專題2-2直線與圓距離問題十一大題型匯總

。常考題型目錄

題型1兩點間的距離問題..........................................................2

題型2點到直線的距離問題........................................................3

題型3平行線中的距離問題........................................................7

題型4和差距離最值問題.........................................................10

題型5點到直線距離最值問題.....................................................18

題型6曲線上的點到直線距離最值問題............................................23

題型1圓上的點與點距離最值問題.................................................29

題型8圓上的點與直線距離最值問題...............................................33

題型9圓上的點到直線距離為定值問題............................................38

題型10兩圓上的點之間的距離最值問題...........................................42

題型11切線長相關最值問題......................................................46

但知識梳理

知識點一.兩點間的距離

/22

定義：點P1(X1,yi),P2(X2,加之間的距離|尸色|=J(x2-xr)+(y2-yr)

知識點二.點到直線的距離

1.點到直線的距離公式

\Axo+Byo+Cl

點Po(xo,yo)到直線/：Nx+By+C=。的距離,d=/一

yjA2+B2

2.點到特殊直線的距離公式

點Po(xo,刃)到x軸的距離d=\yo\,到平行于無軸的直線的距離d-MM倒了軸的距離

d=|謝,到平行于丁軸的直線彥=6的距離d=\x0-b\.

知識點三.兩條平行直線之間的距離

1.兩條平行線之間的距離

兩條平行線之間的距離，等于其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離.

2.兩條平行線之間的距離公式

_|G-G|

兩條平行線Ax+By+G=0與Ax+By+G=0間的距離d=i

■\A2+F

Q題型分類

題型1兩點間的距離問題

【方法總結】

兩點601，%),2(工2,%)間的距離公式為：山區|=J(龍2-%)2+(%-%)2?

【例題1](2023秋?高二課時練習)(1)求4(3,5),8(—3,3)兩點間的距離；

(2)已知點4(3,6),在x軸上的點P與點2的距離等于10,求點P的坐標.

【答案】(1)2V10；(2)(-5,0)或(11,0)

【分析】(1)直接利用兩點間的距離公式計算可得；

(2)設P(x,0),利用兩點間的距離公式得到方程，解得即可.

【詳解】(1)因為4(3,5),B(-3,3),所以|4B|=J(-3—3尸+因一5尸=2折.

(2)設P(x,0),則|P4|=J(x—3"+。一6尸=10,解得久=-5或x=11,

所以P(—5,0)或P(ll,0)

【變式1-1】1.已知點4-3,4),6(2,由)，在x軸上找一點P,使|留=|陽,并求|留

的值；

【解析】設點『的坐標為優0),則有|以|=[x+32+。-42=7解+6X+25,

|冏=yx-22+0-32=舊8-4x+7.由|2|=|冏，得g+6*+25=，-

9/9、~

4x+7,解得x=-=故所求點。的坐標為1--,0；|以|=、八-工+3『+0-42=

5,

【變式1-1]2.已知點Mx,-4)與點M2,3)間的距離為7^2,求x的值.

【解析】由=,彳導|M/V|=1x-22+~一4-32=74,即必-4x-45

=0,

解得xi=9或及=-5.故所求x的值為9或-5.

【變式1-1】3.到41,3),6(-5,1)的距離相等的動點。滿足的方程是()

A.3x-y-8=0B.3x+y+4=0

C.3x-y+6=0D.3x+p+2=0

【答案】B

【解析】設中，勸，則N12+六32=7x+52+尸12,即3x+/+

4=0.(兩種方法幾何與代數)

題型2點到直線的距離問題

【方法總結】

點到直線的距離

已知直線“久+By+C=0,點P(&,yo),貝1|P到直線珀勺距離為：d=個普箓

【例題2】(2023秋?高二課時練習)在直線2久-y=0上求一點P，使它到點”(5,8)的距離

為5,并求直線PM的方程.

【答案】P(2,4)或(募，費),4%-3y+4=0或24x-7y-64=0.

【分析】設P(m,n),然后根據題意列方程組可求出皿n,再求出直線PM的斜率，從而可求

出直線PM的方程.

32

(ZTT_—

所以P(2,4)或傳卷),

當P(2,4)時,直線PM的斜率k==

5—Z5

因此直線PM方程為y—4=(x—2),即4%—3y+4=0；

64

當P管5）時，直線PM的斜率k=窘=日，

因此直線PM方程為y-8=y（x-5）,即24x-7y-64=0.

【變式2-1J1.（2022秋?江蘇連云港?高二統考期中）已知點4（2,1）,點B在直線x-y+3=

。上,則AB的最小值為（）

A.V5B.V26C.2V2D.4

【答案】C

【分析】根據點和直線的位置關系，易知當48與直線垂直時滿足題意，求出點4到直線x-

y+3=0的距離即可.

【詳解】如下圖所示：

易知當AB與直線x-y+3=。垂直，且B為垂足時，AB的值最小；

此時的最小值為點4到直線久-y+3=。的距離，

即|4B|min=d=J：；；；=2版

故選：C

【變式2-1]2.（2023秋?江蘇宿遷?高二泗陽縣實驗高級中學校考階段練習）若點P（x,y）在

直線2x+y-5=0上，。是原點，則OP的最小值為（）

A.2&B.2C.V5D.4

【答案】C

【分析】根據題意，由點到直線的距離公式即可得到結果.

【詳解】由題意可知，0P的最小值即為原點。到直線2x+y-5=0的距離，

則￡/=黑=遮

故選：C

【變式2-1]3.(2023秋?高二課時練習)已知直線/平行于向量2=(1,2),并且與原點的

距離為3,求直線/的方程.

【答案】y-2x+3V5

【分析】依題意可得直線/的斜率k=2,設直線方程y=2x+b,利用點到直線的距離公式

得到方程，求出b,即可得解.

【詳解】因為直線/平行于向量匯=(1,2),所以直線/的斜率k=2,

不妨設直線方程y-2x+b,即2久-y+b-0,

則原點到直線距離d=-7=4==3,解得b=±3A/5,

V2+l—

所以直線1的方程為y=2x±3V5

【變式2-1]4.(2023秋?高二課時練習)已知點P(l,l)到直線X+ay-2=0的距離為1,

求實數a的值.

【答案】0

【分析】根據點到直線的距離公式列出方程，求解即可得出答案.

【詳解】由已知可得，/善=1,

Va2+1

解得，a=0.

【變式2-1]5.(2023秋?高二課時練習)已如圓/+y2—2乂—8y+13=0的圓心到直線

ax+y-l=0的距離為1,求a的值.

【答案】V

【分析】首先求出圓心坐標，再由點到直線的距離公式得到方程，解得即可.

【詳解】圓/+y2-2x-8y+13=0,即(x-I)2+(y-4)2=4,圓心為(1,4),

因為圓心到直線ax+y-1=。的距離為1,所以d=4==1,解得a=

va2+l23

【變式2-1】6.(2023秋?高二課時練習)已知點P是直線3x-4y+2=。上任意一點，求

點P與點4(3,-1)之間距離的最小值.

【答案】3

【分析】依題意可知，當P4與直線3乂-4y+2=。垂直時點P與點4之間距離的最小,求出

點4到直線的距離即可.

【詳解】根據題意畫出圖象如下圖所示：

易知當P4與直線3乂-4y+2=0垂直時，點P與點4(3,-1)之間距離的最小；

其余位置如R,貝必Pi>AP；

所以最小值即為點4(3,-1)到直線3%-4y+2=0的距離d=因差尸=?=3，

所以，點P與點力⑶-1)之間距離的最小值為3.

【變式2-1]7.(2022秋?廣東江門?高二江門市棠下中學校考期中)已知圓Ci+6x+y2_

4=0與圓C2：/+V+8y-28=0相交.

(1)求交點所在直線方程；

(2)若點P是圓C：(x-3>+*=1上任意一點，求P點到(1)中交點所在直線距離的

最大值和最小值.

【答案】(1)3%—4y+12=。；(2)最大值g,最小值能

【分析】(1)根據兩圓相交，兩圓的方程相減即可求出公共弦所在直線方程；

(2)根據圓的性質先求出圓心到直線距離，分別加減半徑即可求解.

【詳解】(1)由已知：圓G：/+6%+y2-4=0,圓:/+必+8y-28=0,

故交點所在直線的方程為：x2+y2+6x-4-(xz+y2+8y-28)=0,

即3比一4y+12=0,

故交點所在直線的方程為3x-4y+12=0.

(2)由圓C：(x-37+y2=i知，圓心為(3,0),半徑為1,

所以圓心(3,0)到直線3*—4y+12=0的距離d=嗔二尸=?，

所以圓上點P到直線的Lax=y+l=Y，dmin=y-l=Y.

題型3平行線中的距離問題

【方法總結】

兩條平行直線k：4r+By+Ci=0與％：A%+By+C2=0的距離是d=%照；

【例題3](2023?全國高二隨堂練習)已知兩條平行直線4:3久―4y+6=0與%：3%-4y+

C=0間的距離為3,求C的值.

【答案】21或-9

【分析】根據兩平行直線的距離公式計算即可.

【詳解】因為兩條平行直線4：3x-4y+6=。與％：3x-4y+C=0間的距離為3,

所以鼠=3,解得C=21或-9.

【變式3-1]1.(2023秋?高二課時練習)求與直線x-y-l=0平行且距離為3的直線的

方程.

【答案】x-y+3V2-1=0或久-y-3V2-1=0.

【分析】根據題意，設直線方程為x-y+m=0(m^-l),再結合兩平行直線距離公式即

可得到結果.

【詳解】設與直線％-y-l=0平行的直線方程為％-y+m=0(mH-1),

因為兩平行直線距離為3,即-，%=3,解得血=3夜-1或-3魚-1,

Vi2+(-i)2

故所求方程為x-y+3V2-1=0或比-y-3V2-1-0.

【變式3-1J2.(2023秋?江蘇鹽城?高二江蘇省射陽中學校考開學考試兩條平行直線x-

2y+1=0與%：2x+my+2m=0之間的距離為.

【答案】V5

【分析】根據兩直線平行可求得小,由平行直線間距離公式可求得結果.

【詳解】解得：皿…,

???%：2%—4y—8=0,即％—2y—4=0,

??4,%之間的距離d=號劣=V5.

V1+L2)

故答案為：V5.

【變式3-1]3.(多選)(2022秋?全國?高二期中)若點P在直線3x+y-5=0上，且點P到

直線x-y-1=0的距離是a,則點P的坐標為()

A.(1,2)B.(2,1)C,(2,-1)D.(-1,2)

【答案】AC

【分析】設出點P的坐標為(a,5-3a)，利用點到直線的距離公式表示出P到已知直線的距離

d,讓d等于近列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，再寫出點P的坐標即可.

【詳解】解:設P點坐標為(a,5-3a),

點P到直線x-y-1=。的距離為：用(5常)臼=V2,

解得a=1或a=2,

??.P點坐標為(1,2)或(2,-1).

故選：AC.

【變式3-1]4.（2023秋?全國?高二隨堂練習）若動點做叼以力以物力）分別在直線4：尤+

y-7=。和小"+y-5=0上移動，則AB的中點M到原點距離的最小值為（）

A.3V2B.2C.V2D.4

【答案】A

【分析】由題意，知點M在直線II與12之間且與兩直線距離相等的直線上，設該直線方

程為％+y+c=0,然后利用兩平行線間的距離公式列方程可求出c的值，再利用點到直線

的距離公式可求得結果.

【詳解】由題意，知點M在直線匕與%之間且與兩直線距離相等的直線上，

設該直線方程為x+y+c=0,則詈=詈，即c=—6,

.,點M在直線％+y—6=Ojz,

點M到原點的距離的最小值就是原點到直線久+y-6=0的距離，即號=3V2.

故選：A.

【變式3-1]5.（2022秋?浙江臺州?高二校聯考期中）已知直線中x+3y+l=0J2：%+

（a—2）y+a=0.

（1）若k1l2,求實數a的值；

（2）當I]||（時,求直線4與I之間的距離.

【答案】（l）a=|

（2）|V10

【分析】（1）利用直線垂直的公式列式計算即可.

（2）先利用直線平行求出a,然后代入平行直線距離公式求解即可.

【詳解】（1）因為直線％：%+3y+1=0,%：久+（。一2）千+a=0,且4112,

所以1xl+3x(a-2)=0,所以3a-5=0所以a=|.

(2)當人||。時，1x(a—2)=3x1,解得a=5,

止匕時匕：％+3y+l=0,2：%+3y+5=0,

所以1與2的距離d=懸=|V10.

題型4和差距離最值問題

【方法總結】

利用三角形邊角關系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差的絕對值小于等于第三邊。

【例題4】(2023秋?河北滄州?高二滄縣中學校考階段練習)著名數學家華羅庚曾說過："數

形結合百般好，隔裂分家萬事體事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，

如：收-a)2+(y-6)2可以轉化為平面上點M(x,y)與點N(a,6)的距離.結合上述觀點,

可得y=Vx2+4x+8+_4/+8的最小值為()

A.4V2B.2V2C.V2+VlOD.3+V5

【答案】A

【分析】利用兩點間距離公式可將問題轉化為x軸上一點P0,0)到點力(-2,-2)與點8(2,2)的

距離之和的最小值，當4P,B三點共線時(|P川+|PB|)min=\AB\,進而即得.

【詳解】y=/(%)=V%2+4%+8+V%2—4%+8=J(x+2—+(0+2—+

(x-2)2+(0-2)2

則fO)可看作無軸上一點P(x,O)到點4(_2,-2)與點8(2,2)的距離之和,即|P川+\PB\,

則可知當4P,8三點共線時，|P4|+|PB|取得最小值，

即(|P4|+|PB|)min==V(-2-2)2+(-2-2)2=45/2.

故選：A.

【變式4-1]1.(2023秋?浙江杭州?高二浙江省臨安中學校考開學考試)已知eR+,

滿足2x+y=2,則x+J比2+y2的最小值為()

A.-B,-C.1D.9

553

【答案】B

【分析】先求出點。關于線段2x+y=2的對稱點C的坐標，且有產T鏟=\P0\=\PC\.

根據幾何意義，結合圖象，即可得出取最小值時，點P的位置，進而得出答案.

【詳解】

如圖，過點。作點。關于線段2x+y=2的對稱點C,則|P0|=|PC|.

(8

("x(-2)=-1Xn-—

設COoJo)，則有■解得：,所以。聯)?

2x迎+也=2

227o=7

設P(x,y),則|P0|=yjx2+y2,所以J/2+丫2=|po|=出口，

又居y6R+,所以點P至！Jy軸的距離為％,

所以，x+尸子可視為線段2%+y=2上的點P(x,y)到y軸的距離和到C的距離之

和.

過P作PD1式軸,顯然有|PD|+\PC\>\CD\,當且僅當C,P,D三點共線時，和有最小值.

過點C作CH1x軸,則|CH|即為最小值，CH與線段AB的交點B,即為最小值時P的位置.

因為|州=|,所以％+尸可的最小值為也

故選：B.

【變式4-1]2.(2023秋?江蘇揚州?高二統考開學考試)已知x+y+l=0,則

7%2+y2-2x-2y+2+收-2尸+y2的最小值為()

A.V5B.2V2C.VlOD.2V5

【答案】D

【分析】先對所求式子配方整理，把問題轉化為，求直線上一點,到直線同側的兩點間的距

離之和的最小值，就是將軍飲馬求最值問題，先對其中一點作關于直線的對稱點，進一步把

問題轉化為，求兩點間的距離，求解即可.

【詳解】y/x2+y2—2x-2y+2+^/(x—2)2+y2-y/(x—l)2+(y—l)2+

+y2

?,該式子是表示點(x,y)到點(1,1)、點(2,0)的距離之和，

又x+y+1=0,

???上述式子表示直線久+y+1=。上的點(x,y)到點4(1,1)、點B(2,0)的距離之和的最小值(如

圖).

設點4(1,1)關于直線久+y+1=。的對稱點為C(a,b),

f—=1__9

則有a+1％1，解得W,即C(-2,-2),

11-1=0u一乙

v2-----2

所以|BC|=J(2+2尸+(0+2/=2V5,

所以直線x+y+1=。上的點(x,y)到點4(1,1)、點8(2,0)的距離之和的最小值為|BC|=

2V5.

故選：D.

【變式4-1]3.(多選)(2022秋?黑龍江齊齊哈爾?高二齊齊哈爾市恒昌中學校校考期末)

下列結論錯誤的是()

A.過點4(1,3),8(-3,1)的直線的傾斜角為30。

B.若直線2x-3y+6=0與直線ax+y+2-0垂直，則a=|

C.直線x+2y-4=0與直線2x+4y+1=0之間的距離是亨

D.已知2(2,3),8(—1,1),點P在X軸上，則|P*+|PB|的最小值是6

【答案】ACD

【分析】求出斜率判斷A;利用兩直線垂直關系求出a判斷B;求出平行線間距離判斷C;

利用對稱思想求出最小值判斷D作答.

【詳解】對于A,直線AB的斜率k=呈=)具傾斜角小于30。，A錯誤；

對于B,由直線2x-3y+6—0與直線ax+y+2=。垂直，得2a—3=。，解得a=|,B

正確；

對于C直線x+2y-4=0化為2久+4y-8=0，因此兩平行直線的距離d=蟠言=等，

V2Z+4Z10

C錯誤；

對于D,點B(-1,1)關于x軸的對稱點為夕(-1,-1),連接49交x軸于點Po，點P是x軸上

任意一點,

連接BPo，AP,BP,PB，，于是|P4|+\PB\=\PA\+\PB'\>\AB'\=\AP0\+\B'P0\=\AP0\+

\BP0\,

當且僅當點P與Po重合時取等號，因此(IP川+|PB|)min=\AB'\=V32+42=5,D錯誤.

故選：ACD

【變式4-1]4.(多選)(2023秋?江蘇?高二校聯考開學考試)已知點,N(2,l),

且點P在直線，：久+y+2=0上，貝！|()

A.存在點P,使得PM1PNB.存在點P,使得21PMi=\PN\

C.\PM\+|PN|的最小值為回D.||PM|-|PN||最大值為3

【答案】BCD

【分析】設P(a,-a-2),利用斜率公式判斷A,利用距離公式判斷B，化折線為直線，利

用兩點之間線段最短判斷C,根據幾何意義判斷D.

【詳解】對于A：設P(a,-a-2),若。=-1時P(-1,-1),此時PM的斜率不存在，

kpN=1^0,PM與PN不垂直，同理a=2時PM與PN不垂直，

當a力-1且a力2時kpM=子子,k=9J,

UT1PNU-Z

若PM1PN,則既知.七'==一1，

去分母整理得2a2+5a+7=0,A=52—4x2x7<0,方程無解，故PM與PN不垂直，

故A錯誤；

對于B：設P(a,—a-2),若21PMi=|PN|,則2j(a++(—a—3產=

-21+(_a—3產,

即2a2+10。+9=0,由A=102—4x2x9=28>0,所以方程有解，則存在點P,使得

2\PM\=\PN\,故B正確；

f—=1

對于C：如圖設M(-1,1)關于直線/的對稱點為4(a,b),則｛1+a*工

[甘+—+2?

解得｛，;二:，所以“'(一3,-1),

所以|PM|+\PN\=\PM'\+\PN\>\M'N\=7(-3-2)2+(-1-l)2=V29,

當且僅當P、N三點共線時取等號(P在線段MW之間)，故C正確；

對于D:如下圖,\\PM\-\PN\\<\MN\=3,當且僅當P在NM的延長線與直線/的交點時取

等號，故D正確.

故選：BCD

【變式4-1]5.(多選X2022秋?吉林長春?高二東北師大附中校考期中)已知。為坐標原點，

4(3,1),P為x軸上一動點，Q為直線Z：y-久上一動點，則()

A.△2PQ周長的最小值為4&B.\AP\+|4Q|的最小值為1+V2

C.\AP\+|PQ|的最小值為2&D.倒4Pl+|OP|的最小值為4

【答案】BCD

【分析】設4關于直線/7=%的對稱點為4(1,3),2關于%軸的對稱點為4(3,-1),對于人：

根據對稱性可得IPQI+\QA\+\PA\=\PQ\+\QAr\+\PA2\>\ArA2\,進而可得結果；對于

B:根據點到直線的距離分析判斷；對于C:因為|4P|+|PQ|=142Pl+\PQ\，結合點到直

線的距離分析判斷；對于D:根據題意分析可得&|4P|+\0P\=/(恒2Pl+|CP|),結合點

到直線的距離分析判斷.

【詳解】設4(3,1)關于直線/：y=x的對稱點為4(1,3),4(3,1)關于x軸的對稱點為4(3,-1),

可知IQ⑷=\QA1\,\PA\=\PA2\,

對于選項A：可得A4PQ周長|PQ|+|Q4|+|P4|=\PQ\+\QAr\+\PA2\>|^2|=

7(3-l)2+(-l-3)2-2V5,

當且僅當&,P,Q,A2四點共線時，等號成立，

則由=1,dz=^=7=V2,

可得|4P|+\AQ\2dl+c?2=1+V2,

所以+MQ|的最小值為1+以，故B正確;

對于選項C：因為14Pl+\PQ\=\A2P\+\PQ\,

設力2（3,—1）到直線/：x-y=。的距離為63=辱黑=2V2,

可得如P|+|PQ|Nd3=2迎，

所以|4P|+|PQ|的最小值為2a,故C正確；

對于選項D:作PCJ.，，垂足為C,

因為直線/的斜率k=1,則NCOP=45°,可得|CP|=^\0P\,

則

3P|+\CP\=\A2P\+\CP\>d3=2V2,

可得或14Pl+\0P\=V2(|42P|+y|OP|)=V2(M2P|+\CP\)>V2d3=4,

所以A/I|4P|+|0P|的最小值為4,故D正確；

故選：BCD.

題型5點到直線距離最值問題

【例題5】2022秋湖北黃岡?高二統考期中)點(1,0)到直線依+y+1=0的最大距離為()

A.0B.1C.V2D.V3

【答案】C

【分析】由點到直線的距離公式d=器等將原問題轉換為求函數d(k)=*的最大值，

Vfc2+1Vfc2+1

令k+1=t,則d(k)=招==*聲=f⑴,求2)的最大值即可.

【詳解】一方面：由點到直線的距離公式將原問題轉換為求函數d(k)=舄的最大值，令

k+1=t,

則叫)=騁=二=VFt=/⑴,求/'⑴的最大值即可?

另一方面：/(0)=0顯然不是了⑴最大值，當t豐0時/⑴=/號直，令a二三°,

1

則/⑴==721tz=9(")，若要d(k)=/(t)=g(iz)最大，只需2/一2a+1最小

與￥+1

即可,

而2a2—2u+1=2—0+|>|,

因此當a=J即t=2,k=1時，[d(k)]max==V2.

因此點(1,0)到直線依+y+1=0的最大距離為近,當且僅當k=1時取得最大值.

故選：C.

【變式5-1]1.(2022秋?全國?高二期中)在直角坐標系xOy中，已知直線以?cos0+y.

sin0=1,當8變化時,動直線始終沒有經過點P.定點Q的坐標(-2,0),則|PQ|的取值范圍為

()

A.[0,2]B.(0,2)C.[1,3]D.(1,3)

【答案】D

【分析】解法1:由原點。(0,0)到直線以?cos0+y-sin0=1的距離為1知點P在單位圓內，

由此求出IPQI的取值范圍.

解法2：因為點P坐標不確定，可討論e的取值情況，利用排除法求得正確的選項.

【詳解】解法1.原點。(0,0)到直線區-cose+y.sine=1的距離為d=,零[<=1,

Vcos20+sin20

所以直線是單位圓的切線，點P在單位圓內；

所以點Q到點P的距離|PQ|e(|P0|-1,\PO\+1),故取值范圍是(1,3).

解法2.由題意知，點P坐標不確定，

當6=0時,直線Z：%-cos0+y-sine=1化為x=1,直線/上的點4(1,0)到點Q的距離為3,

可以排除選項C；

當e=IT時，直線-COS0+y-sin。=1化為x=-1，直線1上的點B(-1,0)點Q的距離為1,

可以排除選項ABC；

所以IPQI的取值范圍是(1,3).

故選：D

【變式5-1]2.(2023?全國?高二課堂例題)已知直線/：依+y+2-k=0過定點M,點

P(x,y)在直線2久-y+1=0上，則|MP|的最小值是()

A.5B.V5C.—D.-

55

【答案】B

【分析】先求定點，再根據點到直線距離求解點到直線上動點距離最小值即可.

【詳解】由此+y+2-k=。得y+2=fc(l-x),所以直線I過定點M(l,-2),

依題意可知|MP|的最小值就是點M到直線2尤-y+1=0的距離,

由點到直線的距離公式可得|MP|min==V5.

V4+1

故選:B.

【變式5-1]3.(2022秋?吉林長春?高二東北師大附中校考期中)已知點P(右，M))在直線

3x-4y-10=0±,則J*。？+Vo?的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】J&2+y02就是pQo，yo)至嫄點距離,只需求出原點到直線的距離即可.

【詳解】伉耳元就是p(%o，y。)到原點距離，

P0o，yo)至嫄點距離的最小值為d=1=2

則Jx02+y02的最小值為2,

故選：B.

【變式5-1]4.(2023?全國?高二專題練習)已知圓(久-l)2+(y-2)2=4關于直線ax+

by-2=。對稱，則，a?+爐的最小值為()

A.-B.延C.-D.1

555

【答案】B

【分析】根據題意分析可得被E7表示直線a+26-2=0上任一點P(a,6)到坐標原點

。(0,0)的距離，結合點到直線的距離運算求解.

【詳解】已知圓(％-I)2+(y-2>=4的圓心為(1,2),半徑r=2,

由題意可知:直線a久+by-2=0過圓心(1,2)，即a+2b-2=0,

Va2+62表示直線&+26-2=0上任一點P(a,6)到坐標原點。(0,0)的距離，

故宓彷的最小值即為。(0,0)到直線a+2b-2=0的距離d=2|=爭

"二ZZ

V1+25

故選：B.

【變式5-1]5.(2023秋?高二課時練習)已知點M(a,6)在直線3x+4y-15=0上，求

的最小值.

【答案】3

【分析】后"的最小值是原點。(0,0)到直線3x+4y-15=0的距離，利用公式計算即

可.

【詳解】算式中中的幾何意義是點M(a,b)到原點。(0,0)的距離，

點M(a,b)在直線3x+4y-15=0上,"的最小值是原點。(0,0)到直線3x+4y-

15=0的距離,

即+爐的最小值為義工=當=3.

V3Z+4Z5

【變式5-1]6.(2023秋?山西?高二校聯考開學考試)已知直線Z：ax-y+2-a=。恒過

點P,且與X軸，y軸分別交于a,B兩點，。為坐標原點.

(1)求點P的坐標；

(2)當點。到直線Z的距離最大時，求直線/的方程；

⑶當IP川?|PB|取得最小值時，求AaOB的面積.

【答案】⑴P(l,2)

(2)x+2y-5=0

⑶戢

【分析】(1)將直線方程化為a(*-1)-y+2=0,即可確定定點；

(2)由題意。到直線/的距離d=\OP\,列方程求參數，即可得直線方程；

(3)由題意4(詈,0),B(0,2-a),且aK0、a羊2,結合基本不等式求|P4|?|P8|最小值，

確定取值條件，進而求AAOB的面積.

【詳解】(1)由a(x-l)-y+2=0,則直線恒過P(l,2).

(2)要使點0到直線/的距離最大，即。到直線/的距離d=舄=\OP\=V5,

所以中詈=5,整理得4a2+4a+1=(2a+1產=0,故。=—]

所以一(久一y+|=0,即x+2y—5=0.

(3)由題意，直線的截距均不為0,則做?,0),B(0,2-a),且a40、a42,

所以|P川■|PB|=2J1+l-所2+i=2(|a|+或24,僅當a=±1時等號成立,

所以a=±1時|PZ|?|尸8|取最小值，

當a=1,貝！M(—1,0),5(0,1),此時△4。8的面積為］；

當a=-1,則4(3,0),8(0,3),止匕時△4。8的面積為］；

所以△HOB的面積為箕除

【變式5-1］7.(2023秋?高二課時練習)已知居y滿足久+2y-5=0，則(x-I)2+(y-l)2

的最小值為

【答案】割.8

【分析】根據給定條件，利用幾何意義求出直線久+2y-5=0上的點與定點(1,1)距離最小

值的平方作答.

【詳解】由x,y滿足犬+2y-5=0知，點P(x,y)是直線Lx+2y-5=。上的任意點,

而(x-1)2+(y-1)2表示點P(x,y)到定點的距離的平方，

因此0-IT+(y-1)2的最小值即為點Q(l,l)到直線I距離d的平方，

即有|PQImin=d=^^=等,

所以(X—1)2+(y-1)2的最小值為d2=i

故答案為：3

題型6曲線上的點到直線距離最值問題

【例題6】（2023春?陜西安康?高二統考期中）若點P是曲線y=Inx-/上任意一點，則點

P到直線/：x+y-4=。距離的最小值為（）

A.號B.V2C.2D.2V2

【答案】D

【分析】先分析出當切線與直線/：尤+y-4=0平行時，點P到直線Z：x+y-4=。距離最

小，設出切點，求導后利用斜率得到切點坐標，求出答案.

【詳解】過點P作曲線y=In比-的切線，當切線與直線[：x+y-4=0平行時，點P到直

線I：x+y-4=0距離最小.

設切點為P（xo，yo）（xo>0）,y'=^-2x,

所以切線斜率為k=--2x0,由題知工-2無。=-1,解得%。=1或而=一,（舍），

???P（l,-1）,此時點P到直線上％+y-4=0距離d=1=2V2.

故選：D

【變式6-1]1.（2023春?江西吉安?高二統考期末）若動點P在曲線y=ex+x±,則動點

P到直線y=2x-4的距離的最小值為（）

A.V5B.e+1C.2V5D.2e

【答案】A

【分析】轉化為在點P(*o，ex。+Xo)處的切線與直線y=2%-4平行時點P到直線y=2x-4

的距離最小，利用導數的幾何意義求出切點P的坐標，再根據點到直線的距離公式可求出結

果.

x

【詳解】設P(*o,e°+x0),由題意知y'=e*+1,

則在點PQo,e&+和)處的切線斜率為k=y'lx=x。=爐。+1,

當在點POo,e&+沏)處的切線與直線y=2x—4平行時，點P到直線y=2乂-4的距離最小，

由e&+1=2,得沏=0,則P(0,l),

所以點P(0,l)到直線的距離d=1^=V5.

所以動點P到直線y=2x-4的距離的最小值為迷.

故選：A

【變式6-1]2.(2023春?江蘇南京?高二南京航空航天大學附屬高級中學校考期中)若

箋也=竽=K貝人/一不)2+(%—%)2的最小值為

3yl3

【答案】|/1.6/1|

2

【分析】由題意知01-X2)+31-%)2表示曲線/(久)=鏟+2式上的點與直線3x-y-

3=0上的點的距離的平方，將問題轉化為/(無)=鏟+上切線與直線3%-y-3=。距離

最小值問題解決.

【詳解】=午1=[今yi=鏟1+2xt,y2=3x2-3,

3yl723

貝！|(%1-x2y+(%-、2)2表示曲線/'(>)=e*+2乂上的點與直線3x-y-3=0上的點的距

離的平方，

令尸(x)=e，+2=3得x=0,所以曲線/(%)在(0,/(0))的切線方程為3x—y+1=0,

所以曲線/(無)=鏟+2式上的點與直線3x-y-3=0上的點的距離的最小值即為直線3尤-

y+1=0與3K-y-3=0之間的距離,

_11+31,2V10.2_￡

即弓-VP+T-s,d~s-

故答案為：|

【變式6-1]3.(2023秋?江蘇南通?高二海安高級中學校考開學考試)三角形ABC的頂點

8(0,2),邊4B上的中線CD所在直線為7x+2y-19=0,A的平分線AE所在直線為x-y-

1=0.

(1)求A的坐標和直線4c的方程；

⑵若P為直線4c上的動點，M(-l,0),N(l,0),求PM?+PN2取得最小值時點P的坐標.

【答案】⑴44,3),直線4c的方程為y=4x-13

。唱譚)

【分析】(1)設點A坐標并表示中點D坐標，由點在直線方程建立方程求解即可得A,利

用角平分線的性質可得點B關于直線4E的對稱點，從而求4C方程；

(2)由兩點之間的距離公式結合二次函數求最值計算即可.

【詳解】(1)由題意可設力O,y),則。&等)，由直線4E,CD的方程可知：

x—y—1=0(x=41

{7x：+2x——19=0n|y=3，即“(娟)，

設點B關于直線4E的對稱點夕(a,b),

則中點坐標為('MB,kAE=1,kBB'=,

’----1=0

22

依題意有{b_2,解之得。=3/=一1,即9(3,-1),

kAE-=—=-1

\a

易知夕(3,-1)在直線4c上,故由兩點式可得三=W，化簡得y=4比-13；

—1—33—4

(2)由(1)所得ZC方程y=4%-13,不妨設尸(犯47n-13),

貝!]PM?+PN2=(m+I)2+(4m-13)2+(m—l)2+(4m-13)2=34m2—208m+340,

由二次函數的性質可知當m=鬻=||,上式取得最小值，此時

【變式6-1]4.(2023春?甘肅張掖?高二高臺縣第一中學校考期中)已知點P為函婁好。)=

e2x的圖象上一點，則點P到直線/：y=2久的距離的最小值為()

A.-B.-C.-D.

5524

【答案】A

【分析】作出直線/與函數/(%)的圖象，利用平行于直線Z且與函數八尢)的圖象相切的直線，

可以求得相應的最小距離.

【詳解】設直線小平行于直線Z,則直線小的斜率為2,

當直線爪與函數/(%)的圖象相切，點P為切點時，點P到直線/：y=2比的距離的最小，

設切點坐標為(xo，y。),

因為尸0)=2e2x,則/Oo)=2e2，。=2,解得*0=0,

又Oo，yo)在函數了。)=e?x的圖象上,則y()=e2x°=1,

則切點坐標為(0,1),到直線Z：2%-y=。的距離為d=黑鼻=v，

則點P到直線/：y=2x的距離的最小值為日

故選：A.

【變式6-1]5.(2023春?內蒙古阿拉善盟?高二阿拉善盟第一中學校考期中)設點A在直線

V3x-y+1=。上，點B在函數/(x)=In久的圖象上，則|4B|的最小值為

【答案】1+I|n3

4

【分析】設函數/(乃=Inx與直線百x-y+1=0平行的切線為Z,利用導數的幾何意義得

出切點P,再由距離公式得出MB|的最小值.

【詳解】設函數/(%)=In比與直線舊尤-y+1=0平行的切線為1,則/的斜率為次,

由尸(%)=(=b，得”=?,所以切點為「(日,_加3),

則點P到直線珀勺距離就是I明的最小值，即學到=l+；ln3.

故答案為：l+：ln3.

【變式6-1]6.(2023春?廣東佛山?高二校聯考階段練習)