專題04基本不等式及其應用

【知識點梳理】

1、基本不等式

如果0>0,6>0,那么向4巴口，當且僅當a=b時，等號成立.其中，*叫作a,b的算術平均

22

數，而叫作a,6的幾何平均數.即正數a,6的算術平均數不小于它們的幾何平均數.

基本不等式1：若a,b￡R,貝!Ja?+/22仍，當且僅當a=6時取等號；

基本不等式2：若則巴吆^屈（或“+622新），當且僅當a=6時取等號.

2

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數，“二定”指求最值時和或積

為定值，“三相等”指滿足等號成立的條件.（2）連續使用不等式要注意取得一致.

【方法技巧與總結】

1、幾個重要的不等式

（1）a2>0（（7GR^,y［a>0（tz>0）,|tz|>0（4ZG7?）.

（2）基本不等式：如果Q/￡R+,則幺（當且僅當“a=6”時取

2

特例：6z>0,tz+—>2;—+—>2（a,6同號）.

aba

（3）其他變形：

①/+/z如4-（溝通兩和a+b與兩平方和1+b2的不等關系式）

2

②成4三絲（溝通兩積時與兩平方和/+/的不等關系式）

2

③MV］一］（溝通兩積成與兩和a+6的不等關系式）

④重要不等式串：疝4?4^|^（。/€火+）即

ab

調和平均值V幾何平均值W算數平均值V平方平均值（注意等號成立的條件）.

2、均值定理

已知x,yeR+.

（1）如果x+y=S（定值），則孫V［苫■口="（當且僅當“x=y”時取“="）.即“和為定值，積有最

大值”.

(2)如果刈=P(定值)，則尤+了22歷=2介(當且僅當“x=y”時取即積為定值，和有最

小值”.

3、常見求最值模型

模型一：mx+—>2\lmn(m>0,n>0),當且僅當x=J”時等號成立；

xVm

模型二：mxH——--=m(x-a)-\——-——I-ma>2y[mn+ma(m>0,n>0),當且僅當x-Q=時等號成立；

x-ax-aVm

模型三：———=--—V——(?>0,c>0),當且僅當時等號成立；

ax+bx+c.￡2y/ac+bVa

CLJvIDAI

X

轉用Irm/\mx(H-mx)1,mx+n-mx2?/八八八〃、止口e止〃□4生

模型四：x(ji-mx)=--------------<—?(---------------)X=——(m>0,?>0,0<x<—),當且僅當％二——時等

mm24mm2m

號成立.

【典型例題】

例1.(2024?北京大興?高三統考期末)已知a>b>0且漏=10,則下列結論中不正確的是()

A.lga+lgb>0B.Iga-lg&>0

1Iga,

C.\ga-\gb<-D.—>1

4Igb

【答案】D

【解析】對A：lga+lg6=lgab=l>0,故A正確；

對B：由a>6>0,則lga>lgb,故lga-lgb>0,故B正確；

對C：由lga+lgb=lgab=l,故lga.lg641ga；lgbj,

當且僅當a=b=&6時等號成立，由a>6>0,故等號不成立，

即lga-lgb<!，故C正確；

對D：當a=100、6=0.1時，符合題意，

但此時粵=3=-2<1,故D錯誤.

lgb-1

故選：D.

例2.(2024?全國?高三專題練習)下列不等式證明過程正確的是()

A.若。,6eR,貝心+率=2

ab\ab

B.若x>0,歹>0,則lgx+lg”2如TH口"

C.若xVO,貝lJx+±2—2]x?±=—4

XVX

D.若xVO,則2"+2一">2也匚F=2

【答案】D

【解析】???。尚可能為負數，如2=：=-1時,-+y=-2,.?.A錯誤;

ababab

,.,lgx,lgy可能為負數，如lgx=lgy=-1時，Igx+lgy=—2,4/lgx」gy=2,...B錯誤；

444

*/x<0,—<0,如％=—1,—=—4時，xH—=—5<—4,?,?C錯誤；

xxx

x<0,2XG（0,1）,2r>1,12%+2r>2也.2-“=2，當且僅當2“=2一"，即x=0等號成立,AD正確.

故選：D.

例3.（2024?湖北武漢?高三統考期末）已知正數。，6滿足〃+26=1,則（）

7171C71八71

A.ab>—B.ab>—C.0<ab<-D.0<ab<—

8888

【答案】C

【角軍析】由題意得，a>0,b>0,則a+2b=122>J2ab,即〈三，

o

當且僅當。=2b,即。=：時等號成立.

24

故選：C

31Y

例4.（2024?全國?高三專題練習）已知%>0,J7>0,且一+—=1,則2x+>+—的最小值為（

x>y

A.9B.10C.12D.13

當且僅當型=在，即x=y=4時，等號成立.

xy

故選：D.

例5.（2024?甘肅武威?高三統考期末）若。>0,%>0,且。+助=仍，則2a+b的最小值為（）

A.6B.9C.4D.8

【答案】B

【解析】因為。+2b=ab,所以空F=2+!=1，

abab

因為2?=（2°+叱+）=5+寧4*+^f=￡,

當且僅當殳=與，即“=6=3時，等號成立,

ab

所以2a+6的最小值為9,

故選：B.

12

例6.（2024?全國?高三專題練習）已知正實數D滿足x+2尸1,則右+Q的最小值為（）

34

A.-+V2B.D.—

2215

【答案】C

【解析】由題可得,x+2y=l,貝lj(x+l)+2(y+l)=4,

所以W+Ark+Li+j+二i[(x+i)+2(y+i)]

2(y+l)?2(x+l)1Q+l)2(x+l)9

5+>—5+2

=1x+1y+14x+1y+14

當且僅當號苧=彳*,即時,取得等號,

故選:C.

例7.（2024嘿龍江哈爾濱?高三哈九中?？奸_學考試）已知正實數冽，〃滿足根+〃=1,則詬+6的最大

值是（）

CV2

A.2B.V2Vz.----D

2-I

【答案】B

4+/+廿_(a-b)〃+6[2</+加

【解析】由于

24F)~2~

2

y/~m+5、m+n

所以<-------=1,

I2J2

；時等號成立.

即癡+而《后，當且僅當加=〃=

故選:B.

例8.（2024?山西運城?高三校考期末）某合作社需要分裝一批蔬菜.已知這批蔬菜只由1?名男社員分裝時,

需要12天完成，只由一名女社員分裝時，需要18天完成.為了讓市民盡快吃到這批蔬菜，要求一天內分裝

完畢.由于現有的男、女社員人數都不足以單獨完成任務，所以需要若干名男社員和若干名女社員共同分裝.

已知分裝這種蔬菜時會不可避免地造成一些損耗.根據以往經驗，這批蔬菜分裝完畢后，參與任務的所有男

社員會損耗蔬菜共80千克，參與任務的所有女社員會損耗蔬菜共30千克.則參與分裝蔬菜的男社員的平均

損耗蔬菜量（千克）與女社員的平均損耗蔬菜量（千克）之和的最小值為（）

A.10B.15C.30D.45

【答案】B

【解析】設安排男社員x名，女社員了名，

根據題意，可得義+三=1，平均損耗蔬菜量之和為四+型，

1218xy

膽+型/型+嗎3+上雪92￡>2卬

'xy（xyJU218j9x2y3一1%2y3

?=15,當且僅當誓=芋，即x=8,y=6時等號成立，

339x2y

則分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與女社員的平均損耗蔬菜量（千克）之和的最小值為15.

故選：B.

例9.（2024?重慶?高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知x>0,y>0,向量3=（x,y）,3=（2,1）,萬Z=1,則孫

的最大值為.

【答案】1/0.125

O

［解析］由題意知^=（%/）石=（2,1）,無3=1,故2x+y=l,

又x〉0/〉0,所以l=2x+y2引^,

故孫4）,當且僅當2x=y,結合2x+y=l,即2x=y=：時取等號，

o2

故孫的最大值為，，

O

故答案為：:

O

例10.（2024?全國.高三專題練習）函數/（X尸c歹3在（1,+8）上的最大值為_______________.

2x-x+1

【答案】|3

3X-3

【解析】因為/（工尸:^——-，、￡（1,+8）,令x—l=3貝卜>0,

2x-x+1

\3，3，3,33

t）—----------------------------------------=-------------<———=—

則八,（）2）九+-

2Z+l-0+l+l2/+22Z+3+27,

t\t

2

當且僅當2/=*,:1即％=2時，等號成立.

t

故/⑺的最大值為，3

3

故答案為：—

例11.（2024?全國?高三專題練習）若實數無、了滿足x+2y=l,則7+4"的最小值為.

【答案】2V2

【解析】2'+4>N2A/2,x平=252*x3=為右2y=奶,當且僅當x=2y,

即x=；,y=q時取到等號.

故答案：2vL

【過關測試】

一、單選題

1.（2024?全國?高三專題練習）若。>0/>0,則下列不等式中不成立的是（）

A.a2+b2>2abB.a+b>2y[ab

1111

C.a0+b0>—（a+b）0D.-+-<-----（awb）

2aba-b

【答案】D

【解析】因為顯然有/+/）22，故A正確；

而。〉0,6>0,所以a+bN2?E,故B正確；

Xa2+i2-1（a+*）2=|a2+1^>2-=1（a-A）2>0,所以/+6）?,故C正確；

1131

不妨令。=2,6=1,則士+亞①一^之①4），故D錯誤.

ab2a-b

故選：D.

2.（2024?全國?高三專題練習）已知實數。也。滿足且"c<0,則下列不等關系一定正確的是（）

A.ac<bcB.ab<ac

…bc入ba>

C.-+->2D.-+->2

cbab

【答案】C

【解析】因為a<6<c且abc<0,所以a<0<6<?；騋<Z?<C<0,

對A：若a<0<6<c,貝ijacvbc,若a<b<c<0,貝ljac〉bc,A錯誤；

對B：":b<c,a<0,ab>ac,B錯誤；

對C：由或,知一>0且6<c,2./—x—=2,C正確；

ccb\cb

對D：當a<0<6<c時，有2<0,從而2+f<0

aab

當a<6<c<0,則2>0且〃<6,/._+￡>2=2,D錯誤.

aab\ab

故選：C

14

3.（2024?廣東?高三學業考試）已知正實數滿足1+歹=1,則一+一的最小值是（）

xy

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】正實數羽歹滿足x+〉=l,

由基本不等式得，l+i=fl+^（x+7）=1+4+—>5+2t—=9,

當且僅當』=一，即x=*）=刀時，等號成立.

xy33

故選：C

4.（2024?江蘇徐州?高三沛縣湖西中學學業考試）若〃>0,6>0,a+3b=l,則的l+占最小值是（）

a3b

A.2B.4C.3D.8

【答案】B

【解析】因。>0,6〉。+3Z）=1,故由（—F-—）（a+3Z?）=2H----\-――>2+2.1^---^-=4,

a3ba3b\a3b

,（1

a+3b=la=—

當且僅當迎=三時，等號成立屈36a，解得：

a3b——=——71

Ia3bb=-

I6

即當且僅當a=g,6=，時，［取最小值為4.

26a3b

故選：B.

5.（2024?陜西西安?統考一模）已知x>0,y>0,孫+2x-y=10,則x+y的最小值為（）

A.272-1B.272C.472D.4亞-1

【答案】D

【解析】因為x>0,y>0,

由孫+2x-y=10,得X=了+?

y+2

所以尤+V=—T'+V=-+j+2-l>21—^―-（y+2）-1=4/2-1,

y+2y+2』y+2

當且僅當y=2拒-2時，等號成立.

故x+V的最小值為40-1.

故選：D

6.（2024?全國?高三專題練習）下列函數中，最小值為4的是（）

41

A.y=x+—B.y=x+-------+4（x>-2）

xx+2

C.y=cos2x+———D.y=x2+2x+4

cos2X

【答案】B

4

【解析】A：當x<0時>=x+—<0,顯然最小值不為4,排除；

x

B：由x+2>0,則y=（尤+2）+^—+224（尤+2）—+2=4當且僅當x=-l時等號成立，滿足；

x+2Vx+2

4

C：由題意0<f=cos2;cWl,而了=/+］在（0,1］上遞減，故7=1時函數最小值為5,不滿足；

D：由y=（x+l）2+3Z3,當x=-l時最小值為3,不滿足.

故選：B

7.（2024?陜西商洛?統考模擬預測）設某批產品的產量為x（單位：萬件），總成本c（x）=100+13x（單位:

萬元），銷售單價°@）=察-3（單位：元/件）.若該批產品全部售出，則總利潤（總利潤=銷售收入-總

成本）最大時的產量為（）

A.7萬件B.8萬件C.9萬件D.10萬件

【答案】B

【解析】總利潤〃x）=x（怨-31-（100+13尤）=732-粵-16（x+2）

\X十，JX十，

<732-2^-^xl6（x+2）=412,當且僅當*=16（x+2）,

即x=8時，/（x）最大，故總利潤最大時的產量為8萬件.

故選：B.

8.（2024?全國?高三專題練習）已知2加=3〃=6,則冽，〃不可熊滿足的關系是（）

A.m+n>4B.mn>4

C.m2+n2<8D.（m—I）2+（n—I）2>2

【答案】C

【解析】T=3H=6,:.m=log,6>0,n=log；6>C,BP—+-=log2+log3=1,即

mn66

m+n=mn（ri\,m>0,n>0.

對于A,加〃加;，，加+〃〉4成立.

對于B,?/mn=m+n>2Vmn,mn>4,成立.

對于C,vm+n>4,.\16<（m+n）2=m2+n2+2mn<2（m2+w2）,即加2+川〉g故c錯誤；

對于D,\.（加一I）?+（〃-1）2=（加一”）2+2〉2成立.

故選：c.

9.（2024?全國?高三專題練習）已知。>1,b>\,且log26=l0gz,4,則M的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】C

【解析】vlog2Va=logft4,

1i2log,4

.,.-10g2^=10g,4,即：10g24Z=-y—y

log2a-log2Z7=4,

*.*tz>1,b>\y

log2Q>0,log2b>0,

：.log2（aft）=log2a+log2b>2Jlog?a?log?b=4,當且僅當log2a=log2b即。=b時取等號，

即：ab>^=\6,當且僅當。=b時取等號，

故的最小值為16.

故選：C.

二、多選題

10.（2024?全國?高三專題練習）十六世紀中葉，英國數學家哈利奧特用表示不等號，并逐漸被數學

界所接受，不等號的引入對不等式發展影響深遠.若某同學從一樓到五樓原路往返的速度分別為。和

b（Q<a<b）,記兩速度的算術平均值為匕，全程的平均速度為匕，則下列選項正確的是（）

A.%、B.a<v2<JabC.Jab<匕<JD."i>“2

【答案】BCD

【解析】設一樓到五樓的距離為s,

a+b2slab

由題知匕-2a+b，A錯誤；

ab

%lab2b

因為a=a(1),

a+ba+b

2b、2b1八s、jlab

且0<Q<6,所以〃+6<2b,所以,>l,,l>0,所以>a,

a+ba+ba+b

2cib2cib

又因為a+6>,(因為〃「b,所以取不到等節)，所以,<r--4ab,B正確;

"b2<ab

a+b

對C,因為a】b,所以<2,

又因為[2F[a2+b2a2+b2+2aba1+b2-lab(^—Z))2

———>0,

2444

2

對D,因為（4+6）2-4仍=（"b）2>0,

a+b2ab

所以（a+bp>4ab,即---->----D正確;

2a+b

故選:BCD.

11.（2024?全國?高三專題練習）已知。>0,6>0,若a+2b=l,則（）

A.a+b>-B.a+b<\

2

C.42+；1的最小值為8D.仍的最大值為:

ab

【答案】ABC

【解析】對于A和B中，因為。>01>0且。+26=1,可得0<。<1且0<26<1,

KP0</><-,所以Q+Z）=1—/）〉L,且2a+26=l+a<2,a+b<l,所以A、B正確;

22

對于C中，由2+,=（。+26）（2+工］=4+竺+q24+24=8,

abyab）ab

當且僅當??且，+2X,即“J,時，取-，號，所以C正確;

對于D中，由2ab=”女］=，，即仍V：,當且僅當a=2b,且a+26=l,即a=1,6=，時,

（2J4824

取“=”號，所以D錯誤.

故選：ABC.

12.（2024?吉林通化?高三梅河口市第五中學校考開學考試）已知。>0/>0,若a+26=l,貝U（）

A.a+b>-B.a+b<1

2

c-仍的最大值為:D.±2+；1的最小值為8

ab

【答案】ABD

【角牟析】因為Q>0,b>0,a+2b=\,貝！Ja=1—26〉0,可得

對于選項AB：因為。+/?=1-26+6=1-6,

所以。+6〉一，。+6<1,故AB正確；

2

因為人］㈤*町也

對于選項C：L

s

當且僅當。=23=；時，等號成立，

所以。6的最大值為:，故C錯誤；

O

對于選項D：因為2+工=(0+26)0+4=4Wf2=8,

ab\ab)ab\ab

當且僅當竺=￡,即a=26=1時，等號成立，

ab2

所以42+；1的最小值為8,故D正確；

ab

故選：ABD.

13.(2024?山東聊城?高三統考期末)下列說法中正確的是()

4

A.函數y=sinx+--的最小值為4

sinx

B.若a+b=2,則2"+2'的最小值為4

C.若a>0,b>0,a+b+ab=3,則9的最大值為1

149

D.若x>0,>>0,且滿足x+>=2,則一+一的最小值為一

xy2

【答案】BCD

n4

【解析】對于A：當x=-g時，y=-l+—=-5,故A錯誤；

對于B：2“+2^22亞萍=26丁=4，當且僅當。=6=1時，等號成立，故B正確；

對于C：a+b+ab=3>l^fab+ab^>ab+2y[ab-3<0,

即(V^K+3)(V^K-1)W0,解得當且僅當Q=6=1時，等號成立，故C正確;

對于-4%+力1+，乜小LL2盧；9

xy2^xy)2^xyJ2中

24

當且僅當歹=2x時等號成立，此時％=故D正確;

故選：BCD.

14.(2024?湖南長沙?高三雅禮中學校考階段練習)若〃>b〉l,c￡R,則下列說法一定正確的是()

A.ac>beB.log^>1

C.-+-<4D.若a+b=4,則2"+26>8

ab

【答案】BCD

【解析】對于A,當c=0時，ac=0=be,A錯誤;

對于B,由a>b>l,得log/>logQ=1,B正確;

對于C,由a>b>l,得貝！]1+:<2V4,C正確；

abab

對于D,由a>6>l,a+b=4,得2">2“>2，2"+2匕>2A/2"?2.=2\/2"1=8,D正確.

故選：BCD

15.（2024?甘肅?高三統考階段練習）已知。>0,6>0,若a+2b=l,貝!|（）

A..6的最大值為:B./+62的最小值為1

O

71

C.—+丁的最小值為8D.2"+4"的最小值為2夜

ab

【答案】ACD

【解析】對于A,由2a6=小26"]=,，即

（2J48

當且僅當a=2b,且。+26=1,即。=』,6=’時，取等號，所以A正確；

24

對于B,因為/+。2=（1-232+62=562-4。+1=｛。]]4,

21

當且僅當6=（時，/+〃取到最小值（，所以B錯誤；

對于C,因為a>0,b>0,所以—I■丁=（a+26）j—H—|=4H-----H—>4+2>/4=8,

ab\ab）ab

當且僅當竺=?,且。+26=1,即q=I，6=工時，取等號，所以C正確；

ab24

對于D,2"+4〃22,24"=2，2"+2'=28，當且僅當。=26,且a+2b=l,

即a==:時，取等號，所以D正確.

24

故選：ACD.

16.（2024?山東棗莊?高三棗莊八中?？茧A段練習）已知正數0,6滿足20+6=1,則（）

A.的最大值為:B.4/+/的最小值為:

O2

12

C.—+：的最小值為4D.4"+2'的最小值為2

ab

【答案】AB

【解析】A選項，：a,6為正實數，

二2a+b22瓜了,當且僅當2a=6時等號成立，又2a+6=l,

ab<^,當且僅當a=；,b時等號成立，

仍的最大值為:，A正確；

O

B選項，由基本不等式可得等6?4得+b2，故(2a+6)2=4/+b2+4ab<Sa2+2b2,

當且僅當2a=6時等號成立，

又2Q+6=1,4(72+Z)2>—,當且僅當。=—,6=—時等號成立，

242

???442+62的最小值為1.,B正確；

C選項，vl+-=(2a+6)(-+-)=2+—+-+2>4+2J----8,

ababba\ba

當且僅當a=J,6=!時等號成立，

42

1?

；?上+：的最小值為8,C錯誤；

ab

D選項，4a+2ft=22a+2*>2>j22a+b=272，

當且僅當22"=2J即2a=6時，等號成立，D錯誤.

故選：AB.

17.(2024?廣東湛江?高三統考期末)下列結論正確的是()

A.若a<b<0,則

B.若xeR,則尤2+2+方二的最小值為2

C.若a+b=2,則^+廿的最大值為2

D.若xe(0,2),則工+^—22

x2-x

【答案】AD

【解析】因為/—=Q(Q—Z?)〉0,所以/>ab，

因為/一〃=/?(〃-6)〉0,所以附>〃，所以/，"〉〃，故A正確；

因為,+2+本"的等號成立條件入2=￡不成立，所以B錯誤;

因為？等[=],所以力+^“，故C錯誤;

1/cJ11c2-xx>|(2+2)=2,

因為=5x+2—刈—.2+------+-------

x2-xX2—xx2—x

當且僅當工=一一,即x=l時，等號成立，所以D正確.

x2-x

故選：AD

18.(2024?黑龍江齊齊哈爾?高三校聯考期末)設0<a<b,a+b=l,則()

A.2ab〉—B.Zab<—C.tz2+Z?2>—D.(72+Z?2<—

4224

【答案】BC

【解析】由。<。<6且。+6=1,

a+b=l22g即仍(：,貝當且僅當。=6=^取等號，故取不到，

所以2ab<—,A錯，B對；

2

a2+b-=a2+(l-a)2=2a2-2a+l=2(a-^-)2+-1,且0<a<g,

所以a?+b~e(］,1),C對，D錯.

故選：BC

三、填空題

19.(2024?全國高三專題練習)若正數加，〃滿足機+〃=6,則+A的最小值為

m\n)

【答案】五里

3

【解析】正數冽，〃滿足加+〃=6,

/以口古*1(6An6nm2+2mn+n27nm1、,+1

依題忌，—nH--=—l---=—l---------------=----1----1-->------，

m\n)mmnm6nn6n613