線、面的動(dòng)點(diǎn)最值專項(xiàng)練習(xí)

數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)的線段

【方法技巧】數(shù)形結(jié)合，設(shè)未知數(shù)，看清楚動(dòng)點(diǎn)的速度和方向，表示出線段的點(diǎn)表示的數(shù)（注意比較上節(jié)內(nèi)容:

數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)）,再根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程求解.

［題1］★★★如圖，數(shù)軸上線段AB=2（單位長度）,CD=4（單位長度）點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是-10，點(diǎn)C在數(shù)

軸上表示的數(shù)是16.若線段AB以6個(gè)單位長度/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段CD以2個(gè)單位長度/秒的速度

向左勻速運(yùn)動(dòng).

III11,

AB0CD

（1）問運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)BC=8（單位長度）；

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)到BC=8（單位長度）時(shí)，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是；

（3）P是線段AB上一點(diǎn)，當(dāng)B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段CD上時(shí)，是否存在關(guān)系式胃=3,若存在，求線段PC的長；

若不存在，請說明理由.

［題2］如圖，P是定長線段AB上一點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)同時(shí)從P、B出發(fā)分別以lcm/s和2cm/s的速度沿直線

AB向左運(yùn)動(dòng)（C在線段AP±,D在線段BP上）.已知C、D運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有PD=2AC.

IIIII

ACPDB

（1）線段AP與線段AB的數(shù)量關(guān)系是________________；

⑵若Q是線段AB上一點(diǎn)，且AQ-BQ=PQ,求證:AP=PQ;

（3）若C、D運(yùn)動(dòng)5s后.恰好有CD=1AB此時(shí)C點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)Q點(diǎn)在線段PB上繼續(xù)運(yùn)動(dòng),M、N分別是CD、

PD的中點(diǎn)，問器的值是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出答的值.

ADAD

勻速運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)形成全等三角形

【方法技巧】數(shù)形結(jié)合，設(shè)未知數(shù)，看清楚動(dòng)點(diǎn)的速度和方向，表示出三角形的邊長；根據(jù)題中的等量關(guān)系列

方程求解.分段討論是重點(diǎn).

[題1]★★★如圖,AABC中,NACB=9(T,AC=6,BC=8點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A-C-B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B

點(diǎn)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B-C-A路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)終點(diǎn)為A點(diǎn).點(diǎn)P和Q分別以1和3的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，

兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻,分別過P和Q作PEL1于E,QF，1于F.問:點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少時(shí)

間時(shí),APEC與AQFC全等？請說明理由.

【題2】★★★如圖①,AB=4cm,AC，AB,BD，AB,AC=BD=3cmj^P在線段AB上以lcm/s的速度由點(diǎn)A向

點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s).

⑴若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t=l時(shí),AACP與ABPQ是否全等，請說明理由，并判斷此

時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；

(2)如圖②，將圖①中的“AC，AB,BDJ_AB”改為“NCAB=/DBA=60。”,其他條件不變.設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為x

cm/s,是否存在實(shí)數(shù)x,使得AACP與ABPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請說明理由.

圖①圖②

【題3】★★★★如圖.在四邊形AB-CD中,AD=BC=8,AB=CD,BD=12,點(diǎn)E從D點(diǎn)出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速

度沿DA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿C-B-C，作勻速移動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)B出

發(fā)沿BD向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余兩點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，假設(shè)移動(dòng)時(shí)間

為t秒.

⑴試證明:AD〃BC;

(2)在移動(dòng)過程中，小明發(fā)現(xiàn)有ADEG與ABFG全等的情況出現(xiàn)，請你探究這樣的情況會(huì)出現(xiàn)幾次？并分別求出

此時(shí)的移動(dòng)時(shí)間和G點(diǎn)的移動(dòng)距離.

[題4]如圖，已知AABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).如果點(diǎn)P在線段BC上以

3cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).

(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1s后,ABPD與ACQP是否全等，請說明理由；

(2)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使ABPD與ACQP全等?

若點(diǎn)Q以⑵中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿AABC三邊

運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過多長時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在AABC的哪條邊上相遇？

四邊形中勻速運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)

【方法技巧】平行四邊形中勻速運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，可以設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,然后用t表示各個(gè)變量求解；線段的最值常用

兩邊之和大于第三邊或垂線段最短求解.

【題1】★★★如圖在四邊形ABCD中,AD〃BC,AD=24cm,BC=30cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)D以lcm/s的速度

運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)D即停止。同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B即停止.直線PQ將四邊形ABCD

截成兩個(gè)四邊形，分別為四邊形ABQP和四邊形PQCD，則當(dāng)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)幾秒時(shí)所截得兩個(gè)四邊形中，

其中一個(gè)四邊形為平行四邊形？

AP——?D

B--QC

【題2】★★★如圖矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)D重合),

P0的延長線交BC于點(diǎn)Q

⑴求證：四邊形PBQD為平行四邊形；

(2)若AB=3cm,AD=4cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以lcm/s的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，問四邊

形PBQD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由.

[題3]★★★如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為A(12,0),C(0,4),點(diǎn)D為

OA邊的中點(diǎn)，連接BD.

⑴直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo):,BD=;

⑵如圖②，若點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿D-A-B-C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)0出發(fā)，

以每秒1個(gè)單位長度的速度沿O-C-B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M,N相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)即停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），求使得AMON

為直角三角形時(shí)所有t值和取值范圍.

條用圖

【題4】★★★已知:矩形ABCD中,AD>AB,0是對角線的交點(diǎn)，過0任作一直線分別交BC、AD于點(diǎn)M、

N（如圖①）.

圖①

⑴如圖②,四邊形AMNE是由四邊形CMND沿MN翻折得到的，連接CN,求證:四邊形AMCN是菱形;

圖②

⑵在⑴的條件下,如圖③，若AB=4cm,BC=8cm動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿AAMB和ACDN各

邊勻速運(yùn)動(dòng)一周.即點(diǎn)P自A-M—B-A停止，點(diǎn)Q自C-DTN—C停止.在運(yùn)動(dòng)過程中,已知點(diǎn)P的速度為每

秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t

的值.

AND

【題5】★★★★如圖，在平面直角坐標(biāo)系中八8〃0(2人(0,12)2(4(；),(2(00),并且2,13滿足/>=V^21+

標(biāo)1+16動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā).在線段AB上以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)0出發(fā),

在線段0C上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)A,0同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),

點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒).

(1)求B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCB是平行四邊形？并求出此時(shí)P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)t為何值時(shí),APQC是以PQ為腰的等腰三角形？并求出P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo).

動(dòng)態(tài)路徑問題

【方法技巧】動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑問題解題方法：

⑴選取多個(gè)特殊點(diǎn)探索多個(gè)特殊位置，一般選取起點(diǎn)，終點(diǎn)，和另外的特殊點(diǎn)探索.

(2)根據(jù)這些特殊點(diǎn)的位置猜想運(yùn)動(dòng)路徑，然后驗(yàn)證.現(xiàn)階段多用全等轉(zhuǎn)換求值.

(3)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)一證全等一根據(jù)題目條件列式求解.

題1】★★如圖.A(l,0),B(0,l),點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng),BP，PM,BP=PM,C為x軸負(fù)半軸上一定點(diǎn)，連接CM,

N為CM的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長為.

【題2狀★★如圖在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCO的頂點(diǎn)C,A分別在x,y軸上,A(0,6),點(diǎn)Q為對角線BO

上一動(dòng)點(diǎn),D為邊0A上一點(diǎn),DQLCQ,點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿B0方向移動(dòng)，若移動(dòng)的路徑長為3,直接寫出CD的

中點(diǎn)M移動(dòng)的路徑長為.

2.【思路分析】點(diǎn)Q和點(diǎn)B重合時(shí),D在A點(diǎn)才符合題意，連AC交BO于點(diǎn)N,這時(shí)M點(diǎn)即為N點(diǎn).即M

移動(dòng)的路徑長為MN.

【題3】★★如圖，直線AB:y=2x+4交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,C(1,O),P為直線AB上一點(diǎn)將線段PC繞點(diǎn)C

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得CQ.

(1)當(dāng)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長為；

⑵線段OQ的最小值為.

【題4】★★★如圖,A(4,0),B(0,4),點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng),PQLPO且PQ=PO.

(1)試說明點(diǎn)Q在某一確定的直線上；

(2)點(diǎn)M是OQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長.

【思路分析】(l)yAB=-x+4,設(shè)P(a,-a+4),過點(diǎn)P作EF〃x軸交y軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)Q作QF，PE于點(diǎn)F,可證

APOE絲ZXQPF,貝!|FQ=PE=a,PF=OE=-a+4./.Q(4,4-2a),貝！J點(diǎn)Q在直線x=4上；

(2)由M為OQ中點(diǎn)得xM=2,當(dāng)點(diǎn)P與起點(diǎn)A重合時(shí),Mi(2,-2),當(dāng)點(diǎn)P與終點(diǎn)B重合時(shí),乂2(2,2),故點(diǎn)M的路徑

長為M1M2=4.

【題5】★★★如圖，在AABC中,/B=90o,/BAC=6(F,AB=1若點(diǎn)E為BC上一動(dòng)點(diǎn)以AE為邊在AE右側(cè)

作等邊AAEF,連接CF,點(diǎn)G為線段CF的中點(diǎn)，若點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿著BC方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,則在此過程中，

點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長為.

【題6】在平面直角坐標(biāo)系中.點(diǎn)A(0,8)、C(8,0),四邊形AOCB是正方形，點(diǎn)D是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，Z

ADE=90°,DE交正方形AOCB的外角的平分線CE于點(diǎn)E.

⑴當(dāng)點(diǎn)D是OC的中點(diǎn)時(shí)，求證AD=DE;

(2)連接AE點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F到CE的距離是否為定值？若為定值,

求出這個(gè)值；若不是定值，請說明理由.

1.【答案解析】

(1)點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是-10+2=-8,點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)是16+4=20,運(yùn)動(dòng)t時(shí)后:A表示的數(shù)為-10

+6t,B表示的數(shù)為-8+6t,C表示的數(shù)為16-2t,D表示的數(shù)為20-2t.

由BC=8得到卜8+6t-16+2t|=85=4或t=2.故運(yùn)動(dòng)2秒或4秒后,BC=8.

(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是4；

當(dāng)運(yùn)動(dòng)4秒時(shí)，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是16.

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，設(shè)P原來表示的數(shù)為x,運(yùn)動(dòng)t時(shí)后:A表示的數(shù)為6t-10,B表示的數(shù)為6t-8,C表示的數(shù)為

16-2t,D表示的數(shù)為20-2t,P表示的數(shù)為x+6t,BD=28-8t,

AP=x+10,PC=|8t+x-16|.

代入*=3,解得x=15-8t或者x=B—8t.

所以.PC=|8t+x-16|=l或|

2.【答案解析】

⑴根據(jù)C、D的運(yùn)動(dòng)速度知:BD=2PC,

PD=2AC,BD+PD=2(PC+AC),即PB=2AP,

???點(diǎn)P在線段AB上的拂，即AB=3AP.

(2)證明:如下圖，由題意得AQ>BQ,

APQB

???AQ=AP+PQ,

又AQ-BQ=PQ,AQ=BQ+PQ,

AAP=BQ.

由(1)彳導(dǎo)，AP=

21

JPQ=AB-AP-BQ=AB-2AP=AB-^AB=^AB.

，AP=PQ.

⑶如下圖:

ACPMNDB

運(yùn)動(dòng)5s時(shí),PC=5cm,BD=10cm.由(1)可知AP=

設(shè)AP=x^(JAC=AP-PC=x-5,

.*.PD=2AC=2X-10,PB=PD+DB=2X,CD=2X-5,AB=AP+PB=3X.

CD=-AB,2%—5=!x3%=%=10.

22

則D仍為動(dòng)點(diǎn).設(shè)A為原點(diǎn)AB=3AP=30AB表示的數(shù)為30,設(shè)運(yùn)動(dòng)了t秒(t>5)則D表示的數(shù)為30-2t,

???C表示的數(shù)是10-5=5,M為CD的中點(diǎn)，.?.M表示的數(shù)為世?

???N為PD的中點(diǎn),???N表示的數(shù)為絲詈.

..10+30—2t5+30—215

???MNn7=------------------------

2’

5

絲=且=工為定值

AB3012為^且.

1.【思路分析】數(shù)形結(jié)合，設(shè)未知數(shù)，看清楚動(dòng)點(diǎn)的速度和方向，表示出APEC和AQFC的邊長.

根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程求解.需分段討論.

【答案解析】

解設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t分三種情況①0<t（用寸.P在AC上,Q在BC上，此時(shí)/CPE+NPCE=90o,/QCF+/CQF=90。.

ZACB=90°,.\ZACE+ZQCF=90°,AZQCF=ZCPE,AAPCE^ACQF.

It匕時(shí)要得△PCE^ZkCQF,則PC=CQ即6-t=8-3t,t=l,滿足.

②[<t<g時(shí)，HQ都在AC上，此時(shí)兩個(gè)三角形如果全等，則它們必須是重合的,

PC=CQ即6—t=3t—8,t=最滿足.

③t>當(dāng)時(shí)，Q已經(jīng)在A點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)P不可能在AC上，即t>6,和①一樣的原因可知，此時(shí)PC=CQ即

滿足PC=AC=6,

t=6+6=12,

綜上t=l或t=g或t=12.

2.【思路分析】（2）設(shè)未知數(shù)，表示出AACP和BPQ的邊長，根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程求解.需分“AC=BP,AP=

BQ”和“AC=BQ,AP=BP”兩種情況進(jìn)行討論.

【答案解析】解:⑴當(dāng)t=l時(shí),AP=BQ=1,BP=AC=3,

VZA=ZB=90°,.,.AACP^ABPQ.

止匕時(shí)/ACP=ZBPQ,ZAPC+ZBPQ=ZAPC+ZACP=90°,

/CPQ=90。.即線段PC,線段PQ.

(2)①若AACPgzXBPQ,則AC=BP,AP=BQ,

有解得P=1

lt=xt=1

②若4ACP之△BQP,貝！］AC二BQ,AP=BP,

有｛七。解得(x=l

綜上，存在『=；或吏得AACP與ABPQ全等.

3.【答案解析】⑴證明:在AABD和ACDB中，

AD=BC,AB=CD,BD=DB,

/.AABD^ACDB,

ZCBD=ZADB,.*.AD//BC.

(2)設(shè)G點(diǎn)的移動(dòng)距離為y,當(dāng)F由C—B移動(dòng)，即0<t</

"?ADEG^ABFG,?.ZEDG=ZFBG,

；.DE=BF,DG=BG或

DE=BG,DG=BF,即::

解得［/或18-3：二；2.y

解得［；二］%舍去).

當(dāng)F由B—C移動(dòng),SP|<t<y,

有I;二U解得二

或L.MLy,解得CM

綜上所述，這種情況會(huì)出現(xiàn)3次.

4.【分析】由⑵可得出點(diǎn)Q的速度大于點(diǎn)P的速度，點(diǎn)Q追上點(diǎn)P,要比點(diǎn)P多運(yùn)動(dòng)AC+AB的距離.點(diǎn)Q

的路程-點(diǎn)P的路程=10cmx2.

【答案解析】⑴①?；t=ls,，BP=CQ=3xl=3cm,：AB=10cm,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),...BD=5cm.又：

PC=BC-BP,BC=8cm,；.PC=8-3=5cm,，PC=BD.又：AB=AC,.\ZB=ZC,AABPDACQP.

②?..vp￥vp,，BP￥CQ，又：ABPD^ACQP,ZB=ZC,KUBP=PC=4,CQ=BD=5,：.^P、點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=

BP4CQ515,

y=-s,■■VQ=—=^=—cm/s.

3

⑵設(shè)經(jīng)過X秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，由題意，得-3久=2X10,

4

解得X=？s.

...點(diǎn)P共運(yùn)動(dòng)了三義3=80cm.

V80=2x28+24,.'.點(diǎn)P、點(diǎn)Q在AB邊上相遇,

經(jīng)過8白，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在邊AB上相遇.

1.【思路分析】設(shè)未知數(shù)，看清楚動(dòng)點(diǎn)的速度和方向，表示線段長度；根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程；其中要注

意因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)引起的分類討論，這是許多同學(xué)容易遺漏的，也是這類題目的難點(diǎn).

本題分兩種情況，當(dāng)四邊形ABQP為平行四邊形時(shí)，AP=BQ；當(dāng)四邊形PQCD為平行四邊形時(shí),PD=QC.

【答案解析】解：設(shè)當(dāng)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)t(s)時(shí),四邊形ABQP或四邊形PQCD是平行四邊形，根據(jù)題意彳導(dǎo)

AP=tcm,PD=(24-t)cm,CQ=2tcm,BQ=(30-2t)cm(0<t<15);

①若四邊形ABQP是平行四邊形，

,/AD//BC,：.還需滿足AP=BQ,t=30-2t,解得t=10,

?*.10s時(shí)四邊形ABQP是平行四邊形；

②若四邊形PQCD是平行四邊形，

?；AD〃BC,...還需滿足PD=CQ,

24-t=2t.解得t=8,8s時(shí)四邊形PQCD是平行四邊形.

綜上所述，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)8s或10s時(shí)，截得兩個(gè)四邊形中，其中一個(gè)四邊形為平行四邊形.

2.【思路分析】⑴證APOD也△QOB.

⑵當(dāng)PB=PD時(shí)，口PBQD為菱彩設(shè)AP=t，則PD=PB=(4-t),由勾股定理列方程求解.

【答案解析】(1)證明：：四邊形ABCD是矩形,.?.AD〃BC,OD=OB,/PDO=/QBO,

在APOD和AQOB中,/PDO=NQBO,OD=OB,NPOD=NQOB,

△POD^AQOB(ASA),.\PD=QB.又：PD〃QB,

四邊形PBQD為平行四邊形.

⑵點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)運(yùn)動(dòng)Is時(shí),AP=tcm,PD=(4-t)cm.

當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí),PB=PD=(4-t)cm.

,四邊形ABCD是矩形,ZBAP=90°.

在RtAABP中，AB=3cm,AP2+AB2=PB2,gp.t2+32=(4-t)2；

解得t.點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為《時(shí)，四邊形PBQD為菱形.

oob

3【答案解析】(1)(6,0),2V13

⑵①如圖①所示

y

c------------------?

N

]____________L

o]D-MAX

圖①

：OC=4,DA=6,

.??點(diǎn)N從。到C需要4s,點(diǎn)M從D到A需要2s.

/.0<t<2時(shí)，點(diǎn)N在OC上，點(diǎn)M在DA上.

/?當(dāng)0<飪2時(shí),ANOM為直角三角形.

②如圖②所示：

y

c-B

N-

ODAx

圖②

當(dāng)MNXOC時(shí),AMON是直角三角形.

VMN±OC,.\ZMNO=90°.

ZMNO=ZNOA=ZOAM.

.,?四邊形OAMN為矩形.

?,.ON=AM..\t=3t-6.

解得:t=3.

.?.當(dāng)t=3s時(shí),ANOM為直角三角形.

③如圖③所示：

當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí),ANOM為直角三角形.

VON=OC=4,3t=4.??t=*4

綜上所述，當(dāng)0<t<2時(shí)或t=3時(shí)或t=軻，ANOM為直角三角形.

4.【答案解析】(1)證法一：??.四邊形ABCD是矩形，

???AD〃BC,AD=BC,

VBM=DN(ABOM^ADCN),

/.AD-DN=BC-BM,

即AN=CM,

四邊形AMCN是平行四邊形，

由翻折得,AM=CM,

..?四邊形AMCN是菱形；

證法二:由翻折得,AN=NC,AM=MC,ZAMN=ZCMN,

：AD〃BC,

/.ZANM=ZCMN,

ZAMN=ZANM,

.*.AM=AN,

；.AM=MC=CN=NA,

四邊形AMCN是菱形；

⑵設(shè)菱形AMCN的邊長為xcm廁BM=8-x,

在RtAABM中，AB2+BM2=AM2,

即42+(8—x)2=x2,

解得x=5,r.AM=5cm,

顯然，當(dāng)點(diǎn)P在AM上時(shí)點(diǎn)Q在CD上.此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形洞理點(diǎn)P在AB上

時(shí)，點(diǎn)Q在DN或CN上，此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)也不可能構(gòu)成平行四邊形，因此，只有點(diǎn)P在BM上，點(diǎn)Q在DN

上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，此時(shí)PC=QA.

?，點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,

PC=PM+MC=PM+AM=5t,

QA=AD+CD-CQ=8+4-4t=12-4t,

5t=12-4t,解得t==-

..?以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t=[s.

5.【思路分析】⑵PB=QC時(shí),四邊形PQCB為平行四邊形；

(3)設(shè)未知數(shù)，建立方程求解.需分PQ=CQ和PQ=PC兩種情況討論.

【答案解析】解：(1)"b-7a—21+V21-a+16,a=21,b=16.

AB//OC,A(0,12),Ac=12,/.B(21,l2),C(16,0);

(2)由題意，得AP=2t,QO=t，則PB=21-2t,QC=16-t,

:當(dāng)PB=QC時(shí),四邊形PQCB是平行四邊形,，21-2t=16-t,解得t=5,；.P(10,12),Q(5,0);

⑶當(dāng)PQ=CQ時(shí),如下圖，過Q作QN±AB于點(diǎn)N,

由題意，得PN=t,則122+t2=(16-t)2,解得t=3.5,

，P(7,12),Q(3.5,0).

當(dāng)PQ=PC時(shí)，過P作PMLx軸于點(diǎn)M,

由題意，得QM=t,CM=162,則t=162,解得t=二P償，12),Q得,0).

綜上所述:Pi(7,12),Q式3.5,0出(.2),(?2(印01

1.【思路分析】點(diǎn)P在OA上運(yùn)動(dòng)，分別標(biāo)出點(diǎn)P在點(diǎn)O和P在點(diǎn)A時(shí)M的位置.當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)。時(shí)，N

在CA的中點(diǎn)位置，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A時(shí)，N在CM的中點(diǎn)位置，即N運(yùn)動(dòng)的路徑長=\AM.

【答案解析】設(shè)CA的中點(diǎn)為E，連接EN.當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)N位置時(shí)點(diǎn)E的位置，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A時(shí),

N在如下圖位置,點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長為EN的長度.

：BP_LPM,BP=PM,，BAJ_AM,且BA=AM.BA=VXEN=1AM=|xV2=y.

2.【答案解析】作Q