專題3-3二次函數(shù)定(動)軸與定(動)區(qū)間六大題型匯總

。?？碱}型目錄

題型1定軸定區(qū)間問題...............................................................2

題型2定軸動區(qū)間問題...............................................................4

題型3動軸定區(qū)間...................................................................5

題型4動軸動區(qū)間問題...............................................................6

題型5求參數(shù)問題...................................................................7

題型6含有絕對值的二次函數(shù)最值問題................................................8

Q知識梳理

知識點(diǎn)一.二次函數(shù)的三種形式

1、一般式:f(x)=ax2+bx+c(a/0)

2、頂點(diǎn)式：若二次函數(shù)的頂點(diǎn)為(h,k)廁其解析式為f(x)=a(x-h)2+k(a，0)

3、兩根式：若相應(yīng)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根為XiM,則其解析式為

f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a/0)

知識點(diǎn)二.二次函數(shù)最值問題

求二次函數(shù)/(%)=ax2+bx+c［a>0)在區(qū)間［%上的最值分為以下三種情況；

h

(1)對稱軸在區(qū)間的左側(cè)：若%=-二〈根，則/(X)在區(qū)間［九向上是增函數(shù)，最大值

2a

為/⑻,最小值為了(根)；

2

(2)對稱軸在區(qū)間內(nèi)：若根S-丁b少，則/(%)的最小值為/(-=b=\Act:e-Z?，最大

2a\2a)4〃

b

值為/(m)、f(n)中的較大者(或區(qū)間端點(diǎn)m,n中與直線x=—-的距離較大的那一個端

2。

點(diǎn)所對應(yīng)的函數(shù)值)；即最小值為小白=4知*,最大值為

I2a)4a

/(x)1mx=max{/(7?),/(n)}.

b

(3)對稱軸在區(qū)間的右側(cè)：若x=----->n,則/(X)在區(qū)間［加,向上是減函數(shù)，最大值為

2a

于(m),最小值為了(").

但題型分類

題型1定軸定區(qū)間問題

【方法總結(jié)】

二次函數(shù)是給定的，給出的定義域區(qū)間也是固定的，我們稱這種情況是“定

二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值"。

【例題II2023春?廣東清遠(yuǎn)?高一陽山縣南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)周數(shù)/(%)=-/+2%-3

在區(qū)間［0,+8)上()

A.有最大值-2B.有最大值-3

C.有最小值-2D.有最小值-3

【變式1-1］1.(2022秋?江西贛州?高一興國中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知二次函數(shù)

y=-4/+8x-3.

(1)寫出這個函數(shù)圖像的對稱軸方程和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)該函數(shù)的圖像可以由函數(shù)y=-4/的圖像經(jīng)過怎樣的平移得到？

(3)求函數(shù)在xW［-2,2］上的最大值和最小值

【變式1-1］2.(2021秋?海南三亞?高一?？计谥?已知函數(shù)/⑺=/—1,Ke［2,6］,

(1)求函數(shù)單調(diào)性；

(2)求函數(shù)最大值和最小值.

【變式1-1］3.(2022春?陜西咸陽?高二校考期末)已知二次函數(shù)y=-4x2+8%-3.

(1)指出圖像的開口方向、對稱軸方程、頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)畫出它的圖像，并說明其圖像在y=-4/的圖像經(jīng)過怎樣的平移得來；

(3)求函數(shù)在％e［-2,2］上的最大值和最小值；

(4)分析函數(shù)的單調(diào)性，

【變式1-1］4.(2022?全國?高一專題練習(xí))已知函數(shù)"x)=ax2-2ax+b(a>0)的定義

域為R,且在區(qū)間［0,3］上有最大值5,最小值1.

Q)求實數(shù)a,b的值；

(2)若函數(shù)式久)=/(x)-mx+2m-2,求gQ)>0的解集.

【變式1-1J5.(2023春?安徽蚌埠?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(x)=ax2-2ax+1+b(a>

0,b￡R)在區(qū)間［2,4］上的最小值為1,最大值為9.

(1)求a,6的值；

(2)設(shè)g(x)=號,求或久)的值域.

【變式1-U6.(2023?全國?高一專題練習(xí))已知函數(shù)f(%)=ax2-4ax+b(a>0)在［0,3］上

的最大值為3,最小值為-1.

(1)求/(為的解析式;

(2)若mxe(1,+8),使得/(%)<mx,求實數(shù)m的取值范圍.

題型2定軸動區(qū)間問題

【方法總結(jié)】

二次函數(shù)是確定的，但它的定義域區(qū)間是隨參數(shù)而變化的，我們稱這種情

況是"定函數(shù)在動區(qū)間上的最值"。

【例題2］(2022秋?山西陽泉?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)=-,2+%在區(qū)間&切上的

最小值為3a,最大值為3b,貝！+b=()

A.-4B.iC.2D.總

【變式(2022秋?上海寶山?高一上海交大附中?？茧A段練習(xí))已知二次函數(shù)y=/-

2x+4,xe［0,前的最小值是3,最大值是4,則實數(shù)m的取值范圍是

【變式2-1］2.(2022秋?上海青浦?高一上海市朱家角中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=

x2+2x+3,xe［m,0］的最大值為3,最小值為2,則實數(shù)機(jī)的取值范圍是.

【變式2-1］3.(2023秋?高一課時練習(xí))已知函數(shù)f(x)為二次函數(shù)，不等式f(x)〉。的解

集是(1,5),且/O)在區(qū)間［-1,4］上的最小值為-12.

(1)求f(x)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)/(%)在+上的最大值為g(t),求g(t)的表達(dá)式.

【變式2-1J4.(2021秋?浙江金華?高一?？计谥?已知“乃是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x>0

時,/(x)=-%2+2x.

(1)求函婁妤O)的解析式；

⑵求函數(shù)/(%)在區(qū)間［。,3］上的最大值和最小值；

(3)若函數(shù)"%)在［-1,a-2］上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.

【變式2-1］5.(2021秋廣東梅州?高一大埔縣虎山中學(xué)?？茧A段練習(xí))若二次函婁好⑺=

ax2+bx+c滿足/'(2)=/(-I)=-1,且函數(shù)的最大值為8.

(1)求函數(shù)/(%)的解析式

(2)當(dāng)xe［2,zn］時，函婁好(x)的最小值為-8,求實數(shù)小的值.

題型3動軸定區(qū)間

【方法總結(jié)】

二次函數(shù)隨著參數(shù)的變化而變化，即其圖象是運(yùn)動的，但定義域區(qū)間是固

定的，我們稱這種情況是"動二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值"。

【例題3】(2022?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)"X)=/—2bx+3a在區(qū)間［0,1］上的最大值

是M,最小值m,則M-m()

A.與a無關(guān)，且與b有關(guān)B.與a有關(guān)，目與b無關(guān)

C.與a有關(guān)，且與b有關(guān)D.與a無關(guān)，且與b無關(guān)

【變式3-1］1.(多選)(2022秋廣東廣州?高一廣州六中?？茧A段練習(xí))已知函婁好0)=

%2-2ax+a在區(qū)間(-8,1)上有最小值，則函數(shù)g(x)=e在區(qū)間口+8)上一定()

A.是奇函數(shù)B.是增函數(shù)C.有最小值D.有最大值

【變式3-112.(多選)(2022秋?浙江?高一校聯(lián)考期中)已知二次函數(shù)/Xx)=x2+bx+c

(6,ceR)網(wǎng)分別是函數(shù)在區(qū)間［-1,1］上的最大值和最小值，則M-N的可能取值是()

A-2B-1C-4D-2

【變式3-1］3.(2022秋?寧夏石嘴山?高一石嘴山市第三中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)/(x)=

x2—2ax+3(aeR).

(1)若函數(shù)/(%)在(-8,2］上是減函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)當(dāng)xe［-1,1］時，設(shè)函婁好(無)的最小值為g(a),最大值為h(a),求函數(shù)g(a)與h(a)的表達(dá)

式.

【變式3-1］4.(2021春?陜西榆林?高二陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)f(%)=

x2—(2m+l)x+m2+m,mGR.

(1)若m=1,求/(x)在區(qū)間［-1,3］上的最大值與最小值；

(2)若/(%)在區(qū)間［-2,1］上是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍.

【變式3-1］5.(2022秋?重慶?高一校聯(lián)考期中)已知f(切=x2-4ax+2.

(1)若函數(shù)g(x)=f(x)-2x在(-8,3)上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)Vx6R,用M(X)表示/'(%),g(x)中的最小者,記為MQr)=min{/(x),g(x)}.若x6［0,2］,

記/'(%)的最小值%(a),M(a)=min{a2,/i(a)},求M(a)的最大值.

題型4動軸動區(qū)間問題

【方法總結(jié)】

二次函數(shù)是含參數(shù)的函數(shù)，而定義域區(qū)間也是變化的，我們稱這種情況是

"動二次函數(shù)在動區(qū)間上的最值"。

【例題4】(2021秋?江蘇淮安?高一校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/。)=/-2ax(a>0)

(1)當(dāng)a=2時，解關(guān)于x的不等式-3</(%)<5

(2)函數(shù)y=/(x)在［t,t+2］的最大值為0,最小值是-4,求實數(shù)a和珀勺值.

【變式4-1］1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=%2-2ax(a>0).

(1)當(dāng)a=3時，解關(guān)于X的不等式—5<f(x)<7；

⑵函數(shù)y=/(切在［t,t+2］上的最大值為0,最小值是-4,求實數(shù)a和t的值.

【變式4-1］2.(2020?浙江?高一期末)若函數(shù)/0)=/+依+爪在［a,b］上的值域為

［n,n+1］,則a-b()

A.既有最大值，也有最小值B.有最大值但無最小值

C.無最大值但有最小值D.既無最大值，也無最小值

【變式4-1]3.(2023春?湖北十堰?高一校聯(lián)考階段練習(xí))函數(shù)f(乃=ax2-2020%+

2021(a>0),在區(qū)間[t-1,1+1]?6田上函數(shù)/(久)的最大值為M,最小值為N.當(dāng)t取任

意實數(shù)時，M-N的最小值為2,則a=

【變式4-1]4.(2022秋福建福州?高一?？计谥?已知函數(shù)“切=/—4mx+3m2(m>

0)的圖象與久軸交于4B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn),且△力8c的面積為3.

(1)求機(jī)的值；

(2)若/(%)在[a,a+l]上的最大值與最小值之差為g(a),求g(a)的最小值.

題型5求參數(shù)問題

【方法總結(jié)】

是指已知二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，求函數(shù)或區(qū)間中參數(shù)的取值。

【例題5](2023秋?江蘇鎮(zhèn)江?高一統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)f0)=-/+2mx+l-m2,

其中znGR.

(1)若不等式fO)w爪2+2爪—2對于一切實數(shù)%均成立，求實數(shù)小的取值范圍；

(2)當(dāng)x6[1,3]時,若函數(shù)f(x)的最大值為-8,求實數(shù)a的值.

【變式5-1]1.(2023秋?江西?高一江西師大附中?？茧A段練習(xí))已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)

過點(diǎn)(0,-5)和(6,-5),且函數(shù)在xeR上的最大值為4.

⑴求函數(shù)的解析式；

(2)當(dāng)t<x<t+2時，函數(shù)的最大值為m,最小值為n,且m-n=2,求珀勺值.

【變式5-1]2.(2023秋?江蘇鎮(zhèn)江?高一?？茧A段練習(xí))已知函婁好0)=2d+mx+幾的

對稱軸方程為％=2,y=/(比)的值域為[-5,+8).

(1)求函數(shù)八%)的解析式；

(2)若函數(shù)/(x)在［a,a+2］上的最小值為-4,求實數(shù)a的值.

【變式5-1］3.(2022?全國?高一期中)已知函數(shù)回(回)=齦2+(3+回)回+3,其中k為常數(shù)

(1)若團(tuán)(2)=3,求函數(shù)回(團(tuán))的表達(dá)式；

⑵在(1)的條件下，設(shè)函數(shù)師)=0(0)-00,若師)在區(qū)間［-2,2］上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)

m的取值范圍；

(3)是否存在k使得函數(shù)回(回)在［-1,4］上的最大值是4?若存在，求出k的值；若不存在，請

說明理由.

【變式5-1］4.(2023秋?河南南陽?高一河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)

/(x)—x2—2ax—2.

⑴當(dāng)a=2,xG［-2,3］時,求函數(shù)f(比)的值域；

(2)若函數(shù)/(%)在［1,3］上的最小值為2,求實數(shù)a的值.

【變式5-1］5.(2023秋?河北邢臺?高一邢臺一中校考階段練習(xí))已知函數(shù)/。)=mx2-

(m+l)x+2,zneR.

(1)設(shè)m,解不等式/'(x)<mx；

(2)設(shè)m>0,若當(dāng)x￡［2,+8；)時f(%)的最小值為:,求m的值.

題型6含有絕對值的二次函數(shù)最值問題

【方法總結(jié)】

含有絕對值的函數(shù)注意分類討論，或者利用翻折變換

【例題6］(2022秋?湖北武漢?高一華中師大一附中期中)函數(shù)/(%)=x\x-a|在區(qū)間(0,1)上

既有最大值又有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.［-2V2-2,0)B.(0,2V2-2)

C.怪1)D.［2V2-2,1)

【變式6-1］1.(2022秋?陜西安康?高一統(tǒng)考期中)設(shè)函數(shù)f(乃=I/—2axi在區(qū)間［0,1］上

的最大值為g(a),則當(dāng)g(a)取得最小值時，a=.

【變式6-1］2.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/⑺=x2-2%|x-a|(|a|<