壓軸題解題模板04

幾何綜合

目錄

?題型剖析?精準提分

題型一線段最值問題

①動點路徑問題

②“胡不歸”問題

③“將軍飲馬”問題

④“造橋選址”問題

題型二：面積平分問題

題型三面積最值問題

好題必刷?強化落實

題型剖析?精準提分

幾何綜合

題型一線段最值問題題型二面積平分㈣題

①動點路徑問題①三角形

②"胡不歸"問題②不規則圖形

③"將軍飲馬'］問題

④"造橋選址”問題題型三面積最值問題

下圖為二次函數圖象性質與幾何問題中各題型的

題型解讀：

考查熱度.

幾何綜合問題在中考中以填空題和解答題

幾何綜合

的形式出現，考查難度較大.此類問題在中考中

多考查面積平分、面積最值和幾何變換的綜合問

題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似

三角形、圓、銳角三角函數、勾股定理、圖形變

換的性質和二次函數的最值等相關知識，以及分

類討論、數形結合、轉化與化歸等數學思想.此

類題型常涉及以下問題：①幾何圖形中的線段最

值問題②探究圖形面積的分割問題；③探究圖形

面積的最值問題.右圖為幾何綜合問題中各題型

的考查熱度.

題型一線段最值問題

分類：①動點路徑問題②“胡不歸”問題③“將軍飲馬”問題④“造橋選址”問題

解題模板:

①動點路徑問題

【例1】(山東濟寧-中考真題)研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉化為平面圖形問題.

(1)閱讀材料

立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角.

例如，正方體ASCD-AB'C'D'(圖1).因為在平面A4'C'C中，CCHAN,AA與相交于點A,所以直

線A5與A4'所成的NR4A就是既不相交也不平行的兩條直線AB與CC所成的角.

解決問題

如圖1,已知正方體ABCD-AB'C'D,求既不相交也不平行的兩條直線與AC所成角的大小.

(2)如圖2,M,N是正方體相鄰兩個面上的點.

①下列甲、乙、丙三個圖形中，只有一個圖形可以作為圖2的展開圖，這個圖形是」

②在所選正確展開圖中，若點M到AB,8C的距離分別是2和5,點N到BO,BC的距離分別是4和3,

尸是上一動點，求PM+/W的最小值.

丙

【答案】(1)60°；(2)①丙；②10

【分析】(1)連接BC',則△ABC為等邊三角形，即可求得既不相交也不平行的兩條直線胸與AC所成

角的大小；

(2)①根據正方體側面展開圖判斷即可；

②根據對稱關系作輔助線即可求得PM+PN的最小值.

【詳解】解：(1)連接3C',

,/AC//AC,BA與AC相交與點A,

即既不相交也不平行的兩條直線及V與AC所成角為NBA'。',

根據正方體性質可得：AB=BC=AC,

.??△ABC'為等邊三角形，

?.ZBAC=6O°,

即既不相交也不平行的兩條直線BA與AC所成角為60。；

(2)①根據正方體展開圖可以判斷，

甲中與原圖形中對應點位置不符，

乙圖形不能拼成正方體，

故答案為丙；

②如圖：作M關于直線AB的對稱點M',

連接MW',與4B交于點尸，連接

貝ljPM+PN=PN+PM'=NM',

過點N作BC垂線，并延長與Af肘交于點E,

,點M到BC的距離是5,點N到BC的距離是3,

NE=8,

:點M到AB的距離是2,點N到BD的距離是4,

二EM，=6,

""NM'=EM'2+NE2=V62+82=10,

故尸M+PN最小值為10.

【點睛】本題主要考查正方形的性質、正方體的側面展開圖、根據對稱關系求最短距離、勾股定理等知識

點，讀懂題意，明確尸河+PN最小時的情況是解題的關鍵.

【變式1T】(山東日照-中考真題)如圖，R3ABC中，/C=90。，以A3為邊在A2上方作正方形

過點。作。交CB的延長線于點R連接BE.

(1)求證：AABgABDF；

(2)P,N分別為AC,BE上的動點，連接AN,PN,若。P=5,AC=9,求AN+PN的最小值.

CPA

【答案】(1)見解析；(2)14

【分析】⑴根據正方形的性質得出BD=AB,/DBA=90。,進而得出NDBF=NCAB,因為/C=/DFB=90。.根

據AAS即可證得結論；

(2)根據正方形的性質AN=DN,如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一條直線上，根據垂線段最短,

作DP」AC,交BE于點Ni,垂足為Pi,則AN+PN的最小值等于DPi=FC=14.

【詳解】(1)證明：?.,RSA8C中，ZC=90°,DFLCB,

；./C=NDFB=90°.

???四邊形是正方形，

：.BD=AB,/DBA=90°,

VZDBF+ZABC^90°,ZCAB+ZABC^90°,

：.ZDBF=ZCAB,

:.△ABWABDF(AAS)；

(2)解：,:AABC出ABDF,

：.DF=BC=5,BF=AC=9,

：.FC=BF+BC=9+5=14.

如圖，連接ON,

：BE是正方形頂點A與頂點D的對稱軸，

：.AN=DN.

如使得AN+PN最小，只需。、N、P在一條直線上，

由于點尸、N分別是AC和BE上的動點，

作。尸/LAC,交BE于點、Ni,垂足為尸/,

所以，4V+PN的最小值等于。P/=FC=14.

【點睛】本題考查正方形的性質，三角形全等的判定和性質，軸對稱-最短路線問題，熟練掌握正方形的性

質是解題關鍵.

【變式1-2】（江蘇連云港-中考真題）如圖，四邊形ABCO為平行四邊形，延長AD到點E,使班=加）,

且

（1）求證：四邊形O3CE為菱形；

（2）若△D3C是邊長為2的等邊三角形，點P、M、N分別在線段BE、BC、CE上運動，求PM+/W的

最小值.

【答案】（1）證明見解析

⑵百

【分析】（1）先根據四邊形ABCD為平行四邊形的性質和DE=AD證明四邊形D3CE為平行四邊形，再根

據即可得證；

（2）先根據菱形對稱性得，得到R0+PN=PM+7W',進一步說明尸河+PN的最小值即為菱形的高，再

利用三角函數即可求解.

【詳解】（1）證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

AAD//BC,AD=BC,

?：DE=AD,

DE=BC,

又：點E在AD的延長線上，

DE//BC,

.?.四邊形DBCE為平行四邊形，

又：BE1DC,

，四邊形DBCE為菱形.

（2）解：如圖，由菱形對稱性得，點N關于8E的對稱點V在DE上,

PM+PN=PM+PN',

當尸、M、V共線時，

PM+PN=PM+PN'=MN',

過點。作D”_L3C,垂足為

DE//BC,

：.MN'的最小值即為平行線間的距離。”的長，

:△￡>3c是邊長為2的等邊三角形，

,在的中，ZDBC=60°,DB=2,sinZ￡>BC=—,

DB

DH=DB.sinZDBC=2x—=5/3,

2

/.PM+PN的最小值為￡-

【點睛】本題考查了最值問題，考查了菱形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，三角函數等知識,

運用了轉化的思想方法.將最值問題轉化為求菱形的高是解答本題的關鍵.

【變式1-3］（2023-四川自貢-中考真題）如圖1,一大一小兩個等腰直角三角形疊放在一起，M,N分別

是斜邊￡）石，AB的中點，。石=2,AB=4.

(1)將ACDE繞頂點C旋轉一周，請直接寫出點M,N距離的最大值和最小值;

(2)將ACDE繞頂點C逆時針旋轉120。(如圖2),求肱V的長.

【答案】(1)最大值為3,最小值為1

⑵近

【分析】(1)根據直角三角形斜邊上的中線，得出CM,CN的值，進而根據題意求得最大值與最小值即可求

解；

(2)過點N作NP1MC,交MC的延長線于點P,根據旋轉的性質求得ZMCN=12伊,進而得出ZNCP=60°,

進而可得CP=1,勾股定理解RtANCRRtAMCP,即可求解.

【詳解】(1)解：依題意，CM=^-DE=1,CN=^AB=2,

22

當聞r在NC的延長線上時，的距離最大，最大值為CM+C7V=l+2=3,

當M在線段CN上時，的距離最小，最小值為OV-C0=2—1=1；

(2)解：如圖所示，過點N作NPLMC,交MC的延長線于點尸,

A

N

D

圖2

：ACDE繞頂點C逆時針旋轉120°,

NBCE=120°,

ZBCN=ZECM=45°,

ZMCN=NBCM-ZECM=ZBCE=120°,

ZNCP=6O°,

：.NCNP=30°,

CP=-CN=1,

2

在RMOVP中，NP=NNC2—C產=如，

在Rt&WNP中，MP=MC+CP=\+\=2,

MN=^NP2+MP-=V3+4=A/7-

【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，旋轉的性質，含30度角的直角

三角形的性質，熟練掌握旋轉的性質，勾股定理是解題的關鍵.

②“胡不歸”問題

【例2】（2023-江蘇泰州-三模）如圖，已知RtAABC中，NC=90°,AC=6,AB=9,E是A3上的一點，8E=5,

點。是線段BC上的一個動點，沿AO折疊AACZ）,點C與C'重合，連接3C'.

A

DB

(1)求證：△AEC'S^AC§；

2

⑵若點產是BC上一點，且2尸=石，求的最小值.

【答案】（1）見解析

⑵|病

ApAC'

【分析】（1）折疊，得到AC/C=6,根據鉆。的值，求出位的值’進而得到記=方‘再根據

ZEAC=ZEAB,即可得證;

27

（2）根據相似的性質得到—BC'=C'E,得到八7+—8<7'=尸。'+￡0￡/，得到當E',C/'三點共線時,

33

2

八7'+§2。'的值最小為E尸的長，過點E作EH工BC于點H,易得ABHES^CA,求出EH的長，禾U用勾

股定理求出E尸的長即可.

【詳解】（1）解：???沿M折疊AAQ,點C與C'重合,

AC'=AC=6,

;AB=9,BE=5,

：.AE=4,

..AE42AC62

AC'~6~3'AB~9~3

.AEAC

ACAB

又/EAC'=/EAB,

：.AAECSAACB；

(2)AAEC^AACB,

.ECAE2

'BC7-AC7-!

2

:.-BC'=EC',

3

2

??.FC+-BC=FC+EC>EF

3

2

???當點E,點C,點尸三點共線時，/+有最小值為石尸的長,

如圖，過點E作EHJ.BC于H,

VZC=90°,AC=6fAB=9,

?*-BC=JAB2—AC2=\81-36=3百，

VZACB=ZEHB=9Q09ZABC=NEBH,

：.AABC^AEBH,

.BEEH_BH

**AB-AC-BC

?_5__E__H___B_H_

*'9-V3Z/5；

?F*l°RW575

33

/.HF=BH-BF=—,

3

EF=-JEH2+HF2=2A/30,

3

尸c+ggc的最小值Ia.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，折疊的性質，勾股定理.解題的關鍵是熟練掌握相似三角

形的判定定理，證明三角形相似.

【變式2TX2023-廣東廣州-二模）如圖①，在四邊形A3CD中，AB=BC=AD,ZABC=90°,ZBAD=60°.

圖1圖2圖3

⑴求/ACD的度數；

(2)如圖②，/為線段CD的中點，連接5F,求證：2BF=CD+戊AB;

(3)如圖③，若O8=SA8=2,線段3C上有一動點連接OM,將AOAW沿所在直線翻折至△<?尸河

的位置，尸為B的對應點，連接B4,PC,請直接寫出4PC+B4的最小值.

【答案】⑴30。

(2)見解析

(3)ioVi7

【分析】⑴如圖1中，連接80.求出NACB=45。，ZBCD=75。,可得結論；

(2)如圖2中，連接3。，延長即到G,4吏得尸G=B尸,在FG上取一點E,使得DE=DC,連接EC.證

明AADC之A3OE(5AS),推出AC=8E=&AB,再證明ZEDG=Z￡GD=15。，推出ED=EG,可得結論；

(3)如圖3中，在A0上取一點K,使得0K=1連接CK.0C.證明/OKSAAOP,推出與=器=:,

推出KP=：PA,推出PC+[PA=PC+PK,由PC+PK2CK,推出當點尸與P'重合時，JAP+PC的值最小，

444

進而可得結論.

【詳解】(1)解：如圖1中，連接BD.

A

圖1

-,-AB=AD,NR4D=60。，

「.△ABD是等邊三角形，

:.ZABD=60°,BD=AB,

?;AB=BC,ZABC=90°,

/.ZDBC=90°-60°=30°,ZACB=ZBAC=45°,BD=BC,

/BCD=ABDC=|x(180°-30°)=75°,

ZACD=ZBCD-ZBCA=75°-45°=30°；

(2)證明：如圖2中，連接30,延長正到G,使得FG=B尸,在FG上取一點石，使得。石=OC,連接

EC.

A

BFLCD,

:.ED=EC=CD,

.?.△EDC是等邊三角形,

..ZADB=ZCDE=60°,

二ZADC=NBDE,

\DA=DB,DC=DE,

/.△ADC^ABDE(5AS),

/.AC=BE=^/2AB，

DF=FC,FB=FG,

，四邊形3DGC是平行四邊形，

BGLCD,

，四邊形3DGC是菱形，

..ZBDC=ZCDG=75°,

?.?ZCDE=60°,

/.ZEDG=15°,ZEGD=15°,

ZEDG=ZEGD=15°,

ED=EG,

;.2BF=BG=BE+EG=AC+CD=?AB+CD;

(3)解：如圖3中，在AO上取一點K,使得OK=；,連接CK,OC

圖3

■：OB=^AB=2,

：.AB=BC=10,OA=8,

■,OB=OP=2,

.??點尸在B尸上運動，設CK交圓弧于點P,連接OP.

?;OP=2,OK=\,AO=8,

2

1.OP?=OKOA,

.OP_OA

一~6K~~OP，

?.?ZPOK=ZAOP,

:APOKS小AOP,

.KPOK

-AP-OP-4'

:.KP=-PA,

4

:.PC+-PA=PC+PK,

4

-：PC+PK>CK,

當點P與P重合時，；AP+PC的值最小，

CK=y/BK2+BC2=^|J+102=,

■■■4PC+PA=4CK=IOA/17

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，等邊三角形

的判定和性質，勾股定理，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題.

【變式2-2](2023-廣東廣州-二模)如圖，菱形ABCD中，ZA=60°,AB=4,點￡、產分別為線段8、

上的動點，點G為邊A8的中點，連接￡F,FG.

⑴求8。的長；

(2)連接BE,若NCEB=2NDEF,求證：EB=CE+DF；

G)若CE=6BF,試求EF+&FG的最小值.

【答案】(1)4

(2)見解析

(3)5夜-卡

【分析】(1)證明△ABD是等邊三角形，即可求解；

(2)延長30至N,使得DN=EC,在CB上取CM=EC,連接證明AOCM2ABCE,可得

ZCDM=ZEBCfDM=EB,證明四邊形EMDN是平行四邊形，可得DM=NE,即可得出=進

而證明NE=NF,即可得證；

(3)將△￡FG繞點G逆時針旋轉90。得到AOPG,連接P尸，則以］后尸G，當三點共線時，

EF+42FG=QP+FP=QF,此時EF+0/G取得最小值，G為A3的中點，當產為05的中點時(或者設

其他點為中點，再證明尸為中點)，過點尸作于點H,勾股定理解直角三角形，即可求解.

【詳解】(1)解：,??菱形ABCQ中，ZA=60°,

:.AB=AD,

;NA=60。，

???△ABO是等邊三角形，

又丁AB=4,

BD=AB=4；

(2)解：如圖所示，延長3。至N,使得DN=￡C,在CB上取CM=EC,連接班

AGB

在ADCM與ABCE中，

DC=BC

<zc=zc

CM=CE

：.小DCM%小BCE

：?NCDM=NEBC,DM=EB

???△AO民"CD是等邊三角形，

：.EM=ND=EC,ZECM=ZCDB=60°,

：.DN//EM,

???四邊形EMDN是平行四邊形，

ANE//DM,DM=NE,

:?EB=EN,

ZCEB=2ZDEF,

設ZCEB=2ZDEF=2a,則ZD￡F=e

在ACEB中，Z.EBC=180。—2(z-60°=120°-2a,

NEBD=60°-ZEBC=2a-60°,

ZMDC=ZEBC=120°-2a

NE//DM

：.ZNEF=ZEDM=120°-2a,

ZNEF=ZNED+ZDEF=120°-2a+a=120°-a

在AAEF中，ZA7^=180-Z^-ZAEF=180o-(2?-60o)-(120o-a)=120°-a

ZNEF=ZNFE,

：.NE=NF,

：.ND+DF=EC+DF=EB■,

(3)如圖所示，連接EG,PC,過點/作Ef/LDC于點b,

將AEFG繞點G逆時針旋轉90。得到AQPG,連接尸F,

則PF=y[2FG，

當Q,P,P三點共線時，EF+y/2FG=Qp+FP=QF,此時EF+&FG取得最小值,

△PbG是等腰直角三角形，

ZGPF=45°,

vQI*三點共線

NQPG=135。，

ZEFG=135°,

為AB的中點，當廠為的中點時，

GF//AD,FB=DB,則C^_LD3,

:.FG=FB,CF=yj3FB.

,/CE=yj3BF

：.CF=CE,

ZDCF=30°

1QQO_3Q。

???ZDFE=ZCFD-ZCFE=90°--------------=15°

2

5LGF//AD,ZADB=60°

：.ZGFD=120°,

：.NG莊=135。，

???當尸是30的中點時，。，尸，尸三點共線,

過點尸作出LCO于點H,

HF=—DF=y[3,EC=FC=—BC=2yj3,HC=—FC=3

222

/.EH=EC-HC=2y/3-3,

222

在RtZXEEH中,EF=>]EH+HF=J（26-3）+MJ=,24-12坦=3也-屈,

'：FG=-AD=2,

2

FQ=EF+V2FG=372-76+2V2=572-76,

即￡尸+應歹6的最小值為5應-?.

【點睛】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的性質與判定，平行四邊形的性質與判定，勾股定理，旋轉

的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

【變式2-3】（廣東廣州-中考真題）如圖，在菱形ABC。中，ZBAD=120°,AB=6,連接8。.

⑴求3。的長；

（2）點E為線段8。上一動點（不與點8,。重合），點F在邊上，且BE=^DF,

①當CELAB時，求四邊形所的面積；

②當四邊形A8EF的面積取得最小值時，CE+gCF的值是否也最小？如果是，求CE+bCF的最小值；如

果不是，請說明理由.

【答案】⑴BD=66；

(2)①四邊形ABE尸的面積為7vL②最小值為12

【分析】(1)證明AABC是等邊三角形，可得2。=3內，即可求解；

(2)過點E作AZ)的垂線，分別交AZ)和8c于點M,N,根據菱形的面積可求出MN=36,設BE=x,

則EN=；x,從而得到EM=MN-EW=36-gx,再由8￡=代。尸，可得。F=*彳，從而得到四邊形

的面積s=S/ABO-S/OEF=普卜-3石『+與1,①當CELAB時，可得點E是△ABC重心，從而得到

BE=CE=|B(9=|X3目=2G,即可求解；②作CHLAD于X,可得當點￡和F分別到達點。和點X位置時,

CF和CE分別達到最小值；再由5=哈1-3石丁+^^,可得當尤=30，即8￡=3超時，s達到最小值,

從而得到此時點E恰好在點0的位置，而點P也恰好在點H位置，即可求解.

【詳解】(1)解：連接AC,設AC與3。的交點為O,如圖，

:四邊形ABCD是菱形，

：.AC±BD,OA=OC,AB//CD,AC平分NOAB,

VZBAD=120°,

N042=60。，

AABC是等邊三角形，

.".BO=AB-sin60°=6x婦=3百，

2

BD=2BO=6A/3；

(2)解：如圖，過點E作AO的垂線，分別交AZ)和3c于點M,N,

「△ABC是等邊三角形，

：.AC=AB=6,

由（1）得：BD-6A/3;

菱形A8CO中，對角線30平分NA8C,AB//CDfBC=AB=6,

:.MNLBC,

VZBAD=120°,

???ZABC=60°,

JNEBN=3U。；

：.EN=^BE

S^ABCD^AC-BD=MN-BC,

:.MN=3E，

設限X,貝|JEN=L,

2

JEM=MN-EN=3V3--X,

2

**S菱形ABCD=AD?MN=6x3y/3=18\/3,

**?S』ABD=5S菱形ABCD=9A/3,

?：BE=6DF,

.BEA/3

??Dk=—i==——x,

V33

2

SADEF=DF>EM=--—x（3y/3--x]=-^-x+-x,

22312J122

記四邊形ABEB的面積為s,

：.s=SAABD-SADEF=9y/3-=*1-3河

:點E在2。上，且不在端點，；.0＜8氏以），即0＜》＜6君;

①當CEL4B時，

OBLAC,

...點E是△ABC重心，

22r-r-

JBE=CE=-BO=—x3百=2百，

33

止匕時S=^（26-36『+^^=76，

當CELAB時，四邊形ABEF的面積為;

②作C//L4Z）于H,如圖，

VCOLBD,CHLAD,而點E和尸分別在2。和AZ）上，

/.當點E和尸分別到達點。和點H位置時，CB和CE分別達到最小值;

在菱形ABCD中，AB//CD,AD=CD,

'：ZBAD=12.0°,

：.ZADC=6Q°,

△ACD是等邊三角形，

：.AH=DH=3,

:.CH=38

2AL27港

$一]2（%/4

???當X=，即BE=3百時，S達到最小值,

YBEfDF,

：.DF=3,

此時點E恰好在點。的位置，而點尸也恰好在點H位置，

二當四邊形ABEF面積取得最小值時，CE和CF也恰好同時達到最小值,

/.CE+V3CF的值達到最小，

其最小值為co+@CH=3+石X36=12.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，二次函數的性質，三角形的重心，解直

角三角形等知識，熟練掌握菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，二次函數的性質，三角形的重心，解

直角三角形等知識是解題的關鍵.

③“將軍飲馬”問題

【例3】

【變式3-1](23-24九年級上-黑龍江大慶-期中)如圖，以矩形Q4BC的頂點。為原點，所在的直線為無

軸，0C所在的直線為V軸，建立平面直角坐標系.已知Q4=3,OC=2,點E是A8的中點，在。4上取

一點、D,將△3D4沿翻折，使點A落在邊上的點尸處.

(1)直接寫出點E、尸的坐標；

(2)連接EF交8。于點G,求△BGE的面積.

(3)在x軸、y軸上是否分別存在點M、N,使得四邊形的周長最小？如果存在，求出周長的最小值

和直線的函數解析式；如果不存在，請說明理由.

【答案】⑴E(3,1)；F(1,2)

(2)A3GE的面積為g

⑶在x軸、y軸上存在點M、N,使得四邊形MNFE的周長最小；

35

四邊形MNFE的周長最小為5+直線肱V的函數解析式：y=―-x+--

44

【分析】(1)根據。4=3,OC=2,點E是A3的中點，即可得到點E的坐標；利用折疊性質可得M="=2,

CF=1,即可得到點尸的坐標；

FGDF2

(2)利用折疊性質可以得到AB=AD=BF=DF=2,DF〃BE,從而得到△DFG^ABEG,-=—,

EGBE1

利用比例性質可以得到，利用同高可以得到上班=；,根據S△舸=1即可求出ABGE的面積；

1、2BEG1

(3)如圖，作點E關于x軸的對稱點為E，，點F關于y軸的對稱點為尸，連接￡尸，E尸與x軸、V軸上

交于點M、點N,此時的點M、N使得四邊形跖VFE的周長最小，利用勾股定理求出EF'=5,EF=^[5,

即可得到四邊形MM花的周長最小值；將點后(3,-1),點r(-1,2),代入>=依+》，利用待定系數法即可求

出直線的函數解析式；

【詳解】(1)解：；0A=3,OC=2,

.?.點A(3,0),點C(0,2),點3(3,2),

丁點E是的中點，

，點E(3,l)；

將ABDA沿3D翻折，使點A落在BC邊上的點尸處.

/.BF=BA=2,CF=1,

點尸(L2)；

(2)沿8。翻折，使點A落在BC邊上的點尸處.

/.ZABD=ZFBD=-x90°=45°,

2

:.AB=AD=BF=DF=2,DF〃BE,

即：/DGF=NBGE,ZFDB=ZGBE

：.ADFGS*EG

FGDF_2

EG~BE

...竺=3,即：*

EG1SABEG1

,?,5A^=|BE-BF=1X1X2=1,

?<_lc_1

??>/\BGE_31ABEF~3，

/.△3GE的面積為1；

(3)在X軸、y軸上存在點M、N,使得四邊形跖VFE的周長最小；

如圖，作點E關于x軸的對稱點為二，點尸關于y軸的對稱點為尸，連接E戶，Eb與無軸、y軸上交于

點/、點N,此時的點M、N使得四邊形正的周長最小；

''七

由對稱性可知：點E'(3,-l),點F(-l,2),ME=ME',NF=NF',

在RtABE尸中，

：BE'=2—(—1)=3,M'=3_(—l)=4,

E'F'=5,

：.ME+MN+NF=ME'+MN+NF'=E'F'=5,

又：EF=y/BE2+BF2=A/12+22=,

BE+MN+NF+EF=5+y/5■,

四邊形MNEE的周長最小為：5+5,

設直線MN的函數解析式、=履+》，

?.?直線經過點已(3,-1),點/(-1,2),代入得：

3k+b=-l

一k+b=2,解得：

35

直線MN的函數解析式…+“

【點睛】本題考查線段長度與點的坐標的轉化，折疊的性質，相似三角形判定與性質及同高轉化面積比，

待定系數法求函數解析式，線段和最小問題的基本解題思路是利用對稱轉化為兩點之間的距離問題，綜合

性較強，熟練掌握折疊性質及線段和最小的方法是解決本題的關鍵.

【變式3-2]（天津西青-一模）如圖①，將一個矩形紙片。4BC放置在平面直角坐標系中，點A的坐標是（3,0）,

點C的坐標是（0,2）,點。的坐標是（0,0）,點E是的中點，在。4上取一點。，將AB/M沿80翻折，

使點A落在3c邊上的點尸處.

（2）如圖②，若點尸是線段ZM上的一個動點（點P不與點。，A重合），過點P作;WLD3于點H,設OP

的長為無，△。尸”的面積為S,請求出S關于x的關系式；

（3）如圖③，在x軸、y軸上是否分別存在點"、N,使得四邊形跖VFE的周長最小？若存在，請求出四

邊形AfiVFE周長的最小值及此時點M、N的坐標；若不存在，請說明理由

【答案】（1）點E的坐標是（3,1）,點尸坐標為（1,2）；（2）S=；_]+：（l<x<3）；（3）存在，在無軸、V

軸上分別存在點N（0,￡|,使得四邊形跖VFE的周長最小，最小值為5+百.

【分析】（1）求出CF和AE的長度即可寫出點的坐標；

（2）用x表示出PD長度，結合三角函數進一步表示DH,PH的長度，運用三角形面積公式即可求解；

（3）作點F關于y軸的對稱點F,點E關于x軸的對稱點日，連接EF交y軸于點N,交x軸于點M,此

時四邊形MNFE的周長最小，求出E，和F的坐標直接求線段長度即可.

【詳解】解：（1）???點A的坐標是（3,0）,點C的坐標是（0,2）,

???OA=3,002,

卞艮據矩形OABC知AB=OC=2,BC=OA=3,

由折疊知DA=DF=OC=2,

AOD=OA-DA=1,

???點F坐標為（1,2）,

???點E是AB的中點，

.\EA=1,

???點E的坐標是（3,1）；

(2)如圖2

?.,將ABDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處，

，BF=AB=2,

.".OD=CF=3-2=1,

若設OP的長為x,

則，PD=x-l,

在RtAABD中，AB=2,AD=2,

/.ZADB=45°,

在RtzxPDH中，PH=DH=DPX2^=^(X-1),

22

.?.S=:xDHxPH=!x巫(x-1)x走(x-1)=---+-(l<x<3)；

2222424

(3)如圖3

作點F關于y軸的對稱點F,點E關于x軸的對稱點日，連接EF交y軸于點N,交x軸于點M,此時四

邊形MNFE的周長最小，

可求，點F(1,2)關于y軸的對稱點F(-1,2),點E(3,1)關于x軸的對稱點日(3,-1),

用兩點法可求直線EF的解析式為：y=-=3x+；5,

44

當x=0時，y=|-,當y=0時，x=g,

N(0,—),M(—,0),

43

此時，四邊形MNFE的周長=EF+EF=J（—1—3）2+（2+iy+J2?+12=5+6;

...在x軸、y軸上分別存在點M、N,使得四邊形MNFE的周長最小，最小為5+6.

【點睛】本題是四邊形的綜合問題，考查了待定系數法求函數解析式以及利用軸對稱求最短路線和勾股定

理等知識，掌握根據對稱轉化為兩點之間的距離的問題是解題的關鍵.

【變式3-3】（陜西寶雞）問題提出

（1）在圖1中作出點8關于直線AC的對稱點Q

問題探究

（2）如圖2,在AABC中，AB=AC=6,ABAC=120°,。為AC的中點，P為線段上一點，求AP+DP

的最小值.

問題解決

（3）如圖3,四邊形A5CD為小區綠化區，DA=DC,NADC=90。，A3=6+6括，BC=12,ZB=30°,

AC是以。為圓心，ZM為半徑的圓弧.現在規劃在AC，邊BC和邊AC上分別取一點尸，E,F,使得

尸+PE+EF+PR為這一區域小路，求小路長度的最小值.

【答案】（1）見解析；（2）36；（3）645+2g

【分析】（1）根據對稱性即可作圖；

（2）作點A關于3C的對稱點4,連接4。交于點尸，此時AP+DP值最小，連接4C,根據圖形的

特點及等邊三角形的性質即可求解；

（3）因為。尸為定值，所以即求PE+EF+EP的最小值，連接。尸，BP,分別以AB,BC所在的直線為對

稱軸作點P的對稱點匕，尸2,連接4心，此時PE+￡F+政的值最小，即為《心長，根據圖形的特點、等

邊三角形的性質與勾股定理即可求解.

【詳解】解：（1）如圖1所示，點8'即為所求.

BC

圖1

(2)如圖2,作點A關于BC的對稱點4,連接4D交BC于點尸，此時AP+DP值最小，連接4c.

ZBAC=120°,

/.ZA'AC=60°.

*/A4垂直平分8C,

AAVC為等邊三角形.

?點。為中點，

A'DIAC,

：.AP+DP=A'D=3y/3.

A

圖2

(3)要求DP+PE+EF+FP的最小值，因為OP為定值，

所以即求PE+EF+FP的最小值.

如圖，連接OP,BP,分別以相，BC所在的直線為對稱軸作點〃的對稱點P2,連接耳鳥，此時

尸￡+￡F+EP的值最小，即為耳舄長.

"?ZABC=30°,

：.NRBP]=60°,

.?.△印8鳥為等邊三角形，即片鳥=期.

BR=BP=BP?,

PyP2=BP,

/.DP+PE+EF+FP的最小值為DP+BP.

當。，P,3三點共線時值最小，

由題知3c=12,AB=6+6也,ZABC=3Q°,

：.AD=DC=6,

DB=而+(6+6圾2=645+2百.

【點睛】此題主要考查軸對稱的應用，解題的關鍵是熟知對稱性、等邊三角形的性質及勾股定理的運用.

④“造橋選址”問題

【例4】（23-全國）有一條以互相平行的直線a,6為岸的河流，其兩側有村莊A和村莊B,現在要在河上建

一座橋梁MN（橋與河岸垂直），使兩村莊之間的路程最短，從作圖痕跡上來看，正確的是（）

【分析】根據軸對稱確定最短路線，即可得到答案.

【詳解】解：根據軸對稱確定最短路線問題，過村莊8作河岸的垂線并且等于河的寬度,

然后與村莊A連接與河岸a相交于一點M,

過點Af作4亞_!_。與6相交于點N,

連接AM、BN,則⑷W+ACV+3N即為最短路徑,

故選：D.

【點睛】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，利用的原理為平行四邊形的對邊相等，難度較大.

【變式4-1】（湖北黃石）已知，在河的兩岸有A,B兩個村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離

AB=10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，

M點為靠近A村莊的河岸上一點，則AM+BN的最小值為（）

A.2屈B.1+3括C.3+歷D.屈

【答案】A

【分析】作BB，垂直于河岸，使BB，等于河寬，連接AB，，與靠近A的河岸相交于M,作MN垂直于另一條

河岸，則MN〃:BB，且MN=BB1于是MNBB，為平行四邊形，故MB，=BN；根據“兩點之間線段最短"，AB,

最短，即AM+BN最短，此時AM+BN=ABl

【詳解】解：如圖，作BB，垂直于河岸，使BB，等于河寬，連接AB，，與靠近A的河岸相交于M,作MN垂

直于另一條河岸，

則MN〃BB，且MN=BB,,

于是MNBB，為平行四邊形，故MB，=BN.

根據“兩點之間線段最短”，AB，最短，即AM+BN最短.

：AB=10千米，BC=l+3+4=8千米，

二在RTAABC中，AC=7AB2-BC2=6，

在RTAABC中，B，C=1+3=4千米，

AB，=7AC2+BC2=2V13千米；

故選A.

c

【點睛】本題考查了軸對稱一最短路徑問題，要利用“兩點之間線段最短”，但許多實際問題沒這么簡單，需

要我們將一些線段進行轉化，即用與它相等的線段替代，從而轉化成兩點之間線段最短的問題.目前，

往往利用對稱性、平行四邊形的相關知識進行轉化.

【變式4-2］（23-24全國）如圖所示，某條護城河在CC處角轉彎，河寬相同，從A處到達B處，須經過兩

座橋（橋寬不計，橋與河垂直），設護城河以及兩座橋都是東西、南北走向的，恰當地造橋可使A到B的路

程最短，請確定兩座橋的位置.

【分析】由于含有固定線段“橋”，需要將點A向下平移至點尸，點B向右平移至點G,構造平行四邊形進

行求解即可.

【詳解】解：如圖所示，

將點A向下平移至點尸，使"的長等于河寬，將點B向右平移至點G,使3G的長等于河寬；連接G尸，

與河岸相交于點E'，D0；過點作DDUCD于點。，過點E'作EEUCE于點E,則DD',EE'即為兩橋

的位置.

【點睛】本題考查了軸對稱一最短路徑問題，由于有固定的長度的線段，常用的方法通過平移，構造平行

四邊形，將問題轉化為平行四邊形的問題解答.

【變式4-3】已知，在河的兩岸有A,B兩個村莊，河寬為1千米，卜、2兩村莊的直線距離42=10千米,

A、8兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修建一座橋垂直于兩岸，M點為靠近A

村莊的河岸上一點，求AM+BN的最小值.

【答案】屈.

【分析】作32'垂直于河岸，使28'等于河寬，連接與靠近A的河岸相交于M,作MN垂直于另一條

河岸，則〃比T且于是夕為平行四邊形，故MB，=BN；根據“兩點之間線段最短“，AB'

最短，即AM+BN最短，此時AM+BN=A8.

【詳解】作8B'垂直于河岸，使88'等于河寬，連接48',與靠近A的河岸相交于作MN垂直于另一

條河岸，

則MN〃BB'且MN=BB'，于是為平行四邊形，

故MB'=BN,

當時，AM+BN最小，

"：AB=10,BC=l+3+l=5,

...在RdABC中，AC=JAB?-BC2=5若，

在RdAB'C中，B'C=5—1=4千米，

AB=VAC2+BC2=A/91.

【點睛】本題考查了軸對稱最短路徑問題，要利用“兩點之間線段最短”,但許多實際問題沒這么簡單,

需要我們將一些線段進行轉化，即用與它相等的線段替代，從而轉化成兩點之間線段最短的問題.目前，

往往利用對稱性、平行四邊形的相關知識進行轉化.

題型二：面積平分問題

解題模板:

根據癱判獻題所屬的面積平分模型

利用模型技巧構造面積平分線

分析幾何特征并根據數量關系列式計算

技巧精講

1:利用中線平分圖形面積的方法

類別問題情境圖示作法

過的頂點力作一條直線，平

過點A作△從8c的中線4。,直線40即為所求直線

分三角形的面積

B小IDC

三角形

A

過△ABC的AC邊上的點F作一條過點A作△AB。的中線4E,連接EF,作40〃EF,

直線，平分三角形的面積連接0F,直線DF即為所求直線

B/DEC

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