重難點14指對運算九大題型匯總

題型解讀

1!^滿分技巧

技巧一.對數的運算法則：

l.log^N=log^+log^；

M

2.log^=log^-log^,

n

3.Zog%=n/og%.(其中a>0,aHl,M>0,N>OZnFR)

技巧二.換底公式：

loga=>0,且。。7；c>0,且cW/；b>勿.

利用不同的對數值求新的對數值，此類題特征：

1.多底數，多真數，都給它降幕為基數，

2.條件與結論，特別是條件，有沒有底數真數共同數

3.如果沒有共同數，則結合求的對數真數，尋找共同底數，實在不好找，全部轉化為10為底，或者e為

底(盡量找共同數)

4.結論對數的底數，真數，轉化為條件的底數真數積與商,

換底推廣：

①log/="—;

log/,a

@logaZ?-logz,c-logf.t7=l;

③log.,,。"=log*；

?logb'"=—]ogb；

na

⑤logIb=-yogab.

技巧三.對數的性質：

①小gaN=N；

②log=N(a>0且awl).

技巧四.求最值

多用一元二次函數或者均值不等式

1.基本不等式成立的條件：a>0,b>0;

2.等號成立的條件：當且僅當a=b.

3.基本不等式的變形：

①a+b>24ab,常用于求和的最小值；

②a64(F)2，常用于求積的最大值；

技巧五.指數對數函數方程：

1.可以借助指數運算進行換元

2.要注意對數取值范圍

3.根據常用指數式、對數式及其性質化簡，

1b

如"ogab=友屋=1,a=ajogal=0Jogaa=l,logaa=4即可求得結果.

My題型提分練

題型1指對化簡運算

【例題1](2023上?江西宜春?高一江西省宜春中學校考期末)計算:

(1)(3廿+(給3+淤-陶8；

,og3

(2)log3V27-log32-log23-66-lgV2-lgV5.

【變式1-1]1.(2022上?云南紅河?高一校考期末)求值：

⑴(93x(—9+gX遮-1—|)3；

(2)lg^-lg85+lg7V5.

【變式1-1]2.(2023上?四川成都?高一校聯考期末)化簡求值(需要寫出計算過程).

Q)(T+(卷+(”3)。；

1+log2

(2)33+Ig5+log32xlog23xIg2.

【變式1-1]3.(2022上?新疆哈密?高一校考期末)計算:

(I)21g2+lg25

_2

ln25

(2)log327-e+(I)-

1_2

⑶G丁*2)。—管尸+0

(4)已知：￡+a4=3,求黑爰

【變式1-U4.(2022上?遼寧阜新?高一校考期末)計算下列各式的值

(l)J(2—n)2

出31唯5+皿您+](3+2夜)

⑶44_（冗+1）。+第

1O3

（4）21og32-log3+log38-25§=

1_2

⑸（丁-（-3。-償尸+（l）

題型2對數換底之用字母表示對數

【例題2]（2022上?黑龍江牡丹江?高一校考期末）已知log?18=a,試用a表示log23=.

【變式2-1]1.（2023下?上海黃浦?高一統考期末）已知3a=2,3》=5,若用a、6表示logfS,則

iog65=

【變式2-1]2.（2023上?上海徐匯?高一統考期末）已知6尢=2'=a（a為常數，且a>0,aK1），則

H=?（用a表示）

【變式2-1J3.（2022上?陜西西安?高一校考期末）已知lg2=a,10》=3,用a、b表示1（^75=.

【變式2-1]4.（2022上?上海徐匚?高一上海市南洋模范中學校考期末）已知log73=a,7〃=2,用a及

b表示log772=.

題型3對數換底之求參

【例題3]（2023上?云南保山?高一騰沖市第一中學校聯考階段練習）若2a=5〃=10,則：+R（）

A.—1B.Ig7C.2D.log710

【變式3-1J1.（2023上云南昆明?高一云南師大附中校考階段練習）已知2機=9"=36，則=（）

A.log618B.|C.1D.log65

m

【變式3-1]2.（2022上?新疆烏魯木齊?高一新疆農業大學附屬中學校考期末）若\=log25，則25耀+5-

的值為（）

A.-B,-C.-D.-

3255

11

【變式3-1]3.（2023上?廣西?高一校聯考期中）已知久>0,y>0,lg2x+IgK=]g2,則x+3y的最小

值是（）

A.4B.10C.12D.16

【變式3-1]4.（2023上福建泉州?高二統考階段練習）已知2,=3,log3；y，則：+y=.

題型4對數換底之恒等式

【例題4]（2023?上海?高一專題練習）若正實數a、b、c均不為1,滿足〃=/=°z,且工+工+工=0,

xyz

則abc的值為

【變式4-1]1.（2023上?江蘇南通?高一統考階段練習）若3,=獷=6z=k,且三+工-1="則實數k的

xyz2

值為

【變式4-1]2.（2023?全國?高一隨堂練習）已知*=3>=12Z力1,求證：々+乙=L

xyz

【變式4-1]3.（2020?高一課時練習）已知a,b,c均為正數，且3a=妙=6。，求證：：+[=|;

【變式4-1]4.（2023上?江蘇南通?高一海安高級中學校考期中）數學運算是指在明晰運算對象的基礎上

依據運算法則解決數學問題的素養，因為運算，數的威力無限；沒有運算，數就只是個符號.對數運算與

指數幕運算是兩類重要的運算.

Q）試利用對數運算性質計算;g（g+黑）的值；

（2）已知x,y,z為正數，若3,=獷=6Z,求上糊值.

【變式4-1】5.（2023?上海?高一專題練習）已知x,y/均為正數，且乎=3〉=6%.

（1）若5久=my,求實數m的值；

（2）求證：工=白—L

xzy

題型5對數換底之求最值

【例題5】（2022上?上海金山?高一統考期末）若logQa+b）=地3病，則a+8b的最小值為.

【變式5-1J1.（2021上?江西景德鎮?高一景德鎮一中校考期末）已知實數x、y，正數a、6滿足/=/=2,

且打去=一3,則1-a的最小值為

【變式5-1]2.（2023上?山東青島?高一統考期中）若。>0,I>0,Iga+Igb=lg（a+b）,則2a式勺最小

值為

【變式5-1]3.（2024上?黑龍江哈爾濱?高一哈九中校考開學考試）已知a>0/b>0/C>0/blog42+

4clog16V2=當,則等+懸最小值為

【變式5-1J4.（2023上?陜西?高一校聯考階段練習）已知a>1,b>1，當b變化時，logU+log,（a2+12）

最小值為4,則a=.

題型6指數方程

【例題6]（2022上?上海寶山?高一上海交大附中校考階段練習）方程尹+|1-3力=5的實數解

為

【變式6-1]1.（2022上?上海楊浦?高一復旦附中校考期末）方程32"-3，+1+2=0的解為.

【變式6-1]2.（2021?上海?高一專題練習）方程8x2,=3--9的解為

【變式6-1]3.（2023?高一課時練習）求方程尹-3，+1-4=0的實數解.

【變式6-1]4.（2020下?高一課時練習）解關于X的方程：“7+4次尸-2（/7-4次尸=1.

題型7對數方程

【例題7]（2019?高一課時練習汜知函數/'⑺=log3x，則方程[/（初2=2-log9（3久）的解集是

【變式7-1]1.（2022下?云南紅河?高一統考期末）方程ln（log2%）=0的解是.

【變式7-1]2.（2022上?江蘇連云港?高一統考期末）方程1嗝（3久+1）=Iog5（/-9）的解為

【變式7-1】3.（2020?高一課時練習）解下列對數方程.

（1）log2Al（54+3%-17）=2；

（2）logx4+log2x=3.

【變式7-1]4.（2020上?高一課時練習）解下列關于x的方程：

(1)log2x-10g34-log59=8；

2

（2）log5（2x+1）=log5（x-2）；

（3）（Igx）2+Igx3-10=0.

題型8指對方程

【例題8】（2023?江蘇高一專題練習）方程log3（9-4）=x+l的實數解為

【變式8-1]1.（2023上?江西贛州?高一江西省信豐中學校考階段練習）方程：2久+1=log3（l-2.3專的

解是

【變式8-1]2.（2021上?上海浦東新?高三上海市建平中學校考階段練習）關于x的方程2,=3至35的解

為

+1

【變式8-1]3.（2020?上海?高一專題練習）方程1唯0+l）log2（2^+2）=2的解為.

【變式8-1J4.（2021?上海楊浦?統考二模）方程log5（4,-11）-1=log5（2*-3）的解為x=.

題型9指對實際應用

【例題9]（2023上?江蘇揚州?高一揚州市新華中學校考階段練習）當把一個任意正實數N表示成N=ax

10n（l<a<10,nGZ）的時候,就可以得出正實數N的位數是n+1,如：235=2.35x102,則235是一

個3位數.利用上述方法，判斷123。的位數是（）（參考數據：Ig2x0.3010,Ig3?0.4771）

A.32B.33C.34D.35

【變式9-1]1.（2023上?湖北宜昌?高一長陽土家族自治縣第一高級中學校考階段練習）某網紅城市鵝城

人口模型近似為P=32e。。15t（單位：萬人），其中t=。表示2015年的人口數量，則鵬城人口數量達到

60萬的年份大約是（）（參考數據：In2x0,693,In3?1.099,In5?1.609）

A.2037年B.2047年

C.2057年D.2067年

【變式9-1]2.（2023上?山西太原?高一太原市外國語學校校聯考階段練習）溶液酸堿度是通過pH計算

的pH的計算公式為pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升.經檢測某飲料中

氫離子的濃度為[H+]=1.25x10-3（令[g2=a）,則此飲料的pH是（）

A.2+2aB.3+2aC.2+3aD.3+3a

【變式9-1J3.（2023上?上海奉賢?高一統考期末）在有聲世界，聲強級是表示聲強度相對大小的指標.其

值y[單位：dB（分貝）]定義為y=10?1g《其中，/為聲場中某點的聲強度，其單位為W/m2（瓦/平方米），

Io=10Tw/m2為基準值則聲強級為60dB時的聲強度Aso是聲強級為50dB時的聲強度之的（）倍.

A.