專題18全等三角形模型之倍長中線與截長補短模型

全等三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內容，本專題就全等三

角形中的重要模型（倍長中線模型、截長補短模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

例題講模型

模型1.倍長中線模型

中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線。所

謂倍長中線模型，就是將三角形的中線延長一倍，以便構造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關知

識來解決問題的方法。（注：一般都是原題已經有中線時用，不太會有自己畫中線的時候）。

倍長中線在全等三角形的輔助線做法中，難度不是特別大，相對好理解和掌握。

練習時要記住下面三點：①見中點，先倍長；②證明8字全等；③找關系。

模型證明

1）倍長中線模型（中線型）

條件：/D為A/BC的中線。結論：^ABD=AECD

證明：延長至點E,^.DE=AD,連結CE。

為△NBC的中線，：.BD=CD,:NBDA=/CDE,：.&ABD出4ECD（S4S）

2）倍長類中線模型（中點型）

條件：A/BC中，。為3c邊的中點，E為48邊上一點（不同于端點）。結論：&EDB9XFDC。

證明：延長助，使D尸=。￡,連接CF。

?.?。為2C邊的中點，：.BD=DC,VZBDE=ZCDF,:.△EDB92FDC（SAS）

3）倍長類中線模型拓展（中點+平行線型）

條件：AB//CD,E為/C的中點，尸為48邊上一點（不同于端點）。結論：AAFEdCGE。

證明：延長FE,交。C的延長線于點G。

為/C的中點，：.AE=CE,"JAB//CD,：.ZA=ZECG,/AFE=/G,A^AFE^^CGE（AAS）

若“中點+平行線型”按“中點型”來倍長，則需證明點G在⑦上，為了避免證明三點共線，點G就直接通過

延長相交得到。因為有平行線，內錯角相等，故根據“44S'或“4SL4”證明全等。這里“中點+平行線型”可以看

做是“中點型'’的改良版。

模型運用

例1.（2024?廣東?校考二模）綜合與實踐：小明遇到這樣一個問題，如圖1,“BC中，AB=[,AC=5,

點。為3C的中點，求AD的取值范圍.

小明發現老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以

便構造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關知識來解決問題的方法，他的做法是：如圖2,延長

到E,使DE=AD,連接BE,構造△BE。2△C/O,經過推理和計算使問題得到解決

請回答：⑴小明證明48項注△C4D用到的判定定理是：；（填入你選擇的選項字母）

A.SASB.SSSC.AASD.ASA

（2）40的取值范圍是.

小明還發現：倍長中線法最重要的一點就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構造.

參考小明思考問題的方法，解決問題:

如圖3,在正方形48co中，￡■為48邊的中點，G、尸分別為AD,8C邊上的點，若/G=2,BF=4,

NGEF=90°,求G尸的長.

例2.（23-24遼寧錦州七年級期末）【問題提出】期末復習課上，數學丁老師出示了下面一個問題：如圖1,

在“BC中，。是胡延長線的點，E是/C邊上一點，且滿足。￡=BC,NDE4=//C3,那么A是2。的

中點，請你說明理由.

【思路探究】小王同學從條件出發分析解題思路：以。E為腰構造等腰3環和平行八字型全等三角形，如

圖2,以點。為圓心，以。E長為半徑畫弧，交C4的延長線于點尸，先應用等腰三角形的軸對稱性，再應

用三角形全等“AAS”（或“ASA”）的判定方法即可得45=/。，小張同學從結論出發分析解題思路：以

為腰構造等腰b，將說明ND=/2的問題轉化為說明8尸的問題，如圖3,以點B為圓心，以

長為半徑畫弧，交/C于點尸，于是可得=,再應用三角形全等“AAS”（或“ASA”）的判定方法

即可得=8尸=/￡>.

（1）請你選擇小張同學或小王同學的思路或按自己的思路寫出完整的解題過程；

【學以致用】（2）請你在理解了小張同學或小王同學解題思路的基礎上，解答下面一道圖形較為復雜的同

類問題：如圖4,在四邊形/BCD中，AB=AC=CD,ZACD=90°,過點3作線段BE_L,S.BE=AB,

連接交8c的延長于點尸，猜想。尸與E尸的數量關系并說明理由.

例3.（2024?江蘇?九年級校考期中）【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題:

如圖①，A/BC中，若N5=8,AC=6,求8C邊上的中線/。的取值范圍.小明在組內經過合作交流，得

到了如下的解決方法：延長4D至點￡,使DE=4D,連接8瓦請根據小明的方法思考：

(1)由已知和作圖能得到以△ED2,依據是.A.SAS；B.SSS；C.AAS；D.HL

(2)由“三角形的三邊關系”可求得/￡＞的取值范圍是.

解后反思：題目中出現“中點”、“中線”等條件，可考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求

證的結論集中到同一個三角形之中.

(3)【初步運用】如圖②，4D是△48C的中線，BE交4c于E,交4D于尸，S.AC^BF.求證

(4)【靈活運用】如圖③，在A/BC中，ZA=90°,。為8C中點，DELDF,DE交4B于點、E,DF交4c

于點凡連接EK試猜想線段BE、CF、￡尸三者之間的數量關系，并證明你的結論.

例4.(23-24九年級上?吉林長春?階段練習)【問題探究】在學習三角形中線時，我們遇到過這樣的問題：

如圖，在中，點。為8c邊上的中點，AB=4,AC=6,求線段長的取值范圍.我們采用的方

法是延長線段/D到點E,使得AD=DE,連結CE,可證ANAD0AEC。，可得CE=/B=4,根據三角形

三邊關系可求的范圍，我們將這樣的方法稱為“三角形倍長中線”，則/。的范圍是：.

【拓展應用】(1)如圖，在"3C中，BC=2BD,4D=3,AC=2y/w,ZBAD=90°,求的長.

(2)如圖，在AABC中，。為3c邊的中點，分別以48、/C為直角邊向外作直角三角形，且滿足

N4BE=ZACF=30°,連結班若4)=26，則跖=.(直接寫出)

模型2.截長補短模型

模型解讀

截長補短模型分為截長模型和補短模型：適用于求證線段的和差倍分關系，截長補短的關鍵在于通過

輔助線構造出全等三角形、等腰三角形。該類題目條件中常出現等腰三角形（兩邊相等）、角平分線（兩

角相等）等關鍵詞句，可采用截長補短法構造全等三角形來完成證明過程（往往需證2次全等）。

截長：指在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；

補短：指將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。

模型證明

Cf

條件：40為△/5C的角平分線，ZB=2ZCo結論：AB+BD=ACo

證明：法1(截長法)：在線段4c上截取線段4*=4瓦連接。瓦

為的角平分線，:?/BAD=/B，AD,*：AD=AD,；?"BDmLABE(SAS)

:?/B=/AB，D,BD=B'D,VZ5=2ZC,；?/AB，D=2/C,：.ZABrD=2ZC,:?NB，DC=/C,

,,,,

：.BC=BD,：.BD=B，C,'：AB+BC=AC,：.AB+BD=ACO

法2(補短法)：延長45至點。使得=連接50。

??Z。為△/BC的角平分線，:?/CAD=/CAD,*：AD=AD,小CAD/MAD(SAS)

.*.ZCr=ZC,VZ5=2ZC,ZB=2ZC,:?/BDC=/C,:?BC=BD,

■:AB+BC'=AC',：.AB+BD=ACo

模型運用

例1.（2024?遼寧大連?模擬預測）【方法探究】如圖1,在“6C中，AD平分NBAC,NABC=2NC,探

究NC,4B,8。之間的數量關系；

嘉銘同學通過思考發現，可以通過“截長、補短”兩種方法解決問題：

方法1：如圖2,在/C上截取NE,使得KE=4B,連接DE,可以得到全等三角形，進而解決此問題.

方法2：如圖3,延長到點E,使得BE=BD,連接。￡,可以得到等腰三角形，進而解決此問題.

（1）根據探究，直接寫出/C,AB,AD之間的數量關系；

【遷移應用】（2）如圖4,在AJBC中，。是3C上一點，，NB=2NC,ADJ.BC于D,探究CD,AB,BD

之間的數量關系，并證明.

【拓展延伸】（3）如圖5,AABC為等邊三角形，點。為48延長線上一動點，連接CD.以CD為邊在CD上

方作等邊ACOE,點尸是。E的中點，連接冊并延長，交的延長線于點G.若NG=4CE,求證：

GF=AE+AF.

例2.（23-24八年級上?河南漫河?期末）（1）閱讀理解：問題：如圖1,在四邊形/BCD中，對角線8D平分

ZABC,ZA+ZC=180°.求證：DA=DC.

思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構造全等去解決問題.

方法1：在8c上截取四=胡，連接。得到全等三角形，進而解決問題；

方法2：延長A4到點N,使得3N=3C,連接DN,得到全等三角形，進而解決問題.

結合圖1,在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明.

（2）問題解決：如圖2,在（1）的條件下，連接NC,當NDZC=60。時，探究線段N3,BC,80之間

的數量關系，并說明理由；

（3）問題拓展：如圖3,在四邊形/BCD中，ZA+ZC=180°,DA=DC,過點。作。垂足為點

E,請寫出線段/2、CE、8c之間的數量關系.

例3.（23-24九年級上?江蘇南通?期中）如圖，四邊形/BCD是。。內正方形，P是圓上一點（點P與點4

B,C,。不重合），連接尸4PB,尸C.（1）若點P是弧/。上一點，①NAPC度數為；

②求證：+=小明的思路為：這是線段和差倍半問題，可采用截長補短法，請按小明思路完

成下列證明過程（也可按自己的想法給出證明）.證明：在尸C的延長線上截取點E.使CE=P/,連接BE.

（2）探究當點尸分別在萬，BC，&上，求尸4PB,尸C的數量關系，直接寫出答案，不需要證明.

例4.（23-24八年級下?遼寧盤錦?期中）【閱讀理解】截長補短法，是初中數學幾何題中一種輔助線的添加

方法.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短

邊相等，從而解決問題.（1）如圖1,“8C是等邊三角形，點。是邊8c下方一點，ZBDC=120°,探索

線段D/、DB、。。之間的數量關系.思路：延長DC到點E,使CE=BD,連接ZE,根據

ZBAC+ZBDC=180°,可證4L8O=aICE,易證得0,得出V/DE是等邊三角形，所以

AD=DE,從而探尋線段。/、DB、DC之間的數量關系.根據上述解題思路，請寫出￡U、DB、DC之

間的數量關系是;

【拓展延伸】（2）如圖2,在RtA/8C中，/A4c=90。，AB=AC,若點。是邊8C下方一點，ZBDC=9Q°,

探索線段DB、。。之間的數量關系，并說明理由；

【知識應用】（3）如圖3,兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂

點之間的距離PQ2=_cm.

習題練模型

1.（2023秋?江西九江?八年級校考期末）如圖，在△ABC中，點。是8C的中點，若/8=5,/C=13,AD

=6,則的長為.

2.（2023?江蘇淮安?三模）【探究發現】（1）如圖1,在V/2C中，。為BC邊的中點，連接40并延長至點

H,使DH=4D,連接C”.由乙4DB=NCDH,得NADB尊HDC,則與C77的數量關系為,

位置關系為.

【嘗試應用】（2）如圖2,在V48c中，NP平分/2/C,。為BC邊的中點，過點。作交C4

的延長線于點。，交邊于點K.試判斷8K與怎的數量關系，并說明理由.

【拓展應用】（3）如圖3,在RtZ\/8C中，ZBAC=90°,AC=6,4B=8,。為8c邊的中點，連接4D,

￡為/C邊上一動點，連接3E交4D于點？①若BF=4C.求NE的長度；

4G4

②在射線AD上取一點G,且===,連接8G,直接寫出48E+5BG的最小值.

CE5

3.（23-24九年級上?廣東梅州?階段練習）閱讀下面材料：某同學遇到這樣一個問題：如圖1,在V/8C中，

Ap

乙4c3=90。,BE是4c邊上的中線，點。在3c邊上，CD:BD=1:2,AD與BE相交于點尸，求”■的值.他

發現，過點A作月尸〃8C,交3E的延長線于點F,通過構造經過推理和計算能夠使問題得到解

Ap

決（如圖2）.請回答：（1）急的值為—.⑵參考這個同學思考問題的方法，解決問題：如圖3,在V/8C

中，44c5=90。，點。在8c的延長線上，4D與/C邊上的中線BE的延長線交于點

Ap

P,DC.BC-.AC=1.2.i,求—的值_；⑶在（2）的前提下，若CD=2,則8尸=.

CBCBDC

圖1圖2

4.（2024?山東?校考一模）閱讀材料：如圖1,在中，D,￡分別是邊/瓦/C的中點，小亮在證明“三

角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時，通過延長。E到點R使EF=DE,連接CF,證明

AADE^ACFE,再證四邊形D8C/是平行四邊形即得證.

類比遷移：（1）如圖2,/。是A/BC的中線,石是ZC上的一點交/。于點R且=M，求證：/C=B尸.

小亮發現可以類比材料中的思路進行證明.

證明：如圖2,延長/。至點使MD=FD,連接MC,……請根據小亮的思路完成證明過程.

方法運用：（2）如圖3,在等邊ANBC中，。是射線2C上一動點（點。在點C的右側），連接4D.把線段

CD繞點。逆時針旋轉120。得到線段。E,尸是線段的中點，連接DRCF.請你判斷線段。廠與4D的

數量關系，并給出證明.

圖1圖2圖3

5.（2024?四川達州?模擬預測）［問題背景］在“BC中，48=8,AC=4,求邊上的中線/。的取值范

圍，小組內經過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：延長/。到E,使得DE=4D,再連接3E,

把4B,NC,2ND集中在A/BE中.（1）利用上述方法求出AD的取值范圍是；

（2）［探究］如圖2,在中，CE為48邊上的中線，點。在C8的延長線上，且BC=2BD,/D與CE相

交于點。，若四邊形。￡出￡的面積為20,求的面積；

（3）［拓展］如圖3,在四邊形/8CO中，N/=105。，ZD=120°,￡為4D的中點，G、尸分別為n8、CD邊上

的點，若/G=4,DF=2啦,NGEF=90°,求G廳的長.

6.（2024?山西呂梁?一模）閱讀與思考:下面是小宇同學的數學日記，請仔細閱讀，并完成相應的任務.

任務：（1）材料中的“依據”是.（填選項）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

（2）在“3C中，AB=6cm,AC=4cm,則BC邊上的中線/。長度的取值范圍是.（3）如圖3,在

四邊形/BCD中，ABHCD,AM平分NB4D,且W是的中點，AB=2,AD=3,求DC的長.

7.（23-24八年級上?山西大同?期末）閱讀以下材料，完成以下兩個問題.

D：E

BDEBDC

圖(3)

［閱讀材料］已知：如圖，^ABC（AB#AC）中，D、E在上，且。E=EC,過。作。尸II交4E于

點、F,DF=AC.求證：4E平分/B4c.

結合此題，DE=EC,點￡是。C的中點，考慮倍長，并且要考慮連接哪兩點，目的是證明全等，從而轉

移邊和角.有兩種考慮方法：①考慮倍長FE,如圖（1）所示；②考慮倍長NE,如圖（2）所示以圖（1）

為例，證明過程如下：證明：延長FE至G,使EG=EF,連接CG.

ED=EC

在QEF和KEG中，＜NDEF=ZCEG,:.&DEF%CEG（S例.：.DF=CG,ZDFE=ZG.

EF=EG

'：DF=AC,：.CG=AC.：.ZG=ZCAE.：.ZDFE=ZCAE.

,：DFHAB,：.ZDFE=NBAE.：.NBAE=NCAE.：.AE平分ZBAC.

問題1：參考上述方法，請完成圖（2）的證明.問題2：根據上述材料，完成下列問題：

已知，如圖3,在“BC中，AD是8C邊上的中線，分別以48,/C為直角邊向外作等腰直角三角形，

ZBAE=ZCAF=90°,AE=AB,AC=AF,/。=3,求E尸的長.

8.（2024?河南南陽?一模）李老師善于通過合適的主題整合教學內容，幫助同學們用整體的、聯系的、發展

的眼光看問題，形成科學的思維習慣，下面是李老師在“利用角的對稱性構造全等模型”主題下設計的問題，

請你解答.（1）【觀察發現】①如圖1,NP是VN3C的角平分線，AB<AC,在/C上截取連接

PQ,則PB與PQ的數量關系是；

②如圖2,V/BC的角平分線/￡、8尸相交于點P當NC=60。時，線段PE與打'的數量關系是；

（2）【探究遷移】如圖3,在四邊形/8C75中，AB=AD+BC,4D48的平分線與N48C的平分線恰好交

于CA邊上的點尸，試判斷與尸。的數量關系，并說明理由.

（3）【拓展應用】在（2）的條件下，若N8=15,tan/P/8=；,當APBC有一個內角是45。時，直接寫出邊

的長.

9.（2023?湖南懷化?模擬預測）【證明體驗】（1）如圖1.4D為V/8C的角平分線，N4DC=60。，點￡在ZB

上，AE=AC.求證：DE平分N4DB.

【思考探究】（2）如圖2,在（1）的條件下，尸為NB上一點，連接FC交4D于點G.若FB=FC,DG=4,

CD=6,求5。的長.

【拓展延伸】（3）如圖3,在四邊形A8CD中，對角線/C平分乙B4D,N3CN=2/DC4,點￡在/。上，

ZEDC=ZABC.若BC=5,CD=2#,AD=2AE,求NC的長.

圖I圖2圖3

10.（23-24九年級上?浙江紹興?期中）定義：如圖1,在.AABC中，把48繞點/按逆時針方向旋轉

研0。＜。＜180。）并延長一倍得到/"，把/C繞點/按順時針方向旋轉尸，并延長一倍得到/C,連結

BC,.當夕=180。時，稱△49。為的“倍旋三角形"，△4BC'的邊8'C'上的中線AD叫做的

“倍旋中線（1）如圖①，當N8/C=90。，3c=2時，“倍旋中線”4D的長為

（2）如圖②，當△/B'C'為等邊三角形時,“倍旋三角形與BC的數量關系為.

（3）在圖③中，當“3C為任意三角形時,猜想“倍旋中線”與8c的數量關系，并給予證明.

11.（22-23九年級上?河南駐馬店,階段練習）如下表倍長中線（Methodoftimesthelengthofline）

倍長中線的意思是：延長邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長部分與中線相等,

然后往往需要連接相應的頂點，則對應角對應邊都對應相等，此法常用于構造全等三角形,

利用中線的性質、輔助線、對頂角一般用“SAS”證明對應邊之間的關系.請用倍長中線法解答下面問題:

在“3C中，ZACB=90°,8。是/C邊上的中線，點E為射線3C上一動點.

（1）問題發現：如圖1,點E在8c上，BE:CE=1:2,與NE相交于點P,延長5。至點尸，使得尸,

圖1圖2

王林同學根據題意寫出了如下不完整的求解過程，請補全其過程.

解：設BE=k,則CE=；；AD是/C邊上的中線，AD=CD；

CD=AD

?.?在△BCD和中，｛/BDC=NFDA：.ABCD卷AFAD()

BD=FD

Ap4F

=，BC||FA；BC=FA=3k；JX.BC||FA,t^BPE~^FPA；/.---=---=

PEBE

⑵類比探究如圖2,點E在BC的延長線上，/E與AD的延長線交于點P,CE:BC=\:3,求——的值.

PE

⑶拓展延伸在(2)的探究結論下，若8c=4,AC=6,求BP的長.

12.(23-24九年級上?陜西西安?期中)閱讀下面材料，完成以下兩問：

數學課上，老師出示了這樣一道題.如圖，“3C中，。為中點，且3=/c,〃為中點，連接CM

并延長交45于N.探究線段/N、MN、CN之間的數量關系，并證明.

同學們經過思考后，交流了自己的想法：

小明：“通過觀察和度量，發現線段㈤V、48之間存在某種數量關系”.

小強：“通過倍長不同的中線，可以得到不同的結論，但都是正確的”.

小偉：“通過構造、證明相似三角形、全等三角形，就可以將問題解決”.

(1)小偉在探索時，做法為：過2作80〃NC交/。延長線于Q,構造多ACOM(ASA).

請你按照他的做法，判斷ZN與之間的數量關系為：竽AN=

AB

(2)如圖(2)：延長至〃，使4D=DH,連接CH,則結論：/N?=MN.CN是否成立？請說明理由;

(3)如圖(3)，證明：AN+1MN=NC.

13.（2024?廣西賀州?一模）閱讀與思考：下面是小王的數學改錯本上的改錯總結反思請仔細閱讀，并完成

相應的任務.

截長補短法：有一類幾何題其命題主要是證明三條線段長度的“和”或“差”及其比例關系.這一類題目一般可

以采取“截長”或“補短”的方法來進行求解，所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的

一條線段長度與已知線段長度相等，然后證明其中的另一條線段與已知的另一條線段的數量關系，所謂“補

短”，就是將一條已知的較短的線段延長至與另一條已知的較短的線段長度相等，然后求出延長后的線段與

最長的已知線段的數量關系.有的是采取截長補短法后，使之構成某種特定的三角形進行求解….

如圖1,四邊形48c。是。。的內接四邊形，連接/C,BD.8C是。。的直徑，4B=4C.請說明線段4D,

BD,CD之間的數量關系.

下面是該問題的部分解答過程:

解：BD^^2AD+CD.理由如下：是O。的直徑，，/24。=90。,

任務：（1）補全解答過程；（2）如圖3,四邊形48CD是。。的內接四邊形，連接ZC,BD.3C是。。的直徑,

ZABC=30°,則線段4D,BD,之間的數量關系式是.

圖3

14.（23-24八年級上?吉林長春?階段練習）【閱讀理解】截長補短法，是初中數學幾何題中一種輔助線的添

加方法.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一

長邊相等，從而解決問題.（1）如圖①，AABC是等邊三角形，點。是邊3c下方一點，連結DB、DC,

且/助C=120。，探索線段D4、DB、DC之間的數量關系.

解題思路：延長DC到點E,使CE=BD,連接/E