第3章正方形

第1節常見構圖

前言：正方形是最特殊的四邊形，邊、角、對角線均具有特殊性質，同時，由其自身的軸對稱性及中心對稱性,

使得正方形有更多的考法.

知識導航

基本性質

四邊相等：AB=BC=CD=DA;

四角者B是直角：ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°;

又寸角線：OA=OB=OC=OD,AC±BD.

引例1：如圖，點P是正方形ABCD內位于對角線AC下方的一點，Z1=Z2,則/BPC的度數為

解析：VZ2+ZBCP=45°,Z1=Z2,

/.Z1+ZBCP=45°,

ZBPC=135°.

引例2:如圖邊長為魚的正方形ABCD的對角線AC與BD交于點O,將正方形ABCD沿直線DF折疊，點

C落在對角線BD上的點E處，折痕DF交AC于點M,則OM=()

解析：：AD=DC=V2,.*.AC=BD=2,OD=|BD=1,

???DE=DC=V2,.-.=V2-1,DOM=COE,

OM=OE=42-1,

.?.選D.

弓I例3:如圖,在正方形紙片ABCD中，E是CD的中點，將正方形紙片折疊，點B落在線段AE上的點G處

折痕為AF.若AD=4,貝CF的長為.

-4^—--------------|D

I\

I\

'\

1\//

1\//

1\//

B'￥--1c

解析:：E點是CD中點,；.DE=出C=2,AE=2有，由折疊可知AG=AB=4,；.EG=2遙-4,設CF=x,!U!JBF=4

-x,FG=4-x,

2

在RtAEFG中，EF2=EG2+FG2=(2V5—4)+(4—x),

在RtACEF中，EF2=CE2+CF2=%2+22,

2

22

(2V5—4)+(4—久尸=x+2f解得：x=6-2V5.

；.CF的長為6-2V5.

雙正方形

(1)與模型相關

手拉手模型：AABG^ACBE.

A_________n

:n

GBc

三垂直模型：△FGM0ZXMCD.

口

GBML

“8”字型：△AMD^>AEMF.

(2)與對角線相關

若連接BF、BD,貝UBFLBD.

若連接EG、BD,貝！］EG〃BD,SAEDG=SAEBG.

引例4:如圖，點C在線段AB上，且AC=2BC,分別以AC、BC為邊在線段AB的同側作正方形ACDE、BCFG,

連接EC、EG廁tan/CEG=.

解析:連接CG,則CE±CG,VAC=2BC,tanZCEG=|

真題演練

1.如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD的中點.將AABE沿直線BE翻折，點A落在點F處，連接DF,

那么/EDF的正切值是______.

2.如圖，在邊長為2企的正方形ABCD中，點E、F分別是邊AB、BC的中點連接EC、FD,點G、H分別

是EC、FD的中點，連接GH,則GH的長度為.

3.如圖，在正方形ABCD中,對角線AC與BD交于點O,點E在CD的延長線上，連接AE,點F是AE的中點,

連接OF交AD于點G.若DE=2,OF=3,則點A到DF的距離為.

4.（2020.廣東）如圖，在正方形ABCD中,AB=3,點E、F分別在邊AB、CD上，ZEFD=60°.若將四邊形EBCF沿

EF折疊，點B恰好落在AD邊上，則BE的長度為（）

L

B

B.V2C.V3

5.（2020.溫州）如圖，在RtAABC中，/ACB=90。,以其三邊為邊向外作正方形，過點C作CRXFG于點R,再

過點C作PQLCR分別交邊DE、BH于點P、Q.若QH=2PE,PQ=15,則CR的長為（）

C.8V3D.6V5

6.如圖,正方形ABCD的邊長為4,延長CB至E使EB=2,以EB為邊在上方作正方形EFGB,延長FG交DC

于M,連接AM、AF,H為AD的中點，連接FH分別與AB、AM交于點N、K,則下列結論：

?AANH^AGNF;?ZAFN=ZHFG;③FN=2NK;④SAFN-.SADM=1:4.其中正確的結論有（）

AH

A.1個B.2個C.3個D.4個

7.如圖.正方形ABCD和正方形CGFE的頂點C、D、E在同一條直線上，頂點B、C、G在同一條直線上.

。是EG的中點，ZEGC的平分線GH過點D,交BE于點H,連接FH交EG于點M,連接OH.以下四個結論：

?GH±BE;②△EHMS/^FHG;③器=魚—1;④2=2—其中正確的結論是（）

A.①②③B.①②④

C.①③④D.②③④

8如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連接DG,過點A作AH〃DG,交BG于點H.連接H

F、AF,其中AF交EC于點M.

(1)求證：AAHF為等腰直角三角形.

(2)若AB=3,EC=5,求EM的長.

9.如圖1,正方形ABDE和BCFG的邊AB、BC在同一條直線上，且AB=2BC,取EF的中點M,連接MD,

MG,MB.

(1)試證明DMLMG,并求辭的值.

MG

(2)如圖2,將圖1中的正方形變為菱形，設NEAB=2a(0<a<90。)，其它條件不變，問(1)中蜉的值有變化嗎?

若有變化，求出該值(用含a的式子表示)；若無變化，說明理由.

1.解析：如圖，點F如圖所示，連接BF、DF、EF、AF,記AF與BE交點為H,

由對稱可知AF±BE，點H是AF中點，又點E是AD中點，；.EH是^DF邊所對的中位線，；田11〃口旦，/E

DF=ZAEB,/.tanZEDF=tanZAEB=2.

2解析：勾股定理可得GH=L

解析:?..DE=2,，FG=L；.OG=2,CD=4,；.AD=4,AE=2V5DF=逐，由等積法可得點A至！]DF的距離為篝=

嚕距離為竽

4.D.

解析：VZEFD=60°,.?.ZB'EF=ZBEF=60°,.\ZAEB'=60°,ABE=B'E=2AE,.*.BE=2.故選D.A.

5解析:連接CE、CH,易證△CPE-ACQH,原=霽=舒=gCP=5,CQ=10晨=*=*

：.CD=2V5,CM=4,AB=10,MR=10,，CR=14,.?.選A.

6.C.

解析：是AD中點，.?.AH=]an=FG,易證△ANH絲△GNF,故結論①正確;

VZHFG=ZAHF,ZAFN#ZAHF,/.ZAFN#ZHFG.故結論②錯誤；

易證點K是HN中點，；.FN=NH=2NK,故結論③正確；

考慮到AN=|￡>M,FG=^AD,

^AFN-^ADM=1：4,故結論④正確.

綜上，選c.

7.A.

解析：易證△BCE0ZkDCG,；.NBEC=NDGC,又NBEC+/EHD=/DGC+/DCG,

.,.ZEHD=ZDCG=90°,.,.GH±BE.故結論①正確；

VZEHG=ZEFG=90°,.,.ESF、G、H四點共圓，

AZHEM=ZGFM,又EF=GF,ZEHF=ZGHF,

AAEHMc-AFHG,故結論②正確；

；GH平分/EGB,且GHLBE,...△BGE是等腰三角形,

???GB=GE=&GC,假=f=魚-1,

故結論③正確；

易證M。“噴=篝_V2

EF-1一2

^HOMOM°MOM=-^==72—1,

SJ-JQQOGOEOM+ME2+V2

故結論④錯誤.

綜上，選A.

8解析:(1)：AH〃DG,易證△ABH絲△DCG,；.BH=CG,

.\BC=HG,.\AB=HG,易證△ABH0△HGF,；.AH=HF,

AAHB^AHFG,AZAHB=ZHFG,

,?ZHFG+ZFHG=90°,ZAHB+ZFHG=90°,

ZAHF=90°,AAHF為等腰直角三角形.

(2)易證△AMDgZkFME,；.MDE=HD=-

,5

.?.又DE=CE-CD=2,.-.EM=-DE=-x2=-.

884

；.EM的長為3

4

解析：⑴延長GM與DE交于點N,易證△M