2024年高考“2024年高考“最終三十天”專題透析PAGE好教化好教化云平臺——教化因你我而變PAGE1瘋狂專練20新定義類創新題一、選擇一、選擇題1．若，則，就稱是伙伴關系集合，集合的全部非空子集中具有伙伴關系的集合的個數是（）A．1 B．3 C．7 D．312．如圖所示的Venn圖中，是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，，則為（）A． B．C．或 D．或3．對于復數，若集合具有性質“對隨意，必有”，則當時，（）A． B． C． D．4．定義一種新運算：，已知函數，若函數恰有兩個零點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．5．設函數在內有定義，對于給定的正數，定義函數，取函數，當時，函數的單調遞增區間為（）A． B． C． D．6．約定與是兩個運算符號，其運算法則如下：對隨意實數，，有：，，設，，用列舉法表示集合為（）A． B． C． D．7．設為復數集的非空子集．若對隨意，，都有，，，則稱為封閉集．下列命題：①集合為整數，為虛數單位為封閉集；②若為封閉集，則肯定有；③封閉集肯定是無限集；④若為封閉集，則滿意的隨意集合也是封閉集．上面命題中真命題共有哪些？（）A．① B．①② C．①②③ D．①②④8．定義：對于一個定義域為的函，若存在兩條距離為的直線和，使得時，恒有，則稱在內有一個寬度為的通道．下列函數：①；②；③；④．其中有一個寬度為的通道的函數的序號為（）A．①② B．②③ C．②④ D．②③④9．由無理數引發的數學危機始終持續到世紀．直到年，德國數學家戴德金從連續性的要求動身，用有理數的“分割”來定義無理數（史稱戴德金分割），并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續多年的數學史上的第一次大危機．所謂戴德金分割，是指將有理數集劃分為兩個非空的子集與．且滿意，，中的每一個元素都小于中的每一個元素，則稱為戴德金分割．試推斷，對于任一戴德金分割，下列選項中，不行能成立的是（）A．沒有最大元素，有一個最小元素 B．沒有最大元素，也沒有最小元素C．有一個最大元素，有一個最小元素 D．有一個最大元素，沒有最小元素10．假如定義在上的函數滿意：對于隨意，都有，則稱為“函數”．給出下列函數：①；②；③；④，其中“函數”的個數是（）A． B． C． D．11．設函數的定義域為，假如，存在唯一的，使（為常數）成立．則稱函數在上的“均值”為．已知四個函數：①；②；③；④上述四個函數中，滿意所在定義域上“均值”為的函數的序號是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④12．定義：假如函數的導函數為，在區間上存在使得，，則稱為區間上的“雙中值函數”．已知函數是上的“雙中值函數”，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題二、填空題13．對于隨意兩個正整數，定義某種運算“※”如下：當都為正偶數或正奇數時，※；當中一個為正偶數，另一個為正奇數時，※．則在此定義下，集合※中的元素個數為．14．若數列滿意，，為非零數列，則稱數列為“放飛”數列．已知正項數列為“放飛”數列，且，則的最小值是．15．假如對定義在上的函數，對隨意兩個不相等的實數，，都有，則稱函數為“函數”．給出下列函數①；②；③；④．以上函數是“函數”的全部序號為．16．在平面直角坐標系中，當不是原點時，定義的“伴隨點”為；當是原點時，定義的“伴隨點”為它自身，平面曲線上全部點的“伴隨點”所構成的曲線定義為曲線的“伴隨曲線”，現有下列命題：①若點的“伴隨點”是點，則點的“伴隨點”是點；②單位圓的“伴隨曲線”是它自身；③若曲線關于軸對稱，則其“伴隨曲線”關于軸對稱；④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線．其中的真命題是（寫出全部真命題的序號）．

答案答案與解析一、選擇一、選擇題1．【答案】B【解析】由已知條件得，可以單獨存在于伙伴關系中，和同時存在于伙伴關系中，所以具有伙伴關系的元素組是，所以具有伙伴關系的集合有個：，，．2．【答案】D【解析】因為，，，，所以或．3．【答案】B【解析】∵，由集合中元素的互異性可知，當時，，，∴，由“對隨意，必有”知，∴，或，，∴．4．【答案】D【解析】由題可知，，畫出圖象如圖，當函數恰有兩個零點，即函數有兩個交點時，實數的取值范圍為．5．【答案】C【解析】依題意可知，當，時，，依據指數函數的圖象與性質可知，函數的單調遞增區間為，故選C．6．【答案】C【解析】依據運算法則，得①，當時，或（不符合題意舍去）；當時，，把，分別代入①式，得或，故．7．【答案】B【解析】①成立，因為集合里的元素，不管是相加，還是相減，還是相乘，都是復數，并且實部，虛部都是整數；②當時，所以成立；③不成立，舉例：就是封閉集，但是有限集；④舉例，，，集合就不是封閉集，所以不成立．8．【答案】D【解析】①當時，，且函數單調遞增，故不存在寬度為的通道；②，故存在和，滿意有一個寬度為的通道；③，故存在和，滿意有一個寬度為的通道；④，故存在和，滿意有一個寬度為的通道；故有一個寬度為的通道的函數的序號為②③④．9．【答案】C【解析】A正確，例如是全部小于的有理數，是全部不小于的有理數；B正確，如是全部負的有理數，零和平方小于的正有理數，是全部平方大于的正有理數，明顯和的并集是全部的有理數，因為平方等于的數不是有理數；D正確，例如是全部不大于的有理數，是全部大于的有理數；C錯，有最大元素，且有最小元素是不行能的，因為這樣就有一個有理數不存在于和兩個集合中，與和的并集是全部的有理數沖突．10．【答案】C【解析】∵對于隨意給定的不等實數，，不等式恒成立，∴不等式等價為恒成立，即函數是定義在上的增函數．①；，則函數在定義域上不單調；②；，函數單調遞增，滿意條件；③為增函數，滿意條件；④，當時，函數單調遞增，當時，函數單調遞減，不滿意條件，綜上滿意“函數”的函數為②③，一共個．11．【答案】B【解析】①對于函數，定義域為，設，由，得，所以，所以函數是定義域上的“均值”為的函數；②對于函數，定義域為，設，由，得，當時，，不存在實數的值，使，所以該函數不是定義域上均值為的函數；③對于函數，定義域是，設，得，則，所以該函數是定義域上的均值為的函數；④對于函數，定義域為，設，由，得，當，，不存在唯一的實數，使得，所以函數在其定義域上不是均值為的函數．故滿意所在定義域上“均值”為的函數是的序號是①③．12．【答案】D【解析】∵函數，∴，∵函數是區間上的雙中值函數，∴區間上存在，滿意，∴，∴，即方程在區間有兩個解，令，∴，解得．∴實數的取值范圍是，故選D．二、填空題二、填空題13．【答案】【解析】因為，，，，，，，，，集合中的元素是有序數對，所以集合中的元素共有個．14．【答案】【解析】依題意可得，則數列為等比數列．又，則．，當且僅當，即該數列為常數列時取等號．15．【答案】①③【解析】因為對隨意兩個不相等的實數，，都有，即總有不等式恒成立，即為函數是定義在上的增函數，對于①，由于與均為上增函數，則函數在為增函數；對于②，明顯先減后增，不符合；對于③，因為在上恒成立，則在為增函數；對于④，當時為減函數，當為增函數，不符合，故選①③．16．【答案】②③【解析】①設的坐標，伴隨點，的伴隨點橫坐標為，同理可得縱坐標為，故，錯誤；②設單位圓上的點的坐標為，則的伴隨點的坐標為，所以也在單位圓上，即：點是點延順時針方向旋轉，正確；③設曲線上點的坐標，其關于軸對稱的點也在曲線上，所以點的伴隨點，