專題40數(shù)列通項(xiàng)

【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】

一、觀察法

根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察法歸納出其數(shù)列通項(xiàng).

二、利用遞推公式求通項(xiàng)公式

①疊加法：形如an+1=an+f(n)的解析式，可利用遞推多式相加法求得

②疊乘法：形如%(%w0)("N2,〃eN*)的解析式，可用遞推多式相乘求得%

③構(gòu)造輔助數(shù)列：通過變換遞推公式，將非等差(等比)數(shù)列

構(gòu)造成為等差或等比數(shù)列來求其通項(xiàng)公式.常用的技巧有待定系數(shù)法、取倒數(shù)法和同除以指數(shù)法.

④利用S,與4“的關(guān)系求解

形如了(5,5"7)=8(%)的關(guān)系，求其通項(xiàng)公式，可依據(jù)

H("=1)一求出％

"(n>2,n&N)"

【典型例題】

O1

例1.(2024?高三?全國?專題練習(xí))若數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S,則｛%｝的通項(xiàng)公式是()

A.4=(一2尸B.??=(-2yC.。“=(一3尸D.%=(-2嚴(yán)

【答案】A

21

【解析】因?yàn)棰伲?/p>

21

則當(dāng)〃22,〃￡N*時(shí)，②，

22

①一②得：Sn-Sn_x=an=-an--an_x,

整理得：an=—2Q“_I(〃22,〃￡N*),

21

又d=%=§%+§，解得％=i.

所以數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1,公比為-2的等比數(shù)列，

貝U%=1x(—2尸=(-2產(chǎn)

故選：A.

例2.(2024?高三?安徽?開學(xué)考試)已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝滿足。向=黑。"，則”=()

【答案】B

【解析】依題意，?%，則數(shù)列｛2｝是以;為公比的等比數(shù)列，因此”=也.仕］,

所以"=1

為8

故選：B

例3.(2024?高三?甘肅平?jīng)?階段練習(xí))已知數(shù)列｛。,｝滿足％=1,。"=。"_1+3"-2(〃22),則｛a,J的通項(xiàng)公

式為.

【解析】因?yàn)閝=1,a?=0?_1+3?-2（?>2）,

所以=3〃-2（〃22）,

即%—%=4,a3—a2=7,a4—a3=10,L,an_x-an_2=3n-5,

所以％—。〃一i+。〃一1〃一2+—\-ci3—a2+a2—ax=（3i—2+（3?—5+—F74-4,

日n「（3〃一2）+4~|（〃一1）,3nl—n（、

，乙

當(dāng)”=1時(shí)見=他丁也成立，所以g=27，

故答案為：2三.

2

例4.（2024?高二?北京?期中）數(shù)列｛。〃｝中，若q=3,。用=上7。“，貝！|。"=__________.

H+1

3

【答案】-

n

nan

【解析】由題意，q=3,。用=—可得《產(chǎn)0,所以一包=―

n+1%〃+1

aa,an-1n-21r3

所以4-—n……上0”=——x--x---x-x3=-.

an_xan_2axnn-12n

3

故答案為：

n

例5.(2024?高三?全國?專題練習(xí))數(shù)列｛為｝滿足%+2+?+L+&=3"-2("eN*/21),則。，=________

23n

1,77=1

【答案】

2n-y-l,n>2

【解析】令"=?，｛2｝的前〃項(xiàng)和為S”,

因?yàn)橛?§+g+L+2=3"-2,可得S“=3"-2,

23n

當(dāng)〃=1時(shí)，4=Si=31-2二1；

當(dāng)〃22時(shí)，bn=Sn-Si=（3"-2）-（3"T-2）=2?3"、

將〃=1代入上式可得4=2x31=2#1,

IX”=1afl.z?=1[\,n=\

綜上可得"=,門即要=所以%=°7T

[2-3,n>2n[2-3,n>2[2n-3,n>2

故答案為.<V/

暇口木刀.⑵.31/22）.

例6.（2024?高三?全國?專題練習(xí)）已知在正項(xiàng)數(shù)列仇｝中，珀+向+...+阮=嗎北1,則數(shù)列｛6｝的

通項(xiàng)公式為.

2

【答案】an=n

【解析】根據(jù)題意由歷+值+…+〃；=今@可得用+病+…+舊=”力,〃22；

兩式相減可得弧=也曰-蟲曰=n,

所以用"=〃，〃22，即可得為=",〃>2；

易知當(dāng)〃=1時(shí)，用=lx（；+l）=l符合上式;

所以數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式為=n2.

故答案為：。“=/

例7.（2024?高二?陜西西安?期中）在數(shù)列｛〃“｝中，q=1,%=2,且%+囪一=個(gè)》2）,則數(shù)列｛%｝的通

項(xiàng)公式是.

【答案】。"=2"一

【解析】—故｛4｝是等比數(shù)列，4=^=2,故%=1X2"T=2"T.

故答案為：4=2"T

例8.（2024?高二?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛風(fēng)｝中，%=1且%+|==:（〃€四），則為。為（）

1122

A.—B.-C.—D.—

56911

【答案】D

【解析】由。角=3、（"eN*）可得一!一=’+〈，

+2a2

???,.+1n

所以為以,=1為首項(xiàng)，公差為;的等差數(shù)列，

所以'=l+；x9=；,

?io22

2

所以q0=打.

故選：D.

例9.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）公元前6世紀(jì)，希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時(shí)，常常把數(shù)描繪成沙灘

上的小石子，用它們進(jìn)行各式各樣的排列和分類，叫作“形數(shù)”.用3顆石子可以擺成一個(gè)正三角形，同樣用

6顆石子或者10顆石子可以擺成更大的三角形.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10等叫作“三角數(shù)”或“三角形

數(shù)”.同時(shí)他們還擺出了正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)和其他多邊形數(shù).如圖所示即擺出的六邊形數(shù)，那

么第20個(gè)六邊形數(shù)為（）

【答案】C

【解析】六邊形數(shù)從小到大排成一列，形成數(shù)列｛%｝,

依題意，4=1=1x1,%=6=2x3,%=15=3x5,%=28=4x7,%=45=5x9,歸納得=H（2H—1）,

所以出o=78O.

故選：C

例10.（2024?高三?河北張家口?階段練習(xí)）已知數(shù)列1,6,右,77,3,JH,…，則回是這個(gè)數(shù)列的（）

A.第21項(xiàng)B.第22項(xiàng)C.第23項(xiàng)D.第24項(xiàng)

【答案】B

【解析】由題意可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為二I,

XA/43=A/2M-1,解得〃=22,

所以回是這個(gè)數(shù)列的第22項(xiàng).

故選：B.

例11.（2024?高三?全國?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛。"｝中q=1,&=3,且滿足。“+2+3。，=4a,+].設(shè)b“=an+「a“，

〃￡N.

⑴求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

aa3

【解析】（1）an+2+3an=4。用，Z7eN*,-'-?+2-n+i=（%+「%），

b=3"

,:b.=°.+i-4，?+i

又a=出-%=2,.?.數(shù)列｛4｝是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

.??“=2x3""，?GN*.

（2）-4=2x3"、

.".當(dāng)心2時(shí),（=（%-%）+（%-+…X%—%）+4

=bn_x+bn_2+…+4+ax

=2X3"-2+2X3"-3+?..+2X30+1

=2（T）+]=3“T,又％=1也滿足上式，

1-3

所以為=3"T.

例12.（2024?高二?新疆省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí)乂1）已知等差數(shù)列｛。“｝的前〃項(xiàng)和為S",且滿足2%=%+3,

凡=49.求數(shù)列｛見｝的通項(xiàng)公式；

2n

（2）已知數(shù)列｛《,｝滿足％=，%+l%,求通項(xiàng)公式4.

~n+2

【解析】（1）依題意，設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,

2(〃]+2d)=4+3d+3

2〃3=&+3Q[=1

因?yàn)閰^(qū)=7%+苧4=49’解得:

S,=49d=2

所以%=%+(〃一l)d=1+2(〃-1)=2〃-1；

n

(2)ci

n+i〃+2

%+i_幾

ann+2

n-1n-22124

an=—x-^-x-^^-x...x-x^-xq=------x------X...X-X-

an-\an-2an-3。2%肝1n4333K計(jì)，’

4

1

例13.（2024?高三?全國?專題練習(xí)）已知：％=1,時(shí),+2?-1,求｛。“｝的通項(xiàng)公式.

【解析】設(shè)。〃+4〃+5=]["〃-1+所以。〃=務(wù)。〃一--An--A--B

222

又^-4+6=3./.｛。“-4〃+6｝是以3為首項(xiàng)，y為公比的等比數(shù)列，

%-4〃+6=3出?*-an=+4n-6

【過關(guān)測(cè)試】

一、單選題

a幾代

1.（2024?高三?海南省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛?｝滿足3=（T）"+COST，若％=1,則。2023=

anJ

（）

A.-4337B.4337C.*D.

【答案】D

2TI_

【解析】函數(shù)歹=COS^的最小正周期為三二6,

33

所以有。2023=4,”,色■…血型

^*2022

L—.RR7

J=-占

故選：D

2.（2024?福建漳州?一模）已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列｛0｝的前〃項(xiàng)和為邑，若3s“=%+1,則%=（）

a1

1111

A.―一B.——C.-D.-

2323

【答案】A

【解析】因?yàn)?s,=4+1,則3S"M=（+I+1,

a

兩式相減可得：3??+i=a?+i~n，即2%+i=，

令〃=7,可得2a8=—a7,

且。,產(chǎn)0,所以曳=-：.

%2

故選：A.

1Q

3.（202牛高三?天津和平?期末）已知數(shù)列｛。“｝為等比數(shù)列，,為數(shù)列｛風(fēng)｝的前〃項(xiàng)和，a廣洛七,則S4

的值為（）

A.9B.21C.45D.93

【答案】C

1313

【解析】由4=5,+]得

整理得S〃+3=2(Si+3),

13

又q=5岳+：得耳=%=3,

故數(shù)列⑸,+3｝是以6為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列，

所以S"+3=6X2"T,即S"=3X2"-3

所以$4=3x24-3=45.

故選：C.

+1

4.(2024?高一?陜西榆林?期末)已知數(shù)列｛%,｝的前〃項(xiàng)和為S“，a?+l=Sn+T,%=2,則S.=()

A.("+1)2B.(M+1)-2,-1

C.n-2"-'D.n-T

【答案】D

【解析】因?yàn)?=S“+2"+'貝3,+「S"=S〃+2"M,整理得蕭一寸=1,

又q=2,則稱=1,

因此數(shù)列｛興｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，

貝IJ寸=1+(〃-1)X1=〃，所以S“=〃-2”.

故選：D.

二、多選題

5.(2024?高三?全國?專題練習(xí))已知數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和公式為S“=」7,則下列說法正確的是()

A.數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為q=；

「、1

B.數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為見="〃+])

C.數(shù)列｛風(fēng)｝為遞減數(shù)列

D.數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A,因?yàn)?,=—,

77+1

所以當(dāng)〃=1時(shí)，4=H=；,知A正確;

cc〃n-11

對(duì)于B,當(dāng)〃>2時(shí)，％=S〃—S〃_i=—―=~7x,

n+1n〃（〃+1）

,、1

當(dāng)〃=1時(shí)，也滿足上式，故數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=而可，故B正確；

112

對(duì)于CD,%一4=（—"一"

所以數(shù)列｛。,｝為遞減數(shù)列，故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

三、填空題

6.（2024?高三?陜西安康?開學(xué)考試）如圖，三角形數(shù)陣由一個(gè)等差數(shù)列2,5,8,11,14,…排列而成，按

照此規(guī)律，則該數(shù)陣中第10行從左至右的第4個(gè)數(shù)是.

2

58

111417

20232629

【答案】146

【解析】將三角形數(shù)陣的最左邊的一列數(shù)2,5,11,20,…記為數(shù)列｛%｝,觀察分析可得：。用=%+3〃，且6=2.

-H

由=（。”a?-l）+（a?-l~a?-2）---h（a3—。2）+（。2—

=2+3+3x2+3x3+--+3（〃-2）+3（I）

_rn（n-Y）323.

=2+3x---------=—n2——n+2,

222

33

^6zlo=|xlOO-|xlO+2=137,即第10行從左到右的第一個(gè)數(shù)是137,按照規(guī)律，第4個(gè)數(shù)應(yīng)該是146.

故答案為：146.

7.（2024?高三?湖南?開學(xué)考試）若數(shù)列｛。"｝滿足%=8,則%的最小值是.

n

7

【答案】j/3.5

【解析】由已知〃2-%=1，〃3-4=2,…，an-an_x=n-l,n>2,

所以。〃=4+（。2一。1）+（。3一。2）-----（見-an-\）

C1C/1、_〃+16、八

=8+1+2H----F（7?—I）=--------------,〃22,

又見=8也滿足上式，所以（="一；+16,

所以3=士"3=0+2」X口己」=-,當(dāng)且僅當(dāng)〃=4時(shí)取等號(hào),

n2n2n2\2n22

所吟的最小值用.

7

故答案為：-

1

8.（2024?高三?全國?專題練習(xí)）在數(shù)列｛七｝中，a,=—J—,an+x=an+（neN*）,則。2020的值為

2020〃（〃十JJ

【答案】1

1/1_1__1

【解析】因?yàn)镴1=%+而而（"N），可知」一4,

+nn+1

一，曰11

11aa=11

可信。2，

—4=1-23~2~~~^“2020—。20192019-2020

各式相力口可得。2020一。1二1一喘R，即4020一^^二1一1^，所以4020=L

乙U4U4U4U4U

故答案為：1.

9.（2024?高二?上海?期末）若數(shù)歹|J｛4｝滿足％=12,〃〃+i=g+2〃（〃21,〃￡N）,則｛g｝的通項(xiàng)公式是

【答案】氏=+12

【解析】因?yàn)?=12,%=%+2H(H>1,HGN),

所以。2-q=2,%一。2=4,…，an-an_x=2(H-1),n>2,

=a

所以%\+(%一〃1)+(。3一2)"1---------K%一%T)

=12+2+4+…+2(〃-l)=12+2x""；D="2—7+12,n>2,

又q=12也滿足上式，所以a”=I-〃+12.

故答案為：(=/_〃+12.

10.（2024?高二?廣東河源?期末）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足見M=-—a,,,則.=_______.

n+14

?zwvd-t▼48

【答案】y

2n2n

【解析】由。用可得3=^,

M+1ann+1

Qio_Qio佝/%_2x9*2x8*2x72x648

由累乘可得x------=

%a9a8a7a69+18+17+16+1T

故答案為：—

11.（2024?高二?黑龍江牡丹江?期末）己知數(shù)列｛4｝滿足%=1,%=￡，與及=包包，貝38=

32411

【答案】128

【解析】由題意知，—,即吐=4出，又絲=白片°,

所以數(shù)歹！J｛%旦｝是首項(xiàng)為」，公比為4的等比數(shù)列，

432

所以&L=工x4"T=2Tx2*2=2*7,

a“32

(M-1)(2M-9-5)

當(dāng)時(shí)，%=S……歿^22"-9-22n-n……2一$4=2~~=2"-in+\

an-\an-2a\

所以6=27=128.

故答案為：128

12.(2024?高三?廣東江門?階段練習(xí))數(shù)列｛叫中，〃(&+/g)=a”(〃eN*),且為=兀，則見等于.

【答案】g”N*)

。口一。“1a,〃+1凡n/

【解析】由題意可知：—―-=-^—=—=>—=—r〃22,

annannan_xn-\

一，生cd32兀兀

顯然有一=2,—=;=%=不，

q%233

由累乘法可得幺an45nannrm(…

X"Xx——二一x—x…x------=^>—=—=>=——〃wN

。3。4an_x34n-\a333、

.兀人

而％=§付合,

故答案為：y(?eN,)

13.(2024?高三?北京?階段練習(xí))已知等比數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和S,=2"+p,其中〃eN*,peR,則數(shù)列何｝

的通項(xiàng)公式為.

【答案】2"_

【解析】根據(jù)題意，等比數(shù)列｛0〃｝的前〃項(xiàng)和邑=2"+°,

所以4=S[=2+〃，2=§2—H=2,%=?—邑=4,

貝!|(g)2=。e％，即4=(2+P)X4,解得P=-1,

則等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為2-1=1,公比q=g=2,

所以｛%｝的通項(xiàng)公式為an==2"T.

故答案為：2"-1.

S+9

14.(2024?廣東廣州?一模)已知數(shù)列｛與｝的前〃項(xiàng)和S,=/+",當(dāng)」一取最小值時(shí)，n=___________.

an

【答案】3

22

【解析】因?yàn)镾n=1+〃，則當(dāng)〃>2時(shí)，an=Sn-Sn_x=w+w-(M-l)-(w-l)=2w,

又當(dāng)〃=1時(shí)，ax=Sx=2,滿足%=2〃，故4=2〃；

Q

又y=x+*在（1,3）單調(diào)遞減，在（3,+8）單調(diào)遞增；

故當(dāng)〃=3時(shí)，〃+2取得最小值，也即〃=3時(shí)，曳也取得最小值.

n%

故答案為：3.

15.（2024?高二?寧夏中衛(wèi)?階段練習(xí)）數(shù)列｛叫滿足。“=4%T+3（〃22）且4=0,則數(shù)列㈤｝的通項(xiàng)公式

是.

【答案】見=4"一一1

【解析】設(shè)+2=4（%+4）,則a0=4a“_i+32,

又因?yàn)?4%_1+3（〃22）,所以34=3,則4=1,

所以。“+1=4（*+1）,

因?yàn)閝+l=lw0,所以4+1*0,

所以」二1=4為常數(shù)，

%+1

所以｛““+1｝是首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)列，

所以g+1=1X4"T=4"T,所以g=4--1.

故答案為：&=4"7-1

16.（2024?高二?浙江杭州?期中）已知數(shù)列｛4｝的遞推公式%+1=弋，且首項(xiàng)％=1,則與=.

【答案】—In~x

n

【解析】因?yàn)椤！?1=47,且％=1,則。2=TT>0,L,

以此類推可知，對(duì)任意的〃cN*,%〉0，

a11+??111

在等式a=一兩邊取倒數(shù)可得一=—L=一+1,則——-一=1,

n+ia

%+1%+1%%??+ln

所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且其首項(xiàng)為'=1,公差為1,

—=l+（w-l）xl=w,故對(duì)任意的〃EN*，。〃=’.

n

故答案為：—.

n

17.（2024?高二?湖南?開學(xué)考試）若數(shù)列，鳥"是公差為1的等差數(shù)列，且q=4,則%=

2

【答案】64n-4"

【解析】因?yàn)閿?shù)列[g]是公差為1的等差數(shù)列，且％=4,所以=?+==/⑷，故

2"J2"2

2

a2=64,%=n-4".

故答案為：64；島4".

18.（2024?高三?上海閔行?期中）已知月（1嗎），呂（2,出）??￡,（〃,《）、…是直線上的一列點(diǎn)，且q=-2,a^-1.2,

則這個(gè)數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式是.

【答案】6=08.2.8

【解析】設(shè)所在直線方程為：y=kx+b,

*.*—--2,a?——1.2,

[-2=k+bf左=0.8

,19-A,解得'

[―1,2=2左+/?[/?=—2.8

.,.直線方程為：y=0.8x-2.8,

an=0.8〃-2.8,

故答案為：a?=0.8M-2.8.

四、解答題

19.（2024?高三?浙江?開學(xué)考試）已知等差數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，%=2,%+%=5%.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛“｝滿足"=\,anbn=an+2b,l+l[neN*）,求｛4｝的通項(xiàng)公式及其前〃項(xiàng)和S,.

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的公差為d,由%=2,%+%=5%，

得2%+124=5（%+2d）,解得[=3,

所以｛%｝的通項(xiàng)公式為4,

（2）由她=%+2晨得，%■=—

o?an+23n+5

所以4=互.=-..a=_____12_____

ab,-b-24an+lana3（3"+2）（3〃-1）'

,10

乂4=1,所以"-（3.+2）（31）,

由或一（3〃+2）（3"1）

得5=黑115n

2~55~3〃+23〃+2

；，

20.（2024?高二?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛風(fēng)｝中，％=1,—=2,neN,.

（1）求數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)，=log2片+3〃，求數(shù)列的前n項(xiàng)和S”.

%+1_2〃

【解析】（1）因?yàn)椋?1,an-

所以對(duì)=E.St…":%=2'1.2一….21.1=2皿+(”一)=2空(心2),

當(dāng)〃=1時(shí)，q=1滿足上式，

所以%=2丁；

(2)因?yàn)?〃=log2片+3〃=〃(〃一1)+3〃=〃(〃+2),

111/1、

所以互=訴5=51一前)，

所以s=-(l-i+---+---+-———)=—(1+———--------)=——7——V7——37

I么"2324nn+2'22n+\n+242(H+^(?+^,

21.(2024?四川成都?二模)已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為七=當(dāng)⑴.

⑴求數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式

⑵記4=一^,求數(shù)列｛，｝的前〃項(xiàng)和.

anan+\

【解析】（I）?.?數(shù)列的前〃項(xiàng)和為邑=磅羅,

當(dāng)"=]時(shí)q=Sj=lx（；+l）=],

當(dāng)小時(shí)加二與1，

所以，"5.』=磅羅-硬/U，

又當(dāng)〃=1時(shí)，〃"二〃也成立,

???數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=〃.

1111

(2)由(1)可得”7=-----=(4、=-----77，

設(shè)數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為北，

則＜=4+打+&+…+〃

1n

+1__L_i___

22334nn+\n+\n+1

22.(2024?高三?全國?專題練習(xí))已知正項(xiàng)數(shù)列｛。,｝,其前九項(xiàng)和為5"嗎=1-2S“(〃eN*).求數(shù)列｛凡｝的通

項(xiàng)公式：

【解析】因?yàn)椤！?1-2'，所以％=1-2耳=1-2%,得%=；*0,

又由見=1-2S”，得。角=1-25向，

兩式相減，得%+「%=-2%+i，即3%+i=a“，故—=鼻，

所以數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為:，公比為;的等比數(shù)列，

23.(2024?高二?河北邢臺(tái)?階段練習(xí))已知數(shù)列｛叫滿足％+2電+--+嗎,+2.

(1)求｛。”｝的通項(xiàng)公式；

、口aaa1

\+2++n<

(2)證明：(?1+1)(?2+1)(?2+1)(?3+1)-''(??+1)(??+1+1)3-

【解析】(1)當(dāng)〃=1時(shí)，由%+2%■1---卜"”=(n—1),21+1+2,得q=2,

當(dāng)〃22時(shí)，q+2a2T---F僅—1)Q“J=仇—2>2〃+2,

則〃%二,—1)2+1—優(yōu)—2｝2〃=〃2,/.4=2”(z>2),

4=2也適合該式，故4=2"；

冊(cè)=2〃=1____

(2)證明：(%+1)(%+1)一Q"+0(2"M+1)一^^一2叫］，

故-----&-----+------%-----+…+------?------

(%+1)(的+1)(%+i)(%+i)(4+)(q+i+J

-U___OO___O...J_>___

22+1)+^22+123+lJ+(2"+l2"+I+lJ

_￡___1

~3~2"+'+l'

由于〃eN",故2二+i"則

故------------+------------+…+------4------<-

(4+1)(電+1)(。2+1)(%+1)(4+[(4+1+13

24.(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))已知E,為數(shù)列｛%｝的前九項(xiàng)和，且。“+2S”=1.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)]=al+3a2+5a3+--+(2n~l)an,求北.

【解析】(1)當(dāng)〃=1時(shí)，q+2sl=3%=1,可得

%+23=1可得3a〃=a〃_i，則烏-=；,

當(dāng)〃22時(shí),

an-\+2sl=1an-\J

W"｝是首項(xiàng)、公比都為;的等比數(shù)列，

“1

故。〃=以?

(2)由題設(shè)，7；=g+3.1+5.，+…+(2〃-1卜：，

T\1111

3323334I/3〃I)3向

則*=.21:+*：+-+「-(2”力擊，

所以辿=2己+4+2+=+…

3(33233343」飛'T'3

-fl--

=2從"一(2"-1).\L2注,

,1v73,,+1333向

3

所以】=1-皇.

25.(2024?高二?江蘇揚(yáng)州?期末)已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)q=l,前"項(xiàng)和為其，且S向=25“+〃+1(〃eN*).設(shè)

2=%+L

⑴求數(shù)列｛b,,｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)c.=4(iog；J—］數(shù)列｛g｝的前"項(xiàng)和為證明：

【解析】⑴在數(shù)列｛叫中，S?+1=2S?+?+1(?eN-)@,

Sn=2S“T+M(H>2)@,

「

由①-②得：S"S〃=2(S"-S,T)+1,即，a?+1=2??+l(n>2),

所以a角+1=2(q,+1)(〃>2),即bn+l=2b?(〃>2),

在①中令〃=1,得S?=2S]+2,即％+4=2%+2,而％=1,故。2=3.

則出+1=2（。1+1）,即b2=2b1,

又4=%+1=2片0,所以M=2（〃eN*）,

un

所以數(shù)列｛"｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以〃=2"；

2n+\）9

1_

2一，

又因?yàn)镃"=￡彳>0,所以12G=1所以

4〃一1332

26.（2024?高三?河北滄州?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足2%+22g+…+2"Ta“T+2%”=加-3）2""+6.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)“=4+，數(shù)列也｝的前”項(xiàng)和為證明：-<7；,<5.

【解析】（1）由題知，當(dāng)〃=1時(shí)，2%=（2-3）-2.+6=2,則q=1.

又2%+2,2+…+2"%“_,+2"。“=0〃一3）2"口+6.①

當(dāng)時(shí)，2%+22a?+—F2"””[=（2〃—5｝2"+6,②

①-②得2%.=（2“-3｝2"+1+6-（2"-5｝2"-6=^?-1）2",

所以q,=2?-1.

當(dāng)〃=1時(shí)，4=1也適合%=2〃一1.

綜上，數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=2〃-1.

（2〃-1）.2"T

（2）因?yàn)椤?

3"

所以H'+

①

①-②得"+卓+用+

整理得7；=5-（2〃+5）x]|]<5,

因?yàn)?gt;0.所以g?7；<5

27.（2024?高二嘿龍江哈爾濱?期末）已知數(shù)列｛叫的前"項(xiàng)和為邑，且滿足S,=4-a“（"eN*）,等差數(shù)列

｛a｝滿足4=%,。64=1.

⑴求數(shù)列｛6｝,｛"｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)c?=bnSn,求數(shù)列｛g｝的前“項(xiàng)和7；.

【解析】（1）由，=4一%=岳=4一％nq=2,

當(dāng)“22/EN*時(shí)，由S〃=4一%nS“_i=4-an_x,

兩式相減，得知=。1一%=>%=5。〃一1，

因此數(shù)列｛4｝是以2為首項(xiàng)，）為公比的等比數(shù)列，即=

設(shè)等差數(shù)列也｝的公差為d,

因?yàn)?=%=2,所以0x（2+7d）=1=>d=2,因此6.=2+2（〃—1）=2〃,

故""=[T],b"=2n；

（2）由（1）可知知=[],bn=2n,

設(shè)數(shù)列"?,的前〃項(xiàng)和為4,

則有4

?（?+!）/X（1V-3,、門丫7

因此]=8x\’-16+（2+〃｝]=4〃、4"-16+QA+〃）晨.

28.（2024?高三?全國?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S"，且S”=2a〃i.求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

【解析】解:當(dāng)"22時(shí)，%=S"-S"_i=（2/一"）一（2%-〃+1）=2（4“-%）-1,

所以。"=2%_]+1,貝5]。“+1=2（氏_]+1）,而。1=&=2q-ln%=1,

所以q+1=2,故｛%+1｝是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，

所以。"+1=2"=＞。“=2"-1.

29.（2024?高二?福建漳州?期中）設(shè)數(shù)列｛2｝的各項(xiàng)都為正數(shù)，且％產(chǎn)合）

（1）證明數(shù)列[為等差數(shù)列；

⑵設(shè)4=1,求數(shù)列也也M｝的前〃項(xiàng)和s”.

，、b

【解析】（1）由數(shù)列｛，｝的各項(xiàng)都為正數(shù)，且T

1b+1,111,

得「==—=1+二，即7—7=1，

b“+i3b?bebn

所以數(shù)列1是以1為公差的等差數(shù)列；

11

（2）-=1,由（1）得二=〃，

1,111

所以，=一，則bnLbn+l=/,,X=-------77，

〃n磯〃+1）nn+1

o[11111.1n

所以S〃=1--+-++---------7=1-------=----r.

223n九+1n+1n+1

30.（2024?高二?寧夏中衛(wèi)?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝,也｝滿足%=2“+[=24+2用也=2〃-1

（1）證明：為等差數(shù)列，并求｛凡｝通項(xiàng)公式；

nh,、

（2）若%=,，記｛&｝前〃項(xiàng)和為（對(duì)任意的正自然數(shù)“，不等式（＜4恒成立，求實(shí)數(shù)彳的范圍.

【解析】（1）因?yàn)椋ビ?2%,+2角,

所以兩邊同除以2川得：黑=黑+1，即瑞-黑=1，

又因?yàn)閝=2,所以償｝的首項(xiàng)

所以是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,

2〃

所以2~=l+("-l)xl=",所以％