A,8重合時的情況).

(1)求證：AP+AQ=2AB.(2)求證：PD=DQ.(3)如圖，過點尸作PE于點E,在點P,。移動的過程

中，線段DE的長度是否變化?如果不變，請求出這個長度；如果變化，請說明理由.

AA

例2.（24-25九年級上?山西臨汾?階段練習(xí)）綜合與探究

問題情境：在VABC中，AB=AC在射線AB上截取線段8。，在射線C4上截取線段CE,連結(jié)DE,DE

所在直線交直線BC于點M.

猜想判斷：（1）當(dāng)點。在邊A3的延長線上，點E在邊AC上時，過點石作所〃45交BC于點尸，如圖①.若

BD=CE,則線段。欣、上”的大小關(guān)系為.

深入探究：（2）當(dāng)點。在邊A3的延長線上，點E在邊C4的延長線上時，如圖②.若BD=CE,判斷線段

DM、EM的大小關(guān)系，并加以證明.

拓展應(yīng)用：（3）當(dāng)點。在邊A3上（點Z）不與A、B重合），點E在邊。1的延長線上時，如圖③.若BD=1,

CE=4,DM=0.7,求EM的長.

例3.（2024?貴州銅仁?模擬預(yù)測）如圖，過邊長為6的等邊AABC的邊AB上一點P,作PEJ_AC于E,。為

8C延長線上一點，連尸。交AC邊于D當(dāng)孫=C。時，。石的長為（）

A.1B.2C.3D.4

例4.（2024?河南?校考一模）問題背景:已知在VABC中，邊AB上的動點D由A向B運(yùn)動（與A,B不重

合），同時點E由點C沿BC的延長線方向運(yùn)動（E不與C重合），連接DE交AC于點E點H是線段AF上

Ar

一點，求而的值.

（1）初步嘗試：如圖①，若VABC是等邊三角形，DHLAC,且點D、E的運(yùn)動速度相等，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)

Ar

可以過點D作。G//5C交AC于點G,先證G"=AH,再證Gb=C尸，從而求得"的值為

HF

（2）類比探究：如圖②，若VABC中，ZABC=90°,ZADH=NBAC=30°,且點D,E的運(yùn)動速度之比是

"求而的值;

（3）延伸拓展：如圖③，若在VABC中，AB=AC,ZADH=ABAC^36°,記蕓=機(jī)，且點D、E的運(yùn)動

速度相等’試用含m的代數(shù)式表示而的值（直接寫出結(jié)果’不必寫解答過程）.

圖②

模型2.等邊截等長模型（定角模型）

模型解讀

條件：如圖，在等邊VABC中，點。，E分別在邊2C,AC±,S.AE=CD,8E與AD相交于點尸，BQ±AD

于點。.結(jié)論：①一ABE四_C4D；?AD=BE-③NBPD=60°；@BQ=2PQ.

模型證明

證明：在等邊三角形A3C中，AB=AC,ZBAE=ZC=60°,

AB=AC

在和.CAD中，＜NBAE=NC,AASE四△C4D（SAS）,：.AD=BE,NCAD-ABE；

AE=CD

ZBPQ=ZABE+ZBAP=ZCAD+ZBAP=ZBAE=60°.

BQ±AD,：.ZPBQ=3Q°,：.BQ=2PQ.

模型運(yùn)用

例1.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，點。、E分別是等邊三角形ABC邊8C、AC上的點，且BD=CE,

8E與AD交于點尸.求證：AD=BE.

E

F

C

BD

例2.（2024八年級?重慶?培優(yōu)）如圖，ABC為等邊三角形，且=CN,AM與相交于點尸，則NAPN

().

A.等于70。B.等于60。C.等于50。D.大小不確定

例3.（23-24八年級?廣東中山?期中）如圖，在等邊VABC中，點。、E分別在邊3C、AC上，SLAE=CD,

班與AD相交于點尸，于點0.⑴求證：3E=A￡＞；（2）若尸。=4,求取的長.

例4.（2023?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，在等邊三角形ABC的AC,邊上各取一點尸，Q（均不與端點

重合），且AP=CQ,AQ,砰相交于點。，下列結(jié)論不正確的是（）

B.AP2=POPB

C.若AB=8,BP=1,則如=3D.若PC=mAP,BO=nOP,則〃=”/+機(jī)

模型3.等邊內(nèi)接等邊

模型解讀

模型證明

1）等邊內(nèi)接等邊（截取型）

條件：如圖1,等邊三角形A8C中，點。，E,尸分別在邊AB,BC,CA上運(yùn)動，且滿足AO=8E=CF；

結(jié)論：三角形。E尸也是等邊三角形。

證明：：ABC是等邊三角形，：.ZA=ZB=ZC=^°,AB=BC=AC.

VAD=BE=CF,：.AF=BD=CE.

AF=BD,

在，ADF和BED中，\=ZB,AD0BED（SAS）,

AD=BE,

:.DF=DE.同理。尸=跖，ADF=DE=EF,__DEF是等邊三角形.

2）等邊內(nèi)接等邊（垂線型）

條件：如圖，點、P、M、N分別在等邊VABC的各邊上，且MP_LAB于點尸，M0_L3c于點M,PN1.AC

于點N,結(jié)論：三角形。EF也是等邊三角形。

證明：.是等邊三角形，，NA=ZB=NC=60。，

MPLAB,NM±BC,PN±AC,ZMPB=ZNMC=ZPNA=90°,

ZPMB=ZMNC=ZAPN=30°,ZNPM=ZPMN=ZMNP=60°,.?.△PMN是等邊三角形，

模型運(yùn)用

例1.（2024七年級下?成都?專題練習(xí)）如圖，過等邊三角形.ABC的頂點A、B、C依次作AB、BC、AC

的垂線MG、MN、NG,三條垂線圍成。腦VG,若AM=2,則JWNG的周長為（）

A.12B.18C.20D.24

例2.（24-25九年級上?四川成都?階段練習(xí)）如圖，已知等邊三角形ABC,點A,鳥，6分別為邊ARBC,CA

上的黃金分割點（A片<2片，BP2<CP2,CPi<APi）,連接4鳥，P2P3,PtP3,我們稱鳥鳥為VABC的“內(nèi)

含黃金三角形”,若在VA3C中任意取點，則該點落在“內(nèi)含黃金三角形”中的概率是.

例3.（23-24八年級下.廣東云浮.期中）如圖，點、P,M,N分別在等邊三角形A3C的各邊上，且

于點尸，NM1BC于點、M,尸NLAC于點N.（1）求證：一是等邊三角形；（2）若AB=15cm,求BP的長.

例4.（2023?廣西?中考真題）如圖，ABC是邊長為4的等邊三角形，點，E,尸分別在邊AB,BC,CA

上運(yùn)動，滿足A￡）=3E=CF.（1）求證：ADF%.BED；（2）設(shè)AD的長為x,DE尸的面積為y,求y關(guān)于

尤的函數(shù)解析式；（3）結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述，。￡戶的面積隨AD的增大如何變化.

A

D

習(xí)題練模型

1.（23-24九年級上.山西晉中?階段練習(xí)）如圖，VABC是等邊三角形，點。，E分別在2C,AC上，且

BD:DC=2:1,CE:AE=2A,8E與AD相交于點孔則下列結(jié)論：①/AEE=60。，@CE2=DFDA,

③AQBE=AE-AC.其中正確的有（）

A.3個B.2個C.1個D.0個

2.（2024廣東九年級二模）如圖，在等邊三角形A8C中，點P,。分別是AC,BC邊上的動點（都不與線

段端點重合），SLAP=CQ,A。、8尸相交于點。.下列四個結(jié)論：①若PC=2AP,貝|8O=6OP；②若BC=8,

BP=7,則PC=5；③A/=OPAQ；④若AB=3,則。C的最小值為石，其中正確的是（）

A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③

3.（2024?廣西?一模）如圖，在等邊一ABC中，AB=3,點。，E分別在邊BC,AC_L,S.BD=CE,連接

AD,BE交于點F,在點。從點8運(yùn)動到點C的過程中，圖中陰影部分的面積的最小值為（）

4.（23-24八年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）如圖，在VABC中，ZACS=90。,AC=3C,點尸在邊A3上，

點。在邊AC上，連接。尸并延長。尸交CB的延長線于點E,連接C尸，且CF=FD,過點A作AGLCb于

點G,AG交ED于點K,過點8作即7,CP交CP的延長線于點H,以下四個結(jié)論中：

?AG=CH-②AD=BE；③當(dāng)NBG〃=45。時，2BH-EF=FG；@ZCAG=ZCEF.正確的有（）

個.

A.1B.2C.3D.4

5.（2023?福建莆田?一模）如圖，一ABC和△3DE都是等邊三角形，將△&）￡先向右平移得到.G",再繞

頂點G逆時針旋轉(zhuǎn)使得點尸，“分別在邊A3和AC上.現(xiàn)給出以下兩個結(jié)論：①僅已知一至。的周長，就

可求五邊形DEC止的周長；②僅已知一AFH的面積，就可求五邊形的面積.下列說法正確的是（）

A.①正確，②錯誤B.①錯誤，②正確C.①②均正確D.①②均錯誤

6.（23-24九年級上?北京昌平?期末）如圖，VABC是等邊三角形,D,E分別是AC,2C邊上的點，且AT>=CE,

連接3D,AE相交于點F則下列說法正確的是（）

AT）1Ap1

①△ABD/CAE；②ZBFE=60。；③AAFBs^ADF；④若——=一，則——=-

AC3BF2

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

7.（23-24九年級上?四）\I達(dá)州?期末）如圖，4ABC是等邊三角形，點D,E分別在邊BC,AC上，且=CE,AD

與仍相交于點P.若AF=7,DF=1,貝舊力BC的邊長等于（）

A

E

A.757-72B.病-&C.V58+V2D.V57+V2

8.（23-24八年級上.湖南長沙?階段練習(xí)）如圖所示，過等邊VABC的頂點A,B,C依次作AB,BC,C4的

垂線A/G,MN,NG,二條垂線圍成一MNG,已知CG=4cm,貝的周長是cm.

9.（23-24天津九年級上期中）如圖，點RE,廠分別在正三角形ABC的三邊上，且AZ）E5也是正三角形.若

AABC的邊長為。，ADEF的邊長為6,則AAEF的內(nèi)切圓半徑為.

10.（2024?甘肅金昌?模擬預(yù)測）如圖，在等腰直角VABC中，/A=90。,AB=AC=40,E為A3的中點，F(xiàn)

為AC上一點，連接E尸并延長，交BC的延長線于點。，若則￡>￡的長為_____.

4

A

E

RD

11.（23-24八年級上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）如圖，過邊長為。的等邊VA3C的邊A3上一點P,作PELAC于

E,。為3C延長線上一點，當(dāng)PA=C。時，連PQ交AC邊于。，則DE的長為.

12.（2023浙江中考一模）如圖，在等邊三角形ABC的AC,BC邊上各取一點尸，Q,使AP=C0,AQ,BP

相交于點。.若2。=6,PO=2,則AP的長，AO的長分別為.

13.（23-24八年級上?上海浦東新?期末）如圖，在等邊VA3C的AC,BC上各取一點D,E,使AD=CE,

AE,相交于點M,過點8作直線AE的垂線3",垂足為H.若BE=2EC=4,則MH的長為.

14.（2023?遼寧鞍山?一模）如圖，在三角形A3C中，AB=AC,/84C=6O。，AD=CE,AE與相交

于點E若EF=4,則E到所的距離為.

15.（23-24九年級下.河南商丘?階段練習(xí)）【問題提出】

數(shù)學(xué)課上，老師給出了這樣一道題目：如圖1,在等邊三角形A8C中，點。，E分別在AC,2C邊上，AE,

交于點/，且AD=CE.

（1）線段AE,的數(shù)量關(guān)系為，N3EE的度數(shù)為.

【類比探究】老師繼續(xù)提出問題，若改變VABC的形狀，（1）中的結(jié)論是否仍然成立呢？

同學(xué)們根據(jù)老師的提問畫出圖形，如圖2,VA3C是等腰直角三角形，/ABC=90。，點。，E分別在AC,

BC邊上,AE,BD交于點、F,同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，想要類比（1）中的探究過程得出結(jié)論，還需要確定線段AD,

CE的數(shù)量關(guān)系.

（2）請先將條件補(bǔ)充完整：線段AO,CE的數(shù)量關(guān)系為；再根據(jù)圖2寫出線段AE,8。的數(shù)量關(guān)

系和/BFE的度數(shù)，并說明理由.

【拓展探究】（3）如圖3,VA8C是等腰直角二角形，AB=4,若點。沿AC邊上一動點，點E是射線8上

一動點，直線AE,BD交于點F,在（2）的條件下，當(dāng)動點。沿AC邊從點A移動到點C（與點C重合）

時，請直接寫出運(yùn)動過程中C尸長的最大值和最小值.

16.（2023?浙江杭州?二模）如圖，在等邊三角形A8C中，點。，E分別是邊3C,C4上的點，且8。=。石,

連結(jié)AO,BE交于點尸.⑴求證：ABE^CAD；（2）連接CP,若CPLAP時，①求的值;

②設(shè)VABC的面積為耳，四邊形皿石的面積為$2,求包的值.

S1

AEC

17.（23-24九年級下?上海寶山?階段練習(xí)）如圖（1）,已知&ABC是等邊三角形，點。、E、尸分別在邊A3、

BC、C4上，且21=32=13.（1）試說明△DEF是等邊三角形的理由.

⑵分別連接3尸，DC,8廠與DC相交于。點（如圖（2））,求N30。的大小.

（3）將△/）跖繞/點順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到圖（3）,AP與BC平行嗎？說明理由.

圖⑴

18.（23-24八年級下.遼寧沈陽?開學(xué)考試）VABC中（AB>AC）,點。是BC邊中點，過點。的直線交AB邊

于點M,交AC邊的延長線于點N,且AM=AN.（1）如圖①，當(dāng)44c=60。時，求證：DN-DM=CN；

（2）如圖②，當(dāng)NR4C=90。時，請直接寫出線段。N,DM,CV的數(shù)量關(guān)系.

19.（2024.廣西南寧?模擬預(yù)測）如圖，ABC是邊長為2的等邊三角形，點、D,E,歹分別在邊AB,BC,CA

上運(yùn)動，滿足40=座=。尸.（1）求證：ADF^BED；（2）設(shè)AD的長為無，DEF的面積為》求y關(guān)于

》的函數(shù)解析式；（3）結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述，/）￡戶的面積隨AO的增大如何變化.

20.（23-24山東八年級上期中）問題背景：課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個命題:

（4）

①如圖（1）,在正44BC中，M、N分別是AC、AB上的點，與CN相交于點。，若NBON=60。，則

=CN；②如圖（2）,在正方形ABC。中，M、N分別是C。、上的點，與CN相交于點O,若NBON

二90。，則BAf=CN.

然后運(yùn)用類似的思想提出了如下命題：③如圖（3）,在正五邊形A8CQE中，M、N分別是CZ）、￡>￡上的點，

與CN相交于點O,若/BON=108。，則8M=CN.

任務(wù)要求：（1）請你從①②③三個命題中選擇一個進(jìn)行證明；（2）請你繼續(xù)完成下面的探索；

①在正力（?>3）邊形A8COEF…中，M、N分別是C￡>、OE上的點，與CN相交于點O,試問當(dāng)/BON

等于多少度時，結(jié)論BM=CN成立（不要求證明）；

②如圖（4）,在正五邊形A2CDE中，M.N分別是。￡AE上的點，與CN相交于點O,/BON=108。

時，試問結(jié)論8M=CN是否成立.若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.

21.（23-24九年級?四川綿陽?期末）小明在學(xué)習(xí)過程中，對教材的一個習(xí)題做如下探究：

【習(xí)題回顧工如圖，在等邊三角形ABC的AC、3c邊上各取一點P,。使AP=C。，AQ,BP相交于點。,

求480。的度數(shù).請你解答該習(xí)題.

【拓展延伸】：（1）如圖1,在等腰的AC,BC邊上各取一點P,Q,使AP=CQ,成平分/ABC,

AQ=42,ABAC=90°,求8尸的長.小明的思路：過點A作AG3c交3尸延長線于點G,證明

△AQCmXGPA、…

AR1

（2）如圖2,在Rt^ABC的AC,3c邊上各取一點尸、Q,使CQ=2AP,BP平分/ABC,—

ZBAC=90°,求A。BP的數(shù)量關(guān)系，請你解答小明提出的問題.

22.（23-24八年級上?福建福州?階段練習(xí)）如圖：VABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，

由點A向點C運(yùn)動（尸與點A、C不重合），點。同時以點尸相同的速度，由點8向CB延長線方向運(yùn)動（點

。不與點3重合），過點尸作于點E,連接尸。交A3于點。.

A

（1）若設(shè)"的長為x,則PC=,QC=

（2）當(dāng)NBQD=30。時，求AP的長；（3）點P,。在運(yùn)動過程中，線段即的長是否發(fā)生變化？請說明理由.

23.（2023?河南開封?一模）教材呈現(xiàn)：如下為華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第65頁的部分類容.

做一做：如圖，已知兩條線段和一個角，以長的線段為已知角的鄰邊，短的線段為已知角的對邊，畫一個

三角形.把你畫的三角形與其他同學(xué)畫的三角形進(jìn)行比較，所畫的三角形都全等嗎?此時，符合條件的角形

有多少種？

（1）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1,通過作圖我們可以發(fā)現(xiàn)，此時（即“邊邊角”對應(yīng)相等）的兩個三角形

全等.（填“一定”或“不一定”）

（2）【探究證明】已知：如圖2,在VABC和DEF中，ZB=ZE,AC=DF,ZC+ZF=180°（ZC<ZF）.

求證：AB=DE.證明：在BC上取一點G,使AG=AC.請補(bǔ)全完整證明過程：

（3）【拓展應(yīng)用】在VABC中，=AC,點。在射線54上，點E在AC的延長線上，^,BD=CE,連接DE,

DE與邊所在的直線交于點過點。作3c交直線2c于點若3c=4,CF=1,則

.（直接寫出答案）

圖1

圖2

24.（2023九年級上?江蘇?專題練習(xí)）已知，如圖1,在等腰VABC中，A3=AC=6,3C=1。，點E是射線創(chuàng)

上的動點，點。是邊2C上的動點，且BD=DE,射線。E交射線C4于點?

⑴求證：ABCsDBE；（2）連接A￡>,如果△AED是以AE為腰的等腰三角形，求線段9的長；

（3）如圖2,當(dāng)點E在邊上時，連接若NBFD=NACE,線段8。的長為

25.（2024?陜西渭南?一模）【問題提出】（1）如圖1,4〃，2,A、。在乙上，B、C在4上，AB//CD,若AB=5,

則CO的長為；

【問題探究】（2）如圖2,已知VABC是等邊三角形，D、E分別為BC、AC上的點，且CD=AE,連接

AD、BE.求證：BE=AD；

【問題解決】（3）如圖3是某公園一塊四邊形空地ABCD,其中AD〃臺C,3c=400米，C￡>=390米，

tanC=2.4,P、。分別在AB、CD上，SLDP=AD,PQ是平行于2C的一條綠化帶，E、尸是線段PQ上的

兩個動點（點E在點F的左側(cè)），砂=100米，M在線段。P上運(yùn)動（不含端點），且保持。心=尸產(chǎn)，管理

人員計劃沿3EAM鋪設(shè)兩條筆直的水管，為了節(jié)省費用，公園負(fù)責(zé)人要求這兩條水管的長度之和（即

BE+AM的值）最小，求這兩條水管的長度之和的最小值.（綠化帶、水管寬度均忽略不計）

專題14三角形中的重要模型之帽子模型、等邊截等長與等邊內(nèi)接等邊模型

等腰（等邊）三角形是中學(xué)階段非常重要三角形，具有許多獨特的性質(zhì)和判定定理。中考數(shù)學(xué)的常客,

并且形式多樣，內(nèi)容新穎，能較好地考查同學(xué)們的相關(guān)能力。本專題將把等腰三角形的三類重要模型作系

統(tǒng)的歸納與介紹，方便大家對它有個全面的了解與掌握。

例題講模型

.......................................................................................................................................................20

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（長短手模型）.................................20

模型2.等邊截等長模型（定角模型）..................................................26

模型3.等邊內(nèi)接等邊.................................................................30

習(xí)題練模型一

例題講模型I]

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（長短手模型）

模型解讀

帽子模型，其實是等腰三角形獨特性質(zhì)的應(yīng)用，因為模型很像帽子，學(xué)習(xí)知識點的同時也增加了趣味性。

模型證明

條件：如圖，已知AB=AC,BD=CE,DG±BC^G,結(jié)論：①DF=FE；②BC=2FG。

證明：如圖，過點。作。AC交5c于X,則/陽D=ZDHF=ZECF,

AB=AC,：.ZB=ZACB,:.NB=/BHD,ABD=DH,VCE=BD,：.DH=CE,

"NDHF=ZECF

在△力H尸和/\ECF中,<NDFH=NEFC.：.DHFRiECF（AAS）,:.DF=EF；

DH=EC

.DHF沿；ECF,:.FH=CF=、CH,VBD=DH,DGJLBC,：.BG^GH=-BH,

22

：.FG=GH+FH=-BH+-CH=-BC,；.BC=2FG.

222

模型運(yùn)用

例1.（23-24八年級上?廣東中山?期末）如圖，ABC中，AB=AC,BC=10,點尸從點8出發(fā)沿線段

出移動到點A停止，同時點。從點C出發(fā)沿AC的延長線移動，并與點P同時停止.已知點P,。移動

的速度相同，連接尸。與線段8c相交于點。（不考慮點P與點A,8重合時的情況）.

AA

(1)求證：AP+AQ=2AB；(2)求證：PD=DQ.(3)如圖，過點尸作PELBC于點E,在點P,。移動的過程

中，線段DE的長度是否變化?如果不變，請求出這個長度；如果變化，請說明理由.

【答案】⑴見解析⑵見解析⑶即為定值5,理由見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，線段的和差，

準(zhǔn)確作出輔助線找出全等三角形是解題關(guān)鍵.

(1)利用P、。的移動速度相同，得到CQ=M,利用線段間的關(guān)系即可推出AP+AQ=2"；(2)過點

尸作P尸〃AC,交BC于點F,利用等邊對等角結(jié)合己知可證，尸如絲.QCD(AAS),即可得出結(jié)論；

(3)過點尸作P尸〃AC,交BC于點尸，由(2)得PB=PF,可知為等腰三角形，結(jié)合FD=CD,

可得出=即可得出ED為定值.

【詳解】(1)證明：P、。的移動速度相同，...CQ=P8,

AB=AC,AP+AQ=AB-PB+AC+CQ=2AB.

(2)如圖，過點P作尸尸〃AC,交BC于點、F,

PF//AC,：./PFB=ZACB,ZDPF=ZDQC,

AB=AC,：.ZB=ZACB,:.ZB=ZPFB,:.BP=PF,由(1)得BP=CQ,PF=CQ,

ZPDF=ZQDC

在與，。CQ中，\ZDPF=ZDQC,..eCD(AAS),:.PD=DQ;

PF=CQ

（3）解：即為定值5,理由如下：如圖，過點尸作尸尸〃AC,交BC于點F,

由（2）得：尸2=尸尸，.?.△PSP為等腰三角形，

PE1BC,;.BE=EF,由（2）得八PFD冬八QCD,：.FD=CD,

:.ED=EF+FD=^BF+^CF=^（BF+CF）=^BC=5,二ED為定值5.

例2.（24-25九年級上?山西臨汾?階段練習(xí)）綜合與探究

問題情境：在VABC中，AB=AC,在射線A3上截取線段在射線C4上截取線段CE,連結(jié)￡>E,DE

所在直線交直線2C于點M.

猜想判斷：（1）當(dāng)點。在邊的延長線上，點E在邊AC上時，過點E作砂〃AB交2C于點凡如圖①.若

BD=CE,則線段。暇、的大小關(guān)系為.

深入探究：（2）當(dāng)點。在邊A3的延長線上，點E在邊C4的延長線上時，如圖②.若BD=CE,判斷線段

DM、EM的大小關(guān)系，并加以證明.

拓展應(yīng)用：（3）當(dāng)點。在邊A3上（點。不與A、8重合），點E在邊C4的延長線上時，如圖③.若3￡>=1,

CE=4,DM=0.1,求府的長.

【答案】（1）DM=EM-（2）DM=EM,理由見解析；（3）EM=2.8

【分析】（1）過點E作跖〃AB交BC于點兒證明，瓦加f烏FEM（AAS）即可得解；

（2）過點￡作砂〃AB交CB的延長線于點片證明BDMZaEaaAAS）即可得解；

（3）過點E作EF〃AB交CB的延長線于點孔證明BDM^.-.FEM,由相似三角形的性質(zhì)即可得解.

【詳解】（1）解：DM=EM,理由如下：過點石作跖〃相交2C于點足

圖①

VAB=AC,:.ZABC=ZC,VEF//AB,:.ZEFC=ZABC,:.NEFC=NC,:.EF=CE

BD=CE;.BD=EF,VEF//AB,：.ZMEF=ZD,

ND=NMEF

在aBDM和AFEM中，,ZBMD=NFME,：.BDM-FEM（AAS），,DM=EM；

BD=EM

（2）解：DM=EM

理由如下：如圖，過點E作砂〃AB交CB的延長線于點凡

AB=ACZ.ABC—Z.CZ.EFC—/CEF=CEBD=CE/.BD=EF

ZEFM=/DBM

在SDM和AFEM中，,NBMD=ZFME,/.BDMgFEM(AAS),DM=EM；

BD=EF

（3）解：如圖，過點E作所〃AB交CB的延長線于點尸

VEF//AB,:.ZF=ZABCAB=AC:.ZABC=ZC:.ZF=ZC

CE=4:.EF=CE=4QBD〃EFBDM^FEM—

MEFE

0.71

DM=0.7,EF=4,BD=1,-----=—EM=2.8.

ME4

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平

行線的性質(zhì)等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵.

例3.（2024?貴州銅仁?模擬預(yù)測）如圖，過邊長為6的等邊的邊A3上一點尸，作尸于E,。為

5C延長線上一點，連尸。交AC邊于O,當(dāng)B4=C。時，的長為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)題意過P作BC的平行線，交AC于M；則AAPM也是等邊三角形，在等邊三角形APM中，

PE是AM上的高，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)知AE=EM；易證得APMD也ZkQCD,則DM=CD；此

時發(fā)現(xiàn)DE的長正好是AC的一半，由此得解.

【詳解】解：過P作PM〃:BC,交AC于M,

ABC是等邊三角形，且PM〃BC,.「△APM是等邊三角形;

又YPELAM,.\AE=EM=1AM;（等邊三角形三線合一）

VPM/7CQ,；./PMD=/QCD,ZMPD=ZQ；

ZPDM=ZQDC

又：PA=PM=CQ,在APMD和AQCD中，＜ZPMD=ZQCD,

PM=QC

/.APMD^AQCD(AAS)；；.CD=DM=；CM；

.,.DE=DM+ME=y(AM+MC)=3AC=3.故選：C.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)；能夠正確的構(gòu)建出等邊

三角形AAPM是解答此題的關(guān)鍵.

例4.(2024?河南?校考一模)問題背景：已知在VABC中，邊AB上的動點D由A向B運(yùn)動(與A,B不重

合)，同時點E由點C沿BC的延長線方向運(yùn)動(E不與C重合)，連接DE交AC于點F,點H是線段AF上

一點，求黑的值.

HF

(1)初步嘗試：如圖①，若VABC是等邊三角形，DHLAC,且點D、E的運(yùn)動速度相等，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)

可以過點D作￡>G〃3C交AC于點G,先證GH=AH,再證Gb=CF,從而求得寸的值為________；

HF

(2)類比探究：如圖②，若VABC中，ZABC=90°,ZADH=ZBAC=30°,且點D,E的運(yùn)動速度之比是

AC

61,求煞的值；

(3)延伸拓展：如圖③，若在VA3C中，AB=AC,ZADH=ABAC=36°,記丁；=根，且點D、E的運(yùn)動

AC

速度相等，試用含m的代數(shù)式表示會的值（直接寫出結(jié)果,不必寫解答過程）.

HF

m

【詳解】解:(1)2；

【解法提示】如解圖①,過點D作。G3c交AC于點G,

圖③

AABC是等邊三角形，，AAGD是等邊三角形,

AD=GD,由題意知CE=AT>,:.CE=GD,

,：DGBC,，Z.GDF=ZCEF,

ZGDF=ZCEF

在dGDF與ACEF中,<ZGFD=ZEFC,AGDF^ACEF(AAS),：.CF=GF,

CE=GD

VDHLAG,:.AH=GH,：.AC=AG+CG=2GH+2GF=2(GH+GF),HF=GH+GF,：.—=2；

HF

(2)如解圖②，過點D作。GBC交AC于點G,則ZADG=ZA8C=90,

VZBAC^ZADH=30,：.AH=DH,NGHD=NBAC+ZADH=6。，

ZHDG=ZADG-ZADH=60,.?.△DGH為等邊三角形，GD=G"=D"=AH,A￡>=GDtan60=^GD.

由題意可知，AD=ACE.:.GD=CE.'：DGBC,ZGDF=ZCEF.

ZGDF=ZCEF

在，GDF與ACEF中，<NGFD=NEFC,：._GDF^CEF(AAS),：.GF=CF.

CE=GD

1AC

GH+GF=AH+CF,HF^AH+CF,：.HF=-AC=2,即——=2；

2HF

A「yyi_1_1

(3)黑="二如解圖③，過點D作。GBC交AC于點G,

HFm

易得AD=AG,AD=EC,ZAGD=ZACB.

在VABC中，VZBAC=ZADH=36,AB=AC,

:?AH=DH,ZACB=/B=72,ZGHD=ZHAD+ZADH=72,ZAGD=ZGHD=72,

?:Z.GHD=/B=ZHGD=ZACB,AABC^ADGH.

BCGH

-----=m,：.GH=mDH=mAH.由△ADG^AABC可得些=生二"=

ACDHADABAC

FG_GDGD

?.?DGBC,---二m.FG=mFC.

~FC-ECAD

：.GH+FG=m(AH+FC)=m(AC—HF),^HF=m(AC-HF)..?.止

HFm

模型2.等邊截等長模型（定角模型）

模型解讀

條件：如圖，在等邊VABC中，點O,E分別在邊BC,AC±,S.AE=CD,8E與AD相交于點P,BQ±AD

于點2.結(jié)論：①ABE^CAD-,?AD=BE；③/9工＞=60。；?BQ=2PQ.

模型證明

證明：在等邊三角形A3C中，AB=AC,ZBAE=ZC=60°,

AB=AC

在」.ABE和CAD中，＜NBAE=ZC,AASE絲△C4D(SAS),：.AD=BE,ZCAD=ZABE；

AE=CD

ZBPQ=ZABE+ZBAP=ZCAD+ZBAP=ZBAE=60°.

BQ1AD,：.ZPBQ=3Q°,：.BQ=2PQ.

模型運(yùn)用

例1.(2024?四川宜賓?中考真題)如圖，點。、E分別是等邊三角形ABC邊BC、AC上的點，且8D=CE,

班與AD交于點尸.求證：AD=BE.

【答案】見解析

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出"=BC,

ZABD=/BCE=60。,然后根據(jù)SAS證明一ABD也一BCE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證.

【詳解】證明：：ABC是等邊三角形，AAB=BC,ZABD=NBCE=60。,

又BD=CE,：.AABD^ABCE(SAS),:.AD=BE.

例2.(2024八年級.重慶?培優(yōu))如圖，ABC為等邊三角形，且3M=CN,AM與M相交于點P,則ZAPN

().

A.等于70。B.等于60。C.等于50°D.大小不確定

【答案】B

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，先證明

△ABM^ABCTV(SAS),得到ZBAM=NCBN,在三角形外角性質(zhì)求解即可.

【詳解】：等邊，ABC，:.BC=CA=AB,?BCN?CAB?ABC60?,

AB=BC

?：<AABM=ZBCN,：.AABM^ABGV(SAS),:.NBAM=/CBN,

BM=CN

V?APN?ABP?BAM,：.1APN2ABp?CBN?ABM60?,故選B.

例3.（23-24八年級?廣東中山?期中）如圖，在等邊VABC中，點E分別在邊3C、AC上，且AE=CD,

班與AD相交于點尸，于點。.⑴求證：BE=AD；⑵若PQ=4,求8尸的長.

【答案】（1）見解析（2）8

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌

握以上知識點并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.（1）證明，ABE會二CW即可得證；

（2）求出NPBQ=3。。，再根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】（1）證明：為等邊三角形，；.A5=AC,ZBAC=ZC=60°,

AB=AC

在，A