專題04三角形的性質與判定

目錄

題型特訓-精準提分

題型01三角形的三邊關系

題型02與三角形有關線段的綜合問題

題型03三角形內角和定理與外角和定理綜合問題

題型04三角形內角和與外角和定理的實際應用

題型05線段垂直平分線和角平分線綜合

題型06特殊三角形的性質與判定

題型07勾股定理、勾股定理逆定理與網格問題

題型08與三角形有關的折疊問題

題型09趙爽弦圖

題型10利用勾股定理解決實際問題

題型11求最短距離

題型12勾股定理逆定理的拓展問題

題型13判斷圖形中與已知兩點構成等腰三角形的點的位置

題型14判斷圖形中與已知兩點構成直角三角形的點的位置

■中考逆襲-高效集訓

（時間：60分鐘）

題型特訓-精準提分

題型01三角形的三邊關系

1.(2023?廣東廣州?廣州市越秀區明德實驗學校校考模擬預測)等腰三角形的一邊長是3,另兩邊的長是關

于x的方程/—10%+k=0的兩個根，則上的值為()

A.21B.25C.21或25D.20或24

2.(2021?甘肅蘭州?模擬預測)如圖，在AABC中，AB=4,AC=2,點。為3C的中點，則的長可能是

)

A.1B.2C.3D.4

3.(2023?河北?統考模擬預測)已知一個三角形的第一條邊長為3a+b,第二條邊長為2a-6

(1)求第三條邊長小的取值范圍；(用含a,b的式子表示)

(2)若a,6滿足|0-5|+(匕-2)2=(),第三條邊長機為整數，求這個三角形周長的最大值

4.(2023?廣東江門?二模)已知關于x的方程口+(3)-2)x-6k=0.

(1)求證：無論k取何實數值，方程總有實數根；

(2)若等腰三角形△ABC的一邊a=6,另兩邊長b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長.

題型02與三角形有關線段的綜合問題

1.(2023?浙江杭州?統考二模)如圖,在RtZkABC中，AABC=90°.

A

(1)若NC=32。，求Nd的度數.

(2)畫N4BC的平分線BD交AC于點D,過點。作DE14B于點E.若4B=3,BC=4,求OE的長.(畫圖工

具不限）

2.（2023?陜西西安?一模）（1）請在圖中過點4畫一條直線，將△ABC分成面積相等的兩部分;

（2）如圖，在平行四邊形4BCD中，請過頂點力畫兩條直線將平行四邊形4BCD的面積三等分，并說明理由;

（3）如圖，農博園有一塊四邊形A8CD空地，其中48=60m,BC=80m,CD=100m,XD=120m,=90°,

點P為邊力。的中點.春天到了，百花齊放，農博園設計部門想在這片空地上種三種不同的花卉，要求三種

花卉的種植面積相等，現規劃，從入口P處修兩條筆直的小路（小路的面積忽略不計）方便游客賞花，兩條

小路將這塊地的面積三等分，請通過計算、畫圖說明設計部門能否實現規劃，若能，請確定小路盡頭的位

置；若不能，請說明理由.

3.（2023?湖北武漢?校考一模）如圖，已知△48C,M為邊4C上一動點，AM^mMC,D為邊BC上一動點,

BD=nDC,交4。于點N.

⑴【問題提出】三角形的三條中線會相交于一點，這一點就叫做三角形的重心，重心有很多美妙的性質,

請大家探究以下問題

若m=n=1,則黑=______（直接寫出結果）

MN

（2）【問題探究】若爪=1,猜想黑與〃存在怎樣的數量關系？并證明你的結論

A

（3）【問題拓展】若m=l,九=2,則=______（直接寫出結果）

S四邊形CDNM

題型03三角形內角和定理與外角和定理綜合問題

1.（2022?安徽?一模）將兩個直角三角板如圖擺放，其中NBC4=NEDF=90。，ZE=45°,乙4=30。，BC與

DE交于點尸，ZC與DF交于點^ABWEF,貝iJ/DPC-NDQC=（）

A.40°B.32.5°C.45.5°D.30°

2.（2022?安徽合肥?二模）如圖是一款手推車的平面示意圖,其中A5〃C。，43=150。，41=30。，貝此2的

70°C.80°D.90°

3.（2023?廣東廣州?統考一模）在“玩轉數學”活動中，小林剪掉等邊三角形紙片的一角，如圖所示，發現得

到的乙1與N2的和總是一個定值.則41+乙2=度.

4.（2022?河北秦皇島?統考一模）如圖，用鐵絲折成一個四邊形A8CZM點C在直線8。的上方），且乙4=70。，

ZBCD=nO°,若使/ABC、/AZJC平分線的夾角/E的度數為100°,可保持NA不變，將N8CD（填

“增大”或“減小”）°.

5.（2022?江西吉安?統考二模）如圖，在AABC中，NA2C的平分線8D交NACB的平分線CE于點O.

（1）求證：zBOC=|z?l+90o.

（2）如圖1,若44=60。，請直接寫出BE,CD,BC的數量關系.

⑶如圖2,ZA=90°,尸是瓦＞的中點，連接PO.

①求證：BC-BE-CD=2OF.

②延長/。交BC于點G,若。尸=2,AOE。的面積為10,直接寫出OG的長.

6.（2023?山東青島?統考一模）【閱讀理解】

三角形內角和定理告訴我們：如圖①，三角形三個內角的和等于180。.

如圖②，在△力BC中，有41+乙48。+4。=180。，點。是48延長線上一點.由平角的定義可得Z71BC+

MBD=180°,所以NCBD=乙4+NC.從而得到三角形內角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰

的兩個內角的和.

A

AAA

【初步應用】

如圖③，點。，E分別是AZBC的邊4B,北延長線上一點，

(1)若44=60。，ZC5D=110°,貝UNACB=°；

(2)若N4=60°,4CBD=110°,貝U/CBD+乙BCE='

(3)若Z71=ni°,貝ikCBD+ABCE=°,

【拓展延伸】

如圖④，點。，E分別是AABC的邊AB,AC延長線上一點，

(4)若乙4=60。，分別作“8。和48%的平分線交于點O,貝此8。。=<

(5)若=60。，分另I］作NC8D和Z_8CE的三等分線交于點。，5.ZCB0=|zC5D,乙BCO=g乙BCE,貝1|

ZBOC=°；

(6)若N4=zn。，分另!J作NCBD和NBCE的〃等分線交于點O,MzCSO=-^CBD,^BCO=-ABCE,貝U

nn

乙BOC=°.

題型04三角形內角和與外角和定理的實際應用

1.(2023?江西吉安?模擬預測)苯分子的環狀結構是由德國化學家凱庫勒提出的.隨著研究的不斷深入，發

現苯分子中的6個碳原子與6個氫原子均在同一平面，且所有碳碳鍵的鍵長都相等(如圖1),組成了一個

完美的六邊形(正六邊形)，圖2是其平面示意圖，貝此1的度數為()

C.110°D.60°

2.（2023?山西太原?模擬預測）綠色出行，健康出行，你我同行.某市為了方便市民綠色出行，推出了共享

單車服務.圖1是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖2是其示意圖，其中AB,都與地面平行,

乙BCD=68°,乙BAC=52°.已知ZM與CB平行，則4Mze的度數為（）

圖1圖2

A.70°B.68°C.60°D.50°

3.（2024.陜西西安.一模）如圖，一束平行于主光軸的光線經凸透鏡折射后，其折射光線與一束經過光心。的

光線相交于點P,點F為焦點.若乙1=155。，Z2=30°,則43的大小為（)

A.45°B.50°C.55°D.65°

題型05線段垂直平分線和角平分線綜合問題

1.（2023?浙江杭州?二模）如圖，AABC中，^BAC=70°,48的垂直平分線與NB4C的角平分線交于點。,

則乙4B。的度數為（）

A

A.35°B.30°C.25°D.20°

2.（2023?山東棗莊?一模）如圖，在RtAABC中，乙4cB=90。，AABC=30°,CD平分N4CB.邊4B的垂直

平分線DE分別交CD,AB于點。，E.下列結論中正確的有（）個

①4871c=60。；②CD<2BE；?DE=AC-,@^2CD=BC+^AB.

3.（2023?山西呂梁?模擬預測）如圖：在A40C中,

（1）實踐與操作：利用尺規作ZB4C的角平分線交BC于點。，作線段4。的垂直平分線EF,交邊48于點E,交

邊4C于點F,交4D于點。（要求：尺規作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）

（2）猜想與證明：連接DE.試猜想線段OE與4F的數量及位置關系，并加以證明.

4.（2023?江蘇連云港?二模）“關聯”是解決數學問題的重要思維方式.角平分線的有關聯想就有很多……

【問題提出】

⑴如圖①，PC是APAB的角平分線，求證：咎=箓

PBBC

p

小明思路：關聯“平行線、等腰三角形”，過點8作BDIIP4交PC的延長線于點。，利用“三角形相似”.

小紅思路：關聯“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等“，過點C分別作CD1P4交P4于點D,作CE1PB交

PB于點E,利用“等面積法”.

請根據小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明.

【理解應用】

(2)如圖②，在RtaZBC中，4c=90。，。是邊BC上一點.連接4。，將△4CD沿2D所在直線折疊，使點C

恰好落在邊48上的E點處，落AC=1,AB=2,則DE的長為.

②

【深度思考】

(3)如圖③，AABC中，AB=6,AC=4,2。為N84C的角平分線.2D的垂直平分線EF交BC延長線于點尸,

連接力F,當BD=3時，力尸的長為.

【拓展升華】

(4)如圖④，PC是AP/1B的角平分線，若4C=3,BC=1,貝必P4B的面積最大值是

p

5.（2022?浙江溫州.模擬預測）已知：如圖，NM4V為銳角，2。平分NM4V,點、B,點C分別在射線4M和4V

上，AB=AC.

備用圖1備用圖2

（1）若點E在線段C4上，線段EC的垂直平分線交直線力。于點尸，直線BE交直線4。于點G,求證：4EBF=

^CAG；

（2）若（1）中的點E運動到線段C4的延長線上，（1）中的其它條件不變，猜想NEBF與NC4G的數量關系并

證明你的結論.

題型06特殊三角形的性質與判定

1.（2023?陜西西安?高新一中校考一模）如圖，在AABC中，AB=45°,NC=30。，則要的值為（）

2.（2024?上海普陀?一模）如圖，△力BC和ADCB都是直角三角形，zBXC=^BCD=90°,AB=AC,AC.

BD相交于點。，如果ND8C=30。，那么。C:4C的值是（）

D

A

BC

B.2-V3C.等D.V3-1

3.(2022?四川綿陽?東辰國際學校校考模擬預測)如圖，在RtAABC中，乙4cB=90。，斜邊48=8,AB經

過原點。，點C在y軸的正半軸上，AC交x軸于點。，且CD:4D=4:3,反比例函數y=三的圖象經過A、B

兩點.

(1)求反比例函數的解析式.

(2)點尸為直線4C上一動點，求BP+OP的最小值.

4.(2023?山西?模擬預測)如圖1,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點。在邊AC上，CDLDE,且

CD=DE,連接BE,取BE的中點F,連接。

(1)請直接寫出ZADF的度數及線段AD與DF的數量關系；

(2)將圖1中的△COE繞點C按逆時針旋轉，

①如圖2,(1)中尸的度數及線段與。P的數量關系是否仍然成立？請說明理由；

②如圖3,連接AF,若AC=3,CD=\,求SAADP的取值范圍.

5.(2021?福建廈門?廈門市第H^一中學校考二模)如圖，\ABC.AADE均為等邊三角形，BC=6,2。=4.將

△4DE繞點4沿順時針方向旋轉，連接BD、CE.

⑴在圖①中證明A2D8三AAEC；

（2）如圖②，當NE4C=90。時，連接CD,求ADBC的面積；

（3）在A4DE的旋轉過程中，直接寫出ADBC的面積S的取值范圍.

6.（2021?江蘇南京?南師附中樹人學校校考一模）如圖1,若的三個頂點D,E,尸分別在△A8C各邊

上，則稱△。跖是△ABC的內接三角形.

（1）如圖2,點。，E,尸分別是等邊三角形ABC各邊上的點，且AO=2E=CR則△。防是△ABC的內

接.

A.等腰三角形

B.等邊三角形

C.等腰三角形或等邊三角形

D.直角三角形

（2）如圖3,己知等邊三角形ABC,請作出△ABC的邊長最小的內接等邊三角形。EE（保留作圖痕跡，

不寫作法）

（3）問題：如圖4,△ABC是不等邊三角形，點。在AB邊上，是否存在△ABC的內接等邊三角形。所？

如果存在，如何作出這個等邊三角形？

①探究1：如圖5,要使△￡）￡/是等邊三角形，只需/EDF=60。，DE=DF.于是，我們以點。為角的頂點

任作NE。尸=60。，且。E交BC于點E,DF交AC于點F.

我們選定兩個特殊位置考慮：位置1（如圖6）中的點尸與點C重合，位置2（如圖7）中的點E與點C重

合.在點E由位置1中的位置運動到位置2中點C的過程中，DE逐漸變大而。尸逐漸變小后再變大，如果

存在某個時刻正好。E=OF,那么這個等邊三角形。EF就存在（如圖8）.理由：是等邊三角形.

②探究2：在8c上任取點E,作等邊三角形。所（如圖9）,并分別作出點E與點3、點C重合時的等邊三

角形。2尸和。CF'.連接尸尸，FF",證明：FF+FF"=BC.

③探究3：請根據以上的探究解決問題：如圖10,ZVIBC是不等邊三角形，點。在A8邊上，請作出△A8C

的內接等邊三角形。EE（保留作圖痕跡，不寫作法）

題型07勾股定理、勾股定理逆定理與網格問題

1.（2022?陜西西安?交大附中分校校考模擬預測）如圖，在9x5的網格中，每個小正方形的邊長均為1,點

A,B,C都在格點上，若8。是/4BC的平分線，則8。的長為（）

C3V10

C.-------D.3V10

2

2.（2021?北京門頭溝.統考二模）圖所示的正方形網格內，點A,B,C,D,E是網格線交點，那么NEC。+

Z.EDC=

3.(2022?江蘇南通?統考二模)如圖，ATIBC的頂點都在邊長為1的正方形網格的格點上.

(l)AABC+^ACB=.

(2)利用正方形網格，證明(1)中的結論.

4.(2022?吉林長春?統考模擬預測)圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網格，每個小正方形的邊長為1,

每個小正方形的頂點稱為格點，線段的端點均在格點上.只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中，以

A8為邊畫三角形.按下列要求作圖：

(2)在圖②中，畫一個直角三角形△A8。，使其面積為

(3)在圖③中，畫一個△ABE,使其面積為至，且N8AE=45。.

4

題型08與三角形有關的折疊問題

1.(2022?重慶大足?統考一模)如圖，在放△A8C中，ZACB=90°,AB=5,AC=3,點。是BC上一動點，

連接AD，將△AC。沿折疊，點C落在點E處，連接。E交于點R當/。仍是直角時，。尸的長為

c

33

A.5B.3C.-D.-

24

2.（2022?廣東汕頭?統考一模）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=8,AB=10,。是AC上一點，且CO

=3,E是BC邊上一點，將△OCE沿折疊，使點C落在點P處，連接BR則BF的最小值為.

A

3.（2023?廣東深圳?模擬預測）在RtAABC中，乙48c=90。，AB=5,BC=12,點。是邊BC上一點（不含2、

C兩個端點），將AaDC沿4。折疊得到△4DC',當。C'所在的直線與△ABC的一邊垂直時，點D到邊4C的距

4.（2023?安徽亳州?三模）如圖，在直角三角形紙片ABC中，4ACB=90°,AC=3,BC=4,點。在邊48上,

以CD為折痕將ACBD折疊得到ACDF,CF與邊4B交于點E,當DF1AB時，BD的長是.

5.(2023?河南商丘.一模)綜合與實踐

綜合實踐課上，老師讓同學們以“三角形紙片的折疊”為主題開展數學活動.

(1)【操作發現】對折△4BCQ4B>4C),使點C落在邊48上的點E處，得到折痕4。，把紙片展平，如圖1.小

明根據以上操作發現：四邊形2EDC滿足DE=DC.查閱相關資料得知，像這樣的有兩組鄰邊分

別相等的四邊形叫作"箏形請寫出圖1中箏形2EDC的一條性質—.

(2)【探究證明】如圖2,連接EC,設箏形AEDC的面積為S.若2D+EC=12,求S的最大值；

(3)【遷移應用】在RtATIBC中，乙4=90。，AB=2,AC=1,點、D,E分別在8C,4B上，當四邊形力EDC是

箏形時，請直接寫出四邊形2EDC的面積.

6.(2023?河南周口?三模)綜合與實踐

【問題背景】

數學活動課上,老師將矩形4BCD按如圖①所示方式折疊，使點4與點C重合,點B的對應點為夕，折痕為EF,

若小CEF為等邊三角形.

AEDAA

￥BC

圖①圖②圖③

(1)請解答老師提出的問題：

試猜想48與4。的數量關系，并加以證明.

【實踐探究】

(2)小明受到此問題啟發，將AABC紙片按如圖②所示方式折疊，使點2與點C重合，折痕為EF,若乙4=

45。,AC=2,

①試判斷重疊部分△CEF的形狀，并說明理由；

②若點。為EF的中點，連接CD,求CD的長；

【問題解決】

（3）小亮深入研究小明提出的這個問題，發現并提出新的探究點：如圖③，在AABC中，將ATIBC折疊，使點

4與點C重合，點。為折痕所在直線上一點，若AB=AC=V5,BC=2,zXCD=45°,請直接寫出線段BD的

長.

題型09趙爽弦圖

1.（2023?山東濟南?統考三模）公元三世紀，我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》題時給出了“趙爽弦

圖”.將兩個“趙爽弦圖”（如圖1）中的兩個正方形和八個直角三角形按圖2方式擺放圍成正方形MNPQ,

記空隙處正方形4BCD,正方形EFGH的面積分別為S「＞S2）,則下列四個判斷：①S1+S2=

-S四邊形MNPQ②DG=24F；③若NEM”=30。，則S[=3S2；④若點A是線段GF的中點，貝U3s1=4S2,其

中正確的序號是

2.（2023?浙江麗水?統考一模）公元3世紀，我國數學家趙爽巧妙地利用面積關系（后人稱“趙爽弦圖”）證

明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形

EFGH組成的大正方形.連結BG、DE,設S正方形必。。=S]，S正方形EFGH=S2，S四邊形BE0G=S3.

AD

BC

（1）若BE=2DH,則tan/EDH=.

（2）若Si=$2+S3,則器的值是.

3.（2022?福建福州?福建省福州延安中學校考模擬預測）我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一

幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）,圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而

成，記圖中正方形4BCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2>S3,如果S1+S2+S3=96,

那么S2的值是—.

圖1圖2

4.(2023?廣東深圳?校聯考三模)中華文明源遠流長，如圖①是漢代數學家趙爽在注解倜髀算經》時給出

的圖形，人們稱之為趙爽弦圖，被譽為中國數學界的圖騰.2002年北京國際數學家大會依據趙爽弦圖制作

了會標，該圖有4個全等的直角三角形圍成幾個大正方形和中間一個小正方形，巧妙的證明了勾股定理.

問題發現：

如圖①，若直角三角形的直角邊BC=3,斜邊力B=5,則中間小正方形的邊長CD=,連接BD,△ABD

的面積為.

知識遷移：

如圖②，P是正方形力BCD內一點，連接P4PB,PC,當乙BPC=90°,BP=VTU時，△P4B的面積為.

拓展延伸：

如圖③，已知NMBN=90。，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，交射線BM,BN分別于2,C兩點.

(1)已知。為線段力B上一個動點，連接CD,過點B作BE1CD,垂足為點E；在CE上取一點尸，使EF=BE；

過點F作GF1CD交BC于點G,試判斷三條線段BE,DE,GF之間的數量關系，并說明理由.

(2)在(1)的條件下，若D為射線BM上一個動點，F為射線EC上一點；當月B=10,CF=2時，直接寫

5.（2023?山東濟寧?統考二模）勾股定理是人類最偉大的十個科學發現之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定

理.在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定

理，創制了一幅“弦圖”（如圖1）,后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今.勾股定理內容為：如果直角三角形

的兩條直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么。2+房=。2.

圖6圖7

（1）如圖2、3、4,以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形

中面積關系滿足&+S2=S3的有個；

（2）如圖5所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別

為I，S2,直角三角形面積為S3,請判斷￡,52,S3的關系并證明；

（3）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這

一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”.在如圖7所示的“勾股樹"的某部分圖形中，設大正方形M的邊長

為定值機，四個小正方形A,B,C,D的邊長分別為a,b,c,d,已知=42=N3=Na,則當Na變化時,

回答下列問題：（結果可用含m的式子表示）

@tz2+b2+c2+d2=；

②b與c的關系為,a與d的關系為.

題型10利用勾股定理解決實際問題

1.（2023?河北秦皇島?統考三模）如圖，點P為觀測站，一艘巡航船位于觀測站P的南偏西34。方向的點A

處，一艘漁船在觀測站P的南偏東56。方向的點B處，巡航船和漁船與觀測站P的距離分別為45海里、60

海里.現漁船發生緊急情況無法移動，巡航船以30海里/小時的速度前去救助，至少需要的時間是（）

2.（2023?遼寧撫順?統考三模）如圖，4B是斜靠在墻上的長梯，4B與地面夾角為a,當梯頂2下滑2m到4時,

梯腳B滑到B',4B'與地面的夾角為。，若tana=￡BB'=2m,貝!JcosS=（）

3.（2023?湖北十堰?統考一模）無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示.將一根長為20cm的細木筷斜放在該杯子

內，木筷露在杯子外面的部分至少有（）

A.5cmB.7cmC.8cmD.11cm

4.（2023?陜西西安?校考二模）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm,底面周長為10cm,

在容器內壁離容器底部3cm的點8處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁,且離容器上沿3cm的點A處,

則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是—.

5.（2023?北京?北京四中校考模擬預測）一塊木板如圖所示，已知4B=4,BC=3,DC=12,AD=13,

NB=90°,求此木板的面積

題型11求最短距離

1.（2023?湖北十堰?一模）如圖，這是一個供滑板愛好者使用的U形池，該U形池可以看作是一個長方體去掉

一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是弧長為12m的半圓，其邊緣4B=CD=20m（邊緣的寬度

忽略不計），點E在CD上，CE=4m.一滑板愛好者從4點滑到E點，則他滑行的最短距離為（）

A.28mB.24mC.20mD.18m

2.（2021?山東臨沂?模擬預測）如圖，在RtZUBC中，ZXCS=90°,AC=10,BC=12,點D是AABC內的

一點，連接4D,CD,BD,滿足N4DC=90。，貝UBD的最小值是（）

3.（2023?湖北十堰?模擬預測）如圖，動點P在矩形ABCD內運動，AB=7,BC=5,且滿足S-BP=10.5,

PA+PB的最小值是.

4.（2023?山東德州?一模）小南同學報名參加了學校的攀巖選修課，攀巖墻近似一個長方體的兩個側面，如

圖所示，他根據學過的數學知識準確地判斷出：從點A攀爬到點B的最短路徑為米.

5.（2022?廣東深圳?三模）某課題組在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數學模型：

直線，同旁有兩個定點4、B,在直線，上存在點P,使得24+的值最小.解法：作點4關于直線/的對稱點

A',連接AB,貝必'B與直線I的交點即為P,且P2+P8的最小值為AB.

圖1圖2

請利用上述模型解決下列問題：

（1）幾何應用：如圖1,等腰直角三角形ABC的直角邊長為2,E是斜邊4B的中點，P是4C邊上的一動點，

則PB+PE的最小值為；

（2）幾何拓展：如圖2,△ABC中，AB=2,ABAC=30。，若在AC、AB上各取一點M、N使+MN的

值最小，求這個最小值_________;

（3）代數應用：求代數式+1+J（4_x）2+4（0＜x＜4）的最小值_________.

題型12勾股定理逆定理的拓展問題

1.（2022?江蘇無錫?二模）已知反比例函數y=|和正比例函數尸"的圖像交于點〃，N,動點P（加，0）在無

軸上.若為銳角三角形，則機的取值為（）

A.-2VMV逐且加#0B.-、用＜相＜逐且加#0

C.二〈根＜-西或愿＜根＜勺D.小或亞＜m＜2

22

2.（2020.貴州安順.中考真題）如圖，在4X4的正方形網格中，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分

別按下列要求畫三角形.

圖1圖2圖3

(1)在圖①中,畫一個直角三角形，使它的三邊長都是有理數;

(2)在圖②中,畫一個直角三角形，使它的一邊長是有理數，另外兩邊長是無理數;

在圖③中,畫一個直角三角形，使它的三邊長都是無理數.

3.（2020?山西?二模）綜合與實踐

問題情境

在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“正方形紙片的折疊”為主題開展數學活動.請你解決活動過程中產生

的下列問題.如圖1,現有正方形紙片A8CD,先對折得到對角線BD,接著折疊使點C落到BD上的點C'處,

再展開，得到折痕BE,連接CE.

觀察計算

（1）在圖1中，襄的值是.

圖1

操作探究

（2）如圖2,在圖1的基礎上，折疊正方形紙片，使點4D分別落到4B,DC邊上的點4,E處，再展開，折痕

為GH,則點C'在折痕GH上嗎？若在，請加以證明；若不在，請說明理由；

圖2

（3）如圖3,在圖2（隱去點4和4E）的基礎上，折疊正方形紙片，使點4B分別落到點A,E處，再展開,

折痕為MN,折痕與GH交于點P,連接，PB,PE,貝甘B和PE之間有何位置關系？并加以證明；

圖3

操作拓展

（4）如圖4,該圖中所有已知條件與圖3完全相同，利用圖4探索新的折疊方法（圖3中產生折痕MN的方

法除外），找出與圖3中點P位置相同的點，該點命名為P',要求只有一條折痕.請在圖4中畫出折痕和必要

線段，標出點P',并簡要說明折疊方法.（不需要說明理由）

4.（2020?內蒙古鄂爾多斯?一模）定義：如圖1,點M、N把線段AB分割成AM、MN和BN,若以AM、MN、

BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段A8的勾股點.已知點M、N是線段AB的勾股點,

若AM=1,MN=2,則8N=

AMNB

圖1

（1）【類比探究】如圖2,OE是A48C的中位線，M、N是邊的勾股點（AM〈MN<NB）,連接CM.

CN分別交。E于點G、H.求證：G、//是線段。E的勾股點.

（2）【知識遷移】如圖3,C,。是線段的勾股點，以C。為直徑畫。。，尸在。。上，AC^CP,連結

PA,PB,若求的度數.

（3）【拓展應用】如圖4,點P（a,6）是反比例函數y=|（x>0）上的動點，直線y=-久+2與坐標軸

分別交于A、B兩點,過點尸分別向尤、y軸作垂線，垂足為C、D,且交線段于E、F.證明：E、尸是

線段A8的勾股點.

題。型。13。判。斷圖形中與已知兩點構成等腰三角形的點的位置

問題分情況找點畫圖解法

分別以點A,B

..……：＜"■..

為圓心，以AB

以AB長為半徑畫圓，

分別表示出點A,B,P

為腰與已知直線的交

i'-A

的坐標，再表示出線段

----------------------------------1點Pl,P2,P3,

禹?…

已知點A,B和直PiP/AP4AB,BP,AP的長度，

P4即為所求

線1,在1上求點P,由①AB=AP；②AB=

使4PAB為等腰作線段AB的垂直BP；③BP=AP列方程

三角形以AB平分線，與已知解出坐標

為底直線的交點P5即

為所求

1.如圖，在3x3的網格中，每個網格線的交點稱為格點.己知圖中4B兩個格點，請在圖中再尋找另一

個格點C,使△ABC成為等腰三角形，則滿足條件的點C有（）個.

A.6B.8C.10D.12

2.（2020?安徽淮北?統考一模）如圖，在矩形4BCD中，4B=4,BC=6,點E是4D的中點，點尸在DC上，且

CF=1,若在此矩形上存在一點P,使得APEF是等腰三角形，則點P的個數是（）

A.3B.4C.5D.6

3.（2021?廣東深圳?統考一模）在平面直角坐標系尤Oy中，A（0,2）,B（0,6）,動點C在直線y=-x上，

若以A、B、C三點為頂點的三角形是等腰三角形，則點C的個數為一.

4.（2022?江蘇南京?統考一模）如圖，M,N是/AQB的邊OA上的兩個點（OMCOAO，ZAOB=30°,OM=

a,MN=4.若邊OB上有且只有1個點尸，滿足△「阿是等腰三角形，則。的取值范圍是.

題。型。14。判斷。圖形中與已知兩點構成直角三角形的點的位置

問題分情況找點畫圖解法

分別過點A,B

以AB作AB的垂線，

分別表示出點A,B,

為直角與已知直線的

P的坐標，再表示出

/邊交點，即為

4/P1P4

線段AB,BP,AP的

所求P1p4

已知點和直線

A,B長度，由①AB2=BP2

以的中點

在上求點使ABQ

1,1P,+AP2；②BP2=AB2

為圓心，為

△為直角三角QA

PAB+AP2；③AP2=AB2

以為半徑作圓，與已

形AB

+BP2列方程解出坐

斜邊知直線的交點

標

P2,P3即為所

—p3

求

1.（2022?河北承德?統考二模）如圖，在由邊長為1的7個正六邊形組成的網格中，點A,8在格點上.若

再選擇一個格點C,使△ABC是直角三角形，且每個直角三角形邊長均大于1,則符合條件的格點C的個數

是（）

A.2B.4C.5D.6

2.（2019?福建?校聯考一模）點A（2,M,B（2,m-5）在平面直角坐標系中，點。為坐標原點.若△48。

是直角三角形，則根的值不可能是（）

A.4B.2C.1D.0

3.（2023?遼寧沈陽?校聯考一模）在平面直角坐標系中，已知點4（-6,0）,B（2,0）,若點C在一次函數y=-|x+

2的圖象上，且△ABC為直角三角形，則滿足條件的C點的個數有一個.

4.（2023?浙江溫州?校考二模）在直角坐標系中，我們把橫縱坐標都為整數的點叫作整點，頂點都是整點的

三角形稱為整點三角形.如圖，已知整點4（0,1）,5（4,0）,請在所在的網格區域（含邊界）畫出符合要求的

（2）在圖2中畫一個AABQ,使點。的橫縱坐標相等，且A4BQ的面積等于3.

中考逆襲-高效集訓

（時間:60分鐘）

一、單選題

1.（2023?山西太原?二模）利用課后服務時間，同學們在操場上進行實地測量.如圖，在力處測得建筑物C在

南偏西60。的方向上，在B處測得建筑物C在南偏西20。的方向上.在建筑物C處測得A,2兩處的視角NC的度

數為（）

B北

A

A.30°B.40°C.60°D.80°

2.（2023?安徽?模擬預測）有一內角是30。的直角三角尺CDE與直尺如圖放置，三角尺的斜邊與直尺交于點

F.若NCDE的平分線DG平行于直尺的短邊4B,則N71FC的度數是（）

3.（2023?陜西西安?模擬預測）圖1為紅斑鐘螺，殼型為圓錐形.多分布在菲律賓、以及我國臺灣墾丁等區

域.現有一個“鐘螺”小擺件，可近似看成圓錐形，圖2為其主視圖，其中AB=13cm,擺件的高度為12cm.現

要在力B上選取一個位置P安裝掛鉤，在該點與C之間布設導線，線路上安裝微型小彩燈，若掛鉤以及導線

連接處等長度損耗忽略不計，則最短線路，即CP的最小值為（）

BC

圖1圖2

A.10cmB.等cmC.事mD.6gcm

4.（2023?河北滄州?模擬預測）如圖，乙4=30°,AB=6,點E,尸在線段4B上，且滿足4E=EF=FB=2,

點P在射線AC上，且PE+PF=5,則滿足上述條件的點P有（）

c

p

A.1個B.2個C.3個D.3個以上

二、填空題

5.（2023?吉林松原?二模）如圖，在AABC中，BC=10,AC=8,zC=30°.若將△ABC沿EF折疊，點A

與邊的點。恰好重合，點、H,G分別在BQ,CD上.將△28C沿EH折疊，點B與點。恰好重合.將△A8C沿

FG折疊，點C與點。恰好重合，則四邊形EFG”的周長為.

A