專題2-12拋物線解答題十一大題型匯總

◎常考題型目錄

題型1弦長問題......................................................................1

題型2中點(diǎn)弦問題...................................................................7

題型3直線方程問題................................................................13

題型4面積問題.....................................................................19

題型5取值范圍問題................................................................26

題型6最值問題.....................................................................36

題型1定點(diǎn)問題.....................................................................47

題型8定值問題.....................................................................56

題型9定直線問題..................................................................64

題型10向量問題....................................................................72

題型11探索性問題..................................................................82

但題型分類

題型1弦長問題

2【方法總結(jié)】

弦長計(jì)算方法：

(1)由已知條件，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出過焦點(diǎn)的直線方程，聯(lián)立拋物線方程得X1+久2，根據(jù)

拋物線的定義有|4B|=Xi+%2+P，求弦長；

、I

、(

(2)聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合弦長公式求弦長.

'Z.AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA.J

【例題1](21-22上?攀枝花階段練習(xí))已知拋物線C:y2=2p%的焦點(diǎn)為F,M。。為拋物

線C上的點(diǎn)，且IMFI=|.

Q)求拋物線c的方程；

(2)若直線y=%與拋物線C相交于4,B兩點(diǎn)，求弦長|4B].

【答案】⑴y2=2x

(2)4

【分析】(1)由焦半徑公式得p=1,進(jìn)而得拋物線方程;

(2)聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式求解即可.

2

【詳解】(1)解M(l,t)在拋物線C:y=2Px上，且|MF|=|\MF\=xM+=1+,

則p=1,

故拋物線C的方程為y2=2X;

(2)解：聯(lián)立?:“一之，可得--3X+：=0.

3=2久4

設(shè)，%)IB(X2,為)，貝！1巧+%2=3,萬/2—~,

\AB|—V2.%-%21=V2-'[x、+孫尸—4%1乂2=V2?/s2—4X1=4.

【變式1-1]1.(22.23上?南岸?期末)已知點(diǎn)M(1,O),直線「久=-2,平面內(nèi)存在點(diǎn)P,

使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離比到直線/的距離小1.

Q)求點(diǎn)P的軌跡方程C.

(2)已知直線G：y=1%+l,求％被曲線C截得的弦長.

【答案】⑴y2=4%

(2)4710

【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義即可求解.

(2)將直線方程與曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長公式即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)M(l,0),直線「久=-2,平面內(nèi)存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離比

到直線1的距離小1,也即點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離等于到直線x=-1的距離，

由拋物線的定義可知：點(diǎn)P的軌跡是以M(l,0)為焦點(diǎn)，以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，

所以點(diǎn)P的軌跡方程為：y2=4%.

2

(2)由(1)可知:曲線C的方程為：y=4x,設(shè)直線Z2與曲線C交于4g,%)，B(x2,y2),

聯(lián)立方程組yyX+1,消元可得：y2-8y+8=0,

Iy2=4x

所以丫1+%=8,yvy2=8,由弦長公式可得：|力B|=J1+1|yx-y21=V5x

，(乃+、2)2—4yly2=V5x4A/2=4V10,

所以G被曲線C截得的弦長為4VTU.

【變式1-1]2.(21-22上?北京?期末)已知拋物線*=2PMp>0)的準(zhǔn)線方程是x=-，

直線x-y-2=0與拋物線相交于M、N兩點(diǎn).

(1)求拋物線的方程；

(2)求弦長|MN|；

⑶設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：OM1ON.

【答案】⑴y2=2x;

(2)2710；

⑶詳見解析.

【分析】(1)根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程求解；

(2)由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長公式求解；

(3)結(jié)合韋達(dá)定理，利用數(shù)量積運(yùn)算證明；

【詳解】(1)解：因?yàn)閽佄锞€*=2Px(p>0)的準(zhǔn)線方程是x=~1，

所以一]=解得P=l,

所以拋物線的方程是7=2%;

(2)由「17~0'得/-6x+4=0,

Iyz=2x

設(shè)M(Xl，%),N(%2，y2)，

則久1+孫=6,K1,乂2=4,

2

所以|MN|=72/(%!+%2)-4%1-x2=2V10；

(3)因?yàn)椤-ON=%％，

=2工1?x2-2(%+x2)+4,

=2x4-2x64-4=0,

所以而1而,

即。M1ON.

【變式1-1]3.(20-21上福州期中)已知直線1經(jīng)過拋物線產(chǎn)=6x的焦點(diǎn)尸,且與拋物線

相交于4B兩點(diǎn).

(1)若直線/的傾斜角為60。,求|明的值;

(2)若以線段AB為直徑的圓截y軸所得到的弦長為6,求此圓的半徑.

【答案】(1)\AB\=8；(2)]

【分析】(1)由傾斜角求直線的斜率k,拋物線方程求F點(diǎn)坐標(biāo)，由直線過拋物線焦點(diǎn)F,

寫出直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得巧，結(jié)合拋物線定義知|力團(tuán)=

+%2+P即口」求弦k；

(2)先討論直線1的斜率不存在時(shí)得不滿足條件，再討論直線，的斜率存在時(shí)，設(shè)直線Z的方

程為y=fc(%-|)(fc^O)，聯(lián)立方程得以線段4B為直徑的圓的圓心為(嚓要()，半徑為r=

施訓(xùn)=吟進(jìn)而根據(jù)題意得(空了+32=(筌丫，解方程得k=±2代入r=1\AB\=

衰即可得答案.

【詳解】解：(1)由直線珀勺傾斜角為60。，則斜率k=tan60°=遮.又F(|,0),

「.直線/的方程為y=百-.

y2=6xc

聯(lián)AZy=遮_3)，消去y得%2—5%+[=0.

若設(shè)4(%i，%),8(%2①)-則％i+%2=5,

而1=\AF\+\BF|=%+]+久2+T+%2+P/且P=3,

：.\AB\=5+3=8.

(2)當(dāng)直線珀勺斜率不存在時(shí)，直線2的方程為x=|,\AB\=2p=6,

此時(shí)以線段48為直徑的圓的方程為(x—I?+*=9,截y軸所得到的弦長為3b,不滿足

條件；

當(dāng)直線1的斜率存在時(shí)，設(shè)直線珀勺方程為y=fc(x-|)(fc^O),

2

y=6xQ

聯(lián)立b=k(x_力，消去y得―(6+3k2)x+.2=0,

設(shè)4(%1，%)，B(x2,y2).貝hi+乂2=，工1久2=；，

所以%+y2=fc(%1-I)+fc(x2-I)=/<:(%1+x2)-3k=3k=,

所以|4B\=xr+x2+p=xr+x2=+3=

所以以線段AB為直徑的圓的圓心為,半徑為r=\\AB\=空,

因?yàn)橐跃€段AB為直徑的圓截y軸所得到的弦長為6

所以(空)2+232=(喑)，整理得9k2(右一4)=0,解得人=4,

所以圓的半徑r=[MB|=空=4=學(xué).

22H84

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

【變式1-114.(20-21上?沙坪壩期中)已知點(diǎn)M(-3,0)，點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的

正半軸上，點(diǎn)N在直線PQ上,且滿足赤.PN=0,PN=^PQ.

(1)當(dāng)P點(diǎn)在y軸上移動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡C的方程；

(2)過點(diǎn)7(2,0)作一直線交曲線C于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△2。7的面積是4BOT

面積的2倍，求弦長|4B|.

【答案】(l)y2=|x(*>o)；(2)等

【解析】(1)設(shè)N(x,y),由已知向量的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系得(3,2y)?(x,-y)=0,即可知

N的軌跡C的方程；

(2)由直線與拋物線相交關(guān)系,令直線AB的方程為:x=my+2,4(%”力，B(x2,y2),

J>0

a

聯(lián)立方程，應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系有｛yi+y2^-m,結(jié)合已知條件、弦長公式即可求MB

為力=-3

【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)N(x,y),由麗=]而，得P(0,2y),Q(2x,0),

由加?麗=。得(3,2y)?(%,-y)=0,

所以y2=|x.又因?yàn)辄c(diǎn)Q在x軸的正半軸上，

.'.y2=|x(x>0).

(2)設(shè)直線AB的方程為：x=my+2,4(%,力),夕⑸㈤，

x=my+24>03

聯(lián)立｛2=3X，消去X得：2必-3my-6=0,故出+%=”，

27172=-3

又&4。7的面積是八BOT面積的2倍，得力=-2y2,聯(lián)立方程解得爪2=|,

2

由弦長公式可得：|=V1+m-|yi-y21="史'-

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

(1)由向量的數(shù)量關(guān)系，應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.

(2)根據(jù)直線與拋物線相交，設(shè)直線方程“=my+2并聯(lián)立拋物線方程，得到為+%、%%

結(jié)合已知求參數(shù)m,根據(jù)弦長公式求弦長.

【變式1-U5.(20-21上?全國?期末)在平面直角坐標(biāo)系久Oy中,已知點(diǎn)F(0,3),E(2,-3),

動(dòng)點(diǎn)C滿足關(guān)系式1b-EC\=3\CF\.

(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡”的方程；

(2)過點(diǎn)F作一直線43交用于48兩點(diǎn)，若ABOF的面積是44。尸的面積的2倍，求弦長|4B].

【答案】(1)/=I2y；(2)條

—>—>—>

【分析】(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)CQ,y),則有。F=(0,3)下。=(久-2/+3),。9=(一居3-)/).由

\0F-EC\-3時(shí)可得動(dòng)點(diǎn)C的軌跡M的方程；

（2）設(shè)力（x“i）,B（X2，y2），由&BOF=2s44"得到乂2=-2%1,將其代入韋達(dá)定理可解得k,

進(jìn)而由弦長公式得到弦長|力用.

【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)C（x,y）,則有。尸=（0,3）,FC=（萬一2,y+3）,CF=（-x,3-y）.

又由甘.朗=3同，得|3（y+3）|=3“2+（3—y）2,

化簡得/=12y.故所求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡M的方程為/=12y.

（2）如圖/設(shè)4（%1，月）,8（工2，、2）,由S/BOF=2s440F,

得茨。F|■\x2\=2x||OF|-IxJ,且久1%2<0,可得%2=

由于直線4B過點(diǎn)尸（0,3）,顯然直線與x軸不垂直，

設(shè)直線28的方程為y=日+3,代入方程久2=12y中,

整理得/-12kx-36=0,其/>。顯然成立，

由韋達(dá)定理得％i+x2=12k②,%]K2=-36③.

由①②得X[=-12k,x2-24k，代入③得k=±乎；

22

由弦長公式得[4引=Vl+k-\xr—x2\—V1+k?|36/c|=多

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（2）問的關(guān)鍵點(diǎn)是：設(shè)4（%1，%）4（%2，、2），由a80尸=2sMO尸得

-

至！］%2=2xv

題型2中點(diǎn)弦問題

【方法總結(jié)】

(1)求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法有：待定系數(shù)法、定義法、直接法、代入法、參數(shù)方程

法；彳

(2)“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問

題.

(3)針對(duì)中點(diǎn)弦這一特殊問題的專用方法一點(diǎn)差法.

LA.AA.A.A,A.A,A.A.A,A.A,A,A.A.A,A.A,A.A,A,A.A.A,A.A.AA.A.A.A.A,A.A,A.A,A,A.A.A,A.A,A.A,A,A.A.AA.A.A.A.A.AA.A.A.A,A.A,A,A.A,A,A,A,A.A,

【例題2](23-24上漢中模擬預(yù)測(cè))已知拋物線C:y2=2Pxe＞。)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)4(6,%)

在拋物線C上，且|4F|=10.

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知直線/交拋物線C于M,N兩點(diǎn)，且點(diǎn)(4,2)為線段MN的中點(diǎn)，求直線珀勺方程.

【答案】⑴y2=16x

(2)4x—y—14—0

【分析】(1)利用拋物線定義可求得P=8,即可求出拋物線C的方程；

(2)由弦中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2)并利用點(diǎn)差法即可求得直線1的斜率為4,便可得直線方程.

【詳解】(1)點(diǎn)4(6,%)在拋物線C上,

由拋物線定義可得=6+?=10,解得p=8,

故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為必=16%.

(2)設(shè)用(的,月)風(fēng)％2，丫2)，如下圖所示:

則竹=，兩式相減可得比一躬=16(X1-孫)，

\yi=16久2

即(為一、2)(%+丫2)=%2)/

又線段MN的中點(diǎn)為(4,2),可得乃+為=4；

則上”=4,故直線泊勺斜率為4,

%］一%2

所以直線/的方程為y—2=40-4),

即直線/的方程為4x-y-14=0.

【變式2-1］1.(22.23上?貴港?期末)已知三是拋物線C:2=2py(p>0)的焦點(diǎn),M(4,y0)

是拋物線C上一點(diǎn),且|MF|=4.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若直線1與拋物線C交于4B兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(8,12),求直線珀勺斜率.

【答案】(1*=8y

⑵2

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)在拋物線上及焦半徑公式，列方程組求解即可；

(2)設(shè)出4B坐標(biāo)，代入拋物線方程，結(jié)合弦中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法即可求得直線的斜率.

【詳解】(1)由題可知，｛:;皆，解得｛々二j，故拋物線C的方程為/=8y.

(2)設(shè)心,yj,*,%)，則卜產(chǎn)警，兩式相減得好一彩=8(%—%),

3=8y2

即皿=血詈.因?yàn)榫€段48的中點(diǎn)坐標(biāo)為(8,12),所以/+上=16,則皿=2,

%］一%2oX1一%2

故直線I的斜率為2.

【變式2-1]2.(23-24上?全國?課時(shí)練習(xí))已知拋物線C:*=2%的焦點(diǎn)為F,平行于x軸

的兩條直線k,12分別交C于A,B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線I于P,Q兩點(diǎn).

(1)若F在線段4B上,R是PQ的中點(diǎn)，力R與FQ平行嗎?

⑵若△PQF的面積是44BF的2倍，求4B中點(diǎn)的軌跡方程.

【答案】⑴2R//FQ；

(2)y2=x—1.

【分析】(1)求出拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，設(shè)出直線Z〃2的方程，并求出點(diǎn)4B,P,Q,R

的坐標(biāo)，利用共線向量的坐標(biāo)表示推理作答.

(2)根據(jù)給定條件，求出直線48與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出28的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用共線向量

的坐標(biāo)表示求解作答.

【詳解】(1)拋物線C：y2=2x的焦點(diǎn)F00),準(zhǔn)線入=如圖，

設(shè)0:y=a，G：y=b,則帥70,得力得㈤,B(y,fa),P(-|,a),Q(-斯)，R(一等)，

則市=(竽-，a-b),瓦？=(手一支a),由F在線段AB上，得瓦?〃港，

于是a(5-y)=(a-h)(y-1),顯然a豐b,整理得ab=-1,

RA=等)=|(a2-ab,a-/?)=等(見1),QF=(1,-Z?)=(-ab,-b)=-b(a,l),

因此前〃證,顯然點(diǎn)R不在直線QF上，

所以AR〃/Q.

(2)如圖，設(shè)直線AB與x軸相交于點(diǎn)。區(qū),0),

由(1加I,△4BF的面積S“BF=^\a-b\\FD\=^\a-b\\X1-^,△PQF的面積〃「。尸=呼，

依題意，SAPQF=2S&ABF，即用以=\a-b\-^|,而a-6H0,解得=。或/=1,

由于%i=。時(shí)，點(diǎn)。與4B之一重合，有ab=0,矛盾，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,0),

設(shè)4B的中點(diǎn)為E(x,y),則尻=(x-l,y),由話〃瓦f，得丫(9一y)=(a-h)(x-1),

即等y=x-l,又等=y,于是*=x-1,

所以所求的軌跡方程為必=X-1.

【變式2-1]3.(22.23下?呼倫貝爾?階段練習(xí))已知拋物線C:/=-2py(p>0)的焦點(diǎn)為

F,4(久0，-9)是拋物線。上的點(diǎn)，且|4F|=15.

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知直線/交拋物線C于M,N兩點(diǎn),且MN的中點(diǎn)為(6,-4),求直線珀勺方程.

【答案】⑴/=-24y

(2)x+2y+2=0

【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義求解；

(2)設(shè)點(diǎn)代入拋物線方程，然后利用點(diǎn)差法求解直線的斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式即可解得直

線的方程；

【詳解】(1)因?yàn)?"1=9+卜15,

所以P=12,

故拋物線C的方程為產(chǎn)=-24y.

易知直線，的斜率存在，設(shè)直線/的斜率為k,M(Xi，yI),N(X2，y2)，

則付=—24%,

I據(jù)=-24y2,

兩式相減得就-蟾=-24(%-%),整理得上”=-華.

因?yàn)镸N的中點(diǎn)為(6,-4),所以卜=皿=一卷=一巳

所以直線/的方程為y+4=(%-6),即x+2y+2=0.

【變式2-1J4.(22.23下?安康?期末)已知拋物線C爐=2PMp>0)上一點(diǎn)M(l,a)(m>

0)與焦點(diǎn)的距離為2.

(1)求p和m;

(2)若在拋物線C上存在點(diǎn)A,B,使得MA1MB,設(shè)4B的中點(diǎn)為D,且D到拋物線C的準(zhǔn)

線的距離為9,求點(diǎn)D的坐標(biāo).

【答案】(l)p=2,m=2

(2)停,1)或得一3).

【分析】(1)根據(jù)拋物線的性質(zhì)，求出P=2,然后將代入拋物線的方程即可求出

m;

(2)根據(jù)D到拋物線C的準(zhǔn)線的距離求出D的橫坐標(biāo)，將M41M8轉(zhuǎn)為的的=-1，從

而得到月%=-2(乃+%)-20,兩者結(jié)合即可求出月+%,即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo).

【詳解】(1)設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F,根據(jù)題意可知川=1+^=2,解得p=2.

故拋物線C：y2=4%.

因?yàn)镸在拋物線C上,所以加2=4.又因?yàn)榻?gt;0,所以巾=2.

（2）設(shè)力（F，yJ,B（9/2）,D（%o，y0）,直線AM的斜率為七，直線MB的斜率為的.

易知心，的一定存在，則的=*，的=*.

T-1T-1

由AM1MB,得的七=-1,即產(chǎn)?滬=一1,化簡得（月+2）（為+2）=-16,即%為=

7TV1

-2（%+先）-20.

因?yàn)镈到拋物線C的準(zhǔn)線的距離刈=x。+1=募，所以久。=皆=葭，

則Xi+x2=13,即?+牛=13,資+乃=52.

22

（71+y2）=52+2y,2=52+2[-2（乃+y2）-20],即（％+y2）+4（%+y2）-12=0,

解得+為二-6或yi+=2,貝!Jy。=汽絲=一3或%=巴”=1.

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（￡,1）或-3）.

題型3直線方程問題

（人人人人人人人人人人人人人,人人人人人人人人,A人人人人人人人,A人人人人人人人,A人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人g

（【方法總結(jié)】

有關(guān)直線與拋物線的問題，解題方法如下：

（1）根據(jù)題意，列出等量關(guān)系式求得P的值，得到拋物線的方程，利用點(diǎn)在拋物線上點(diǎn)的

坐標(biāo)滿足拋物線方程，求得機(jī)的值；

（2井艮據(jù)題意，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)重心坐標(biāo)公式，列出等量關(guān)系式，根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，

點(diǎn)的坐標(biāo)滿足拋物線方程，聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線方程.

$$

【例題3]（22-23上眉山?期中）如圖，點(diǎn)4（2,8）,B（%i，yi），。（孫義）在拋物線元=2Px上,

且拋物線的焦點(diǎn)尸是△28C的重心，M為BC的中點(diǎn).

yt

w

(1)求拋物線的方程和點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(2)求點(diǎn)M的坐標(biāo)及BC所在的直線方程.

【答案】Q)y2=32x；F(8,0)

(2)M(11,-4)；4x+y-40=0

【分析】Q)將4(2,8)代入V=2Px求得p值，得到點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(曲,光)，根據(jù)褊=2麗即可求出線段BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)；

由小得噎=T再求出直線所在直線的方程?

【詳解】(1)由點(diǎn)2(2,8)在拋物線必=2Px上，有8?=2pX2,解得p=16.

所以拋物線方程為必=32%,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(8,0).

(2)由于尸是4ABC的重心，M是線段BC的中點(diǎn)，

所以赤=2FM,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xo，%)，

則布=(6,-8),麗=(%—8,%)，

-{6］鱉2/)，解得g==一4，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(111),

由爆二黑得電+%)("%)=32&F，

因?yàn)镸(11，-4)為為BC的中點(diǎn)，故yi+y2=-8,

所以濘i=—4=kBc，

因此BC所在直線的方程為y-(-4)=-4(x-11),

即4x+y-40=0.

【變式3-1]1.(20-21上紹興?期末)已知三角形ABC內(nèi)接于拋物線C:y2=2px(p>0),

拋物線的焦點(diǎn)為F,三角形頂點(diǎn)4(2,m)(ni>0)到拋物線C準(zhǔn)線的距離為10.

(1)求犯p的值.

(2)若△ABC的重心恰是拋物線的焦點(diǎn)F,求8C所在的直線方程.

【答案】(1)爪=8,p=16；(2)lBC:y=-4x4-40.

【分析】(1)根據(jù)拋物線上的點(diǎn)4(2⑹O>0)到準(zhǔn)線的距離，列出等量關(guān)系式，求得p的

值，得到拋物線的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程求得小的值；

(2)設(shè)8(%2，丫2)/C(x3,y3),利用三角形重心坐標(biāo)公式得到了2+%3=22必+丫3=-8,根

據(jù)拋物線上的點(diǎn)滿足拋物線方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線方程.

【詳解】(1)因?yàn)锳到拋物線C準(zhǔn)線的距離為10=々+2np=16,

X(2,m)(m>0)代入拋物線C:y2=32%,得m=8.

(2)由(1)得F(8,0),4(2,8),設(shè)8(如先)，C(x3,y3),

貝!]2+久2+孫=24,8+%+為=0，

故1+%3=220，比+濟(jì)=704=(%=4V21-4于日卜2=H-A/21

*1、2+丫3=-8(y2+y3=-8(y3=-4VH-4'^1%3=11+V21

所以心。=泠=m票=一4,即％ci=-4%+40.

%2—%3-zyzi

【變式3-1]2.(20-21上?沈陽?期末)已知點(diǎn)M到點(diǎn)F(|,0)的距離與它到直線心支=-1的

距離相等

(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)求過點(diǎn)。(0,-2)與點(diǎn)M的軌跡只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程.

【答案】(1)y2=6%;(2)%=。或y=-2或3%+4y+8=0.

【分析】(1)用定義法判斷M的軌跡為拋物線，寫出軌跡方程；

(2)設(shè)出直線方程，利用只有一個(gè)交點(diǎn)(分斜率不存在、斜率存在及與x軸平行或重合)

求出直線方程即可.

【詳解】解：(1)由點(diǎn)M到點(diǎn)尸r|,o>的距離與它到直線1%=司勺距離相等,

可得點(diǎn)M的軌跡為以Fr|,0;為焦點(diǎn)X=-9為準(zhǔn)線的拋物線

?-M的軌跡方程為*=6x

(2)①當(dāng)過點(diǎn)C(0,-1)的直線斜率不存在時(shí)

方程x=。與y2=6x恰有一-交點(diǎn)，符合題意.

②當(dāng)過點(diǎn)C(0,-2)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程y=kx-2

聯(lián)立.2消去y整理得，fc2x2-(4fc+6)%+4=0

當(dāng)k=。時(shí)，方程為y=-2.解得x=|,有一個(gè)交點(diǎn),-2),符合題意

2

當(dāng)kW0時(shí)，△=(4k+6)-4X4fc2=0解得k=

4

方程為y=-|x-2§P3x+4y+8=0

綜上，過點(diǎn)C(0,-2)與點(diǎn)M的軌跡恰有一個(gè)交點(diǎn)的直線

方程為％=0或y=-2或3久+4y+8=0.

【變式3-1]3.(18-19下衡陽?階段練習(xí))已知拋物線E:/=2py(p>0)上一點(diǎn)P的縱坐

標(biāo)為4,且點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為5.

(1)求拋物線E的方程

(2)已知兩直線匕4分別經(jīng)過點(diǎn)尸和”(。，-1)與拋物線E交于4B兩點(diǎn)，G與拋物線E在

第一象限相切于點(diǎn)M,且AABM的面積為8遍,求L的直線方程

【答案】(1)/=4y(2)y=2x+l

【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義，由4+]=5求出p，得到拋物線方程；

(2)根據(jù)％與拋物線E在第一象限相切于點(diǎn)M,利用/=。求出%，得到M點(diǎn)坐標(biāo),

根據(jù)點(diǎn)到直線距離及弦長|4B|可得△4BM的面積，即可求出斜率，得到直線匕方程.

【詳解】(1)因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為y=-：，則4+卜5,

解得P=2,

所以拋物線的方程為/=4y.

(2)由已知設(shè)直線L：y=kx+l,由消去y得/-4以-4=0,

這時(shí)4=16(fc2+1)>0恒成立，

\AB\=Vl+/c2V16(fc2+l)=4(fc2+l)

同理可得直線%：y=k'x-l,由F^1消去y得產(chǎn)―4k'x+4=0

/=16(/2-1)=0,

解得小=1

點(diǎn)”第一象限，則《=1

yM-(-1)攀+i1

XMXM

,,,%”-2

???M(2,l),

則M到匕的距離d=黑

2=卜4(修+1)、焉=8代，

解得k=2,

故直線匕方程為y=2x+1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，弦長公式，

三角形面積，屬于中檔題.

【變式3-1]4.(18-19下河南期中)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過F的

直線/與拋物線C交于2,B兩點(diǎn)，弦4B的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為|,\AB\=5.

(I)求拋物線c的方程；

(n)若直線/的傾斜角為銳角，求與直線［平行且與拋物線C相切的直線方程.

【答案】(I)y2=4x(II)y=2x+1

【分析】(I)由題得巖=I,再利用拋物線的定義求P的值，即得拋物線C的方程；(n)

設(shè)直線/的方程為y=fc(x-1),fc>0根據(jù)已知求出k=2,設(shè)與直線/平行的直線的方程為

y=2x+b,根據(jù)直線和拋物線相切求出b的值得解.

【詳解】(I)設(shè)401，%),8(X2，%)，

因?yàn)?B的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為:,所以臂=|.

根據(jù)拋物線定義知|4B|=\AF\+\BF\=p+X1+x2=5.

所以p+3=5,解得p=2,

所以拋物線C的方程為必=4%.

(n)設(shè)直線，的方程為y=fc(x-1),fc>0.

^3/2,：4”,、得上2K2一(2k2+4)%+々2=0.

y=/c(x—1)

所以Xi+如=哈,即?=3,解得k=2.

設(shè)與直線/平行的直線的方程為y=2x+b,

由［y2=4%得4/+(4b-4)X+b2=0.

(y=2%+力

依題知4=(4b-4)2-16b2=0,解得b=

故所求的切線方程為y=2%+1

【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的

位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.

【變式3-1J5.(20-21上清遠(yuǎn)?期末圮知拋物線必=2Px(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線9-y2=

1的一個(gè)焦點(diǎn)重合.

(1)求拋物線方程；

(2)若直線Z：y-入-2=。與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，求直線Z方程.

【答案】(1)*=8x;(2)y-2=0,或久-y+2-0

2

【解析】(1)利用拋物線Up=2PMp>0)的焦點(diǎn)與雙曲線必=1的一個(gè)焦點(diǎn)重合，

求出P,即可求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)聯(lián)立直線與拋物線方程，消去x得-皈2+8y—16=0,分二次項(xiàng)系數(shù)為零與不為零兩

種情況討論，即可求出參數(shù)k的值，從而得到直線方程；

【詳解】解：(1)雙曲線9-*=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),

???=2p=4,

拋物線c的標(biāo)準(zhǔn)方程為p=8%;

(2)因?yàn)橹本€y-kx-2=。與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，

聯(lián)立方程得/i：U=Q,消去x得—砂2+8y-16=0,

(p=8%

當(dāng)k=。時(shí)，8y-16=0顯然有一個(gè)交點(diǎn)，滿足條件，此時(shí)直線方程為y-2=0;

當(dāng)k豐。時(shí)，4=8?-4X(-fc)X(-16)=0,解得k=1,此時(shí)直線方程為x-y+2=0；

綜上可得，直線方程為y-2=0或x-y+2=0

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與拋物線的位置關(guān)系求參數(shù)的值，屬于中檔題.

題型4面積問題

0人AA八八AAA八八八八八人A人八人人八人八A八八AA八八八人人人人A八八八A人八八人八人八人八人八人八人八人八人人八八人八人八人人人人人《

京【方法總結(jié)】

有關(guān)圓錐曲線弦長、面積問題的求解方法

(1)涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求計(jì)算弦長；涉及垂直關(guān)

系時(shí)也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮

(2)面積問題常采用工=9底x高，其中底往往是弦長，而高用點(diǎn)到直線距離求解即可，

選擇底很重要，選擇容易坐標(biāo)化的弦長為底.有時(shí)根據(jù)所研究三角形的位置，靈活選擇其

面積表達(dá)形式，若求多邊形的面積問題，常轉(zhuǎn)化為三角形的面積后進(jìn)行求解；

(3)在求解有關(guān)直線與圓錐曲線的問題時(shí)，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸及

函數(shù)與方程思想的應(yīng)用.

￡

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAJ

【例題4](22-23下?內(nèi)江?期中)已知F是拋物線C:y2=2PMp>0)的焦點(diǎn),P(l,t)(t>0)

是拋物線上一點(diǎn)，且IPFI=2.

Q)求拋物線C的方程；

(2)斜率為1的且過焦點(diǎn)的直線1與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，求WAB的面積.

【答案】⑴y2=4%

(2)472

【分析】(1)由題可得2=1+1，即可求出P值，即可得到拋物線C的方程；

(2)聯(lián)立直線與拋物線方程，利用弦長公式可求出以用，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三

角形的高，最后利用面積公式即可.

【詳解】(1)由拋物線的定義得IPFI=2=1+，解得p=2，.少2=4%,

即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是P=4x.

(2)由題意得，拋物線的焦點(diǎn)為F(l,0)，令x=1,解得t=2(負(fù)舍)，貝!]P(1,2),

，斜率為1的直線/的方程為y=x-1,即x-y-1=0,設(shè)力(%1，%),8(久2，%)，

2

[y2=4：^x2_6x+1=0(A=6-4xlxl=32>0,

{.y=X—1

+%2=6ix-￡%2=1/

22

.'.\AB\=Vl+1?\xr—x2l=V2?J(%1+&)2-=V2?V6—4x1=8.

點(diǎn)P到直線1的距離為d==V2,

V1+1

所以△P4B的面積SAP.=IX8xV2=4V2.

【變式4-111.(2223?重慶模擬預(yù)測(cè))如圖，已知拋物線C：y2=2PMp>0),F為其

焦點(diǎn)，點(diǎn)4(2,%)在C上,AOAF的面積為4.

⑴求拋物線C的方程；

⑵過點(diǎn)P0n,0)(m>0)作斜率為-1的直線L交拋物線C于點(diǎn)M,N,直線MF交拋物線C

于點(diǎn)Q,以Q為切點(diǎn)作拋物線C的切線%,fi/2///i,求AMNQ的面積.

【答案】⑴y2=Qx

⑵64

【分析】(1)根據(jù)題意列式求解P,即可得結(jié)果；

(2心艮據(jù)題意聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)切線結(jié)合△判別式求相應(yīng)參數(shù)值，

進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】(1)由題意可知：拋物線C的焦點(diǎn)F&0),

將4(2,%)代入拋物線C的方程得：詔=4p,

且P>0,則仇|=2y/p,

因?yàn)?AF的面積為9WX2訴=呼=4,解得p=4,

所以拋物線C的方程為必=8%.

（2）由（1）可得拋物線C的方程為P=8%,焦點(diǎn)F（2,0）,

設(shè)直線L：x=~y+m（m>0）,M（Xi，yi）,N（>2，y2），Q（%3，y3），

聯(lián)立方程『2'1m，消去X得y2+8y-8m=0,

iy—ox

則A=64+32m>0,可得y1+y2=~S,y1y2=-87n,

因?yàn)辄c(diǎn)M（%i，yI）在拋物線上，貝!!無=，即X]=9，

o

Zl_2

所以直線MF的方程為x="y+2=且一2y+2=鏟y+2,

yiyi8yl

聯(lián)立方程卜=/'+2，消去x得p+My—16=0,

、y2=8%yi

可得y，3=-16,即丫3=-竽，

貝尾=吟x（技）+2逐，即嗚，-*

因?yàn)閘2〃，i，可設(shè)I：%=~y+n,

代入嗚VMhi，聯(lián)噬-3

所以"=_y+"2

_32_16

%_一：.一五，消去x得y2+8y+8（/-■=0,

因?yàn)閘為拋物線C的切線，則A=64—32照一登）=0,

整理得比一8%+16=0,解得%=4,

又因?yàn)?+y2=-8,%%=-8m,yry3=-16,

可得力=-12,m=6,y3=-4,

即Q(2,—4),l^.x=—y+6,

可得|MN|=Vl2+(-D2|4-(-12)1=16V2,

點(diǎn)Q(2,-4)到x+y-6=0的距離d=7===4/,

Viz+(-i)z

所以AMNQ的面積SAMNQ=||MW|xd=1xI6V2X4V2=64.

【變式4-l]2.(23.24上?南京?階段練習(xí)股拋物線CV=2PMp>0)的焦點(diǎn)為F,M&C,

Q在準(zhǔn)線上，Q的縱坐標(biāo)為遍p,F到點(diǎn)Q距離為4.

⑴求拋物線C的方程；

(2)過尸且斜率為2的直線1與C交于4B兩點(diǎn)，求44BQ的面積.

【答案】(l)y2=4%

(2)2A/5+V15

【分析】(1)根據(jù)拋物線的方程的得到Q(-(V5p),尸信。)，然后根據(jù)F到點(diǎn)Q的距離為

4列方程，解方程得到p=2即可得到拋物線的方程；

(2)聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理得到,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到三角

形4BQ的高，然后求面積即可.

【詳解】(1)由題意得Q(/Kp),產(chǎn)信0),

所以即I=卜+(一.丫=4,解得「=2或_2(舍去)，

所以拋物線的方程為P=4x.

(2)由(1)可得Qjl,28),尸(1,0),

所以直線48的方程為y=2(%-1),即y=2x-2,

設(shè),B(x2,y2),

聯(lián)立可得——3久+1=0,

所以％1+0=3,+久2+P=5,

設(shè)點(diǎn)Q到直線48的距離為d,貝必=與尋=小誓，

所以SAABQ=IMBI.d=：X5X弋2后=2V5+V15.

【變式4-1]3.（22.23上?省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí)）已知點(diǎn)M（2,-2/）在拋物線。：必=

2PMp>0）上，傾斜角為45。的直線I經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F.

⑴求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵求線段AB的長及△力8。的面積

【答案】⑴y2=4%

⑵|4B|=8；SAABO=2V2

【分析】（1）將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線方程，即可得到結(jié)果；

（2）由題意可得直線/的方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程，結(jié)合焦半徑公式即可得到|4川，

再由點(diǎn)到直線的距離公式，即可得到△力8。的面積

【詳解】（1）由題意可知，將點(diǎn)M（2,-2/）代入拋物線方程，可得（-2/『=2px2,解

得P=2,

則拋物線方程為y2=4x.

（2）由（1）可知，拋物線方程為物=4%，則尸（1,0）,則直線/的方程為y-0=1x（%-1）,

即y=x-1,設(shè)401，%）,B（x2,y2）,聯(lián)立直線與拋物線方程可得，*=,

消去y可得（X-I）2=4X，化簡可得/一6x+1=0,則%+%2=6,

由拋物線焦半徑公式可得，=\AF\+\BF\=久1+%2+。=6+2=8；

由點(diǎn)到直線的距離公式可知，點(diǎn)。到直線用勺距離d=f,

則S-BO=1\AB\'d.-Ix8x^7-2立.

【變式4-1J4.（22-23下?靜安期中）已知斜率為k的直線/經(jīng)過拋物線C：P=4x的焦點(diǎn)F,

且與拋物線。交于不同的兩點(diǎn)43,為）鳳久2，%），記點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5,0）.

(1)若點(diǎn)4和B到拋物線準(zhǔn)線的距離分別為粉3,求|力引；

(2)若斜率k=1,求△4MB的面積；

(3)若AAMB是等腰三角形且|M川=\MB\,求實(shí)數(shù)k.

【答案】⑴/引=：

(2)872

⑶1或—1

【分析】(1)由拋物線的定義求解即可