重難點12指數(shù)函數(shù)常考題型十五大題型匯總

題型解讀

滿分技巧

技巧一.指數(shù)函數(shù)比較大小

指數(shù)幕比較大小

①同底幕比較，構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，用單調(diào)性比較;

②同指數(shù)幕比較，構(gòu)造幕函數(shù)，用單調(diào)性比較;

③不同底也不同指幕比較，借助媒介“1".

技巧二指數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)

y=ax

0<a<1a>1

\斗叫1/

a

圖象

<：

1卜Q。)1

1%Q1X

①定義域R，值域(。，+8)

②a。=1,即時％=0fy=1,圖象都經(jīng)過(0,1)點

③a*=a,即％=1時，y等于底數(shù)a

④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)

⑤％<0時，a%>1；%>0時，0<a%V1x<0時，0Va%V1；%>。時，#>1

⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

技巧三.指數(shù)函數(shù)與參數(shù)

數(shù)函數(shù)常用技巧：

(1)當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時，必須分"a>1"和"0<a<1"兩種情形討論.

(2)當(dāng)0<a<1時，久T+8,y0;a的值越小,圖象越靠近y軸，遞減的速度越快.

當(dāng)a>1時x-+8,y-0;a的值越大，圖象越靠近y軸，遞增速度越快.

(3)指數(shù)函數(shù)y=戶與y=《尸的圖象關(guān)于y軸對稱.

技巧四.單調(diào)性問題

1.單調(diào)性的運算關(guān)系：

①一般認為，-/（久）和六均與函數(shù)f⑺的單調(diào)性d1反;②同區(qū)間,T+t=_t_,!+!=.!_,t-l=_t_,l-T=

L;

2.單調(diào)性的定義的等價形式：設(shè)Xi,xzW［a，句，那么有：

①迎Z3>0Q［M是［a,句上的增函數(shù)；②/―日出）<0。大M是［a,6］上的—減函數(shù)—;

%1一X?%］一工2

3.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性結(jié)論：同增異減.

技巧五.指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域

求解形如/（久）=心⑴①>0,a力1）的指數(shù)型函數(shù)值域的思路：

1.分析g（x）的單調(diào)性以及值域；

2.分析y=談的單調(diào)性；

3.根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，分析出外支）=心⑺的單調(diào)性并計算出值域.

技巧六.一元二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的復(fù)合問題

2

求解形如/㈤=m（ax）+n（a*）+t（a〉0,a力1）的指數(shù)型函數(shù)值域的思路：

L換元法，令談=乙構(gòu)造關(guān)于1的一元二次函數(shù),分類討論求值域。

2

2.直接配方法。配湊為/（?=（謨+p）+q,結(jié)合定義域用"包裝法"求值域。

技巧七.指數(shù)函數(shù)與反比例型函數(shù)的復(fù)合問題

1.指數(shù)函數(shù)一次反比例型，可以通過分離常數(shù)求值域

2.指數(shù)型反比例函數(shù)，可以通過指數(shù)換元后，轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)求解值域，反比例函數(shù)圖像性質(zhì)。

形如：、=竺1。對稱中為。（久。~。），其中

CX—CL

（1）cx0—d=0；

(3)-三或者二、四象限，通過x=0,1計算判斷

技巧八.高斯函數(shù)

取整函數(shù)y=團,團表示不超過%的最大整數(shù)，又叫做"高斯函數(shù)"

取小數(shù)函數(shù)

/(X)=[X+1]-X,,

可畫出函數(shù)圖像，如圖：

指數(shù)型取整函數(shù)，多可以通過分離變量，分離出整數(shù)后討論底數(shù)與定義域，進行"取整”運算

技巧九.復(fù)雜函數(shù)圖像的選取

判斷函數(shù)圖像1.定義域判斷。

2.函數(shù)奇偶性判斷。

3.函數(shù)簡單性判斷。

4.函數(shù)值正負判斷

5利用極限，判斷無窮遠處的值與"比值"

6利用"斷點處判斷，如0+與0-

A3*題型提分練

題型1指數(shù)函數(shù)定點問題

【例題1](2022上?安徽宿州?高一校聯(lián)考期末)函數(shù)y=a*-3(a>0,且a力1)的圖象過定點A,

則點A的坐標是

【答案】(-2,-2)

【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】因為y=產(chǎn)+2—3(a>0,且a羊1)的圖象過定點A,

令％+2=0,貝!]x=-2,y=a0—3=-2,

所以點A的坐標為(-2,-2).

故答案為：(-2,-2).

【變式1-1]1.(2023下?江西南昌?高二南昌二中校考期末)已知函數(shù)/(%)=謨+5+4(a>0,a力1)

恒過定點M0,71),則函數(shù)。(久)=771+n*的圖像不經(jīng)過第象限.

【答案】二

【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知/(%)恒過定點(-5,5),再由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知g(x)不過第二象限.

【詳解】由已知條件得當(dāng)比=-5時,f(-5)=5,則函數(shù)f。)恒過點(―5,5),

即？ri=-5,n=5,此時g(無)=-5+5X,

由于g(Y)由y=5》向下平移五個單位得到，且過點(0,-4),

由此可知9(無)不過第二象限，

故答案為：二.

【變式1-1J2.(2022下?北京?高二匯文中學(xué)校考期末)已知對不同的a值，函數(shù)〃久)=2+>0,a4

1)的圖象恒過定點P,貝!JP點的坐標是

【答案】(1,3)

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，我們易得指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a41)的圖象恒過(0,1)點，再根據(jù)函數(shù)圖

象的平移變換法則，求出平移量，進而可以得到函數(shù)圖象平移后恒過的點P的坐標

【詳解】由指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a41)的圖象恒過(0,1)點

而要得到函數(shù)y=2+ax-r{a>0,aH1)的圖象，

可將指數(shù)函數(shù)y=a\a>0,aH1)的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位.

則(0,1)點平移后得到(1,3)點.

則P點的坐標是(1,3)

故答案為：(1,3)

【變式1-1]3.(2022上?黑龍江大興安嶺地?高一校考期末)已知函數(shù)f(久)=loga(x+3)-式a>0,a41)

的圖象恒過定點A.若點A也在函數(shù)g(x)=3X+b的圖象上，則g(log32)=.

【答案】1

【分析】先求出定點的坐標，代入g(x)=3,+b求出b,即可得出答案.

【詳解】令x+3=1n*=-2,所以/(—2)=log/—”—]所以定點4,

代入9。)=3X+b,所以g(-2)=3~2+b=,解得b=-1,所以g(x)=3X-1,

,1032

5(log32)=3§-1=2-1=1,

故答案為：1.

【變式1-1]4.(2023上?云南昭通?高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)y=2a^3-l(a>0,Ha*1)恒過

定點4(*0,yo),且滿足Hix。+ny0=l,其中是正實數(shù)，則'+:的最小值是()

A.16B.6C.2V3D.V3

【答案】A

【分析】通過X-3=0可得定點4，代入等式得3nl+n=l,然后通過展開、+；=(\+；)(3m+九)可求

最小值.

【詳解】令％-3=0,得％=3,此時y=1,??-4(&,yo)為(3,1)

???3m4-n=1.

當(dāng)且僅當(dāng)*等，即爪=”=泄，等號成立，

故選：A.

題型2指數(shù)函數(shù)比較大小問題

21

【例題2】2023上?四川涼山?高一校聯(lián)考期末詔a==(|)\C=log|j貝b,6,c的大小關(guān)系為()

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b

【答案】A

【分析】根據(jù)對數(shù)運算整理指數(shù)式，結(jié)合對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用中間值法，可得答案.

【詳解】由題意可得：logaa=|,logib=|logi|=|logi2+|,

3§3333s3§

由log工a-logib=|-f|10gi2+3=^(1+log32)>0,則log”>logib,

333\333/333

根據(jù)函數(shù)y=log了在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以a<b,

3

根據(jù)函數(shù)y=6)”在R上單調(diào)遞減，由(IF<G)°=1,則1>b>a,

根據(jù)函數(shù)y=log2^在(0,+8)上單調(diào)遞增，由C=logii=log23>log22=1,則c>6>a.

2§

故選：A.

【變式2-1]1.(2022上?北京東城?高一校考期中)已知a=312,b=1.2°,c=(|),貝必b,c的大小關(guān)

系是()

.a<c<bQ.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a

【答案】D

【分析】運用介值法及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.

?-0.9

=3。-9,

又因為y=3工在R上單調(diào)遞增，1.2>0.9>0,

所以31，2>309>3。=1,即a>c>b.

故選：D.

【變式2-1]2.(2023上?吉林?高一吉林一中校考期末)設(shè)/是定義域為R的偶函數(shù)，且在(-8,0)單調(diào)

遞減,設(shè)a=303,b=(如°']=log卷，則()

A./(c)>f(a)>f(b)B./(h)>/(a)>/(c)

C./(c)>f(b)>/(a)D.f(a)>f(b)>/(c)

【答案】B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，得出b>a>1>c>0,結(jié)合偶函數(shù)以及單調(diào)性即可得出結(jié)論.

【詳解】"c=log4me(0,1),a=30,3>l,b=304>303>1,

即b>a>l>c>0,由于函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，

在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞減，所以在(0,+8)上單調(diào)遞增，

則f(b)>/(a)>/(c),

故選：B

2

【變式2-1]3.(2022上?黑龍江雞西?高一校考期末)若a=2。"b=log0,32,c=0.3，則a,b,c的大

小關(guān)系為()

A.c<a<bB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及中間量即可比較大小.

032

【詳解】a=2->2°=1,b=log032<log0,3l=0,c=0.3=0.09G(0,1),

所以b<c<a,

故選：B.

【變式2-1]4.（2022上?吉林四平?高一校考期末）若小>n,則（）

mn

A.0.2<0.2B.log0,3m>logo,3n

C.2m<2nD.m2>n2

【答案】A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.

【詳解】對于A,根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=00為單調(diào)遞減函數(shù)，且加>n,所以0.2血<0.2",故A正確；

對于B,根據(jù)對數(shù)函數(shù)y=logo,3久為單調(diào)遞減函數(shù)，且6>n>OB^log03m<logo,3n,故B錯誤；

對于C,根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=2,是單調(diào)遞增函數(shù)，且小>九，所以2m>2幾，故C錯誤；

對于D,若n<巾<0,則九2>巾2,所以口選項不一定成立，即D錯誤.

故選：A

【變式2-1】5.（2022上?貴州黔東南高二校考期末）已知。=1.1。2,6=109]]0.2,。=0.211,則（）

/\.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別判定a,b,c與0、1的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳解】a=1,102>1.1°=1,

b=logi,i0.2<logi,il=0,0<c=0.211<0.2°=1,

/.a>c>b,

故選：B.

題型3指數(shù)不等式問題

【例題3](2023上?四川涼山?高一校聯(lián)考期末)不等式Q)2"T4331的解集為

[答案](-8,+8)

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解法求得正確答案.

?2x2—1

7<33A4,即3-2/<33A4,

由于y=3,在R上單調(diào)遞增，所以1-2/43x-4,

2/+3%—5=(%—1)(2%+5)>0z

解得久W-海X21,所以不等式的解集為(-8,-當(dāng)u[1,+8).

故答案為:(一8,-||U[1,+00)

【變式3-1]1.(2022上?上海徐匯?高一上海市第二中學(xué)校考期末)不等式<6廣-3的與不等式

x2+ax+b<0是同解不等式，貝(]a=,b=.

【答案】1-6

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，結(jié)合二元一次不等式解法進而得到答案.

【詳解】因為y=2史在口上單調(diào)遞增，

則2--2X-3<住廣3=23-3"即-2x-3<3-3%,

即/+%—6<0,解得一3<%<2,

因為—3<x<2也是%2+Q%+力<。的解,

所以Cl；=，解得｛J二'

此時/+ax+b<0,即/+%—6<0，解得一3<x<2,滿足題意.

故答案為：1；—6

【變式3-1J2.(2022上?青海玉樹?高一校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(*)=ax-\a>0且a豐1)的圖象過點(3,4).

⑴求實數(shù)a的值；

(2)求關(guān)于x的不等式“X)>的解集.

【答案】(Da=2

⑵(4,+8)

【分析】(1)利用代入法進行求解即可；

(2)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.

【詳解】(1)因為函數(shù)f(x)=ax-\a>0,且a41)的圖象過點(3,4),

所以有4=a2=>a=2,或a=-2舍去，

即a—2

(2)由(1)可知：/(%)=,該函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，

因此由/(x)>a3=>2X_1>23=>X-1>3=>%>4,

所以不等式f(x)>的解集為(4,+8).

【變式3-1】3(2020上?山東臨沂?高一統(tǒng)考期末圮知/0)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>。時,/(x)=1-2\

(1)求當(dāng)x<。時，時，/X%)的解析式；

(2)求不等式/(X)<1的解集.

【答案】(l)f(x)=2~x-l

(2)(-1,+oo)

【分析】(1)根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)y=/⑺是R上的奇函數(shù)，利用f⑺=-/(-%),即可求解；

(2)根據(jù)函數(shù)的解析式，分x>0、x=0和久<0,三種情況討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】(1)解：由題意知，當(dāng)％>0時，/(%)=1—2"

當(dāng)久<0時，-x>0,可得/'(-x)=1-2~x,

因為函數(shù)y=f0)是R上的奇函數(shù)，所以/(-x)=,

所以/'(x)=-/(-x)=-(1-2-x)=2T-1,即久<0時，f(x)=2~x-1.

(2)解：當(dāng)x>0時，不等式f(x)<1,可化為1-2方<1,所以2*>0,顯然成立；

當(dāng)久=0時，y=/'(%)是奇函數(shù)，此時/'(0)=0<1成立；

當(dāng)工<。時，不等式可化為2——1<1,所以2T<2,解得—久<1,所以—1<x<0,

綜上可知，不等式“X)<1的解集為(-1,+8).

【變式3-1]4.(2023下?遼寧鐵嶺?高二昌圖縣第一高級中學(xué)校考期末)已知函婁好(%)=2,-2r.

(1)求f(2)的值,判斷八支)的奇偶性并證明；

(2)求不等式1/(初>|的解集.

【答案】(圾⑵=%久)為奇函數(shù),證明見解析

(2)(-00,-l)U(l,+oo)

【分析】(1)直接代入求出f(2),再根據(jù)奇偶性的定義判斷即可；

(2)解法一：依題意可得f(x)>|或f(%)<-|,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計算可得；

解法二：設(shè)t=2,>0,則問題轉(zhuǎn)化為卜—三>|,即t_5>弓或t-9<—|,求出珀勺取值范圍，再求出久的

取值范圍.

【詳解】(1)因為/⑺=2-2-x,所以/⑵=22-2-=4-%

因為/(%)的定義域為R,

且V%GR,/(—%)=2r—2X=—(2X—2-x)=一/(%),

所以/(%)為奇函數(shù).

(2)解法一：由If(久)|>|,得f(x)>|或f(x)<-|.

因為(一1)=一|,

所以"%)>"D或f。)</(-I).

易知f(%)在R上單調(diào)遞增，貝我>1或久<一1.

故不等式If0)1>|的解集為(-8,-1)U(1,+8).

解法二：設(shè)t=2、>0,則丫=t一L=t一色>0).

由題意得卜—II>I,即t—I>I或t—I<—I,

去分母化簡得2t2-3t-2>0或2t2+3t-2<0,

解得t<-]或t>2或-2<t<|.

因為t>0,所以t>2或0<t<i,

即2工>2或0<2,<J解得x>1或x<-1.

故不等式1/0)1>|的解集為(一8,-1)U(1,+8).

【變式3-1]5.(2022上?新疆烏魯木齊?高一新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考期末)已知函數(shù)“切=a/+%+

l(a>0).

Q)若關(guān)于X的不等式“X)<。的解集為(-4,6),求a,6的值；

(2)已知g(x)=4>1-2,+2,當(dāng)久6[-1,1]時，心)<g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(l)a=1，b=—g

loJ

⑵93]

【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合一元二次不等式對應(yīng)一元二次方程及二次函數(shù)可知-4和6都是方程a/+久+1=

。的根，列出方程組即可解出a,6的值；

(2)先根據(jù)題干條件將八2，)Wg(x)整理得(a-4)(2%)2+2x2工—1W0,令t=2、，轉(zhuǎn)化為a<@丫一

7+4,再根據(jù)題意令h(t)=6)2-1+4,貝[]aWh(t)min，求出h(t)的最小值即可.

【詳解】(1)根據(jù)題意可得-4和匕都是方程a/+X+1=0的根且6>-4,

d=—(_3

x(—4)2+(—4)+1=0解得言或°=G(舍去)，

ax/+b+l=Ob=--vb=—4

\3

所以a的值為方"的值為-*

163

(2)因為f(%)=ax2+%+1,所以/(2工)=a(2x)2+2X+1,

所以f(2%)<所%)即a(2%)2+2X+1<所+1—2%+2,

整理得(a-4)(2X)2+2x2x-l<0,

令t=2X,則上式可化為(a—4)t2+2t—1<0i即。<(3)—|+4,

又因為當(dāng)％e［—1,1］時，f(因)wg(%)恒成立,

所以當(dāng)te卜2］時，a<Q)2-1+4恒成立，

令九(t)=G)—|+4,則a</l(t)min'

因為/I(t)=Q)2-;+4=g-l)2+3,

所以當(dāng)｝=1,即1=1時，/i(t)min=3,所以a<3,

又因為a>0,所以0<aW3.

所以實數(shù)a的取值范圍為(0,3].

【變式3-1]6.(2022上?江西上饒?高三校考期末)設(shè)函數(shù)f(%)=/-(k-Da-(a>0且a41)，是

定義域為R的奇函數(shù).

(1)求k的值；

(2)若/(I)<0，試判斷函數(shù)單調(diào)性，并求使不等式八產(chǎn)+垃)+/(4-x)<。恒成立的珀勺取值范圍.

【答案】⑴2;

(2)/(x)在R上單調(diào)遞減，—3<t<5.

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得/(0)=0,由此求得k的值；

(2)由f(1)<0,可求出a的范圍，利用函數(shù)的奇偶性將不等式化為f(/+tx)<f(x-4),再利用函數(shù)的

單調(diào)性轉(zhuǎn)化為/+加>x-4,利用△<0即可求解.

【詳解】(1)?"(%)是定義域為R的奇函數(shù)，

"(0)=a0_(k_l)a0=1_(k_1)=0,

-k=2,此時f(無)=ax-a-x,滿足f(-x)=-/(%),

綜上，k=2.

(2)由(1)知/(x)—ax-a~x(a>0,且a豐1),1/(I)<0,：.a-^<0,

又a>0,且a力1,.,.0<a<l,

y=〃在R上單調(diào)遞減，y=a-，在R上單調(diào)遞增，

故/(X)=合-er，在R上單調(diào)遞減，

不等式尤2+tx)+f(4—%)<0化為/'(/+t%)<—/(4—x),

?"(比)是定義域為R的奇函數(shù)，

-x)=/(x-4),即,(久2+tx)<f(x-4),

:.x2+tx>x—4,:.x2+(t—l)x+4>0恒成立，

=(t-1)2-16<0,解得一3<t<5.

「?一3<tV5.

題型4指數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)

【例題4】2023上浙江臺州?高一統(tǒng)考期末圮知指數(shù)函數(shù)y=?)"的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+b

的圖象可能是()

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)討論a,6的關(guān)系，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)得其圖象即可.

【詳解】由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知：0<<1,

a

若a,b均為正數(shù)，則a>b>0,根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得此時函數(shù)y=ax+6圖象過一、二三象限,

即C正確；

若a,6均為負數(shù)，貝！Ja<b<0,此時函數(shù)y=ax+b過二、三、四象限，

由選項A、D可知a,6異號，不符合題意排除，選項B可知圖象過原點則b=0也不符合題意，排除.

故選：C

【變式4-l】L（2023上?四川涼山?高一統(tǒng)考期末周數(shù)f（x）=x2-ax+1有兩個不同的零點，則y=ax-a

（a>0且a力1）的圖象可能為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)f(x)=x2-ax+1有兩個不同的零點，求出a的范圍,再根據(jù)函數(shù)y=a，-a的圖象是由

函數(shù)y=產(chǎn)的圖象向下平移a個單位得到的，作出函數(shù)y=謨-a的大致圖象，即可得解.

【詳解】因為函數(shù)/(X)=/-ax+1有兩個不同的零點，

所以△=a?_4>0,解得a>2或a<一2,

則在函數(shù)y=ax-a中a>2,

函數(shù)y=ax-a的圖象是由函數(shù)y=a*的圖象向下平移a個單位得到的，

作出函數(shù)y=謨-a的大致圖象，如圖所示，

所以y=ax-a(a>。且a豐1)的圖象可能為B選項.

故選：B.

【變式4-1]2.(2022上?四川宜賓?高一統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)f0)=(%-a)(%-6)滿足f(1)<0(其

中。<a<6),則函數(shù)gO)=ax+b-1的圖象可能為()

【答案】C

【分析】方法1:由圖象求得0<a<1且6>1,再由a、b的范圍確定g。)的單調(diào)性及它與y軸的交點的

大概位置即可得結(jié)果；方法2：由不等式的性質(zhì)得0<a<1且b>1,逐個分析每個選項的圖象確定其a、

b的范圍，看與已知是否一致

【詳解】方法1:'"0)=(%-a)(x-b),如圖所示,

又"⑴<0,

.,.0<a<lS.b>1,

?2(%)=a%+b—1,

.,.令X=0得：g(O)=b,即：g(x)與y軸的交點為(o,b),

又0<a<1且6>1,

，g(x)在R上單調(diào)遞減，且g(x)與V軸的交點為(0,6),(b>1),只有C選項滿足.

方法2:■./(%)=(x-a)(x-b),/(I)<0

..(1一0)(1—b)<0,①

又「O<a<b,

..1-a>1-b,②

.二由①②得：1—a>0H1—b<QH0<aVb,

/.0<a<lS.b>1,

?；g(x)=a*+b-1,.?.令x=。得：g(O)=b,即：g(x)與y軸的交點為(0,b),

對于A項，由圖知，g(x)在R上單調(diào)遞減,.-.0<a<1,g(x)與y軸的交點為(0,b),.".0<b<l,這與已

知。<a<1且6>1相矛盾，錯誤；

對于B項，由圖知,。(久)在R上單調(diào)遞增r-.a>1,g(%)與y軸的交點為(0,6)/.0<b<l這與已知0<a<1

且b>1相矛盾，錯誤；

對于C項，由圖知，g(x)在R上單調(diào)遞減,/.0<a<1,g(x)與y軸的交點為(0,b)，:.b>1，,0<a<1且

b>l,正確；

對于D項，由圖知，g(x)在R上單調(diào)遞增，>1,g(x)與y軸的交點為(0,6),：.b>1，這與已知0<a<l

且b>1相矛盾，錯誤；

故選：C.

【變式4-1]3.(2021上?陜西榆林?高一陜西省神木中學(xué)校考階段練習(xí))函數(shù)f。)=3'-3的圖像不經(jīng)過

()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象，再平移后得到/(%),直接判斷選項.

【詳解】函數(shù)y=3,經(jīng)過第一、二象限，向下平移3個單位后得到函數(shù)/(x)=3,-3,則經(jīng)過一、三、四

象限，不經(jīng)過第二象限.

故選：B

【變式4-1]4.（多選）（2022上廣西百色?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)/（%）=|必一1|（a>0,且a#1）與g（x）=

【答案】BD

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)直接判斷.

【詳解】由題意得,/(x)=\ax-1|中若xt4-00,/(%)t4-00,則a>1,

若x-?—co,/(x)->+oo,貝[]0<a<1;

g(x)=a-x中a表示縱截距.

對于A,f(x)=\ax-1|圖像中a>1,g(x)-a-x圖像中0<a<1,故A錯誤；

對于B,/(x)=\ax-1|圖像中a>1,g(x)-a-x圖像中a>1,故B正確；

對于C,/(x)=\ax-1|圖像中0<a<1,g(x)=a-x圖像中a>1,故C錯誤；

對于D,/(%)=\ax-1|圖像中0<a<1,g(x)=a-x圖像中0<a<1,故D正確；

故選:BD

題型5指數(shù)函數(shù)求參數(shù)問題

【例題5]（2021上?浙江溫州?高一樂清市知臨中學(xué)校考期中）函數(shù)/（無）=M-b的圖象如圖所示，其中a,

b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A.a>1,/><0B.a>l,b>0

C.O<a<l,h>0D.O<a<l,fa<0

【答案】D

【分析】由函數(shù)單調(diào)性判斷a與1的大小，再由圖象與y軸的交點位置判斷6的正負.

【詳解】由圖象可知，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，

從而有。<a<1；

法一：由f0)=產(chǎn)-〃圖象，函數(shù)與y軸的交點縱坐標ye(0,1),

令x=0,得丫=(Tb,

由0<af<1,即0<a-b<a0,解得b<0.

法二：函數(shù)/'(>)圖象可看作是由y=ax(0<a<1)向左平移得到的，

則一6>0,即b<0.

故選：D.

【變式5-1]1.(多選)(2023?全國?高三專題練習(xí))(多選)已知函數(shù)y=/-6(a>0且a71)的圖

象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

A.a6>15.a+b>lC.ba>lD.2b~a<1

【答案】ABD

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可得出a、淵取值范圍，利用指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷ACD選項，利用不等式的

基本性質(zhì)可判斷B選項.

【詳解】由圖象可知，函數(shù)y=爐-b(a>0且a41)在R上單調(diào)遞增，貝!]a>1,

且當(dāng)尤=。時，y=1-6e(0,1),可得0<b<1.

對于A選項，/>a。=1,A對；

對于B選項,a+b>a>1,B對；

對于C選項，於<b。=1,C錯；

對于D選項，由題意可知，0<b<1<a,貝心一a<0,所以，2匹。<2。=1,D對.

故選：ABD.

【變式5-1]2.(2023上?陜西安康?高一校聯(lián)考期末)指數(shù)函數(shù)y=〃與y=廳的圖象如圖所示，則()

A.a<0,b>0B.0<a<l,0<fo<l

C.0<a<l,b>lD.a>1,0<Z?<1

【答案】C

【分析】直接利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷選項即可.

【詳解】當(dāng)a>1時，指數(shù)函數(shù)y=謨是增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時，指數(shù)函數(shù)y=〃是減函數(shù),

所以根據(jù)函數(shù)的圖象可知0<a<1,b>1.

故選：C.

【變式5-1]3.(多選)(2023上?安徽?高一安徽省潁上第一中學(xué)校聯(lián)考期末)若函數(shù)f(久)=〃-b(a>0

且a豐1)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，則()

A.0<ab<1B.0<ba<1C.ab>1D.ba>1

【答案】BC

【分析】根據(jù)函數(shù)f(x)=-b(a>。且a*1)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，判斷a,b的范圍，再由指

數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.

【詳解】解：因為函數(shù)f(x)=ax-b(a>0且a豐1)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，

所以a>1,/(0)=1一6C(0,1)今0<6<1,

所以y=〃是增函數(shù)，y=廳是減函數(shù)，

貝!]a">a°=1,0<ba<b1<1,

故選：BC.

【變式5-l]4.(2021上?陜西咸陽?高一咸陽市實驗中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)“切=|3尢-l|,a<b<c

且f(a)>/(c)>f(b),則下列結(jié)論中，一定成立的是()

A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b>0,c>0

C.a<0,b=—c,c>0D.38+3c>2

【答案】D

【分析】作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象判斷AB,再由f(c)>f(b)討論b去掉絕對值號化簡可判斷CD.

【詳解】由圖示可知a<0,b的符號不確定，c>0,故A、B錯；

/(fo)=|3b-l|,f(c)=|3c-l|,

如上圖,a<b<0<c滿足/'(a)>/(c)>/(b),故C不一定成立,

當(dāng)b<0時，由f(c)>f⑻得|3C-1|>13b-1|,則3c-1>1一3J所以3b+3。>2,故D正確.

故選：D

題型6指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域

【例題6](2021上?廣西河池?高一校聯(lián)考階段練習(xí))設(shè)函數(shù)〃久)=后寺，則函數(shù)f(；)的定義域為()

A.(—oo,4]B.(—00,1]C,(0,4]D.(0,1]

【答案】A

【分析】先求出f(x)的定義域，再令滿足了⑺的定義域范圍求出x的范圍即可得的定義域.

【詳解】由9一3*20即3*<9可得久<2

所以/0)的定義域為｛x|x<2｝,

令彳W2,可得x<4,所以函數(shù)f停)的定義域為(-8,4],

故選：A.

【變式6-1]1.(2021上?山東棗莊?高一棗莊市第三中學(xué)校聯(lián)考期中)已知函數(shù)y=/O)的定義域為(0,1),

則函數(shù)F(x)=fQ2x-1|)的定義域為()

A.(—co,1)B.(-co,0)u(0,1)C.(0,+oo)D.[0,1)

【答案】B

【分析】抽象函數(shù)的定義域求解，要注意兩點，一是定義域是x的取值范圍；二是同一對應(yīng)法則下，取值

范圍一致.

【詳解】y="X)的定義域為(0,1),0<|2^-1|<1,即｛T'(二!1<1，

解得：x<1且萬豐0,

F(x)=-1|)的定義域為(—8,0)u(0,1).

故選：B.

【變式6-1]2.(2021下?陜西渭南?高二統(tǒng)考期末)函數(shù)f(x)=J(I)X-1++的定義域為.

【答案】{%|%<。且％工-2}

【分析】求得使函數(shù)式有意義的自變量的范圍.

【詳解】由題意[G)[1[°，即，所以定義域為口僅W0且萬*-2}.

故答案為：{x|無<。且X*-2}.

【變式6-1]3.(2021下?江蘇?高二階段練習(xí))函數(shù)f⑺=732——1的定義域是()

A.[l,+oo)B.E，+8)C.(-00,-1)D.(-00,-2)

【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出函數(shù)的定義域即可.

【詳解】解：由題意得：32-1-1>0,

故32Al>1=3°,故2x-1>0,

解得：x>|,

故函數(shù)/■(%)的定義域是|1,+8),

故選：B.

【變式6-1]4.(2018上?江西宜春?高一期末)已知集合4=[x\y=斤下,xeN},則集合2的子集個數(shù)

為()

A.8B.16C.4D.7

【答案】A

【分析】先化簡集合4,確定集合中元素個數(shù)，再由公式，即可求出其子集個數(shù).

【詳解】因為力={x\y=V4-2\x€N}={x|4-2X>0,xEN]={x\2x<4,x&N}

={x\x<2,xEN}={0,1,2),

所以集合4的子集個數(shù)為23=8.

故選：A.

【點睛】本題主要考查求集合的子集個數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.

題型7指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

【例題7]（2022上?福建莆田?高一校考期末）已知函數(shù)f⑺=2T""則單調(diào)遞增區(qū)間為

【答案】（一8,1]/（_8,1）

【分析】根據(jù)二次函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則即可求解.

【詳解】由于y=-x2+2x=-（x-l）2+1在（1,+8）單調(diào)遞減,在（一8,1]單調(diào)遞增，

而函數(shù)y=2,為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，

所以“X）=2-/+2,的單調(diào)遞增區(qū)間為,

故答案為：（-8,1]

【變式7-1]1.（2023上?高一課時練習(xí)）函數(shù)/⑶=2".+釵-3的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.（—8,2]B.[1,2]

C.[2,3]D.[2,+oo）

【答案】B

【分析】先求函數(shù)人光）的定義域，在結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性分析求解.

【詳解】令一一+4%_320,解得1<%<3,

所以函數(shù)八乃=2八*+軌-3的定義域為口3],

因為t=-%2+4x-3開口向下，對稱軸為x=-J=2,

2X1一0

可知t=-x2+4x-3在[1,2]上單調(diào)遞增，在（2,3]上單調(diào)遞減，

且a=位在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

所以u=7—x2+以-3在[1,2]上單調(diào)遞增,在（2,3]上單調(diào)遞減,

又因為y=2"在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

所以"X)=2"/+軌-3在口2]上單調(diào)遞增,在(2,3]上單調(diào)遞減，

即函數(shù)”X)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,2].

故選：B.

【變式7-1]2.(2023上?高一課時練習(xí))已知函數(shù)〃乃=內(nèi)+軌丑。>。且0牛D，若/⑴〉1，則/⑺的

單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(-oo,0)B.(0,4-oo)

C.(—oo,—2)D.(-2,+8)

【答案】D

【分析】由f(1)>1求得0<a<1,然后根據(jù)同增異減法則求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【詳解】--7(I)=a-1>1,二。<a<l,

，函數(shù)y=〃在R上單調(diào)遞減，

又；函數(shù)y=/+4x-6的圖象開口向上，對稱軸為x=-2,

從而函數(shù)y=X2+4X-6在(一2,+8)上是增函數(shù)，

."(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(—2,+8).

故選：D.

【變式7-1]3.(2022上?重慶?高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)"％+1)=2工+1-2—-,則/(久)()

A.是偶函數(shù)，且在R是單調(diào)遞增

B.是奇函數(shù)，且在R是單調(diào)遞增

C.是偶函數(shù)，且在R是單調(diào)遞減

D.是奇函數(shù)，且在R是單調(diào)遞減

【答案】B

【分析】根據(jù)f(久+1)的解析式得到〃久)解析式，判斷單調(diào)性奇偶性即可得出選項.

【詳解】解:由題知/(X+1)=2，+1-2-1T,則X6R,

將久-1代替x代入可得：

/(x)=2X-2T(xGR),

f(-x)=2-x-2X,

/(x)+/(-%)=0,

故f(x)為奇函數(shù)，

,?"(x)=2,-卜，

y=2工單調(diào)遞增，

y=-熱單調(diào)遞增，

故f(x)在R上單調(diào)遞增.

故選:B

【變式7-1]4.(多選)(2023下?重慶北暗?高二西南大學(xué)附中校考期末)已知f(乃=W，則()

A./(久)為奇函數(shù)

B./(久)在(-8,0)u(0,+8)上單調(diào)遞減

C./O)值域為(一8,-1)U(1,+8)

D./(/(久))的定義域為｛刈久豐0｝

【答案】ACD

【分析】對于A,利用奇函數(shù)的定義即可判斷；對于B,可以利用減函數(shù)的定義進行判斷；對于C,可利用分離常

數(shù)法進行求解；對于D,可利用定義域的性質(zhì)進行求解.

【詳解】對于A,由e，-170,得x不0,所以函數(shù)的定義域為｛洲久豐0),

x

i+ex

又/(—X)=言=晨^=言7=-/'(X),所以/0)為奇函數(shù),故A正確；

對于B,設(shè)Xi<x2,x1,x2E(-00,o)U(0,+oo),

、ff、一e%1+1eX2+i_(eX1+1)(eX2-1)-(eX2+1)(eX1-1)_2(eX2-eX1)

人J/—J-鏟1-1-ex2-i-(exi-i)(ex2-i)-(exi-i)(ex2-i)z

因為X[<X2,xr,x2e(-00,0)U(0,+oo),所以當(dāng)X]<0,x2>0時,

e'2—ez>0,e'z_1>o,—1<0,所以f(/)-/(%)=<o,

2(￡e1一；i：)￡(e/一)1)

則f(%)<，(久2)，不符合單調(diào)遞減函數(shù)的定義，故B錯誤；

對于C,因為/(乃=含=1+含，

又e%—1>-lSex-1^0,所以G(-00,-1)U(0,4-00),

則f0)=1+3三e(-00,-1)u(1,+oo),故C正確;

對于D,由以上項分析函數(shù)f(久)的定義域為｛x|x豐0｝且f(%)*0,,故f(外久))的定義域為｛"1%豐0｝,故D正確；

故選：ACD.

題型8指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)問題

【例題8](2021?浙江?高一期末)已知p:3xe[|,ll，ax-l>0,q:函數(shù)/⑶=(a—2尸為增函數(shù)，則p

是4的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】分別求得命題p,q為真時a的取值范圍，結(jié)合充分，必要條件的定義進行判斷即可.

【詳解】p-3xe[|,l],ax-1>0為真，即a久-1>0在xe[1,1]有解，

..a>(-)mjn,xG卜1]

由yW在％€體,1]上單調(diào)遞減，

y=(-)min=1i

???a>1

q：函數(shù)/(x)=(a-2尸為增函數(shù)時，a-2>1,解得a>3

?■.P是q的必要不充分條件

故選：B

【變式8-1J1.（2021上?上海虹口?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f（久）=2吐可（a為常數(shù)），若f（x）在區(qū)間［1,+?）

上是增函數(shù)，則a的取值范圍是

【答案】（一合1］

【分析】首先根據(jù)題意得到f（x）=2吐可=Jn■從而得到當(dāng)比2。時，函數(shù)八%）為增函數(shù)，再根

據(jù)題意即可得到答案.

【詳解】因為函數(shù)f（X）=21-1=謊；：!

當(dāng)x>a時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，

而已知函數(shù)/（x）在區(qū)間［1,+8）上是增函數(shù)，所以a<1,即a的取值范圍為（-8,1］.

故答案為：（-8,1］

/^\X2+2mx-l

【變式8-1］2.（2022上?安徽?高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)y=6）在區(qū)間［-1,1］上為增函數(shù)，則實數(shù)m

的取值范圍為

【答案】m<-1

【分析】由復(fù)合函數(shù)的同增異減性質(zhì)判斷得y=x2+2mx-1在上單調(diào)遞減，再結(jié)合對稱軸和區(qū)間邊

界值建立不等式即可求解.

【詳解】由復(fù)合函數(shù)的同增異減性質(zhì)可得，y=/+-1在［-1,1］上嚴格單調(diào)遞減，

二次函數(shù)開口向上，對稱軸為x=-m

所以一zn>1,即m<-1

故答案為：mW-1

【變式8-1］3.（2023下?浙江嘉興?高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)f。）=2HQeR）,則"a<0"是"f⑺在

（1,+8）上單調(diào)遞增"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】運用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求得a的范圍，再運用集合的包含關(guān)系即可求得結(jié)果.

【詳解】因為〃久)=2囚臼在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，aW1,

所以"a<0"是"a<1”的充分不必要條件，

故選：A.

【變式8-1]4.(2023上?四川成都?高一校考階段練習(xí))已知函婁好0)=f(2-a)”+|，”<1,是R上的

(ax,x>1

增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()