線段和差最值的存在性問題

1.在平面直角坐標系中，將二次函數y=aY(a)O)的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到如圖

1所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點A、B(點A在點B的左側),OA=1,經過點A的一次函數y=kx+b(k，O)

的圖象與y軸正半軸交于點C,且與拋物線的另一個交點為D,AABD的面積為5.

(1)求拋物線和一次函數的解析式；

(2)拋物線上的動點E在一次函數的圖象下方，求AACE面積的最大值，并求出此時點E的坐標；

(3)若點P為x軸上任意一點.在(2)的結論下，求PE+|PA的最小值.

7B

2.如圖1,在AABC中,AB=AC=3,/BAC=10(F,D是BC邊的中點.

小明對圖1進行了如下操作：在線段AD上任取一點P,連接PB,將線段PB繞點P逆時針方向旋轉80°,

點B的對應點是點E,連接BE，得到ABPE.小明發現：隨著點P在線段AD上位置的變化，點E的位置也在變

化，點E可能在直線AD的左側，也可能在直線AD上,還可能在直線AD的右側.

請你幫助小明繼續探究，并解答下列問題：

(1)當點E落在直線AD上時，如圖2所示.①NBEP=;

②連接CE.直線CE與直線AB的位置關系是_______；

⑵請在圖3中畫出ABPE，使點E在直線AD的右側，連接CE,試判斷直線CE與直線AB的位置關系，并

說明理由；

(3)當點P在線段AD上運動時，求AE的最小值.

AA

3.如圖1,拋物線y=ax2+bx+c過點A(—1,0)、點C(0,3),且OB=OC.

(1)求拋物線的解析式及其對稱軸；

⑵點D、E是直線x=l上的兩個動點，且DE=1點D在點E的上方，求四邊形ACDE的周長的最小值；

⑶點P為拋物線上一點，連接CP,直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，求點P的坐標.

圖1

4.如圖，拋物線y=必+以+。交x軸于A、B兩點,其中點A坐標為(1,0),與y軸交于點C(0,-3).

⑴求拋物線的函數表達式；

⑵如圖1,連接AC,點P在拋物線上,且滿足NPAB=2NACO.求點P的坐標；

⑶如圖2,點Q為x軸下方拋物線上任意一點，點D是拋物線對稱軸與x軸的交點，直線AQ、BQ分別交拋

物線的對稱軸于點M、N.請問DM+DN是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由.

5如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線.y=a/+版+2與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側)，與y軸

交于點C,拋物線經過點D(-2,-3)和點E(3,2),點P是第一象限內拋物線上一點.

(1)求直線DE和拋物線的表達式；

⑵在y軸上取點F(O,1),連接PF、PB,當四邊形OBPF的面積等于7時，求點P的坐標；

⑶在⑵的條件下，當點P在拋物線對稱軸的右側時，直線DE上存在兩點M、N(點M在點N上方)，目MN=

圖

6.如圖1.矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點OQCOD關于直線CD的對稱圖形為ACED.

(1)求證:四邊形OCED是菱形；

⑵連結AE,若.AB=6cm,BC=V5cm.

①求sin/EAD的值；

②若點P為線段AE上一動點(不與點A重合)連結OP.一動點Q從點O出發以lcm/s的速度沿線段OP勻

速運動到點P,再以L5cm/s的速度沿線段PA勻速運動到點A,到達點A后停止運動.當點Q沿上述路線運動到

點A所需要的時間最短時，求AP的長和點Q走完全程所需要的時間.

7.如圖1,在平面直角坐標系中，一次函數y=-|久+4的圖像與x軸和y軸分別相交于點A、B,動點P從

點A出發，在線段AO上以每秒3個單位長度的速度向點O作勻速運動，到達點O停止運動.點A關于點P的對

稱點為Q,以線段PQ為邊向上作正方形PQMN.設運動時間為t秒.

⑴當”用寸，點Q的坐標為；

⑵在運動過程中，設正方形PQMN與AAOB的重疊部分面積為S,求S關于t的函數表達式；

(3)若正方形PQMN對角線的交點為T,請直接寫出在運動過程中OT+PT的最小值.

8.在平面直角坐標系中.四邊形AOBC是矩形點0(0,0),點A(5,0),點B(0,3)以點A為中心，順時針旋轉矩形

AOBC得至帙巨形ADEF,點O、B、C的對應點分別為D、E、F.

⑴如圖1,當點D落在BC邊上時，求點D的坐標；

⑵如圖2,當點D落在線段BE上時,AD與BC交于點H.

①求證△ADB0AAOB;

②求點H的坐標；

⑶記K為矩形AOBC的對角線的交點，S為AKDE的面積求S的取值范圍(直接寫出結果即可).

圖1圖2

9.如圖1,在平面直角坐標系中，點A在拋物線y=-x2+4x上,,且橫坐標為1,點B與點A關于拋物線

的對稱軸對稱，直線AB與y軸交于點C,點D為拋物線的頂點,點E的坐標為(1,1).

(1)求線段AB的長;

(2)點P為線段AB上方拋物線上的任意一點，過點P作AB的垂線交AB于點H,點F為y軸上一點，當

△PBE的面積最大時，求PH++，。的最小值；

(3)在(2)中，PH+HF+廣。取得最小值時，將ACFH繞點C順時針旋轉60。后得到ACFH,過點F作CF的垂

線與直線AB交于點Q,點R為拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點S，使以點D、Q、R、S

為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點S的坐標，若不存在，請說明理由.

圖1備用圖

10.線段和差最值的存在性問題

如圖1,拋物線y=ax2+6久經過AOAB的三個頂點,其中點A(l,圾，點B(3,-V3),O為坐標原點.

(1)求這條拋物線對應的函數表達式；

⑵若P(4,m),Q(t,n)為該拋物線上的兩點，且n<m,求t的取值范圍；

⑶若C為線段AB上的一個動點，當點A、點B到直線OC的距離之和最大時，求/BOC的大小及點C的

坐標.

1滿分解答

(1)設拋物線的頂點式為y=a{x-I)?-2,代入點A(-1,0)得0=4a-2.

所以a=/所以y=|(x-I)2-2=|%2-%-|=|(x+l)(x-3)

由A(-l,0)xB(3,0),得AB=4再由SAABD=5得yD=j.

解方程/久—1)2—2=*得x=4,或x=-2.所以D(4，|).

由A(-l,0)、D(4,|)得直線AD的解析式為y=|x+|.

⑵過點E作y軸的平行線交直線AD于點F.

設網久，|比2一%_|)/3F).

所以FE=GX+|)-(|X2-X-|)=一|/+|久+2=-|(^-j)2+p

所以SADE=^AFE+^DFE=—x^)=-FF.

SACE_AC72+交.

再由3得SACE=^ADE=^FE=

SADEADbN416

所以當久=2時，AACE的面積取得最大值II.此時網|，弋)

⑶第一步，構造、轉化|P4

過點A作直線Z:y=^(%+1),過點P向直線1作垂線，垂足為G,那么PG=|P4第二步，探究最小值.

作EH_L1于H,那么在RtAEGH中,EH<EG.

而在AEGP中,EG<PE+PG.

所以當點G與點H重合時，PE+PG取得最小值，最小值是EH.

第三步，計算最小值.

過點E作y軸的平行線交直線1于點M,那么VM=久%+1)=3?+1)=?

在RtAEMH中，ME=￡-(—?=*所以EH^^ME=3.

所以PE+|P4的最小值為3.

考點伸展

第⑵題也可以這樣思考小巴AC看作AACE的底邊，那么AC邊上的高就是點E到直線AD的距離(設為EN).

直線AD是確定的，直角三角形EFN的形狀是確定，所以當FE取得最大值時,EN也最大.

兩種解法的本質，都是當FE取得最大值時，AACE的面積最大.

2.滿分解答

⑴①如圖4,當點E落在直線AD上時,NBEP=50。.

②CE〃AB.

⑵如圖5,在等腰三角形ABC中,NBAD=NCAD=50o,NABC=NACB=40。.

在等腰三角形PBE中,PB=PE,/BPE=80。,所以/PBE=NPEB=50°.

由PB=PC,PB=PE得PC=PE.

在等腰三角形PCE中，設NCPE=2a,那么.Z.PCE=乙PEC=90°-a.

如圖6,在等腰三角形PBC中，頂角.乙BPC=80°+2a,所以ZCPD=40°+a.

延長CE交直線AD于點F.

在APCF中,NPFC=180°-ZPCE-ZCPD=180o-(90°-a)-(40o+a)=50°.

所以NPFC=/BAD=50°.所以CE〃AB.

⑶如圖7,當點P在線段AD上運動的過程中，CE與AB保持平行，四邊形ABFE是梯形.理論上,AE的最

小值是梯形ABFC的高,AELAB.

事實上,NBPE=80。為定值/BAEW/BPE.

當P與A重合時,/BAE=80。,此刻AE取得最小值.

此時四邊形ABFE是等腰梯形,AE=BF=3（如圖8所示）.

所以AE的最小值是3.

考點伸展

當點E在直線AD左側時，依然有CE〃AB證明過程與點E在AD右側一致，如圖9、圖10所示.

圖10

用構造旋轉相似的方法證明CE//AB.

構造方法一：如圖11,將線段AB繞點A逆時針旋轉80。得到線段AF,連接BF.

由AABFsAPBE,可彳導AABPs/XFBE（如圖12）.于是NBAP=/BFE=50。.

在等腰三角形ABF在,NABF=50。.所以NABF=NBFE.所以EF//AB.

在等腰三角形ACF中，頂角.ZCXF=100°-80°=20。,所以/AFC=80。.

所以NAFC=NBAF.所以CF//AB.

因為經過一點F有且只有一條直線與已知直線AB平行，所以CF與EF在同一條直線上.所以CE〃AB.

構造方法二：如圖13,將線段DB繞著點D逆時針旋轉80。得到線段DF,連接BF.

由△PBEs/^DBF,可得APBDs^EBF（如圖14）.所以NBDP=/BFE=90。.

又因為4ABF=40°+50°=90。,所以NABF=NBFE=90。.所以EF〃AB.

在等腰三角形DFC中，頂角/FDC=100。,所以NDCF=40。.

所以NDCF=NABD.所以CF〃AB.于是得到CE//AB.

構造方法三可以一步到位：如圖15，構造等腰三角形MBC,使4BMC=80。.

由△MBCsAPBE,可得AMBPs/^CBE(如圖16).所以.乙BMP=乙BCE=40°.

所以NABC=/BCE.所以CE//AB.

圖15

AE的最小值:

當點P與點A重合時，設點E的位置為Eo,那么.AE0=XB=3.

在等腰三角形AE°C中，頂角NC4E。=20。,所以^AE0C=80°.

當點P向下運動時.點E在CE。的延長線上.所以NAEF>/AE°E.

于是在AAEE。中，可知,NAEoE=100o,/AEE。<80°.

根據大角對大邊，可知.AE>AE0.

所以AE的最小值就是AE0=3,當且僅當點P與點A重合時.

3.滿分解答

⑴由C(0,3),OB=OC得B(3,0).

由A(-l,0)sB(3,0),設拋物線的交點式為y=a(x+l)(x-3).

代入點C(0,3),得3=-3a解得a=-l.

所以拋物線的解析式為y=-(%+1)(%-3)=-%2+2%+3.對稱軸是直線x=l.

(2)如圖2,在四邊形ACDE中,AC=V10.DE=1,DE在拋物線的對稱軸上.

將點C(0,3)向下平移1個單位得F(0,2),那么四邊形CDEF是平行四邊形,CD=FE.

所以AC+CD+DE+EA^V10+FE+1+EA.

所以當FE+EA取得最小值時，四邊形ACDE的周長也最小.

如圖3,連接EB,那么EB=EA.所以FE+EA=FE+EB.

如圖4,當點E落在線段FB上時,FE+EB最小，最小值為舊.

所以四邊形ACDE的周長的最小值為V10+1+V13.

(3)如圖5,設CP與x軸交于點G.作PH±x軸于H.設+2x+3).

作AMXCP于M作BNXCP于N.所以衿=等=公

“BPBND(J

①當篝=MI時，4G=|4B=|x4=|.此時G60)

所以黑=黑=3+)=6.由PH=6GH彳導-(-X2+2%+3)=6-

解得x=8,或x=0(舍去).所以P(8,-45)(如圖6所示).

②當衿=躇=|時，4G=)8="4=|.此時G(|，0).

3cBpJDCTDOOZ\Z/

所以瞿=尊=3+|=2.由PH=2GH得一(一/+2久+3)=2(久一|).解得%=4,或X=0(舍去).所以

(an(JUZ\Z/

P(4,-5)(如圖5所示).

考點伸展

第⑶題求得了點G的坐標以后再求點P的坐標，一般的方法是先求直線CG的解析式，然后聯立直線CG和

拋物線的解析式組成方程組，解方程組得到點P的坐標.方程組一定有兩個解，其中一個解就是點C的坐標.

4.滿分解答

⑴由拋物線y=好+6尤+c與y軸交于點C(0,-3｝得c=-3.

將A(l,0)代入y=x2+bx—3”得l+b-3=0.解得b=2.

所以拋物線的函數表達式為y=x2+2x-3.

⑵第一步，構造NPAB.

如圖3,作AC的垂直平分線，交x軸于點G,那么GA=GC,Z1=Z2.

在RtAAEG與RtAAOC中,NEAG=/OAG,所以/1=/ACO.

所以/CGO=N1+N2=2NACO.已知NPAB=2NACO,所以NPAB=NCGO.

第二步，求/PAB.

設G(a,0),已知A(l,0),C(0,-3).

根據GA2=Ge?列方程，得(a-1尸=a2+32.解得a=-4.所以G(-4,0).

在RtACOG中，tanzCGO=—=三.所以tanzPXB=

0G44

第三步，求點P的坐標.

如圖4,作PH±x軸于H.設P(x,x2+2x-3).

分兩種情況討論ZPAB=2ZAC0.

①點P在X軸上方.

.yr-i-I\I,nAr~tX2+2%—33

在RtAPHA中，PH=x2+2x—3o,AHTT=1—%，所以tan/PAB=——=

因為x￥l,整理，得—(久+3).解得"-素所以p(一果喘

①點P在X軸下方.

在RtAPH'A在PH'=-(x242x—3),AH=1—久，所以tan/PAB=合二子

因為存1,整理，得x+3..解得x=-3.所以「(-上粉

O.

r

/

G力

\j/yA

圖3圖4

(3)作PQJ_x軸于P.設Q(m,n),其中n=m2+2m—3=(m+3)(m—1).

由y=x2+2x-3彳導拋物線的對稱軸為直線x=-l.又因為A(1,O),所以B(-3,0).

如圖5,因為PQ//DN,所以色=言所以笠=焉

解得DN=總=-2(m-1).

如圖6,因為PQ〃DM,所以詈=笫所以笠=言

解得DM=—=2(m+3).

1-m

所以DM+DN=2(m+3)-2(m-l)=8,是定值.

圖5圖6

考點伸展

第⑵題中構造NPAB還可以這樣考慮：

如圖7,作AC的垂直平分線，交y軸于點F,那么.凡4=FC,z3=N4所以^AFO=43+44=2乙4C。.

已知上PAB=2乙4C。,所以Z.PAB=乙4F0.

設F(b,O),已知A(1,O),C(0,-3).

2

根據FA=FC?歹J方程，得12+川=3+3)2

解得6=―李所以F(O--0.

在Rt△4。/中,tanzXFO=—=

所以tanZ-PAB=

4

5.滿分解答

(1)由D(-2,-3)、E(3,2),得直線DE的表達式為y=x-1.

將D(-2,-3)、E(3,2)兩點分別代入、=&+"+2得

解得a=-"號.所以拋物線的表達式為y=-|%2+|%+2.

⑵由y=一之久2+|乂+2=一|(尤+1)0-4＞得A(-l,0),B(4,0).

如圖2,連接OP.設P(x,y).其中y=-|x2+|x+2.

月斤UAS,x=SpoF+SpoB=—FO.x4—BO'y

四邊形OBPF322J

=-%+2y=-x+2(--X2+?%+2)

2,2\22)

=—x2--x—4=7.

2

整理，得2/_7%+6=0解得.x=2或x=|.所以P(2,3),或(|嚕).

⑶點N的坐標為?-號).

考點伸展

第⑶題分三步完成.

第一步，分析MN=隱含的條件.

如圖3,由P(2,3)、F(0,l),可知PF=2vx直線PF:y=x+l與直線DE平行.

所以PF與MN平行且相等.所以四邊形PMNF是平行四邊形.所以PM=FN.

第二步，確定三條線段的和最小時點N的位置.

由于PM=FN,MN=2/為定值,所以.PM+MN+NA=FN+NA+2V2

所以當FN+NA最小時,PM+MN+NA也取得最小值.

如圖4,點F(O,1)關于直線.DE:y=x-1的對稱點為F(2,-l),所以FN=F'N.

如圖5,當點N落在線段AF上時，FN+NA=F'N+N4取得最小值第三步，求點N的坐標.

由4(-1，0)、。(2,一得直線

聯立y=一爭口y=x-1,解得%=|,y=-］所以N停-0.

6.滿分解答

⑴因為四邊形ABCD是矩形，所以OA=OB=OC=OD.

因為ACOD與ACED關于直線CD對稱，所以OC=EC,OD=ED.

所以EC=OC=OD=ED.所以四邊形OCED是菱形.

⑵①如圖2,連結EO并延長交AB于H,交CD于G,那么EH垂直平分AB,EG=GO=OH.

在RtAAEH中,AH=3,EH=3OH=|BC=苧；由勾股定理，得4E=

所以sin^AEH=竺=3+2=2,所以sin^EAD=

AE233

②如圖3,過點A作直線UAH.作PM±1于M作QN〃1交PM于N.

在RtAPQN中，合=|=卷也就是說，點Q到達點A時，點N到達點M.

因此點Q走完全程的時間，相當于以Icm/s的速度沿折線OP-PM運動.

如圖4,因為OP+PM的最小值為0M,而OML時,0M最小，所以OP+PM的最小值等于AH=3(如圖5所示).

這樣，點Q走完全程所需要的最短時間為3秒.

如圖5,在RtAAPM中，MA=0H=手，設AP=3m,PM=2m,由勾股定理得((3巾￥(2m)2=(/).解得m=

通以AP=I，

考點伸展

象第(3)題這樣的問題，同一個動點在不同路徑上的運動速度不同，先轉化為速度相同的運動，然后就可以應用

兩點之間線段最短，垂線段最短等解決問題了一

7滿分解答

⑴當t=用寸點Q的坐標為(4,0).

⑵已知AP=PQ=3t,正方形PQMN的面積為9tz.

在RtABOA中,OA=6,OB=4,所以tan乙4=

①如圖2,重疊部分的形狀為五邊形PDEMQ,0<t<l.

2

在R3APD中,AP=3t,所以DP=AP-tan/A=2t,所以SAPD=3t.

2

在RtADNE中,DN=t，所以EN=：DN="所以SDNE=；t.

所以S=S正一50痔=9嚴一92=?已

44

②如圖3,重疊部分的形狀為五邊形PDEFO,1<t<|

由于OP=6-3t,所以S矩形POFN=3t(6-3t)=18t-9t2.

所以S=S—SDNE=(181—9t2)—212=—+18t.

DN44

2

③如圖4,重疊部分的形狀為四邊形POBD,|<t<2.此時S=SA0B-SAPD=12-3t.

(3)在運動過程中OT+PT的最小值為3V2

考點伸展

第(3)題的思路是這樣的：如圖5,由于OT+PT=OT+NT,所以當點T落在線段ON上時，OT+NT取得最小值.

而ON的最小值，是點O到直線y=-x+6的距離，這是因為PA=PN,所以點N的運動軌跡是等腰直角三角形

AOC的斜邊AC.此時點Q和點O重合(如圖6所示).

如圖6,ON=產。4=3V2.

8.滿分解答

⑴如圖3,作DM_Lx軸于M.

當點D落在BC邊上時，在R3DMA中,AD=5,DM=3,所以AM=4.所以OM=5-4=1.此時D(l,3).

圖4

⑵①如圖4,當點D落在線段BE上時,NADB=/AOB=90。.

由AB=AB,AD=AO,得RtAADB^RtAAOB(H.L.).

②如圖4,由AADB取Z^AOB彳導/1=/2.

由BC〃OA,得/2=/3.

所以N1=N3.所以HA=HB.設HA=HB=m.

在RtAHCA中，由勾股定理，得小=(5-m)2+3?.解得m=三所以He，3).

30+3V34

(3)3。一產<S<

41

考點伸展

第⑶題的思路是這樣的：如圖5,過點K向直線DE作垂線，垂足為G.

在AKDE中，DE=3為定值，所以AKDE的面積的最大值、最小值取決于KG的最大值、最小值.

而KG總是小于或等于KD的，所以KG的最大值、最小值又取決于KD的最大值、最小值.

在AKDA中，K4=與,4。=5為定值.

如圖6,當點K落在AD上時，KD取得最小值.此時KG的最小值為5-弊.

如圖7,當點K落在DA的延長線上時，KD取得最大值.此時KG的最大值為5+孚

動定交替.

如圖8,研究定點K到動直線DE的距離，可以轉換為動點K到定直線0B的距離KG.動點K的軌跡是以

A為圓心、以AB的一半長為半徑的圓.

在AKOA中,0A、KA為定值，所以KG的最小值為OA-KA,KG的最大值為OA+KA.

9.滿分解答

(1)由y=-%2+4%=-(%-2￥+4得拋物線的對稱軸為x=2,頂點為D(2,4).

點A(l,3)關于直線x=2的對應點為B(3,3),所以AB=2.

(2)第一段，求APBE的面積最大時點P的坐標.

如圖2,由B(3,3)、E(1,D得直線BE的解析式為y=x.

過點P作x軸的垂線與BE交于點G

設P(x,-x2+4x),G(x,x)用口么.PG=-x2+3x.

所以SpBE=SpBG+SpEG=^PG,(久B—久E)=—/+3%.

當％=|時，APBE的面積最大.此時P(|耳),P”=?一3=*

第二段，求PH+HF+，。的最小值，就是求HF+廣。的最小值.

如圖3,繞原點。將y軸逆時針旋轉30。與直線AC交于點M作FKXOM于K,那么FK=

如圖4,當