PAGE1-第1講幾何體的表面積與體積、線面位置關系的推斷限時40分鐘滿分80分一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1．(2024·濟南模擬)“牟合方蓋”是我國古代數學家劉徽在探討球的體積的過程中構造的一個和諧美麗的幾何體．它由完全相同的四個曲面構成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上，好像兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)，其直觀圖如圖(1)所示，圖(2)中四邊形是為體現其直觀性所作的協助線，當其正視圖和側視圖完全相同時，它的正視圖和俯視圖分別可能是()A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d解析：A[當正視圖和側視圖完全相同時，“牟合方蓋”相對的兩個曲面正對前方，正視圖為一個圓，俯視圖為一個正方形，且兩條對角線為實線，故選A.]2．(2024·四省八校聯考)m，n是兩條不同的直線，α是平面，n⊥α，則m∥α是m⊥n的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件解析：A[當m∥α時，在平面α內存在一條直線b，使得b∥m，結合n⊥α，知n⊥b，所以n⊥m，所以m∥α是m⊥n的充分條件；當n⊥α，m⊥n時，m∥α或m?α，所以m∥α是m⊥n的不必要條件．綜上，m∥α是m⊥n的充分不必要條件，故選A.]3．(2024·洛陽聯考)一個簡潔幾何體的正視圖、側視圖如圖所示，則其俯視圖可能是()①長、寬不相等的長方形②正方形③圓④橢圓A．①② B．①④C．②③ D．③④解析：B[由題設條件知，正視圖中的長與側視圖中的長不一樣，對于①，俯視圖是長方形是可能的，比如此幾何體為一個長方體時，滿意題意；對于②，由于正視圖中的長與側視圖中的長不一樣，故俯視圖不行能是正方形；對于③，由于正視圖中的長與側視圖中的長不一樣，故俯視圖不行能是圓形；對于④，假如此幾何體是一個橢圓柱，滿意正視圖中的長與側視圖中的長不一樣，故俯視圖可能是橢圓．綜上知①④是可能的圖形．]4．(多選)(2024·江西省紅色七校聯考)設m，n是空間中兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是()A．若m∥n，n?α，則m∥α或m?αB．若m?α，n?β，α∥β，則m∥nC．若α∥β，m⊥α，則m⊥βD．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥β解析：AC[若m∥n，n?α，則m∥α或m?α，所以選項A正確；若m?α，n?β，α∥β，則m∥n或m與n異面，所以選項B不正確；由面面平行的性質、線面垂直的性質知選項C正確；若m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥β或α與β相交，所以選項D不正確．故選AC.]5．(2024·北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數為()A．1 B．2C．3 D．4解析：C[由三視圖可得四棱錐P－ABCD，四棱錐P－ABCD中PD＝2，AD＝2，CD＝2，AB＝1.由勾股定理可知：PA＝2eq\r(2)，PC＝2eq\r(2)，PB＝3，BC＝eq\r(5).則在四棱錐中，直角三角形有：△PAD，△PCD，△PAB，共三個，故選C.]6．(2024·湖南省五市十校聯考)某四棱錐的三視圖如圖所示，其側視圖是等腰直角三角形，俯視圖的輪廓是直角梯形，則該四棱錐的各側面面積的最大值為()A．8 B．4eq\r(5)C．8eq\r(2) D．12eq\r(2)解析：D[由三視圖可知該幾何體是一個底面為直角梯形，高為4的四棱錐，如圖，其中側棱PA⊥平面ABCD，PA＝4，AB＝4，BC＝4，CD＝6，所以AD＝2eq\r(5)，PD＝6，PB＝4eq\r(2)，連接AC，則AC＝4eq\r(2)，所以PC＝4eq\r(3)，明顯在各側面面積中△PCD的面積最大，又PD＝CD＝6，所以PC邊上的高為eq\r(62－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),2)))2)＝2eq\r(6)，所以S△PCD＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×2eq\r(6)＝12eq\r(2)，故該四棱錐的各側面面積的最大值為12eq\r(2).故選D.]7．(2024·廣州調研)如圖為一個多面體的三視圖，則該多面體的體積為()A．6 B．7C.eq\f(22,3) D.eq\f(23,3)解析：B[如圖，依據三視圖可畫出對應多面體的直觀圖，該多面體是由棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1被截去三棱錐A－PQA1和三棱錐D－PC1D1之后得到的一個幾何體，其中P，Q分別是棱A1D1，A1B1的中點．故所求多面體的體積V＝V正方體－V三棱錐A－PQA1－V三棱錐D－PC1D1＝23－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))×2－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2))×2＝7.故選B.]8．(2024·新課標Ⅱ卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2) D.eq\f(\r(7),2)解析：C[如圖取DD1的中點F，連接AF、EF，則EF∥CD，∴∠AEF即是AE與CD所成的角，設正方體的棱長為a，在直角三角形AFE中，EF＝a，AF＝eq\r(a2＋\f(1,2)a2)＝eq\f(\r(5),2)a，∴tan∠AEF＝eq\f(AF,EF)＝eq\f(\f(\r(5),2)a,a)＝eq\f(\r(5),2).]9．(2024·全國Ⅰ卷)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2解析：B[圓柱中點M，N的位置如圖1，其側面綻開圖如圖2，則最短路徑如圖2中的MN.由已知MC＝2，CN＝eq\f(1,4)×16＝4，∴MN＝eq\r(MC2＋CN2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).]10．(2024·益陽三模)在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若AB＝2，BC＝3，PA＝4，則該三棱錐的外接球的表面積為()A．13π B．20πC．25π D．29π解析：D[把三棱錐P－ABC放在長方體中，如圖所示，所以長方體的體對角線長為eq\r(22＋32＋42)＝eq\r(29)，所以三棱錐外接球的半徑為eq\f(\r(29),2)，所以外接球的表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(29),2)))2＝29π.]11．(2024·重慶市二模)某幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖為等腰梯形，則該幾何體的表面積是()A．18 B．8＋8eq\r(3)C．24 D．12＋6eq\r(5)解析：C[依據給定的三視圖，可得原幾何體如圖所示，其中面ABB1A1表示邊長分別為2和4的矩形，其面積為S1＝2×4＝8，△ABC和△A1B1C1為底邊邊長為2，腰長為eq\r(5)的等腰三角形，其高為h＝2，所以面積為S2＝S3＝eq\f(1,2)×2×2＝2，面AA1C1C和面BB1C1C為全等的等腰梯形，上底邊長為2，下底邊長為4，高為2，所以面積為S4＝S5＝eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝6，所以幾何體的表面積為S＝8＋2×2＋2×6＝24，故選C.]12．(2024·陜西省質量檢測)已知三棱錐S－ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2eq\r(3).SA＝1.則該三棱錐的外接球的體積為()A.eq\f(13,8)eq\r(13)π B．13πC.eq\f(\r(13),6)π D.eq\f(13\r(13),6)π解析：D[∵∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2eq\r(3)，∴△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，其外接圓半徑r＝eq\f(AC,2)＝eq\r(3)，則三棱錐外接球即為以△ABC為底面，以SA為高的三棱錐的外接球．∴三棱錐外接球的半徑R滿意R＝eq\r(r2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(SA,2)))2)＝eq\f(\r(13),2).故三棱錐外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(13\r(13),6)π.]二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．(2024·黃岡模擬)三棱錐P－ABC中，D，E分別為PB，PC的中點，記三棱錐D－ABE的體積為V1，P－ABC的體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝________.解析：如圖所示，由于D，E分別是邊PB與PC的中點，所以S△BDE＝eq\f(1,4)S△PBC.又因為三棱錐A－BDE與三棱錐A－PBC的高長度相等，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)14．(2024·全國Ⅰ卷)已知∠ACB＝90°，P為平面ABC外一點，PC＝2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為eq\r(3)，那么P到平面ABC的距離為________．解析：過P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，PO⊥平面ABC于O.連OD，OE，∵PD＝PE＝eq\r(3)，PC＝2，∴CD＝CE＝1.由題意，四邊形ODCE為圓內接四邊形，又∠ACB＝90°∴四邊形ODCE為正方形，∴OD＝1，∴PO＝eq\r(PD2－OD2)＝eq\r(3－1)＝eq\r(2).即點P到平面ABC的距離為eq\r(2).答案：eq\r(2)15．(2024·麗水模擬)已知E，F分別是矩形ABCD的邊BC與AD的中點，且BC＝2AB＝2，現沿EF將平面ABEF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，則三棱錐A－FEC外接球的半徑________，外接球的體積為________．解析：由題意，三棱錐A－FEC外接球是正方體AC的外接球，所以三棱錐A－EFC外接球的半徑是eq\f(\r(3),2)，所以三棱錐A－FEC外接球的體積為eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))3＝eq\f(\r(3),2)π.答案：eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3)π,2)16.(2024·日照三模)如圖，在四棱錐P