專題3-4函數的概念期末期中復習十六大題型匯總

。常考題型目錄

題型1函數的概念................................................................1

題型2同一個函數的判斷..........................................................3

題型3函數求值..................................................................4

題型4函數定義域................................................................5

題型5函數解析式的求法..........................................................6

題型6函數的單調性..............................................................7

題型7函數的值域與最值..........................................................8

題型8已知單調性求參數..........................................................9

題型9判斷函數的奇偶性.........................................................10

題型10奇偶性求值..............................................................11

題型11奇偶性求解析式..........................................................12

題型12奇偶性解不等式..........................................................13

題型13奇偶性求參..............................................................15

題型14單調性與奇偶性比較大小..................................................16

題型15周期性求值..............................................................16

題型16函數的應用..............................................................17

但題型分類

題型1函數的概念

【例題11(2022秋?河北邯鄲?高一統考期末)函數f(x)的定義域為{x|-l<x<3且XW2},

【變式1-1]1.（2022秋?江西贛州?高一贛州市贛縣第三中學校考階段練習）下列對應關

系：

①人={1,4,9},B={—3,—2,—1,1,2,3},「Xf久的平方根；

②4=R,B=R,/:XT%的倒數；

2

③A=R/B=R/f\x^x—2；

2

@71={-l,0,1}zB={-1,0z1}zf-.x^x.

其中/是A到B的函數的是（）

A.①③B.②④C.②③D.③④

【變式1-1]2.（2020春?安徽蚌埠?高一安徽省蚌埠第三中學校考開學考試）下列各式中,

函數的個數是（）

①y=1；②y=x2；③y=1—x；（4）y=Vx—2+V1—x

A.4B.3C.2D.1

【變式1-1]3.（2023春?上海青浦?高一統考開學考試）已知函數y=/的值域為[o,+8）,

關于其定義域D,下面說法正確的是（）.

A.D=RB.。不可能是無窮多個閉區間的并集

C.任取。中兩個元素，乘積一定非負D.。可能是所有有理數以及負無理數所成集合

【變式1-U4.（2021秋?河南南陽?高一校考階段練習）已知4={a,b,c}（a,瓦ceR）,8=

[-1,0,1），在「4-B的函數中，滿足f（a）+f（b）=/（c）的函數個數共有（）個

A.8B.6C.9D.7

【變式1-1】5.（多選）（2023秋?江蘇南通?高一統考期末）記無理數6=

2.718281828459045…小數點后第n位上的數字為m則m是關于n的函數記作巾=/（n）,

其定義域為A,值域為8,則（）

A./（5）=8B.函數f5）的圖象是一群孤立的點

C.n是關于m的函數D.BQA

題型2同一個函數的判斷

【方法總結】

判斷兩個函數是否是同一個函數，只需要判斷兩個函數的定義域與對應關系是否相同即可

【例題21（2022秋?云南文山?高一校考期末）以下各組函數中，表示同一個函數的是（）

A.y=|尤|與y=B.y=x與y=（Vx）2

C.y—/與y=D.y=1與y=x0

【變式2-1J1.（2022秋?福建寧德?高一福建省寧德第一中學校考期中）下列函數④y=；；

②y=Vx-1+V1-x+1；③y=1（-1<x<1）；@y=x°,其中與函數y=1是同一

個函數的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

【變式2-1]2.（多選）（2022秋?山東淄博?高一統考期末）與y=㈤表示同一個函數的是

（）

A.y=B.y=（V%）2C.y=｛，1六°。D-y=S

ILfLUI"I

【變式2-1】3.（多選）（2022秋?重慶合川?高一重慶市合川中學校考期末）（多選）下列

各組函數表示同一個函數的是（）

A./(%)=x°(xw0),g(%)=1(%H0)

B./(%)=2%+1(%GZ),g(%)=2x—1(%eZ)

C./(%)=V%2—4,g(%)=(%+2?Vx—2

D./(%)=/_2%—1,g(t)=t2—2t—1

【變式2-1]4.(多選)(2022秋?湖南株洲?高一湖南省攸縣第一中學校考期中)下列選項

中正確的是()

A.函數=意的定義域為(-1,+8)

2,

B.函數/(%)=》v與函數gG)=x是同一/T"函數

C.函數y=[燈中的y表示不超過x最大整數，則當x的值為-0.1時，y=-1

D.若函數+1)=2x-3,則/(4)=3

題型3函數求值

【例題312022?高一課時練習)B知定義在R上的函數/(X)滿足〃久)+2/(1-%)=x2+1,

則/(0)=()

A.-1B.1

C.-iD.

33

【變式3-1】1.(2022秋?江蘇泰州?高一統考期末)若函數/(x)和g(x).分別由下表給出：

X-101

f(X)10-1

X123

g(X)01-1

則不等式f(9(切)＞。的解集為(),

A.{2}B.{3}C.{1,3}D.{1,2}

【變式3-1J2.(2022秋?甘肅慶陽?高一校考期末)已知定義域為R的函數/㈤=2x-3,

g(x)=3x,則/(g(—1))=.

【變式3-1J3.(2022秋江西九江?高一統考期末)定義在R上的函婁好:R~R滿足：/(3)=

3

[/(x)](VxGR),豐f(小)(>%1*x2),則/(0)+/(-I)+“1)的值為

【變式3-1]4.(2023春?重慶江北?高一字水中學校考開學考試)對于正整數k,設函數

fk(x)=[^]~k[x],其中⑷表示不超過a的最大整數.

①則似|)=；

②設函數g(x)=/2(x)+A(x),則在函數g(x)的值域中所含元素的個數是.

題型4函數定義域

【方法總結】

求函數定義域常見結論：

⑺分式的分母不為零；

⑵偶次根式的被開方數不小于零；

⑶對數函數的真數必須大于零；

國指數函數和對數函數的底數大于零且不等于1;

(5)正切函數,=fa，x,x^-kn+~^(kEZ)；

@零次幕的底數不能為零；

⑺實際問題中除要考慮函數解析式有意義外，還應考慮實際問題本身的要求

【例題4](2022秋?湖南株洲?高一株洲二中校考期末)已知函數/(*)=〃二口,則函數

「(2—久)+/。)的定義域為()

A.[0,+oo)B.[-4,0]C.[0,2]D.[0,4]

【變式4-1]1.(2023秋?重慶九龍坡?高一重慶市鐵路中學校校考期末)已知函數f(2x+1)

的定義域為[-1,2],則函數y=知的定義域為()

A.(x\—l<%<2}B.{x\—l<%<5]

C.{%|-1<%<|jD.{x|-1<%<5]

【變式4-1]2.(2022秋?河南開封?高一校考期末)已知函數/(%)的定義域為[-2,2],則函

數。(久)=/(3x)+的定義域為()

A.(0,l]B,[0,|]C,[-|,l]D,(0)|]

【變式4-1J3.(2023秋?上海松江?高一校考期末周數y=島的定義域為(用

區間表示).

【變式4-1]4.(2023秋?上海浦東新?高一上海市實驗學校校考期末)函數y=接萼的

定義域為

【變式4-1]5.(2023秋?云南大理?高一統考期末)已知函數"%)=Q+I)-1-(3-2%)-1

(1)求函數/O)的定義域；

(2)若/(%)=0,求實數比的值.

題型5函數解析式的求法

(0x為無瞰

【例題512021秋?上海黃浦?高一上海市大同中學校考期末定義。(%)=,

(1x為有理數

及M表示不大于X的最大整數，存在函數/(無)滿足，對任意的“6R都有()

A./([%])=D(x)B./([%])=x2+x

C.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+4%)=|x+2|

【變式5-1]1.(2022秋?四川內江?高一威遠中學校校考期中)若/(%)對于定義域內的任

意實數諸隋2/(%)-/(i)=2x+1,則/'(2)=

A.。B.lC.|D.4

【變式5-1J2.(2023秋?河南新鄉?高一校考期末圮知f(a+1)=x-2則/(無)=

【變式5-1]3.(2022秋?山東泰安?高一新泰市第一中學校考期末)已知gO)=2x+1,

開9(乃]=需，則〃3)=

【變式5-1]4.(2023秋?云南?高一云南省下關第一中學校考階段練習)求下列函數的解

析式

(1)已知/"(X)是一次函數,且滿足3/(*+1)-2f(x—1)=2x+17,求/(久)；

(2)若函數f(Jx+1)=%-1,求/'(>).

【變式5-1J5.(2021秋?北京大興?高一統考期末)已知函數y=/(%),xeR，且f(0)=3,

“0.5)_/(I)_f?5n)_”「N*lilll

而-2,而“?2,,?0.5(“一1))-2,neN,則

/(2)=；/(久)的一個解析式可以是

題型6函數的單調性

【方法總結】

用定義法證明函數單調性的一般步驟：

①取值：設x/,X2為該區間內任意的兩個值，且R<X2

②作差變形：做差〃X;)/(X2),并通過通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利

于判斷差值符號的方向變形

③定號：確定差值的符號，當符號不確定時，可以分類討論

④判斷：根據定義做出結論。

【例題6】(多選)(2023秋?浙江臺州?高一統考期末)已知/0),g(x)都是定義在R上的增

函數，則()

A.函數y=/(%)+g(x)一定是增函數B,函數y=/(%)-g(x)有可能是減函數

C.函數y=/(%)-4久)一定是增函數D.函數y=y有可能是減函數

【變式6-1]1.(多選)(2023秋?安徽滁州?高一校考期末)下列說法中，正確的是()

A.若對任意久1,冷e/,當/<冷時，>0,貝W=/(久)在/上是增函數

%]一

B.函數y=/在R上是增函數

C.函數y=在定義域上是增函數

D.函數y=扣勺單調減區間是(一8,0)和(0,+8)

【變式6-1]2.(2021秋?上海虹口?高一上外附中校考期末)函數“切=的單調

遞減區間為

【變式6-1]3.(2020?浙江杭州?高一期末)已知/Q)=2x+1,則g(W=

[7)=,g(x)的單調遞增區間為

【變式6-1]4.(2023秋?浙江麗水?高一統考期末)已知函數f(%)=x-1-弋(aeR).

x—±

(1)若a=-1,判斷函數f(x)在區間[2,4]上的單調性并用定義證明；

(2)Vxe(0,1),/(x)/(l-%)>1恒成立,求實數a的取值范圍.

【變式6-1]5.(2023秋?江西南昌?高一統考期末)已知函數f(%)=x-I】.

⑴若/'(X)=3,求f(7)的值；

(2)用定義法證明函數/(乃在(0,+8)上單調遞增.

題型7函數的值域與最值

【例題7X2023秋?湖南郴州?高一統考期末)已知函數“約=-2/+i,g(x)=-x,xeR,

用M(x)表示中的較小者，記為M(x)=min{/(x),g(x)},則MQ)的最大值為()

A.-1B.1C.--D.-

22

【變式7-1]1.(2022秋?高一課時練習)若函數y=/(均的值域是思可，則函數FQ)=

f(x)+急的值域是()

J

A.[|,4]B,[2,^]C.洋勺D.[4,^]

【變式7-1]2.(2022秋廣東揭陽?高一普寧市華僑中學校考期中)y=3+x-的

值域是()

A-(-°°B.(|，+8)C,[|,+OO)D.(-00,|]

【變式7-1]3.(2023秋?上海徐匯?高一統考期末)已知函數y=/(久)的表達式為/(x)=

ax2—2bx+-.

X

(1)當a=0,6=—]c=-1時，證明：函數y=/(久)在區間(0,+8)上是嚴格增函數；

(2)當a=1,c=0時，求函數y=/(%)在區間[0,2]上的最大值.

【變式7-1]4.(2023秋?上海松江?高一校考期末)已知函數y=/⑺的表達式為/⑺=

X2+

x

(1)用定義證明函數y=/(尤)在(1,+8)上是嚴格增函數；

(2)設函數g(x)=/(x2+1),xG[0,2],求g(x)的值域.

【變式7-1】5(2023?全國?高一專題練習)一般地若八%)的定義域為[a,b],值域為[加,助],

則稱[a,切為/O)的"4倍跟隨區間"；特別地，若/(X)的定義域為[a,切，值域也為[a,6],

則稱[a,6]為/⑴的"跟隨區間".

(1)若[1,切為/(X)=/—2x+2的跟隨區間，貝帕=

(2)若函數f(x)=m-SE存在跟隨區間，則機的最大值是

題型8已知單調性求參數

【例題8](2022秋?浙江紹興?高一統考期末)已知函數f(%)=受老,對任意兩個不等

實數久1，%2e[1,+8),都有mxQrJS)>o，則實數a的取值范圍是

3一切

【變式8-1】1.(2023?全國?高一專題練習)已知aeR,則"0<a<1"是"函婁好(乃=

收—2%—5在(-1,1)內單調遞減”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式8-1］2.（2022秋?上海長寧?高一統考期末）已知函數y=|/—小久|在區間［1,+8）

上是嚴格增函數，則實數6的范圍是

【變式8-1］3.（2023?全國?高一專題練習）已知f（x）=［（一彳］4%為增函

Ixz+ax—8,%>—1,

數，貝心的取值范圍是（）

A.-2<a<4B.2Wa<4

C.—3<a<4D.3<a<4

【變式8-1］4.（2022秋?河南信陽?高一信陽高中校考階段練習）若函數g（x）=2x2-

1%-HO-t）在區間。2］上是嚴格減函數，則實數珀勺取值范圍是

【變式8-1］5.（2023秋?廣東清遠?高一統考期末）若存在實數a,6e［1,9］,使得函數f（x）=

\x+l~10|（%>0）在區間［a,班上單調遞減，且/（久）在區間［a,加上的取值范圍為［ma,小切，

則小的取值范圍為

題型9判斷函數的奇偶性

【方法總結】

【例題9］（2023秋?甘肅天水?高一秦安縣第一中學校考期末）下列函數是偶函數的是（）

A.y=xB.y=3x3C.y=|D.y=|x|

【變式9-1］1.（2021春?陜西漢中?高一校考期末）設函婁妤0）=0-1尸，則下列函數

中為奇函數的是（）

A./(x—1)B.f(x+1)C.f(x)+1D.f(x+1)—1

【變式9-1】2.侈選)(2023?全國?高一假期作業)設函數fQ),g(x)的定義域都為R，且人式)

是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論正確的是()

A./(%)-貝久)是偶函數B.|/(x)|.g(x)是奇函數

C./(x)?|g(x)|是奇函數D.|/(x).g(x)|是偶函數

【變式9-1]3.(2023秋?湖南婁底?高一校考期末)已知"X-1)=x+

(1)求f(x)的解析式及定義域；

(2)求f(x)的值域，單調區間并判斷奇偶性.(不要求寫理由，只寫結果)

【變式9-1]4.(2022秋?上海松江?高一統考期末)已知函數門久)=若.

(1)證明：函數y=f(x)為偶函數；

(2)證明：函數y=/(x)在區間(1,+8)上是嚴格減函數.

題型10奇偶性求值

【方法總結】

1、常用結論：

(1)若函數/(X)為奇函數,g(x)=f(x)+k(k為常數),則+/(-x)=2k

(2)若函數f{x}為奇函數，則/(%)在關于原點對稱的區間上的最值互為相反數，即

/(x)max+/(》)皿=0?

(3)若函數于(玲為奇函數,g(x)=f(x)+左(左為常數)，則g(x)a+g(x)1mli=2k.

2、利用奇偶性求函數值的思路：

(7)已知/⑷求f(-?:判斷f(x)的奇偶性與構造已知就行的函數，利用奇偶性找出f⑷

與人-。)的關系即可；

(2)已知兩個函數的奇偶性，求由這兩個函數的和、差構造出的新函數的函數值，可用-久

替換X后使用奇偶性變形，進而與原函數聯立，解方程即可。

【例題101(2023秋?山東棗莊?高一山東省滕州市第五中學校考期末)已知y=/(X)是奇函

2

數，當x>0時，/■(x)=+m(meR),則/'(8)=.

【變式10-1】1.(2021秋?陜西渭南?高一統考期末)已知定義在R上的偶函數八%)對任意

的X滿足/'(X)=/■(2-x),且％e[0,1]時，/(久)=%2,貝!1/(―|)=.

【變式10-112.(2023春?云南文山?高一統考期末)已知函數y=f(x+1)為偶函數，且

/(x)+/(-x)=6,貝葉(2022)+/(2024)=

【變式10-1】3.(2022春?貴州銅仁?高一統考期末定義在R上的奇函數f(均滿足f(1-x)+

/(x)=2,若/(m)=8,則m.

【變式10-1】4.(2023春河南信陽?高一統考期末)設/(久)是周期為3的奇函數，當-1<

久<0時，/(%)=2x2-1,則<。等于()

A.-iB.C.iD.-

2442

題型11奇偶性求解析式

【方法總結】

利用函數的奇偶性求函數解析式的一般方法是：

(1)“求誰設誰”，即求函數在哪個區間上的解析式，就設X在哪個區間上；

(2)利用已知區間的函數解析式進行化簡，得到/(-%)的解析式；

(3)利用函數/(%)的奇偶性寫出-/(%)或f(x),即可得到函數/(%)的解析式.

注意.?若/(%)是R上的奇函數時，不要遺漏尤=0的情形.

【例題11】(2023春?河南信陽?高一信陽高中校考期末)設/。)是定義在R上的周期為2的

偶函數,已知x6[2,3]時,/(x)=%，則x6[-2,0]時，f(x)的解析式為/1(x)=()

A.%+4B.2—x

C.3—\x+1|D.2—\x+1|

【變式11-1】1.(2023秋?廣東肇慶?高一統考期末)已知函數y=/(久)在R上為奇函數，

且當%＞。時，/'(%)=V%,則當X＜。時，/(無)的解析式是

【變式n-1】2.(2023秋?遼寧葫蘆島?高一校考期末)已知函數f(x)是奇函數，當X6

(-00,0)時,/(X)=x2-mx,則XG(0,+8)時,/(X)=,若"2)=一3,則m的

值為.

【變式11-1J3.(2023春?云南昆明?高一統考期末)已知幕函數f(x)為偶函數，且在(0,+8)

上單調遞減，則/(?的解析式可以是()

12

A./(x)=*B./(x)=%3

C./(%)=x~2D./(%)=x~3

【變式11-1]4.(2023秋?吉林遼源?高一校聯考期末)函數/(%)是定義在R上的奇函數,

當%＞。時，/(%)=%2—X+1.

⑴計算/(0),/(-1)；

(2)求加的解析式.

題型12奇偶性解不等式

【方法總結】

函數奇偶性的五個重要結論：

⑺如果一個奇函數尬在x=0處有定義，即力仞有意義，那么一定有色)=0.

⑵如果函數.佝是偶函數，那么的=加刈.

⑶既是奇函數又是偶函數的函數只有一種類型，即,佝=。，XED,其中定義域D是關于原

點對稱的非空數集.

如奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的

單調性.

⑸偶函數在關于原點對稱的區間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數；

奇函數在關于原點對稱的區間上的最值互為相反數，取最值時的自變量也互為相反數

【例題12】(2023?全國?高一專題練習)已知f(x+1)是定義在R上的偶函數，且對任意的

1<X1<X2,都有(久1"-X2)1/(X1)-f(x2)]<0恒成立，則關于X的不等式f(2x)>f(x-1)

的解集為()

A.(-00,-1)B.(―1,+8)

C.(-1,1)D.(-00,-1)u(L+8)

【變式12-1]1.(2023?全國?高一專題練習)若/(%)是偶函數且在[0,+8)上單調遞增,又

/(-2)=1,則不等式f(%-1)<1的解集為

【變式12-1]2.(2022秋?江蘇南京?高一校考期末)已知函數/(久)=C

是定義在R上的奇函數.

(1)求實數a,b,c的值；

(2)求不等式>x的解集.

【變式12-1】3.(2023?全國?高一專題練習)已知函數f(久)=鬻是定義域為(-1,1)的奇

函數，且居)=|

(1)求實數a,b的值.

(2)判斷f(x)在上的單調性，并用定義法證明.

(3)解不等式：f(t=l)+f(t)<0.

【變式12-1】4.(2022秋?江西上饒?高一統考期末)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,

當久>0時，，(K)=%+|+1.

⑴求/■(%)在R上的解析式;

(2)判斷/(久)在(0,1)的單調性，并給出證明.

(3)若/(2a-1)+/(4a-3)>0,求實數a的取值范圍.

題型13奇偶性求參

【例題1312023春?云南大理?高一統考期末=(x+a+l)(x2+a-1)為奇函數，

則a=()

A.1或—1B.1C.0D.-1

【變式(2023?全國?高一專題練習股/0)=-/+(a—2)/+x是定義在［26,b+

3］上的奇函數，則/(a+6)=()

A.—1B.0C.1D.—2

【變式13-1】2.(2022秋?云南昆明?高一統考期末)已知函數f(久)=*詈在定義域內的

最大值為M,最小值為m,則M+m=()

A.0B.1C.2D.4

【變式13-1】3.(2021秋?上海浦東新?高一上海市實驗學校校考期末)已知函數/(X)=

ax2+(fa+2)x+1,xG［a2-2,a］是偶函數,則a+6的值為

【變式13-1】4.(2023?全國?高一專題練習)已知二次函數f(%)=/-2mx+1.

(1)若函數/(x+1)是偶函數，求實數ni的值；

(2)是否存在實數根，使得函數f(x)在無￡［1,2］上的值域也是［1,2］?若存在，求出in的值；若

不存在，請說明理由.

【變式13-1】5.(2022秋?貴州畢節?高一統考期末)已知"X)=a/+(a+?/+2a+9是奇函數.

⑴求a的值；

(2)求f(x)的值域.

題型14單調性與奇偶性比較大小

【例題14](2023春?貴州畢節?高一統考期末)/O)是定義在[-8,8]上的偶函數，目/(4)>

/(2),則下列各式一定成立的是()

A./(0)</(8)B./(4)>/(3)

C./(—2)</(4)D./(3)>/(I)

【變式14-1]1.(2023?全國?高一專題練習)已知函數f(x)關于尤=1對稱，當1</<小

時，[/(冷)-f(打)](久2-/)>。恒成立，設a=f(-|),。=f(|),c=f(3),貝(]a,b,

c的大小關系為()

A.b<a<cS.c<b<aC.b<C<aD.a<b<c

【變式14-1】2.(2021秋?上海黃浦?高一格致中學校考期末)已知函數/(%)=a%2+2ax+

4(-3<a<0)，其圖象上兩點的橫坐標為與、久2滿足叼<久2，且/+冷=1+。，則()

A./(%1)</(%2)B./(X1)=/(%2)C.A%1)>A%2)D./(X1),f(>2)的大小不確定

【變式14-1J3.(2023春?安徽馬鞍山?高一馬鞍山二中校考開學考試)已知函婁妤(x)=m-

島是R上的奇函數.

(1)求ni的值；

(2)比較/(3產_%+1)+/(1_x_2/)與0的大小，并說明理由.

【變式14-1]4.(2020?廣東江門?高一統考期末)已知函數f(x)=x+]無力0.

(I)證明：f在區間(1,+8)上是增函數；

(n)比較f(eT)與/'(e2)的大小(e是自然對數的底數).

題型15周期性求值

【例題151(2023春?安徽亳州?高一渦陽縣第二中學校聯考期末淀義在R上的函婁好(無)滿

足/(%+3)+](%+1)=](2),貝(]/(2024)=

【變式15-1】1.(多選)(2023春?陜西渭南?高一統考期末)已知函數/(%)、g(x)定義域

均為R,且/'(%+4)+/(-x)=2,f(2x+1)為偶函數,若g(x)=-/(2-x),則下面一定

成立的是()

A./(0)=1B.g⑶=0

C./(2023)=/(3)=1D.g(2024)=g(0)=-1

【變式15-1】2.(2023春?湖北咸寧?高一統考期末淀義在R上的函數/(久)滿足f(x+2)+

/O)=3,且/⑴=0,則/'(2023)=()

A.-3B.0C.1D.3

【變式15-1】3.(2023秋?山西運城?高一統考期末)已知是定義在R上的奇函數，且

滿足/(久)=f(4一x),當x6(0,2]時,/(x)=X2-4,則/1(2023)=.

【變式15-1]4.(2023春?四川德陽?高一統考期末)已知函婁好0)滿足/(%+4)=/(%),

f(~x)=/(x),且當x6[0,2]時,/(x)=x2+1,則/(2023)=.

題型16函數的應用

【例題16】(2023?全國?高一專題練習)某