專題21全等與相似模型之半角模型

全等三角形與相似三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位。全等三角形、相似三角形與其它知

識點結合以綜合題的形式呈現，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，

熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就半角模型進行梳理及對應試題分析，方

便掌握。

目錄導航］

例題講模型

........................................................................................................................................................1

模型1.半角模型（全等模型）................................................................1

模型2.半角模型（相似模型）...............................................................13

習題練模型］

.......................................................................................................................................................25

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

例題講模型|］

模型1.半角模型（全等模型）

模型解讀

半角模型概念：半角模型是指是指有公共頂點，較小角等于較大角的一半，較大的角的兩邊相等，通過旋

轉，可將角進行等量轉化，構造全等三角形的幾何模型。

模型證明

1）正方形半角模型

條件：四邊形ABC。是正方形，Z￡CF=45°；結論：①△8CE絲△DCG；②ACEF出ACGF；?EF=BE+

DF-,④AAEP的周長=2A&⑤CE、CF分別平分乙8￡/和/￡口）。

證明：將ACBE繞點C逆時針旋轉90。至ACDG,即ACBE四△CDG,

/.ZECB=ZGCD,ZB=ZCDG=90°,BE=DG,CE=CG；

?.?A8CD是正方形，AZB=ZCDF=ZBCD=90°,BA=DA；：.ZCDG+ZCDF=l80°,故F、D、G共線。

VZECF=45°,：.ZBCE+ZDCF=45°,：.ZGCD+ZDCF=ZGCF=45°,：.ZECF=ZGCF=45°,

?：CF=CF,：.ACEF^/\CGF,:.EF=GF,'：GF=DG+DF,:.GF=BE+DF,:.EF=BE+DF,

：.\AEFK-^=EF+AE+AF=BE+DF+AE+AF=AB+AD=2AB,過點C作CHIEF,貝!|/CHE=90°,

■:XCEF妾XCGF,（全等三角形對應邊上的高相等），再利用乩證得：XCBEW4CHE,

：.ZHEC=ZCBE,同理可證：ZHFC=ZDFC,即CE、CF分別平分/8所和NEF。。

2）等腰直角三角形半角模型

條件：AABC是等腰直角三角形（/8AC=90。，AB=AC）,ZDA￡=45O；

結論：①△BA。gZkCAG；②ADAE咨AGAE；③NECG==90°；?DE2=BD2+EC2；

證明：將AABD繞點A逆時針旋轉90。至A4CG,即ABADgZkCAG,

AZBAD=ZCAG,ZB=ZGCA=45°,AD=AG,BD=CG；

VZDAE=45°,：.ZBAD+ZEAC^45°,：.ZCAG+ZEAC^ZGAE^5°,：.ZDAE=ZGAE=45°,

'：AE=AE,：.ADAE^/\GAE,:.ED=EG,：AABC是等腰直角三角形，ZACB=45°,：.ZECG=9Q°,

：.GE2=GC2+EC2,：.DE2=BD2+EC2；

3）等邊三角形半角模型（120。-60。型）

條件：AABC是等邊三角形，A8OC是等腰三角形，MBD=CD,ZBDC=120°,NEDF=60。；

結論：①4BDE沿ACDG；②AEDFmAGDF；③EF=BE+CF；④A4EP的周長=242；

⑤DE、DF分別平分和ZEFCo

證明：將ADBE繞點。順時針旋轉120。至ADCG,即△BDE2ZXCDG,

AZEDB=ZGDC,ZDBE=ZDCG,BE=GC,DE=DG；

VZBDC=nO°,ZEDF=60°,：.ZBDE+ZCDF=60°,：.ZGDC+ZCDF=ZGDF=60°,故/GDF=/EDF,

,:DF=DF,：.4EDF"AGDF,：.EF=GF,,:GF=CG+CF,：.GF=BE+CF,：.EF=BE+CF,

：.\AEF的周長=EF+AE+AF=JBE+CF+4E+AF=4B+AC=2AB,

過點D作DM±GF,則/￡＞處'=N￡)MF=90°,

V^EDF^AGDF,(全等三角形對應邊上的高相等)，再利用HL證得：XDHF”ADMF,

：.ZHFD=ZMFD,同理可證：ZBFD=ZFED,BPDE,￡)/分別平分和NEFC。

4)等邊三角形半角模型(60。-30。型)

條件：AABC是等邊三角形，Z￡A￡)=30°；

結論：①ZXBDA咨ACFA；②△DAE04FAE；③/ECF=120°；@DE2=(^BD+EC)2+^H-BD

證明：將AABD繞點A逆時針旋轉60。至AACP,即AR4。絲△◎廠,

/.ZBAD=ZCAF,/B=/FCA=60°,AD=AF,BD=CF；

VZDAE=30°,：.ZBAD+ZEAC=30°,：.ZCAF+ZEAC^ZFAE^3Q°,：.ZDAE=ZFAE^3QO,

'：AE^AE,：.ADAE^/\FAE,；.ED=EF,是等邊三角形，AZACB=60°,NEC尸=120°,

-1公11A/3A/3

過點F作FH/BC,：.ZFCH=60°,NCFH=30°,；.CH=-CF=—BD,FH=-CF=-BD,

2222

與BD)2；

,在直角三角形中：FE2=FH2+EH2,：.DE2=(-BD+EC)2+(

2

5）任意角度的半角模型（2a-e型）

條件：ZBAC=2a,AB=AC,ZDAE=a；

結論：①△BA。g△CAR②△EA。絲△EAF；③/ECF=180°-2a。

證明：將AABD繞點A逆時針a。至△ACR即△54。0△CAP,

/.ZBAD=ZCAF,ZB=ZBCA=ZFCA=90°-a,AD^AF,BD=CF；：.ZECF=ZBCA+ZFCA^1800-2a?

VZBAC=2a,ZDAE=a,：.ZBAD+ZEAC=a,：.ZCAF+ZEAC^ZFAE^a,：.ZDAE=ZFAE^a,

'：AE=AE,：.ADAE沿△FAE。

模型運用

例1.（2023?廣東廣州?二模）在正方形中，點E、尸分別在邊3C、CD且ZE4F=45。，連接族.

（1）如圖1,若BE=2,DF=3,求E/的長度；（2）如圖2,連接8。，3。與AF、AE分別相交于點M、N,

若正方形ABCD的邊長為6,BE=2,求。尸的長；（3）判斷線段3N、MN、三者之間的數量關系并證明

圖1圖2

【答案】⑴5⑵3⑶3解+。"=皿2

【分析】（1）延長8E,使BG=D尸=3,證明A￡）尸絲一ABG和oAEF空AEG（S4S）,求得

EF=GE=BE+GB=5.（2）設止=x,則WC=6—x,在咫/XECF中，根據勾股定理可得,

42+(6-X)2=(X+2)\解得：x=3.(3)BN、MN、DM三者之間的數量關系：HB2+BN2=HN2,證明

.AHB/和，H4N-M4N(S45),根據勾股定理即可證明.

【詳解】(1)解：延長EB,使3G=O尸，如圖所示:

AB=AD,ZABE=ZADF=ZBAD=Z.BCD=90°,

AD=AB

在和，ABG中，（NADF=NABG=90°,；.qADF'ABG,：.AF=AG,ZDAF=ZBAG,

DF=BG

?：ZE4F=45°,ZDAF+ZBAE^45°,：.ZBAG+ZBAE=45°,；.NEAF=NGAE,

AF=AG

在△AEP和，AGE中，＜/￡AP=/GAE,；.AEF^AEG(SAS),；.EF=GE=BE+GB=5.

AE=AE

(2)解：設。尸=x,貝iJbC=6-x,由(1)可知，EF=GE=x+2,

在加Z\EC尸中，根據勾股定理可得，42+(6-X)2=(X+2)2,解得：x=3,：.DF=3.

(3)BN、MN、DM三者之間的數量關系：BN2+DM2=MN2.

'AH=AM

證明：截取=在—A/iB和4AMD中，2HAB=/MAD,：.AHB^AMD(SAS),

AB=AD

：.BH=DM,ZABH=ZADB=45。,XVZABD=45°,:.NHBN=90。,

'AH=AM

在AHAN和AMAN中，＜ZHAN=AMAN,：.HANGMAN(SAS),

、AN=AN

:.HN=NM,：.HB2+BN2=HN2.BN2+DM2=MN2.

【點睛】此題考查了三角形全等、勾股定理，解題的關鍵是構造輔助線，熟悉三角形全等的證明.

例2.(23-24八年級下.四川達州?階段練習)倡導研究性學習方式，著力教材研究，習題研究，是學生跳出

題海，提高學習能力和創新能力的有效途徑.

（1）【問題背景】已知：如圖1,點E、尸分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，ZE4F=45。，連接EF,則

EF、BE、。廠之間存在怎樣的數量關系呢？

（分析：我們把△陋7繞點A順時針旋轉90。至ABG,點G、B、C在一條直線上.）

于是易證得：ADF=^\_=.AEF,所以EF=_.

直接應用：正方形ABCD的邊長為6,CF=4,則族的值為

（2）【變式練習】已知：如圖2,在Rt^ABC中，AB^AC,。、E是斜邊BC上兩點，且ND4E=45。，請

寫出BD、DE、CE之間的數量關系，并說明理由.

（3）【拓展延伸】在（2）的條件下，當1D4E繞著點A逆時針一定角度后，點。落在線段2C上，點E落

在線段8c的延長線上，如圖3,此時（2）的結論是否仍然成立，并證明你的結論.

【答案】⑴qABG,AEGDF+BE,5Q）BD?+CE?=DE?,見解析（3）成立，見解析

【分析】（1）根據分析過程及圖形分析即可；（2）BD2+CE2=DE2,把NCE順時針旋轉到3尸的位置

此時AC與重合，連接DF,證_4砥=_4%，得EF=FG,/C=ZABF=45。,再證V3D戶是直角三角

形，然后由勾股定理即可解決問題；（3）根據第（2）問的輔助線畫出圖形即可證明.

【詳解】（1）:四邊形是正方形，AB=AA/3=/B4Z）=90。，

把繞點A順時針旋轉90。至，ABG,則A3與重合，?.AADF=AABG

：.NGAB=NDAF,AF=AG,DF=GB,ZD=ZABG=90P；.點G、B、C在一條直線上

VZE4F=45°,AZBAE+ZDAF=45°,：,ZBAG+ZBAE=45°,：.ZEAFZGAE,

'：AE=AE,：.AFE三AGE（SAS）,/.EF=GF,

VEG=BG+BE,：.EF=BE+DF；:正方形ABC。的邊長為6,CF=4,

；.DF=2,:.EF=BE+DF=2+BE,EC=BC-BE=6-BE,

在RtZXEFC中，EC2+CF2=EF2,：.（6-BE）2+42=（2+BE）2,解得3E=3,

EF=2+BE=5故答案為：ABG,AEG,DF+BE,5；

（2）BD2+CE2=DE2,理由如下：把""順時針旋轉到zXAB尸的位置此時AC與AB重合，連接￡＞「，

ZDAE=45°,ZDAF=90°-45°=45°,/.ZFAD=ZDAE=45°,

ADF^,ADE（SAS）,：.DF=DE,VABAC=90°,AB=AC,：.ZABC=ZC=45°,

：.ZC=ZABF=45°,：.ZDBF=ZABF+ZABC=90°,：.NBDF是直角三角形，

BD2+BF2=DF2，BD2+EC2=DE2.

（3）3。2+叱2=。爐依然成立，理由如下：

把“砥順時針旋轉到△ABF的位置此時AC與AB重合，連接DF,

貝.ABF=AACE,：.ZFAB=NCAE.BF=CE,ZABF=ZACE,；.ZFAE=ABAC=90°,

,/ZDAE=45°,AZZMF=90°-45°=45°,AZFAD=ZDAE=45°,

：.ADFADE（SAS）,；.DF=DE,:NBAC=90°,AB=AC,：.ZABC=ZACB=45°,

ZACE=ZABF=135°,；.ZDBF=ZABF-ZABC=90°,

VBZm是直角三角形，，應J?+3尸2=￡）尸2,502+EC?=￡＞燈.

【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質、旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、直角三

角形的性質、勾股定理等知識；本題綜合性比較強，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵，屬于

中考?？碱}型.

例3.（23-24九年級上?浙江臺州?期中）如圖，在VABC中，AB=AC,/A4C=120。，點。、E都在邊

上，ZBAD=15°,ZDAE=60°.若DE=3,則A2的長為.

A

【答案】3+6

【分析】如圖（見解析），先根據等腰三角形的定義可得ZB=30°,再根據角的和差可得ZADF=ZDAF=45。,

ZBAE=ZAEB=15°,從而可得A尸=OP,A8=BE,^AF=DF=x,然后利用直角三角形的性質、勾股定

理可得8尸=6乂3。=2尤-3,最后根據線段的和差建立方程，解方程即可得.

【詳解】如圖，過點A作Ab，3c于點F,

在VABC中，AB^AC,ZBAC=nQ°,ZB=ZC=1(180°-ZBAC)=30°,/.ZBAF=90°-ZB=60°,

ZBAD=15°,：.ZADF=ZB+ZBAD=45°,ZDAF=ZBAF-ZBAD=45°,：,ZADF=ZDAF,:,AF=DF,

/DAE=60°,NBAE=ABAD+/DAE=75°,NAEB=180°-NBAE-ZB=75°,

:.ZBAE=ZAEB,:.AB=BE,設AF=Db=x,

在RtASF中，AB=2AF=2x,BF7AB2-AF?=瓜,:BE=2x,

DE=3,/.BD=BE—DE=2x—3,

又?BD+DF=BF,.?.2尤一3+》=瓜，解得x=貝UAS=2x=3+岔，故答案為：3+石.

2

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質、直角三角形的性質、勾股定理等知識點，通過作輔助線，

構造等腰直角三角形是解題關鍵.

例4.（23-24九年級上?江西南昌?期中）（1）如圖①，在直角VABC中，ABAC=90°,AB=AC,點D為BC

邊上一動點（與點8不重合），連接AD,將△ABD繞點A逆時針旋轉90。，得到"CE,那么CE,B￡＞之間

的位置關系為,數量關系為；（2）如圖②，在VABC中，NA4c=90。，AB^AC,

D,E（點D,E不與點8,C重合）為8C上兩動點，且ND4E=45。.求證：BD2+CE2=DE2.（3）如圖

③，在VA3C中，ZCAB=120°,AB=AC,ND4E=60。，BC=3+6,D,E（點D,E不與點B,C重

合）為BC上兩動點，若以EC為邊長的三角形是以8。為斜邊的直角三角形時，求防的長.

【答案】（1）CE±BD；CE=BD；（2）見解析；（3）BE=2+VL

【分析】（1）根據/A4D=/CAE,AD=AE,運用SAS證明ABD=ACE,根據全等三角形性質得出對應

邊相等，對應角相等，即可得到線段CE、BD之間的關系；

（2）把△ACE繞點A順時針旋轉90。，得到MG,連接DG,由SAS得到ADG=ADE,可得DE=DG,

即可把EF、BE、FC放到一個直角三角形中，從而根據勾股定理即可證明；

（3）把4M。繞點A順時針旋轉120。，得到△AFB,可得AF=AE,ZABF=ZACB,EC=BF,NEAF=120。，

由SAS可證△ADE=△"獷，可得DF=DE,由以BD、DE、EC為邊的三角形是直角三角形，分兩種情況

討論，由直角三角形的性質可求解.

【詳解】解：(1)CE與BD位置關系是CE_LBD,數量關系是CE=BD

繞點A逆時針旋轉90°,得到LACE：.ZBAC=ZDAE=90°

ZBAD=90°-ZDAC,ZCAE=90°-ZDACZBAD=ZCAE

BA=CA,AD=AEAABD三AACEZACE=NB=45°且CE=BD

ZACB=ZB=45°ZECB=45°+45°=90°,IPCEXBD故答案為：CE±BD；CE=BD；

(2)如圖②，把aACE繞點A順時針旋轉90。，得到.ASG,連接DG,

圖②圖③

貝hACE三」A8G；.AG=AE,BG=CE,ZABG=ZACF=45°

,?ZBAC=90°,ZGAE=90°ZGAD=ZDAE=45°

"AG=AE

在△ADG和,ADE中，］NGAD=ZDAE：._ADG=_ADE：.ED=GD

AD=AD

,：ZGBD=90°BD2+BG2=DG2即BD2+EC2=DE2

(3)如圖③，把△鎰(7繞點A順時針旋轉120。，得到△AFB,

/.NAEC^VAFB：,AF=AE,ZABF=ZACB,EC=BF,^EAF=120°

ZCAB=120°,AB=ACZABC=ZACB=ZABF=30°/.ZFBD=60°

V^EAF=120°,ZEAD=60°ZDAE=ZDAF=60°,且AF=AE,AD=AD.\^ADE^ADF.\DF=DE

?.?以BD、DE、EC為邊的三角形是直角三角形

.?.以BD、DF、BF為邊的三角形是直角三角形；.V應不是直角三角形

若ZBDF=90。，且ZFBD=6(r，BF=2BD=EC,DF=6BD=DE

?：BC=BD+DE+EC=BD+2BD+A/3BD=(3+^)BZ)=3+^/.BD=1

/.DE=5/3/.BE=BD+DE=1+道

若ZBFD=90°,S.ZFBD=60°BD=2BF=2EC,DE=6BF=DE

BC=BD+DE+EC=2BF+BF+5/3BF=（3+5/3）BF=3+A/3

BF=1.,.BD=2,DE=A/3ABE=2+73

【點睛】此題是幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質、旋轉的性質、勾

股定理，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵.

例5.（2024?江西?九年級期中）（1）【特例探究】如圖1,在四邊形A5CD中，AB=AD,ZABC=ZADC=90°,

ZBAD=100°,Z￡4F=50°,猜想并寫出線段班，DF,所之間的數量關系，證明你的猜想；

（2）【遷移推廣】如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZABC+ZADC=180°,/=尸.請寫

出線段BE,DF,E戶之間的數量關系，并證明；

（3）【拓展應用】如圖3,在海上軍事演習時，艦艇在指揮中心（。處）北偏東20。的A處.艦艇乙在指揮

中心南偏西50。的8處，并且兩艦艇在指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正西方向以80海

里/時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏西60。的方向以90海里/時的速度前進，半小時后，指揮中心觀測到甲、

乙兩艦艇分別到達C,。處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為75。.請直接寫出此時兩艦艇之間的

距離.

【答案】（1）EF=BE+DF,理由見解析；（2）EF=BE+DF,理由見解析；（3）85海里

【分析】（1）延長CD至點G,使DG=BE,連接AG,可證得AABE絲△AZJG,可得至！JAE=AG,ZBAE=Z

DAG,再由N54D=100。，ZEAF=50°,可證得尸，從而得到￡/三尸G,即可求解；（2）延長

CD至點、H,使DH=BE,連接可證得△ABEg/XAQH,可得到AE=AH,ZBAE=ZDAH,再由

/BAD=2NEAF,可證得從而得到即可求解；（3）連接C￡）,延長AC、BD

交于點/，根據題意可得NAOB=2/C。。，ZOAM+ZOBM=70°+110°-180°,再由（2）【遷移推廣】得：

CD=AC+BD,即可求解.

【詳解】解：⑴EF=BE+DF,理由如下：如圖，延長C￡＞至點G,使以"^,連接AG,

,/ZABC=ZADC=90°,/.ZADG=ZABC=9Q°,

"：AB=AD,：.AABE^AADG,：.AE=AG,ZBAE=ZDAG,

'：ZBAD=100°,ZE4F=50°,/.ZBAE+ZDAF=50°,：.ZFAG=ZEAF=50°,

"：AF=AF,:AAEF<4AGF,：.EF=FG,'：FG=DG+DF,：.EF=DG+DF=BE+DF-,

（2）EF=BE+DF,理由如下：如圖，延長C￡>至點“，使DH=BE,連接AH,

VZABC+ZADC=180°,ZADC+ZADH=l8Q°,：.ZADH=ZABC,

\'AB=AD,：.AABE^AADH,：.AE=AH,ZBAE=ZDAH,

'：NBAD=2NEAF：.ZEAF=ZBAE+ZDAF=ZDAF+ADAH,：.ZEAF=ZHAF,

'：AF=AF,：.AAEF^AAHF,：.EF=FH,'：FH=DH+DF,：.EF=DH+DF=BE+DF；

（3）如圖，連接CD延長AC、BD交于點M,

根據題意得：ZAOB=20o+90°+40°=150°,ZOBD=60°+50o=110°,ZCOD=75°,ZOAM=90o-20°=70°,OA=OB,

：.ZAOB=2ZCOD,ZOAM+ZOBM=70°+110°=l80°,

'：OA=OB,...由（2）【遷移推廣】得：CD=AC+BD,

,/AC=80x0.5=40,80=90x0.5=45,；.CD=40+45=85海里.即止匕時兩艦艇之間的距離85海里.

【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質、勾股定理的運用、等腰直角三角形

的性質，題目的綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是正確的作出輔助線構造全等三角形，解答時，注意

類比思想的應用.

例6.（2022?湖北十堰?中考真題）【閱讀材料】如圖①，四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,點、E,

F分別在3C,CO上，若2瓦LD=2/E4尸，貝!=

【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形ABCD.已知CD=CB=100m,

ZD=60°,ZABC=120°,ZBCD=150°,道路AQ,A3上分別有景點N,且O0=lOOm,

2N=50（石-l）m,若在M,N之間修一條直路，則路線〃fN的長比路線MfAfN的長少

m（結果取整數，參考數據：外。1.7）.

圖②

圖①

【答案】370

【分析】延長AB,。。交于點E,根據已知條件求得NE=90。,進而根據含30度角的直角三角形的性質，求

得EC,EB,AE,AD,從而求得AN+AM的長，根據材料可得MN=DM+BN,即可求解.

【詳解】解：如圖，延長AB,。。交于點E,連接CM,CN,

E

D

ZD=60°,ZABC=120°,ZBCD=150°,/.ZA=30°,ZE=90°,

DC=DM=100:.^DCM是等邊三角形，ZDCM=60°.:.ZBCM=90°,

在RtBCE中,BC=100,AECB=180°-ZBCD=30°,

EB=；BC=50,EC=y/3EB=50^,DE=DC+EC=100+50A/3,

□△ADE中，AD=2DE=200+10073,AE=若?！?100岔+150,

AM=AD-DM=200+100A/3-100=100+100>/3,

AN=AB-BN=(AE-EB)-BN=(100^+150-50)-50(百-1)=50g+150,

AM+AN=100+100A/3+50A/3+150=250+150A/3,R3CMB中，BM=^BC2+CM2=10072

EN=EB+BN=50+50(&一l)=50^=ECECV是等腰直角三角形

ZNCM=ZBCM-NNCB=ZBCM-(/NCE-NBCE)=75°=g/DCB

由閱讀材料可得MN=DM+BN=100+50^-1)^50+1),

，路線MfN的長比路線MfAfN的長少250+150石-50（君+1）=200+100白237。m.答案：370.

【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質，勾股定理，理解題意是解題的關鍵.

模型2.半角模型（相似模型）

模型解讀

半角模型特征：①共端點的等線段；②共頂點的倍半角;

半角模型輔助線的作法：由旋轉（或翻折）構造兩對全等，從而將邊轉化，找到邊與邊的關系（將分散的

條件集中，隱蔽的關系顯現）。

常見的考法包括：90。與45。（正方形、直角三角形）；120。與60。（等邊三角形）等。

模型證明

1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）

條件：已知，如圖，在正方形ABCD中，/EAF的兩邊分別交BC、C。邊于M、N兩點,且NEAP=45。

結論：如圖1,AMDAsLMANsAABN；

證明：是正方形，ZADM=45°,VZEAF=45°,ZADM=ZEAF,

'：ZAMD=ZNMA,：.AMDA^^MAN,同理：4MANs^ABN,：.^MDA^AMAN^^ABN；

結論：如圖2,ABMEsMAMNs△DFN.

證明：..工臺。是正方形，:.NNDF=45°,VZEAF=45°,ZNDF=ZEAF,

*.?ZDNF=ZANM,：.^AMN^^DFN,同理：ABMEsAAMN,：.ABMESAAMNsADFN；

且”

結論：如圖3,連接AC,貝！!△AMBS/VIFC,AANDs&AEC.

AMANAB

AC

證明：?.,A8CO是正方形，ZBAC=ZABC=ZACF=45°,應，Z.ZBAM+ZMAC=45°,

AB

VZEAF=45°,：.ZFAC+ZMAC=45°,：.ZBAM=ZFAC,：.^AMB^AAFC,

AEACnrAFAEACnr

同理:^.AND^A/\AEC==J2；n即n---===，2。

fANABAMANAB

AFFFl

結論：如圖4,△AMNszXAFE且——二——=——=0.

AMANMN

9

證明：：ABCD是正方形，C.AB/7CD,：.ZDFA=ZBAN；VZAFE=ZAFDfZBAN=ZAMDf：.ZAFE=

/AMN：

一AFAEACr-AFAEEFr-

又/MAN=NFAE,：.AAMN^/\AFE,由圖3證明知：——=——=—=近，：.——=——=——=叵。

AMANABAMANMN

2）半角模型（含120-60。半角模型）

條件：如圖5,已知N2AC=120。，ZADE=ZDAE=60°；

結論：①AABDsACAES4CBA；?—=―=—；③AD-AE=BD-CE(DE?=BD-CE)。

BDAEAB

證明：ZADE=ZDAE=60°,：.ZADE=60°,：.ZADB=120°,VZBAC=120°,/.ZADB=ZBAC,

VZABD=ZCBA,：.^ABD^^CBA；.?.四=也，即：/=生，

ACABBDAB

同理：xCAEs^CBA,,即：絲=如，即：xABDsxCAEs4CBA；—=—=—,

ACABAEABBDAEAB

/.ADAE=BDCE,'：AD=AE=DE,：.DE2=BDCE

模型運用

例1.(23-24九年級上廣東深圳?期中)如圖，在正方形48C￡＞中，E、尸分別是8C、CD上的點，且/￡4尸=45。，

AE.AF分別交于M、N,連按EN、EF,有以下結論：?^ABM^/\NEM；②△AEN是等腰直角三角

形；③當AE=A尸時，—=2-V2；@BE+DF=EF；⑤若點尸是DC的中點，貝|CE=：C8.

EC3

【答案】C

【分析】①如圖，證明AAMNS^BME和AAMBSANME,

②利用相似三角形的性質可得/NAE=NAEN=45。，貝必AEN是等腰直角三角形可作判斷；

③先證明CE=CF,假設正方形邊長為1,設CE=x,則BE=l-x,表示AC的長為AO+OC可作判斷；

④如圖3,將AADF繞點A順時針旋轉90。得到AABH,證明△AEFgZkAEH(SAS),貝l]

EF=EH=BE+BH=BE+DF,可作判斷；⑤如圖4中，設正方形的邊長為2a,貝UDF=CF=a,AF=V^a,想辦法

求出BE,EC即可判斷.

【詳解】如圖，,/四邊形ABCD是正方形，；.ZEBM=ZADM=ZFDN=ZABD=45°.

VZMAN=ZEBM=45°,NAMN=/BME,AAAMN^ABME,

,AM_=MN_^，嫗=些，：/AMB=/EMN,AAAMB^ANME,故①正確，

BMENMNEN

：.ZAEN=ZABD=45°,AZNAE=ZAEN=45°,；.AAEN是等腰直角三角形，故②正確，

AB=AD

在AABE和AADF中，NABE=NA￡)E=90°,.,.RtAABE^RtAADF(HL),.\BE=DF.

AE=AF

VBC=CD,；.CE=CF,假設正方形邊長為1,設CE=x,貝ljBE=1-x,如圖2,連接AC,交EF于H,

VAE=AF,CE=CF,AC是EF的垂直平分線，；.AC_LEF,OE=OF,

RtACEF中，OC=，EF=^x,在AEAF中，ZEAO=ZFAO=22.5°=ZBAE=22.5°,/.OE=BE.

22

VAE=AE,.\RtAABE^RtAAOE(HL),.*.AO=AB=1,AC=血=AO+OC,

：.1+顯x=6,：.x=2一夜,...殷」-(2-故③不正確，

2EC2-也2

③如圖3,.?.將AADF繞點A順時針旋轉90。得到AABH,則AF=AH,ZDAF=ZBAH.

VZEAF=45°=ZDAF+ZBAE=ZHAE.VZABE=ZABH=90°,；.H、B、E三點共線，

AE=AE

在AAEF和AAEH中，ZFAE=ZHAE,，AAEF絲△AEH(SAS),；.EF=EH=BE+BH=BE+DF,故④正確,

AF=AH

如圖4中，設正方形的邊長為2a,貝。DF=CF=a,AE=#a,

圖4

VDF/7AB,—=—=/.AN=NE=-AF=a,；.AE=&AN=^^a,

ANAB2333

：.BE=VAE2-AB2=a)2~(2a)2=|a，?,?EC=ga=：BC,故⑤正確.故選：C.

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質、正方形的性質、全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形

的判定和性質、線段垂直平分線的性質和判定等知識，解題的關鍵是靈活應用所學知識解決問題，學會添

加常用輔助線構造全等三角形，屬于中考壓軸題.

例2.（23-24九年級上?河北唐山?階段練習）在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起，如

圖1所示，點A為公共頂點，點。在的延長線上，NBAC=ZAED=9。。,AB=AE=2若將SBC

固定不動，把VADE繞點A逆時針旋轉a（0°<a<90。），此時線段AD,射線AE分別與射線BC交于點

N.

⑴當VADE旋轉到如圖2所示的位置時，①求證：AABNs^MAN；

②在圖2中除外還有哪些相似三角形，直接寫出；③如圖2,若BM=1，求3N的長；

（2）在旋轉過程中，若劭f=d,請直接寫出CN的長（用含d的式子表示）.

88—4d4d—8

【答案】（1）①見詳解；②AABNs^ACM,△ABCs△叢D；③或

34-<z4-a

【分析】（1）①本題考查三角形相似的判定，旋轉的性質與等腰三角形的性質，根據兩角相等的兩個三角

形相似證明；②本題考查三角形相似的判定，旋轉的性質與等腰三角形的性質，根據等腰直角三角形的性

質得到NABC=NACB=ND=NZME=45。，可證明△ABP；③本題考查三角形相似的判定，旋轉

的性質與等腰三角形的性質，根據勾股定理求出BC,證明根據相似三角形的性質計算即

可；（2）本題考查三角形相似的判定，旋轉的性質與等腰三角形的性質，分點N在線段8C上、點N在線

段8c的延長線上兩種情況，根據相似三角形的性質計算，得到答案.

【詳解】（1）①證明：,/ZABN=AMAN=45°,ZANB=NMNA,.NABNfMAN;

②,ABNs工MCA,AABCsAEAD,,:LABNs4MAN,：.ZAMC=ZANB,

:.ABC、E4D都是等腰直角三角形，/.ZBAC=ZAED=90°,ZABC=ZACB=ZEAD=ZEDA=45°,

:.aABNs&MCA,AABCsAEAD；

③在Rt^ABC中，ABAC=90°,AB=AC=2①,則5。=回'+3=?。?CM=BC=BM=3,

QZAMC=ZB+ZBAM=45°+ZBAM,ZBAN=ZMAN+ZBAM=45°+ZBAM,:.ZAMC=ZBAN,

BNABBN20“ea8

NB=NC,.NABN^NMCA,:，八二7，即Hn解得：BN=丁,

ACCM2近33

（2）如圖2,當點N在線段3c上時,

BN=+

88-4(/

:.CN=BC-BN=4-

4-d4-d

8,4d-8

如圖3,當點N在線段3c的延長線上時，CN=BN-BC=------4=-------

4-d4-d

8-4d4d—8

綜上所述：CN的長為或

4-d4-d

【點睛】本題考查的是旋轉的性質、相似三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質及勾股定理，掌握

相似三角形的判定定理是解題的關鍵.

例3.（2024?遼寧?模擬預測）（1）如圖，等腰Rt^ABC中，AB^AC,/R4c=90。，D、E在線段BC上,

且/ZME=45。，BC=12,BD=3,求DE的長.

（2）如圖，在11ABe中，AB=AC,如果NBAC=120。，。在直線8C上，E在上,。在E的右側,

ZDAE=6O°,若3c=12,CD=2,求。E的長.(3)如圖，在ABC中，^ZBAC=2a,D、E是線段BC

上的兩點，ZEAD=a,^AC=kAB,AD=&AE,探究BE與C￡>的數量關系.

iA38

【答案】(1)DE=5；(2)DE=—或—；(3)CD=kBE

【分析】（1）過點C作CF_L3C,且使得CF=8D,連接針，EF,證明△ACF/△血￡>,得到AF=AD,

/3=-4,證明AAEF當A￡D,得到DE=￡F,設DE=EF=x,則CE=9—x,在Rt,EFC中，根據勾股

定理求解即可；（2）分兩種情況：①當點。在點C的左側時，作/W=NC,BF=CD=2,連接所，作

FGLBC交BC于點、G,②當點。在點C的右側時，作尸=150。，BF=CD=2,連接班作bGLBC

交3C的延長線于點G,根全等三角形的判定與性質和勾股定理求解即可；（3）作NZMN=ABAC=2a,

RNAR1

且令AD=kAN,連接BN,7VE,證明BAN^CW,得到NC=ZABN,——=——=—,推出妨N=CD,

CDACk

證明NAE^EAD,得到NA￡N=NADE,證明3N=B￡,即可求解.

【詳解】（1）如圖，過點。作CF_L5C,且使得CF=3。，連接AT,EF,

AB=AC,ABAC=9Q0,N1=4=45。，CF1BC,/.Z2=45°=ZB,

CF=BD

在△ACF和△ABD中，｛/2=/8,.ACF^ABD(SAS)f

AC=AB

AF=AD,/3=/4,/.ZFAD=ZBAC=90°fZ6=45°,/.ZFAE=Z6=45°,

AF=AD

在方和△AED中，＜NFAE=N6,AEF^AED(SAS),DE=EF,

AE=AE

^DE=EF=xf則CE=5C—5D—￡＞石=12—3—x=9—九,

在Rt.EFC中，CF'CE'EF?,32+(9-x)2=x2,解得：尤=5,ADE=5；

(2)①當點。在點C的左側時，作N/W=NC,BF=CD=2,連接EF,作b交3C于點G,

AB=AC,NB4c=120。，Z1=ZC=30°=Z2,

BF=CD

在△ABb和AACD中，＜Z2=ZC,「.AB尸&ACD(SAS),

AB=AC

/.AF=AD,N3=/4,/.ZFAD=ZBAC=120°,Z6=60°,/.ZFAE=Z6=60°,

AF=AD

在△AEF和△AED中，＜/FAE=N6,AEF^AED(SAS)f^EF=ED,