專題07函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性、奇偶性、周期性

【知識點(diǎn)梳理】

1、函數(shù)的單調(diào)性

（1）單調(diào)函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)“X）的定義域?yàn)?,區(qū)間

如果對于。內(nèi)的任意兩個自變量的值X],馬當(dāng)再時，都有/（王）＜/（/），那么就說“X）在區(qū)間。

上是增函數(shù).

如果對于。內(nèi)的任意兩個自變量的值再，x2,當(dāng)X]＜%時，都有/（X[）＜f（x2）,那么就說/（X）在區(qū)間。

上是減函數(shù).

①屬于定義域/內(nèi)某個區(qū)間上；

②任意兩個自變量X],超且王＜工2；

③都有〃占）＜f（X2）或/（%1）＞/（X2）；

④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的.

（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)“X）在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)“X）在區(qū)間。上具有

單調(diào)性，。稱為函數(shù)“X）的單調(diào)區(qū)間.

②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì).

（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增

（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函

數(shù).

2、函數(shù)的奇偶性

函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對于函數(shù)“X）的定義域內(nèi)任意一個X,都有/（-x）=/（x）,

偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱

那么函數(shù)/（X）就叫做偶函數(shù)

如果對于函數(shù)/（X）的定義域內(nèi)任意一個X,都有/（-%）=-/（%）,

奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱

那么函數(shù)/（X）就叫做奇函數(shù)

判斷/（-X）與的關(guān)系時，也可以使用如下結(jié)論：如果/5）-/（》）=0或止2=1（/@）#0）,則函

/（x）

數(shù)/'（X）為偶函數(shù)；如果/（-x）+/（x）=0或=-1（/（x）h0）,則函數(shù)/（元）為奇函數(shù).

/（X）

注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個X,-X

也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱).

3、函數(shù)的對稱性

(1)若函數(shù)y=/(x+a)為偶函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)關(guān)于x=a對稱.

(2)若函數(shù)y=/(x+a)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱.

(3)若“X)=/(2a-x),則函數(shù)/(x)關(guān)于x=a對稱.

(4)若/(x)+/(2a-x)=26,則函數(shù)/(x)關(guān)于點(diǎn)(a,6)對稱.

4、函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：

對于函數(shù)y=/(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有/(x+7)=/(x),

那么就稱函數(shù)y=為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函數(shù)/(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么稱這個最小整數(shù)叫做/(%)的最小正周期.

【方法技巧與總結(jié)】

1、單調(diào)性技巧

(1)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

①取值：設(shè)X],X?是/(X)定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且王<馬；

②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；

③定號：判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；

④得出結(jié)論.

(2)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值一變形一判斷符號一下結(jié)論”進(jìn)行判斷.

②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)

區(qū)間.

(3)記住幾條常用的結(jié)論：

①若"X)是增函數(shù)，則-/(x)為減函數(shù)；若/(x)是減函數(shù)，則-/(x)為增函數(shù)；

②若和g(x)均為增(或減)函數(shù)，則在“X)和g(x)的公共定義域上〃x)+g(x)為增(或減)函

數(shù)；

③若〃x)>0且為增函數(shù)，則函數(shù)77?可為增函數(shù)，一匚為減函數(shù)；

“X)

④若〃x)>0且為減函數(shù)，則函數(shù)/而為減函數(shù)，一—為增函數(shù).

2、奇偶性技巧

(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.

(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.

函數(shù)/(%)是偶函數(shù)o函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；

函數(shù)/(x)是奇函數(shù)o函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱.

(3)若奇函數(shù)y=/(x)在x=0處有意義，則有/(0)=0；

偶函數(shù)y=/(x)必滿足/(x)=/(|x|).

(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱

的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同.

(5)若函數(shù)“X)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)“X)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形

式.記g(x)=1［/(x)+/(-x)］，h(x)=/(-x)］，則/(x)=g(x)+h(x).

(6)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(或多個)函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運(yùn)算所得

的函數(shù)，如/0)+80),/(尤)一8(尤),/(初28(乃,/(無)+8(尤).

對于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇士奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；

奇x(+)奇=偶；奇x(十)偶=奇；偶X(4-)偶=偶.

(7)復(fù)合函數(shù)y=/［g(x)］的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

(8)常見奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)或函數(shù)f(x)=m(^~~-).

②函數(shù)/(刈=±3'-/).

③函數(shù)/(X)=log”葉巴=log“(1+3-)或函數(shù)/(x)=log”三竺=log“(1一-—)

x—mx-mx+mx+m

④函數(shù)/(x)=log”(&+1+x)或函數(shù)/(x)=log,(&+1-x).

注意：關(guān)于①式，可以寫成函數(shù)/(x)=m+3-(xw0)或函數(shù)/(x)=m-2L(meR).

a-1a+1

偶函數(shù)：①函數(shù)/(刈=±3'+/).

②函數(shù)/(x)=log,(*+l)-午.

③函數(shù)/(|x|)類型的一切函數(shù).

④常數(shù)函數(shù)

3,周期性技巧

函數(shù)式滿足關(guān)系(xeR)周期

f(x+T)=f(x)T

/(x+n=-/?2T

f(x+T)=-^--,f(x+T)=--^-

2T

/(x)/(x)

fgT)=f(x-T)IT

/(x+T)=-/(x-r)4T

\f{a+x)=f{a-x)

2(b-a)

[f(b+x)=f(b-x)

\f^a+x)=f{a-x)

2a

[〃X)為偶函數(shù)

/(a+x)=_/("x)

2(b-Q)

{f(b+x)=-f(b-x)

f(a+x)=-f(a-x)

2a

1/(x)為奇函數(shù)

/(a+x)=/(a-x)

4(6-a)

f(b+x)=-f(b-^

J/(a+x)=/(a-x)

4a

[/(x)為奇函數(shù)

f(a+x)=-f(a-x)

4a

1〃x)為偶函數(shù)

4、函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系

(1)若函數(shù)>=/(%)有兩條對稱軸x=a,x=b(a〈b),則函數(shù)/(%)是周期函數(shù)，且T=2(6-q)；

(2)若函數(shù)『=/(%)的圖象有兩個對稱中心(a,c),(仇c)(a〈6),則函數(shù)歹=/(x)是周期函數(shù),且

T=2(6—a)；

(3)若函數(shù)》=/(%)有一條對稱軸x=a和一個對稱中心3,0)(〃<6),則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，且

T=4(b—Q).

5、對稱性技巧

(1)若函數(shù)y=/(x)關(guān)于直線x=〃對稱，貝！J/(q+x)=/(q-x).

(2)若函數(shù)y=/(%)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱,則/(q+x)+/(a-x)=2b.

(3)函數(shù)>=/(4+%)與^=/(4-％)關(guān)于3/軸對稱，函數(shù)y=/(。+工)與^=-/(。-％)關(guān)于原點(diǎn)對稱.

【典型例題】

例1.(2024?北京順義?高三統(tǒng)考期末)已知/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，且%>0,則下列結(jié)論中一定成立的

是()

A./(x0+l)>/(x0)B./(x0+l)</(x0)

C./(x0-l)>/(x0)D.一

【答案】B

【解析】由%>0得，x0+l>x0,結(jié)合/(x)在(0,+<?)上單調(diào)遞減，

則必有/(%+1)</(與)，顯然B正確，A錯誤，

而當(dāng)無。€(0,1)時毛-1<0,不在定義域內(nèi)，故無法比較，C,D錯誤.

故選：B

例2.(2024?全國?高三專題練習(xí))下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()

A.y=x+\B.y=x|x|

C.y=—x3D.y=-L-

X

【答案】B

【解析】對于A選項(xiàng)，函數(shù)y=x+l為非奇非偶函數(shù)，且該函數(shù)在R上為增函數(shù)，A不滿足要求；

對于B選項(xiàng)，設(shè)/■(xhxM，該函數(shù)的定義域?yàn)镽,

f(-x)=-x\-x\=-x\c\=-f)),函數(shù)y=x|x|為奇函數(shù),

(2r>0

因?yàn)?(無)=(X'2-c，所以函數(shù)/(無)在(-8,0]、[0,+00)上都是增函數(shù)，

[-X<0

所以，函數(shù)/(X)在R上為增函數(shù)，B滿足要求；

對于C選項(xiàng)，函數(shù)了=-尤3為奇函數(shù)，且該函數(shù)在R上為減函數(shù)，C不滿足要求；

對于D選項(xiàng)，函數(shù)y=g為奇函數(shù)，且該函數(shù)在其定義域(-8,0)U(0,+8)上不單調(diào)，D不滿足要求.

故選：B.

例3.(2024?四川南充?統(tǒng)考模擬預(yù)測)函數(shù)/00=加儲-尤+1在(-*+co)上是減函數(shù)的一個充分不必要條件

是()

A.m<0B.m<0C.m￡lD.m<\

【答案】A

【解析】/(x)=如？—x+1在(_oo,+oo)上是減函數(shù)，只需要yr(x)=3mx2-1<0ipRi,

若加=0,則/(x)=-1<0,成立；

若加<0,則/'(%)=3/-1是二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，加<0時/口)<0恒成立.

若加〉0,故不成立.

所以，當(dāng)加時，/z(x)<0,而加<0是加工0的充分不必要條件.

故選：A.

—X+2ax^x<1

例4.(2024?陜西商洛?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(%)=「、；1是定義在R上的增函數(shù)，則。的取值范

[(3—〃)x+2,x>l

圍是()

A.[1,3)B.[U]C.[2,3)D.(0,3)

【答案】B

-x2+2ax,x<1,.,,…一，，

【解析】因?yàn)?(%)=、、c，是定乂在R上的增函數(shù),

(3-〃)x+2,x〉l

-->1

-2

所以3-Q>0,解得1<(2<2.

—1+2。K3—a+2

故選：B

例5.(2024?黑龍江齊齊哈爾?高三統(tǒng)考期末)設(shè)函數(shù)/(x)=x|x|-2x,則/(x)()

A.是偶函數(shù)，且在(1,+")上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(-1,1)上單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(-0-1)上單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在(-叫-1)上單調(diào)遞減

【答案】B

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=x|x|-2x的定義域?yàn)镽,J!L/(-x)=-x|x|+2x=-(x||x|-2x)=-/(^)，

所以/(尤)是奇函數(shù),X/(x)=x|x|-2x=作出函數(shù)/(x)圖象如下圖:

-x-2x

由圖知，函數(shù)/'(X)在和(1,+e)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

故選：B

例6.(2024?北京西城?高三北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí))已知定義在R上的奇函數(shù)/(X)滿足：/(X)在

(0,+。)單調(diào)遞增,/(2)=0,/(-1)="3)=1,則不等式-1</(》)<0的解集為()

A.(-l,0)U(2,3)B.(-3,-2)U(O,l)

C.(-2,-l)U(2,3)D.(-3,-2)U(1,2)

【答案】D

【解析】由函數(shù)/(x)是定義R上的奇函數(shù)，可得〃-1)=-7'(1)=1,/(-3)=-/(3)=-1

即〃1)=7且/■(一3)=-1,

又由〃2)=0,可得〃-2)=-42)=0,

因?yàn)閤>0時，〃尤）單調(diào)遞增函數(shù)且為奇函數(shù)，則x<0時，函數(shù)〃x）也是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以不等式-1<〃尤）<0,即為/⑴<〃x）</（2）或/（一3）</（耳</（一2）,

RT1<x<2—3<x<—2,

所以不等式T</（力<0的解集為（-3,-2）U（1,2）,

故選：D.

例7.（2024?全國?高三期末）已知函數(shù)片-爐一2x+3在區(qū)間［〃,2］上的最大值為藍(lán)，貝此等于（）

3111-3

A--B.yc.--D.5或一5

【答案】C

【解析】由函數(shù)八工）=一%2-2工+3=-（無+1）2+4,對稱軸的方程為尤=一1,

當(dāng)aV-1時，則尤=-1時，函數(shù)“X）取得最大值4,不滿足題意；

當(dāng)-1<°W2時，可函數(shù)f（x）在區(qū)間［d2］上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=a時，函數(shù)/（尤）取得最大值，最大值為〃。）=一/-2。+3=?,

13

解得"-彳或"-彳（舍去）.

22

故選：C.

例8.（2024?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)/'（無）=?+cos尤-111卜+7177）在區(qū)間

［-5,5］的最大值是最小值是加，則/（河+以）的值等于（）

7171

A.0B.10C.—D.一

42

【答案】C

【解析】4-gW=COSx-In（x+Vl+x2j,貝!］/（尤）=￡+g（x）,

?\Ax）和g（x）在［-5,5］上單調(diào)性相同,

設(shè)g（x）在［-5,5］上有最大值g（x）max,有最小值g（x）而.

g（-X）=COS尤.1!1卜￥+J1+X2）,

g（x）+g（-x）=cosx/njjjl+x?+x）（jl+x2-十）］=0，

.?名任）在［-5,5］上為奇函數(shù)，，g（無）max+g（尤）min=0，

M=g（x）max+-,m=g（x）min+-,：.M+m=-,

+%)=/⑺=1

故選：c.

fx3+2x2r>0

例9.(2024?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考一模)已知f(x)=<32';為奇函數(shù)，則。=()

[x+ax,x<Q

A.-2B.2C.1D.-1

【答案】A

【解析】當(dāng)x<0時，-x>0,所以/(》)=一〃一月=一[(-4+2(-4]=/一2/,

通過對比系數(shù)得a=-2.

故選：A

例10.(2024?陜西西安?高三統(tǒng)考期末)已知/(無)=log3(x+GT?)+a(aeR)是奇函數(shù)，貝|/(。+5)=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】B

【解析】由函數(shù)/(-x)=log3卜x+4^3)+a,

因?yàn)?(X)是奇函數(shù),所以/(-x)+/(x)=。,

2

即logs(-尤+Jx+9)+a+log3(x+Jx2+9)+4=0,

整理得2a+2=0,解得。=-1,

所以〃“+5)=/(4)=log3(4+V^7?)-l=l.

故選：B.

例11.(2024?陜西西安?統(tǒng)考一模)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足〃x)=〃x+2),則以下說法簿送的是

()

A.〃0)=0

B./(尤)是周期函數(shù)，且2是其一個周期

C./(2025)=1

D./(3)=/(4)+/(5)

【答案】C

【解析】選項(xiàng)A,因?yàn)?⑴是定義在R上的奇函數(shù)，所以〃-0)=/(0)=-/XO),即/'(0)=0,所以選項(xiàng)A

正確，

選項(xiàng)B,由/(x)=〃x+2),知/'(x)是周期函數(shù)，且2是其一個周期，所以選項(xiàng)B正確，

選項(xiàng)C,因?yàn)?(2025)=/(l+2xl012)=/⑴，又/'(-1)=/(-1+2)=/■⑴，/(-I)=-/0).得至V⑴=0,

所以選項(xiàng)C錯誤，

選項(xiàng)D,/(3)=/(I)=0,/(4)+/(5)=/(0)+/(I)=C,所以選項(xiàng)D正確，

故選：C.

例12.(2024?寧夏石嘴山?高三石嘴山市第三中學(xué)校考開學(xué)考試)已知函數(shù)y=/(x)對任意實(shí)數(shù)x都有

/@+2)+/(尤)=2/(1),且/(1一X)+/@-1)=0,則/(2023)=()

A.-2B.-1C.1D.0

【答案】D

【解析】由/(I-x)+/(x—1)=0,

令/則無=1T,可得/(r)+f(T)=0,即/(7)=-〃/),

所以/(-x)=-/(x),可得函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，所以〃0)=0,

又由/(x+2)+/(x)=2/(l),

令x=-l,可得2/⑴=/⑴+/(-1)=0,即/(1)=0,

可得/(x)=-〃x+2),則〃x+2)=-/(x+4),所以/(x)=/(x+4),

可得函數(shù)/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

則/(2023)=/(4x506-1)=/(-I)=一/⑴=0.

故選：D.

例13.(2024?陜西咸陽?咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模)函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x=5對稱,

"5)=4,則/■(一1)=.

【答案】4

【解析】由于函數(shù)了=/(力圖象關(guān)于直線x=1對稱，/(5)=4,

故/(一2)=/(5)=4,又尸為偶函數(shù),故/⑵=/(-2)=4,

則〃T)=〃1)=〃2)=4,

故答案為：4

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.(2024?河南?高三專題練習(xí))已知/(x)=x2,則“再>%2>。”是"/(再)>/(%2)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=/在(0,+8)上單調(diào)遞增，若占>X2>0,則〃占)>/12)顯然成立；

若/(再)>/(》2),則/>￥，則/腐相，不能得出%>々>0,

故“占“2，。”是寸氏下/卜產(chǎn)的充分不必要條件.

故選：A.

2.（2024?廣東?高三學(xué)業(yè)考試）若函數(shù)>=（左-l）x+6在（-8，+8）上是增函數(shù)，則（）.

A.k>\B.k<\

C.k<—1D.k>-1

【答案】A

【解析】因?yàn)榱?（"1）尤+。在（—，+叫上是增函數(shù)，

貝！|左一1>0,即左>1.

故選：A

3.（2024?北京?高三北京市第三十五中學(xué)校考期末）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（

A.y=x+lB.y=-C.y=xcosxD.y=x\x\

x

【答案】D

【解析】A選項(xiàng)，y=x+l,是R上的增函數(shù)，但不是奇函數(shù)，故A錯誤；

B選項(xiàng)，y=工，是奇函數(shù)，但不是增函數(shù)，故B錯誤；

X

C選項(xiàng)，y=/（x）=xcosx,xeR,

v/（-x）=-xcos（-x）=-xcosX=-/（???y=xcosx是奇函數(shù)，

又/（0）=0,/（兀）二兀cos兀=一兀，/⑼>/（兀），

所以y=xcosx不是增函數(shù)，故C錯誤；

（X2Y>0

D選項(xiàng)，y=x\x\=\'一,畫出其圖像，

[-x,x<0

可得y=x|x|既是奇函數(shù)又是增函數(shù).

Vx2-2x—3

4.（2024?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)〃月=][一的單調(diào)增區(qū)間為（）

A.(-℃,-1]B.(f1]

C.[l,+℃)D.[3,+co)

【答案】A

/［\A/X2-2X-3

【解析】因?yàn)?，則/-2x-320,解得xV-1或尤23,

所以/'（x）的定義域?yàn)椋╢,T］U［3,+s）,

又開口向上，對稱軸為x=l,>=〃在［0,+s）上單調(diào)遞增，

所以y=正-2x-3在上單調(diào)遞減，在［3,+8）上單調(diào)遞增，

因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，

z［\Vx2—2x—3

所以/（》）=；在（-叫-1］上單調(diào)遞增，在［3,+8）上單調(diào)遞減，

z-\VX2-2X-3

即/（x）=g1的單調(diào)增區(qū)間為（f-1］.

故選：A.

5.（2024?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（X）=（；『23T的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.（-oo,l）B.（-oo9-2）C.（4,+oo）D.（1,+8）

【答案】A

【解析】函數(shù)“外=（5/3-8的定義域?yàn)镽,函數(shù)〃=/一2》-8在（-鞏1）上單調(diào)遞減，在（1,+⑹單調(diào)遞增，

而函數(shù)y=在R上單調(diào)遞減，因此函數(shù)/（X）在（-8,1）上單調(diào)遞增，在（1,+8）單調(diào)遞減，

所以函數(shù)“X）=（；）*2-8的單調(diào)遞增區(qū)間是（_叱1）.

故選：A

6.（2024?陜西寶雞?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)/（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在（-8,0］上是減函數(shù)，且/（3）=0,

則使得1（無）<0的x的取值范圍是（）

A.B.（3,+oo）

C.（-3,3）D.-3）U（3,+co）

【答案】C

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在（-8,0］上是減函數(shù)，

則函數(shù)/（X）在［0,+8）上為增函數(shù)，

因?yàn)椤?)=。由為，<0可得〃附<〃3),則國<3,解得一3<x<3,

因此，滿足了")<。的》的取值范圍是(-3,3).

故選：C.

7.(2024?遼寧朝陽?高三校聯(lián)考階段練習(xí))函數(shù)/(x)在(-叫位)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若/(1)=-2,則

滿足-2V〃l-x)V2的x的取值范圍是()

A.[0,2]B.[-2,0]C.[1,3]D.[-1,1]

【答案】A

【解析】由"x)為奇函數(shù),得/(-1)=-/(1)=2,

所以不等式-2V〃l-x)W2等價于

又因?yàn)?⑺在(-叫+8)上單調(diào)遞減，

所以121—xN—1,BP0<x<2,

故選：A

8.(2024?全國?模擬預(yù)測)若函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x20時，/(X)^X3+2X2+3.若-2a+l),

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.[-273,4]B.[-4,2]C.[-2,4]D.[-4,273]

【答案】C

【解析】因?yàn)楫?dāng)xNO時，f(x)=x3+2x2+3,則/''(0=3%2+4》=》(3》+4)20,

所以/(x)在[。,+8)上單調(diào)遞增，

又“X)為偶函數(shù)，/(-9)>/(a2-2a+l),所以〃卜9|)+,

則,2-2q+l|w9,BP-9<a2-2a+1<9>解得-24a44.

故選：c.

9.(2024?江蘇徐州?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)已知函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，且在(-8,0]上單調(diào)遞增，/(-1)=0,則

不等式/(2x+l)<0的解集為()

A.(-℃,-1)B.(0,+(?)

C.(-1,0)D.(-oo,-l)u(0,+oo)

【答案】D

【解析】因?yàn)?(X)是偶函數(shù)，且"-1)=0,/(2x+l)<0,

所以“2尤+1)<〃1),

又“X)在(0,+e)上單調(diào)遞減，

所以|2x+l|>l,即2尤+1>1或2尤+1<-1

解得x>0,或x<-l

故選：D

10.(2024?全國高三專題練習(xí))已知函數(shù)人”為R上的減函數(shù)，則滿足/(忖)</(1)的實(shí)數(shù)x的取值范圍

是()

A.(-1,1)B.(0,1)

C.(-l,o)u(o,l)D.

【答案】D

【解析】因?yàn)?'(X)為R上的減函數(shù)，且*

所以W>1,解得尤<-1或X>1,

故選：D.

11.(2024?江蘇南通?高三江蘇省如東高級中學(xué)校考期末)已知函數(shù)/(x)=Jx(x-a)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.a>2B.a>0C.a<2D.a<0

【答案】D

【解析】依題意，Vxe(0,l),x(x-a)W0恒成立,即Vxe(0,l),aWx恒成立，則aVO,

函數(shù)J(x)=Jx(x-a)有意義,則x(x-a”0,解得或x20,

顯然函數(shù)了=x(x-a)在[0,+功上單調(diào)遞增，因此函數(shù)="(i)在[0,+刈上單調(diào)遞增，

從而函數(shù)/(x)=R一幻在(°/)上單調(diào)遞增，

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是

故選：D

12.(2024?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱三中校考期末)已知/(x)為奇函數(shù)，g("為偶函數(shù)，且滿足

/(x)+g(x)=e，+無，則g(x)=()

,ex-e~x「e*+e~xCe*-e-x-2x-e*-e~x+2x

A.-----B.-----C.----------D.----------

2222

【答案】B

【解析】由題意知，“X)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，

貝/(f)=一/0),g(f)=g(x),

,

fxi、J/(x)+g(x)=e*+x[f{x)+g{x)=e+x

17(-x)+g(-x)=eT-x[-/(x)+g(x)=eT-x

X.-x

解得g(x)=T^-

故選：B

13.(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(》)=—二，若〃2a-l)+/(a)<0,則實(shí)數(shù)。的

取值范圍為()

【答案】C

【解析】因?yàn)?(x)=W;的定義域?yàn)镽,且/(_月=工7=-/3,所以函數(shù)“X)為奇函數(shù)；

由隨著x的增大，3工越來越大，3T越來越小，所以3，-3f越來越大，

所以函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增.

/(2?-1)+/⑷<0=>/(2a-l)<-/(a)=>/(2a-l)</(-a)=>2fl-l<-a=>a<^-.

故選：C

14.(2024?廣東茂名?統(tǒng)考一模)函數(shù)y=/(x)和產(chǎn)/(x-2)均為R上的奇函數(shù),若/⑴=2,則“2023)=

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】A

【解析】因?yàn)榱?/(尤-2)為奇函數(shù)，所以y=〃x)關(guān)于(-2,0)對稱,即〃-尤)+〃》-4)=0,

又了=〃x)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則〃-x)=-/(x),有/(x)=/(x-4)n/(x+4)=/(x),

所以了=〃x)的周期為4,故/(2023)=/(-1+2024)=/(-1)=-/⑴=-2.

故選：A

15.(2024?山西?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)以尤戶工必通+時必力+尤”在區(qū)間卜畋㈣上的最

大值為V,最小值為N,則M+N=()

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】A

【解析】設(shè)8(力=尤一2$加+111(7?~71+》)，

因?yàn)間(-&)=-x+2sinx+In(J無2+1-x)=-x+2sinx-In(Jx，+1+x)=-g(x),

所以函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)的圖象相當(dāng)于函數(shù)g(x)的圖象向下平移兩個單位，

所以可得函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,-2)對稱，

由對稱性可知M+N=-4.

故選：A.

16.(2024?全國?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/⑴的定義域?yàn)镽,〃f)==-/(x)若/(，=!，則

)

C.嶼16

D.

55

【答案】A

【解析】由/(1—X)=—/(%),用1+%代X,得/(—%)=—/(1+月),

又/(T)=/(%)，所以/(I+%)=—/('),得/(X+2)-)="(、),

故/(%)的周期為2,

11

5

故選:A.

17.(2024?全國?高三校聯(lián)考階段練習(xí))己知函數(shù)/'(x)為R上的奇函數(shù),/(x)=/(-x+2),且/⑴=一4,

貝IJ/(2023)+/(2024)=()

A.4B.-4C.0D.-2

【答案】A

【解析】由函數(shù)〃尤)為R上的奇函數(shù)，得/(f)=-/(x)且/(0)=0,

由/⑴=-4,得/(-1)=4,又/(x)=/(r+2),得/(一x)=/(x+2),

得/(x+2)=-/(x),故〃尤+4)=-/(x+2)=/(x),所以〃x)的一個周期為4,

則/(2023)+〃2024)=/(-1)+/(0)=4,A正確.

故選：A.

18.(202牛陜西西安?統(tǒng)考一模)已知/(尤)是區(qū)上的奇函數(shù)，且/(尤+2)=-/(同，當(dāng)》目0,1］時，/3=%2+2%,

則/(2023)=()

A.3B.-3C.255D.-255

【答案】B

【解析】由題意可知:/(尤+2)=-/■(無)=/(r)=>/(x+4)=-/(x+2)=/(x),即4為l(x)的一個周期,

所以/(2023)=/(506x4-1)=/(-1)=-人［=7

故選：B

19.(2024?四川瀘州?高三四川省瀘縣第一中學(xué)校考期末)已知定義在R上的函數(shù)/(力，滿足

/(T)+/(X)=2,/(1-X)=/(1+X),若/出=|,則/(2)+/圖=()

【答案】D

【解析】由/(-x)+/(x)=2,知函數(shù)/*)關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱，

由尸(1-X)=H1+X),知函數(shù)/(X)關(guān)于直線x=l對稱，

所以函數(shù)〃x)的周期為4x|l-0|=4.

乂尺)=|，所以"Ji一段J,/(I.小+升小一J/]；)3

=2,

所以/■畀小-1.4-Ik一

又/(0)=1,所以/⑵=/(1-(一1))=4+(-1))=/(0)1,

所以/(2)+/[￡|=1+3=2

故選：D

20.(2024?四川成都?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(無)的定義域?yàn)镽J(x+1)為偶函數(shù)，〃4-x)=/(x),

則()

A.函數(shù)/(無)為偶函數(shù)B.*3)=0

D./(2023)=0

【答案】A

【解析】已知函數(shù)/("的定義域?yàn)镽,/'(X+1)為偶函數(shù)，則〃x+l)=/(-x+l),

函數(shù)圖像關(guān)于直線X=1對稱，有/(力=/(2一句,

又/(4-尤)=/(x),則/(1)=/(2-力,

令2-尤=/,有/(2+。=/⑺，所以函數(shù)周期為2.

/(x)=/(2-x)=/(-x),函數(shù)為偶函數(shù)，A選項(xiàng)正確；

,選項(xiàng)錯誤；

已知中沒有可以求函數(shù)值的條件，BD選項(xiàng)錯誤；

故選：A

21.(2024?山東?高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(無)為I4上的奇函數(shù)，/(1+x)為偶函數(shù),

則()

A./(-2-x)+/(x)=0B./(-x)=/(l+x)

C./(x+2)=/(x-2)D./(2023)=0

【答案】C

【解析】對于A中,函數(shù)/(1+X)為偶函數(shù)，則有〃1+無)=/(1-無)，可得〃2+x)=/(-x),

又由/(尤)為奇函數(shù),貝!］/(一2—耳=-/(2+x)J(』)=-/1),

則有/(一2-尤)=-〃-x),所以x)=—/(x),即/(一2-x)=/p),所以A錯誤；

對于B中，函數(shù)〃l+x)為偶函數(shù)，則有/(l+x)=/(l-x),所以B不正確；

對于C中，由/(2+X)￥(T)=-/(X),則/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以/(x+2)=/(x-2),所以C正確；

對于D中，由/⑴是周期為4的周期函數(shù)，可得〃2023)=/(T+506X4)=/(-1)=-/⑴，其中結(jié)果不一

定為0,所以D錯誤.

故選：C.

二、多選題

22.(2024?新疆烏魯木齊高三烏市八中校考階段練習(xí))若函數(shù)y=f-辦-3,xe［-3,2］的最小值為-8,貝壯

的值為()

14

A.-~—B.—2V5r

9

C.2Vr5D.-

【答案】BD

【解析】函數(shù)y=Y-?一3=(工一券：一3開口向上，對稱軸為x=￡,

2

若一3V5V2,即一6VaV4時了皿加=—3-(=-8，解得a=-2”或a=2石(舍去)，

若1>2,即a>4時，函數(shù)在卜3,2］上單調(diào)遞減，所以了皿=22-2a-3=-8,解得。=|,

若彳<-3,即°<-6時，函數(shù)在卜3,2］上單調(diào)遞增，所以穌^=(-3)2+3°-3=-8,解得°=一斗(舍去)，

綜上可得a=-2后或a=g.

故選：BD

23.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,對任意實(shí)數(shù)x,V滿足：

/(x-v)=/(x)-/(y)+l.且/'(1)=0,當(dāng)x>0時，/(x)<l.則下列選項(xiàng)正確的是()

A./(0)=1B.〃2)=-2

C.為奇函數(shù)D./(X)為R上的減函數(shù)

【答案】ACD

【解析】對于A,由題可知〃0)=/(0)-/(0)+1,故"0)=1,故A正確；

對于B,由題可知/(-1)=/(0)-〃1)+1=2,/(2)=/(1)-/(-1)+1=-1,故B錯誤；

對于C,/(07)=〃0)-〃勾+1=2-八@,故〃=一1],/(耳一1為奇函數(shù)，故C正確;

對于D,當(dāng)玉>馬時，/(x1)-/(x2)=/(x1-x2)-1<0,

>x2,Xj-x2>0,..-x2)-1<0

??J(x)是R上的減函數(shù)，故D正確.

故選：ACD

24.(2024?山西朔州?高三懷仁市第一中學(xué)校校考期末)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

/■(x+2)=-〃x),則下列說法正確的是()

A./(X)的最小正周期為4B./(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱

C./(尤)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱D.7(無)在(-5,5)內(nèi)至少有5個零點(diǎn)

【答案】BCD

【解析】對于A,因?yàn)?(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(x+2)=-/(x),

所以/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

即J(x+4)=/(x),所以/(x)的周期為4,

但「(X)的最小正周期不一定為4,

3兀

如/(x)=sin,滿足/(x)為奇函數(shù),

且/(x+2)=sin3(%+2)=sin(型x+3兀3兀

=-sinx一f(x),

2

而"x)=sin,x]的最小正周期為g,故A錯誤;

對于B,因?yàn)?(力為奇函數(shù),且/(尤+2)=-/(尤),

所以/(x+2)=/(-x),即/'(X)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，故B正確;

對于C由/卜+4)=/(尤),及/(x)為奇函數(shù)可知〃x+4)+/(r)=0,

即/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱，故C正確；

對于D,因?yàn)?⑺是定義在R上的奇函數(shù)，所以"0)=0,

又〃尤+2)=-/(句,〃x+4)=/(x),所以42)=-/(0)=0,/(4)=/(0)=0,

故2)=-〃2)=0,/(-4)=-/(片0,

所以在(-5,5)內(nèi)至少有一4,-2,0,2,4這5個零點(diǎn)，故D正確.

故選：BCD.

25.(2024?海南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且/(x+2)為奇函數(shù)，/(2x+l)為偶函數(shù),

則()

A.函數(shù)〃尤)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對稱B.函數(shù)“X)的圖象關(guān)于直線尤=1對稱

C./(1)+/(7)=0D./(1)+/(2)+/(3)+-+/(2024)=0

【答案】BCD

【解析】對于A中，由/(x+2)為奇函數(shù)得〃一尤+2)+/卜+2)=0,

因此/